Sử dụng phần mềm Maple giải các dạng Toán cơ bản trong hình học Affine

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE GIẢI CÁC DẠNG<br /> TOÁN CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC AFFINE<br /> TRẦN LÊ NAM<br /> Trường Đại học Đồng Tháp<br /> <br /> Tóm tắt: Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số<br /> và minh họa toán học mạnh mẽ do một nhóm các nhà khoa học của<br /> Canada thuộc trường đại học Warterloo viết ra. Bài báo giới thiệu các<br /> tính toán từng bước, được viết trên Maple 13.0, để giải một số dạng bài<br /> tập cơ bản trong hình học Affine. Thông qua đó, sinh viên có phương<br /> tiện để kiểm tra lại từng bước tính toán, có nhiều thời gian tìm hiểu các<br /> vấn đề bản chất hơn.<br /> <br /> 1 MỞ ĐẦU<br /> Hình học Affine là một môn học tương đối quan trọng trong chương trình đào tạo<br /> cử nhân Toán học ngành sư phạm. Nó là môn học giúp sinh viên có cái nhìn tổng<br /> quát hình học giải tích ở phổ thông. Hơn nữa, một số nội dung môn học còn là kiến<br /> thức cơ sở trong các môn Toán cao cấp của ngành kĩ thuật và kinh tế. Một đặc điểm<br /> của môn học là chúng có nhiều bài tập tính toán mang tính thuật toán.<br /> Maple là một phần mềm toán học thực hiện được hầu hết các vấn đề của đại số tuyến<br /> tính, đa thức và phương trình chứa tham số. Đặc biệt, nó còn là một phần mềm có<br /> hỗ trợ ngôn ngữ lập trình. Với các chức năng đó, nó cho phép chúng ta thực hiện các<br /> tính toán trong hai môn học theo từng bước. Do đó, nếu khai thác tốt những tính<br /> năng của Maple để thiết kế ra các mô-đun tính toán trong môn hình học Affine thì<br /> sinh viên sẽ có thêm phương tiện để kiểm tra lại các bước tính toán nhanh chóng và<br /> chính xác. Khi đó, người học sẽ tranh thủ được thời gian để nghiên cứu các vấn đề<br /> bản chất trong hai môn học hơn. Đồng thời, giảng viên có thể sử dụng chúng để trợ<br /> giúp quá trình giảng dạy của mình. Bài báo của chúng tôi giới thiệu đến bạn đọc<br /> các mô-đun tính toán, được viết trên Maple 13.0, trong môn học nhằm đáp ứng các<br /> mục đích trên.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 12-20<br /> <br /> SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN...<br /> <br /> 13<br /> <br /> 2 GIỚI THIỆU NỘI DUNG CỦA CÁC MÔ-ĐUN TÍNH TOÁN<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Sử dụng các mô-đun<br /> <br /> Các mô-đun tính toán được lập trình trên Maple 13.0 và nén lại thành một tập tin<br /> HHAFFINE.rar lưu trữ tại địa chỉ http://www.mediafire.com/?audd6218jw3q07l.<br /> Sau khi download về và giải nén tập tin, chúng ta sẽ thu được một folder chứa 3<br /> folder con, mỗi folder chứa các mô-đun tính toán có trong một chương tương ứng<br /> của môn hình học Affine. Mở một file bất kì, các bạn sẽ thấy một hoặc vài dòng có<br /> kí tự màu đỏ. Đó là các dữ liệu mà các bạn phải nhập vào để tính toán như: tọa độ<br /> của một điểm, phương trình của m-phẳng hay phương trình của siêu mặt bậc hai,. . .<br /> Sau khi nhập hoàn tất dữ liệu, chúng ta nhấn phím enter và chờ chương trình chạy<br /> ra kết quả của các bước tính toán. Đối với một số file khi các bạn mở không thấy kí<br /> tự nào màu đỏ thì chúng ta chỉ việc nhấn phím enter. Khi đó, chương trình sẽ hiện<br /> lên 1 textbox yêu cầu nhập dữ liệu. Sau khi các dữ liệu được đưa vào, máy tính sẽ<br /> đưa ra kết quả tính toán của các bước trong bài toán.<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Chức năng của các mô-đun<br /> <br /> Folder chuong1 chứa 8 file sau:<br /> - File 1.Muctieu.mw là mô-đun kiểm tra một hệ điểm có phải là mục tiêu Affine<br /> hay không. Chúng ta nhập vào tọa độ của n + 1 điểm dạng vector. Ví dụ, điểm<br /> A1 (1, 2, 3) sẽ được nhập theo cú pháp A[1]:=. Sau khi nhấn phím enter,<br /> −−−→<br /> Maple sẽ tính ra ma trận A = (A1 Ai ), giá trị định thức của A và xác định hệ<br /> điểm đã cho có phải mục tiêu Affine hay không.<br /> - File 2.Hediemdoclap.mw kiểm tra tính độc lập Affine của hệ điểm. Chúng ta<br /> nhập vào số điểm cần kiểm tra (m) và tọa độ của chúng. Maple sẽ tính ra tọa<br /> −−−→<br /> −−−→<br /> độ của m − 1 vector A1 Ai và hạng của ma trận A = (A1 Ai ). Từ đó, nó sẽ đưa<br /> ra kết luận về tính độc lập của hệ điểm đó.<br /> - File 3.Toadodiem.mw xác định tọa độ Affine của một điểm. Nhập vào tọa độ<br /> gốc, các đỉnh của mục tiêu và điểm M cần xác định dưới dạng vector. Maple<br /> sẽ lập ra hệ phương trình xác định tọa độ của điểm M và nghiệm tương ứng.<br /> −−→<br /> - File 4.CTDoimuctieu.mw lập công thức đổi mục tiêu Affine từ {A0 ; A0 Ai } sang<br /> −−→<br /> {B0 ; B0 B i }. Chúng ta nhập vào tọa độ của các điểm trong hai mục tiêu dưới<br /> <br /> 14<br /> <br /> TRẦN LÊ NAM<br /> <br /> dạng vector. Trong trường hợp có một mục tiêu là mục tiêu chính tắc thì chúng<br /> ta nhập vào A[0] :=< 0, 0, . . . , 0 >: và A[i] :=< 0, . . . , 0, 1i , 0, . . . , 0 >: hoặc<br /> B[0] :=< 0, 0, . . . , 0 >: và B[i] :=< 0, . . . , 0, 1i , 0, . . . , 0 >:. Khi đó, Maple sẽ<br /> xác định tọa độ của từng điểm trong mục tiêu 2 đối với mục tiêu 1 và viết ra<br /> công thức đổi mục tiêu cần tìm.<br /> - File 5.PTmphang.mw lập phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng.<br /> Chúng ta nhập vào số điểm mà cái phẳng (α) đi qua (m) và tọa độ của chúng<br /> dưới dạng vector. Khi đó, Maple tính ra ma trận xác định phương của (α).<br /> Sau đó, biến đổi nó về ma trận bậc thang. Từ đó, viết ra phương trình tham<br /> số của (α) và chuyển nó về phương trình tổng quát.<br /> - File 6.Thamsosangtongquat.mw chuyển phương trình tham số của m-phẳng sang<br /> phương trình tổng quát. Nhập vào số chiều (n) của không gian, số chiều (m)<br /> của cái phẳng và phương trình của nó. Chú ý khi nhập phương trình của (α)<br /> chúng ta phải nhập m phương trình độc lập trước. Khi đó, Maple sẽ tính ra<br /> giá trị của các t1 , t2 , . . . , tm và viết ra phương trình tổng quát của cái phẳng.<br /> - File 7.Tongquatsangthamso.mw chuyển phương trình tổng quát của m-phẳng<br /> sang phương trình tham số. Nhập vào số chiều (m) của cái phẳng và phương<br /> trình tổng quát của nó. Khi đó, Maple sẽ chọn ra n − m ẩn tự do làm tham số<br /> và viết ra phương trình tham số của m-phẳng đã nhập.<br /> - File 8.Tamticu.mw xác định tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của một hệ điểm.<br /> Nhập vào số điểm (m) cần xác định tọa độ tâm tỉ cự, tọa độ và tỉ số tương ứng<br /> của chúng. Khi đó, Maple tính ra tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của hệ điểm<br /> đã cho.<br /> Folder chuong2 chứa 5 file gồm:<br /> - File 1.BTAxafin.mw xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine. Nhập vào tọa<br /> độ của các điểm tạo ảnh và tọa độ ảnh tương ứng của chúng. Khi đó, chương<br /> trình sẽ đưa ra 2 cách xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f .<br /> Cách 1. Viết biểu thức tọa độ của f dưới dạng tổng quát, lần lượt thay tọa<br /> độ của cặp điểm tạo ảnh và ảnh vào biểu thức tổng quát. Giải hệ thu được<br /> để xác định các hệ số trong biểu thức. Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu<br /> thức tọa độ của f .<br /> <br /> SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN...<br /> <br /> 15<br /> <br /> Cách 2. Xác định ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên kết f~. Sau đó,<br /> dùng giả thuyết f (A1 ) = A01 để xác định ma trận [a] của biểu thức tọa độ.<br /> Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu thức tọa độ của f .<br /> - File 2.AnhvaTaoanhdiem.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một điểm qua<br /> ánh xạ Affine. Nhập vào tọa độ điểm của A và biểu thức tọa độ của ánh xạ<br /> Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra tọa độ của điểm f (A) và f −1 (A).<br /> - File 3.AnhvaTaoanhvector.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một vector<br /> qua ánh xạ Affine. Nhập vào tọa vector ~v và biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine<br /> f . Khi đó, Maple sẽ tính ra biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f~ liên kết<br /> với f . Từ đó, nó xác định tọa độ của hai vector f~(~v ) và f~−1 (~v ).<br /> - File 4.Diembatdong.mw tìm phương trình xác định tọa điểm bất đông của phép<br /> biến đổi Affine. Nhập vào biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f dưới<br /> dạng danh sách. Ví dụ: bt := {xp[1] = x[1]-2*x[2]+3*x[3]+4, xp[2] = 2*x[1]2*x[2]+3*x[3]+2, xp[3] = x[1]-2*x[2]+5*x[3]-4}:. Khi đó, Maple đưa ra hệ phương<br /> trình xác định tọa độ điểm bất động và biến đổi nó về hệ phương trình tuyến<br /> tính. Cuối cùng, xác định phương trình hoặc tọa độ điểm bất động nếu có.<br /> - File 5.DuongThang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một đường<br /> thẳng qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tham số của đường<br /> thẳng (d) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f . Khi đó, Maple sẽ<br /> tính ra phương trình tham số của hai đường thẳng f (d) và f −1 (d).<br /> Lưu ý: Chúng ta có thể sử dụng hai file AnhvaTaoanhdiem.mw và AnhvaTaoanhvector.mw để tìm phương trình ảnh vào tạo ảnh của một đường thẳng qua<br /> phép biến đổi Affine.<br /> - File 6.Sieuphang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một siêu phẳng<br /> qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tổng quát của siêu thẳng<br /> (α) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra<br /> phương trình tổng quát của hai siêu phẳng f (α) và f −1 (α).<br /> Folder chuong3 gồm 5 file.<br /> - File 1.Phuongtrinhchinhtac.mw xác định phương trình chính tắc của một siêu<br /> mặt Affine bậc hai. Sau khi load file, nhấn phím enter, Maple hiện lên một<br /> textbox yêu cầu nhập vào phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai (S).<br /> <br /> 16<br /> <br /> TRẦN LÊ NAM<br /> <br /> Sau khi nhập hoàn tất và click nút OK, máy tính đưa ra kết quả của các bước<br /> biến đổi phương trình của (S) về dạng chính tắc.<br /> - File 2.TamDiemkidi.mw xác định phương trình m-phẳng tâm và kì dị của một<br /> siêu mặt bậc hai. Tương tự như file trên, chúng ta nhập vào phương trình tổng<br /> quát của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple đưa ra hệ phương trình xác định<br /> tọa độ tâm của nó. Sau đó, xác định hệ phương trình vừa tìm được có nghiệm<br /> hay không. Nếu hệ phương trình có nghiệm thì chương trình tính ra nghiệm<br /> tổng quát của hệ. Cuối cùng, Maple xác định tọa độ các điểm kì dị của (S)<br /> nếu có.<br /> - File 3.Sieuphangkinh.mw xác định phương trình siêu phẳng kính liên hợp của<br /> siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ của vector ~v và phương trình của siêu mặt<br /> bậc hai (S). Khi đó, Maple sẽ đưa ra hai cách xác định phương trình siêu phẳng<br /> (α) liên hợp với phương h~v i của (S).<br /> - File 4.Phuongtiemcan.mw xác định tọa độ phương tiệm cận của siêu mặt bậc<br /> hai Affine. Nhập vào phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple<br /> tìm ra phương trình xác định tọa độ vector chỉ phương tiệm cận ~v của (S).<br /> Sau đó, nó chuyển phương trình vừa thu được về dạng chính tắc và in ra tọa<br /> độ của các vector ~v nếu có.<br /> - File 5.Sieutiepdien.mw xác định tọa độ tiếp điểm và phương trình siêu tiếp diện<br /> của siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ điểm M mà siêu tiếp diện (α) đi qua và<br /> phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple thiết lập phương trình<br /> tổng quát của (α) và đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ tiếp điểm. Cuối<br /> cùng, nó viết ra phương trình tổng quát của (α).<br /> <br /> 2.3<br /> 2.3.1<br /> <br /> Một số ví dụ minh họa<br /> Ví dụ 1 (Tìm công thức đổi mục tiêu Affine).<br /> <br /> Mở file 4.CTDoimuctieu.mw trong Folder chuong1 và nhập vào tọa độ của hai mục<br /> tiêu như sau.<br /> A[0]:= : A[1]:= : A[2]:= : A[3]:= :<br /> B[0]:= : B[1]:= : B[2]:= : B[3]:=:<br /> Khi đó, Maple sẽ tính được.<br /> <br />