Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác thường gặp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác thường gặp" bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương trình lượng giác thường gặp, có đáp án và lời giải chi tiết. Hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích giúp thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Phương trình lượng giác thường gặp

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Loại 1: Phương trình thuần nhất với sin  kx  và cos  kx   Dạng phương trình: a sin  kx   b cos  kx   c .  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2  b 2 , ta được a b c sin  kx   cos  kx   . a b2 2 a b 2 2 a  b2 2 2 2  a   b  a b Do      1 nên đặt  cos    sin  .  a b   a b  a 2  b2 a 2  b2 2 2 2 2 c c Khi đó phương trình trở thành cos  sin x  sin  cos x   sin  x     . a b 2 2 a  b2 2 Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải. c  Điều kiện có nghiệm:  1  a 2  b2  c2 a b 2 2 2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x và cos x  Dạng phương trình: a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos 2 x  0  Cách giải: Thực hiện 2 bước sau - Bước 1: Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm của phương trình hay không. - Bước 2: Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta thu được phương trình a tan 2 x  b tan x  c  0 . Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.  Chú ý: - Với phương trình dạng a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos 2 x  d ta làm như sau: Phương trình  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d.1  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d  sin 2 x  cos 2 x    a  d  sin 2 x  b sin x cos x   c  d  cos 2 x  0 . - Ngoài cách giải trên ta có thể áp dụng công thức góc nhân đôi và công thức hạ bậc đưa về phương trình đã xét ở loại 1. 1  cos 2x 1 1  cos 2x Cụ thể, a.sin 2 x  b.sin x cos x  c.cos 2 x  0  a.  b.sin 2x  c. 0 2 2 2 3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x và cos x  Dạng phương trình: a.sin 3 x  b.sin 2 x.cos x  c.sin x.cos 2 x  d.cos 3 x  0  Cách giải: Thực hiện 2 bước sau Trang 1
- Bước 1: Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm của phương trình hay không. - Bước 2: Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta thu được phương trình a. tan 3 x  b.tan 2 x  c. tan x  d  0 .  Chú ý: Với phương trình đẳng cấp bậc ba khuyết hệ số chẵn (bậc 3-1) thì cách giải hoàn toàn tương tự. sin 3 x sin x 1 1 a.sin 3 x  b.sin x  c.cos x  d.cos 3 x  0  a. 3 b . 2  c. d  0 cos x cos x cos x cos 2 x  a.tan 3 x  b. tan x. 1  tan 2 x   c. 1  tan 2 x   d  0 . 4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x  cos x  Dạng phương trình: a.  sin x  cos x   b.sin x.cos x  c  0    Cách giải: Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x     2  t  2  4 t2 1 1 t2 Lại có t 2  1  2sin x.cos x  sin x.cos x  hoặc sin x.cos x  . 2 2   t Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm được t, suy ra sin  x    x  4 2 5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x  cot x  Dạng phương trình: a  tan 2 x  cot 2 x   b  tanx  cotx   c  0 . 1 2  sin x cos x sin x.cos x sin 2x  Cách giải: Đặt t  tanx  cotx    cos x sin x sin 2 x  cos 2 x cos 2x  sin x.cos x sin 2x Lại có t 2  tan 2 x  cot 2 x  2  tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 Thay vào phương trình ẩn t, tìm được t rồi suy ra x. 6) Loại 6: Một số các phương trình đối xứng tương tự  Dạng phương trình: a  sin 4 x  cos 4 x   b sin 2x  c  0  Dạng phương trình: a  sin 4 x  cos 4 x   b cos 2x  c  0  Dạng phương trình: a  sin 6 x  cos6 x   b sin 2x  c  0  Dạng phương trình: a  sin 6 x  cos 6 x   b cos 2x  c  0  Dạng phương trình: a sin 4 x  b cos 4 x  c.cos 2x  d  0 II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA  Dạng 1: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x Trang 2
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 6 a) cos x  3 sin x  2 b) sin x  cos x  2 Lời giải: 1 3 2   2 a) cos x  3 sin x  2  cos x  sin x   cos  x    2 2 2  3 2     7  x  3  4  k2  x  12  k2    k  Z .  x       k2  x    k2  3 4  12 6 1 1 3   3 b) sin x  cos x   cos x  sin x   cos  x    2 2 2 2  4 2     5  x  4  6  k2  x  12  k2    k  Z  x       k2  x    k2  4 6  12 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) 3 cos 3x  sin 3x  2 b) sin x  cos x  2 sin 5x Lời giải: 3 1 2   2 a) 3 cos 3x  sin 3x  2  cos 3x  sin 3x   cos  3x    2 2 2  6 2     5 2 3x  6  4  k2  x  36  k 3    k  Z 3x       k2  x     k 2  6 4  36 3 1 1   b) sin x  cos x  2 sin 5x  cos x  sin x  sin 5x  sin  x    sin 5x 2 2  4      5x  x  4  k2  x  16  k 2    k  Z 5x    x    2k  x  3  k   4  24 3 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau  a)   3  1 sin x    3  1 cos x  3  1  0 b)  2  3 sin 2x  sin   2x   1  Lời giải: a)   3  1 sin x    3  1 cos x  3  1  0  3  sin x  cos x    sin x  cos x   3  1  0         3 1   6 cos  x    2 sin  x    3  1  0  3 cos  x    sin  x     4  4  4  4 2 Trang 3
   6 2   6 2  cos  x      cos  x     4 6 4  12  4   5    x  12  12  k2  x  3  k2    k  Z  x     5  k2  x     k2  12 12  2   Vậy phương trình có nghiệm x   k2 , x    k2 ,  k  Z  . 3 2     1 b) 3 sin 2x  sin   2x   1  3 sin 2x  cos 2x  1  cos  2x    2   3 2     2x  3  3  k2  x  k    k  Z  2x       k2  x     k   3 3 3  Vậy phương trình có nghiệm x    k , x  k ,  k  Z  3 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau   1 a) 3sin 3x  3 cos 9x  1  4sin 3 3x b) sin 4 x  cos 4  x     4 4 Lời giải: a) 3sin 3x  3 cos 9x  1  4sin 3 3x  3 cos 9x   3sin 3x  4sin 3 x   1      2  9x    k2  x k   1 6 3 54 9  3 cos 9x  sin 9x  1  cos  9x        6 2 9x       k2  x     k 2  6 3  18 9  2  2 Vậy phương trình có nghiệm x  k , x  k ,  k  Z 54 9 18 9   1 1 1 b) Ta có sin 4 x  cos 4  x     sin 4 x   cos x  sin x   4  4 4 4 4 1 1  sin 2 x 1  cos 2 x    1  2sin x cos x  2 4 4 1  sin 2 x 1  cos 2 x   .2sin x cos x  2  2sin x cos x  4  sin 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin x cos x 1  sin x cos x     sin 2 x  sinxcosx  sinx  cos x  sin x   0  2 sin x cos  x    0  4 sin x  0  x  k  x  k       cos  x     0  x      k  x    k   4  4 2  4 Trang 4
 Vậy phương trình có nghiệm x  k , x   k ,  k  Z  4 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) cos 7x  sin 5x  3  cos 5x  sin 7x   b) tan x  3cot x  4 sin x  3 cos x  Lời giải: a) cos 7x  sin 5x  3  cos 5x  sin 7x   cos 7x  3 sin 7x  3 cos 5x  sin 5x      7x  5x   k2  x    k       6 12  2 cos  7x    2 cos  5x       k  Z  3   6    7x  5x   k2 x    k  6  72 6    Vậy phương trình có nghiệm x    k , x   k ,  k  Z 12 72 6 b) Điều kiện: sin x, cos x  0  PT  tan x  3cot x  4 sin x  3 cos x   sin x cos x 3 cos x sin x   4 sin x  3 cos x  0  sin 2 x  3cos 2 x    sin x cos x     4 sin x  3 cos x  0  sin x  3 cos x   sinsinx x cos 3 cos x x  4   0          2 sin  x    4sin x cos x cos  x   sin  x    sin 2x     3  6   3  0  2 cos  x   0  6  sin x cos x sin x cos x       x    k  x   k    6 2 3  cos  x  6   0          2x  x   k2   x    k2 (thỏa mãn)     3  3 sin  x    sin 2x  0     3  2x    x    k2  x  4  k 2  3  9 3   4 2 Vậy phương trình có nghiệm x   k , x    k2 , x  k ,  k  Z . 3 3 9 3 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau 3 1  cos 2x  1 a)  cos x b) sin 2x  sin 2 x  2 sin x 2 Lời giải: a) Điều kiện: sin x  0 3 1  cos 2x  PT   cos x  3  3 cos 2x  2sin x cos x  sin 2x  3 cos 2x  3 2 sin x     2x    k2  x  k   3 6 6  cos  2x       k  Z  6 2  2x       k2  x     k   6 6 6 Trang 5
 Vậy phương trình có nghiệm x  k , x    k ,  k  Z  6 1 1 1 1 b) sin 2x  sin 2 x   sin 2x  1  2sin 2 x   sin 2x  cos 2x   sin 2x  cos 2x  0 2 2 2 2 1 1      sin 2x  2 cos 2x  0  cos  2x     0  2x     k  x    k 5 5 2 4 2 2 2 2 1 1    ( Với sin   , cos   2 ). Vậy phương trình có nghiệm x    k  k  Z 5 5 4 2 2 2 2 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 1  2 6  a) cos x  3 sin x  b) cos 7x  3 sin 7x  2  0, x   ;  cos x  5 7  Lời giải: a) ĐKXĐ: cos x  0 cos x  3 sin x  1 cos x  cos 2 x  1  3 sin x  0  3 sin x  sin 2 x  0  sin x   3  sin x  0  sin x  0  x  k  k  Z  Vậy phương trình có nghiệm k ,  k  Z    3  5  x   k2  x  k2    2 3 4 12 b) cos 7x  3 sin 7x  2  0  cos  x        3 2  x     3  k2  x   13  k2  3 4  12  2  6   5  5 Do x   ;   x    . Vậy x  là nghiệm cần tìm.  5 7   12  12 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau 6 a) 2 sin15x  3 cos 5x  sin 5x  0 b) sin x  3 cos x  4 sin x  3 cos x  1 Lời giải: 3 1   a) PT  cos 5x  sin 5x   sin15x  sin   5x   sin  15x  2 2  3     k  3  5x  15x  k2 x   60 10      5x    15x  k2 x   k   3  15 5  k  k Vậy nghiệm của PT là: x   , x  ,  k  Z 60 10 15 5 Trang 6
  b) Đặt t  sin x  3 cos x  2sin  x    t   2; 2 , t  1 ta có  3 6 t  1 PT  t   4  t 2  t  6  4t  4  t 2  3t  2  0    tm  t 1 t  2       x    k2 x   k2    1 3 6 6 + Với t  1  sin  x        3 2  x    5  k2 x    k2  3 6  2      + Với t  2  sin  x    1  x    k2  x   k2  3 3 2 6   Vậy PT có nghiệm là: x    k2, x   k2  k  Z  6 2 Ví dụ 9. Giải các phương trình sau 3 cos x  2sin x.cos x a) 3 sin x  cos x  b)  3 3 sin x  cos x  1 2 cos 2 x  sinx  1 Lời giải:   a) Đặt t  3 sin x  cos x  2sin  x    t  1, t   2; 2 ta có:  6  1  13 t   tm    1  13 3  2  PT  t   t  t 3 0  2  sin  x    t 1  1  13  6 4 t   2  loai   2   1  13  x    arcsin  k2 6 4   k  Z  5 1  13 x   arcsin  k2  6 4 sin x  1 b) ĐK: 2 cos x  sinx  1  2 sin x  sinx  1  0   2 2 1 sin x   2 Với điều kiện trên PT  cos x  sin 2x  3  cos 2x  sin x   cos x  3 sin x  sin 2x  3 cos 2x       2  cos  x    cos  2x    x   k2, x  k  3  6 2 18 3  2 Kết hợp điều kiện: Vậy PT có nghiệm là: x  k  k  Z 18 3 Ví dụ 10. Giải các phương trình sau 1  cos x  cos 2x  cos 3x 2 a) 2 cos 2 x  cos x  1 3   3  3 sin x  b) cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  4  0 Lời giải: Trang 7
1 a) ĐK: cos x  1, cos x  . Với ĐK trên: 2 1  cos 2x    cos x  cos 3x   2 PT  cos 2x  cos x 3 3  3 sin x  2 cos 2 x  2 cos 2x.cos x 2 2 cos x  cos x  cos 2x  2  cos 2x  cos x   3  3 sin x  3  cos x  cos 2x  3  3 sin x 3    x  k2     3 cos x  sin x  3  sin  x    sin    3 3  x    k2  loai   3 Vậy nghiệm của PT là x  k2  k  Z  .         b) PT  cos  2x    sin  x    2  0  1  2 sin 2  x    sin  x    2  0  3  6  6  6         2 sin 2  x    sin  x    3  0  sin  x    1  x   k2  6  6  6 3  Vậy x   k2  k  Z  3 Ví dụ 11. Giải các phương trình sau a) sin 8x  cos 6x  3  sin 6x  cos8x  b) 2sin 2 x  3 sin 2x  3 Lời giải:     a) PT  sin 8x  3cox8x  3 sin 6x  cos 6x  sin  8x    sin  6x    3  6      8x  3  6x  6  k2  x  4  k   8x      6x    k2  x    k  3 6  12 7   k Vậy nghiệm của PT là: x   k , x    k  Z . 4 12 7   b) PT   2 sin 2 x  1  3 sin 2x  2  3 sin 2x  cos 2x  2  sin  2x    1  6     2x    k2  x   k 6 2 3  Vậy nghiệm của PT là: x   k  k  Z  3 Ví dụ 12. Giải các phương trình sau 3 1   a) 8 cos x   b) 3 cos 2x  sin 2x  2 sin  2x    2 2 sin x cos x  6 Lời giải: a) Đk: sin 2x  0 . Khi đó: PT  8cos x.sin x.cos x  sin x  3 cos x Trang 8
 4 cos x.sin 2x  sin x  3 cos x  2  sin 3x  sin x   sin x  3 cos x  2  3x  x   k2  2  3  2sin 3x   sin x  3 cos x  sin 3x  sin  x      3  3x    x  k2  3    x  3  k   tm   x    k  12 2   k Vậy nghiệm của PT là: x   k , x   ,  k  Z . 3 12 2         b) PT  2 cos  2x    2sin  2x    2 2  cos  2x     cos  6  6  6 4 4  5     2x  12  4  k2  x  3  k    k  Z  2x       k2  x     k  12 4  12 Ví dụ 13. Giải các phương trình sau a) 3  sin 2x  sin x   cos 2x  cos x  2 b) 8sin 2 2x.cos 2x  3 sin 2x  cos 2x Lời giải:     a) PT  3 sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  2  cos  2x    sin  x    1  3  6      sin  x  6   0 x   k 2       6  1  2sin  x    sin  x    1    6  6    1 x   sin  x     k2, x    k2   6  2  3   Vậy PT có nghiệm là: x   k , x   k2 , x    k2  k  Z  6 3 b) PT  4 sin 2x sin 4x  3 sin 2x  cos 2x  2  cos 2x  cos 6x   3 sin 2x  cos 2x    6x  2x   k2   3   3 sin 2x  cos 2x  2 cos 6x  cos  2x    cos 6x    3  6x  2x    k2  3   k  x  12  2   x    k  24 4  k  k Vậy nghiệm của PT là: x   , x   k  Z 12 2 24 4 Trang 9
 Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2sin 2 x  sin x.cos x  3cos 2 x  0 b) 2sin 2 x  3sin x.cos x  cos 2 x  0 Lời giải: a) PT   2 sin 2 x  2 sin x.cos x    3sin x.cos x  3cos 2 x   0  2sin x  sin x  cos x   3cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  2 sin x  3cos x   0    tanx  1  x   k  sin x  cos x 4   3    k  Z  2 sin x  3cos x  tanx   x  arctan  3   k  2     2  b) PT   2sin 2 x  2sin x.cos x    sin x.cos x  cos 2 x   0  2 sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  2sin x  cos x   0    tan x  1  x   k sin x  cos x 4   1   k  Z  2 sin x  cos x  tanx   x  arctan  1   k  2    2 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) sin 2 x  10 sin x.cos x  21cos 2 x  0 b) 2sin 2 x  5sin x.cos x  3cos 2 x  0 Lời giải: a) PT   sin 2 x  3sin x.cos x    7 sin x.cos x  21cos 2 x   0  sin x  sin x  3cos x   7 cos x  sin x  3cos x   0   sin x  3cos x  sin x  7 cos x   0 sin x  3cos x  tan x  3  x  arctan  3  k     k  Z  2sin x  7 cos x  tan x  7  x  arctan  7   k b) PT   2sin 2 x  2sin x.cos x    3sin x.cos x  3cos 2 x   0  2sin x  sin x  cos x   3cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  2sin x  3cos x   0    tan x  1  x   k sin x  cos x 4   3   k  Z  2 sin x  3cos x  tan x   x  arctan  3   k  2    2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau   a) sin 2 x  1  3 sinx.cos x  3 cos 2 x  0 b) 3sin 2 x  4sin 2x  4 cos 2 x  0 Lời giải: a) PT   sin 2 x  sin x.cos x     3 sin x.cos x  3 cos 2 x  0 Trang 10
  sin x  sin x  cos x   3 cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  sin x  3 cos x  0    x    k sin x   cos x  tanx  1  4     k  Z  (Do cos x  0 không là nghiệm). sin x  3 cos x  tanx  3   x   k  3 b) Phương trình đã cho tương đương với 3sin 2 x  8sin x cos x  4 cos 2 x  0   3sin 2 x  6sinx .cosx    2 sin x.cos x  4 cos 2 x   0  3sin x  sin x  cos x   2 cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  3sin x  2 cos x   0    tan x  1  x    k sin x   cos x 4   2  k  Z 3sin x  2 cos x  tan x    x  arctan   2   k  3     3 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau   a) 3sin 2 x  8sin x.cos x  8 3  9 cos 2 x  0 b) 3sin 2 x  4 sin x.cos x  5cos 2 x  2 Lời giải:  a) PT   3sin 2 x  9 cos 2 x   8sin x.cos x  8 3 cos 2 x  0       3 sin x  3 cos x sin x  3 cos x  8cos x sin x  3 cos x  0    sin x  3 cos x   3sin x   3 3  8  cos x   0   sin x   3 cos x  tanx   3  x   3  k     k  Z   3sin x  3 3  8 cos x  tanx  3  8  3  x  arctan  3  8   k     3 ( Do cos x  0 không là nghiệm) b) PT  3sin 2 x  4sin x.cos x  5cos 2 x  2  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  4sin x.cos x  3cos 2 x  0   sin 2 x  sin x.cos x    3sin x.cos x  3cos 2 x   0  sin x  sin x  cos x   3cos x  sin x  cos x   0   sin x  cos x  sin x  3cos x   0   sin x  cos x  tanx  1  x   k     4  k  Z sin x  3cos x  tanx  3  x  arctan  3  k Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) 4sin 2 x  3 3 sin x.cos x  2 cos 2 x  4 b) cos 2 x  3 sin 2x  1  sin 2 x Lời giải: a) PT  4sin 2 x  3 3 sin x.cos x  2 cos 2 x  4  sin 2 x  cos 2 x   3 sin x.cos x  2 cos 2 x  0 Trang 11
   x   k  cos x  0 2    k  Z  3 sin x  2 cos x  x  arctan  2   k      3 sin x  0 b) PT  cos 2 x  3 sin 2x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x   3 sin x.cos x  sin 2 x   sin x   3 cos x  x  k  x  k   k  Z      tan x   3 x    k  3 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau 1 a) 4sin x  6 cos x  cos x    3  b) 4 sin x.cos   x   4sin 2  x     2 sin   x  cos    x   1 2   2  Lời giải: a) ĐK: cos x  0 PT  4 sin x.cos x  6 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  4sin x.cos x  5 cos 2 x  0    tanx  1  x    k   sin x  cos x  sin x  5 cos x   0    4 k  Z  tanx  5   x  arctan  5   k b) PT  4sin 2 x  4sin 2 x  2   cos x   cos x   sin 2 x  cos 2 x  7 sin 2 x  cos 2 x  0  VN  Ví dụ 7. Giải các phương trình sau a) sin x  4 sin 3 x  cos x  0 b) 2sin 3 x  cos x Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương với  sinx  cosx   sin 2 x  cos 2 x   4sin 3 x  0  3sin 3 x  cos3 x  sin x.cos 2 x  sin 2 x.cos x  0   sin x  cos x   3sin 2 x  2sin x.cos x  cos 2 x   0 sin x  cos x   2sin x   sin x  2sin x.cos x  cos x   0  2sin x   sinx  cosx   0  L  2 2 2 2 2   tanx  1  x   k  k  Z  4 b) PT  2 sin 3 x  cos x  sin 2 x  cos 2 x   2sin 3 x  sin 2 x.cos x  cos 3 x  0    sin x  cos x   sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x   0  sin x  cos x  0  x   k  k  Z  4 (Do sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x  0 ) Ví dụ 8. Giải các phương trình sau Trang 12
a) 2 cos3 x  sin 3x b) 4 cos3 x  2sin 3 x  3sin x  0 Lời giải: a) Ta có 2 cos3 x  sin 3x  2 cos3 x  sin x.cos 2x  cos x.sin 2x  sin x  cos 2 x  sin 2 x   2cos 2 x  sin x  cos x   0   cos x  sin x   sin 2 x  sin x.cos x  2 cos 2 x   0    cos x  sin x   sin x  2 cos x   0 2    1 2     cos 2  x    sin x  cos x   0  cos 2  x   cos  x     0  4  5 5   4       cos x    0 x  4  k   4   k  Z x    cos  x     0    k  2   Vậy phương trình có họ nghiệm: x     k , x   k ,  k  Z  2 4 b) 4 cos3 x  2 sin 3 x  3sin x  0  4 cos x  4 cos x.sin 2 x  2sin x  2 sin x.cos 2 x  3sin x  0  4 cos x  sin x  4 cos x.sin 2 x  2sin x.cos 2 x  0   cos x  sin x   4cos x.sin x  sin x  cos x   3cos x 1  2sin x.cos x   0   cos x  sin x  1  sin x.cos x  3cos 2 x   0   cos x  sin x   4 cos 2 x  sin x.cos x  sin 2 x   0     cos x  sin x  0  2 cos  x    0  x   k  k  Z   4 4 Ví dụ 9. Giải các phương trình sau a) sin x.sin 2x  sin 3x  6 cos 3 x b) cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x Lời giải: a) sin x.sin 2x  sin 3x  6 cos3 x  2 sin 2 x cos x  3sin x  4 sin 3 x  6 cos x 1  sin 2 x   8sin 2 x.cos x  6 cos x  4sin 3 x  3sin x  0   2 cos x  sin x   4sin 2 x  3  0  2 1   cos x  sin x   1  2 cos 2x   0  cos  x   1  2 cos 2x   0  5 5     cos  x     0  x  2    k 2 1    k  Z  với cos   , sin    cos 2x   1  x     k 5 5  2  3   Vậy phương trình có họ nghiệm x     k , x    k ,  k  Z  2 3 b) cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x   cos x  sin x   cos 2 x  sin x.cos x  sin 2 x   cos x  sin x   cos x  sin x 1  sin x.cos x   cos x  sin x  sin x.cos 2 x  sin x 1  sin x.cos x   sin x Trang 13
 sin x  2  sin x.cos x  cos 2 x   0  sin x  2sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x   0  sin x  0  x  k  k  Z  Vậy phương trình có họ nghiệm x  k  k  Z  Ví dụ 10. Giải các phương trình sau a) 6sinx  2 cos3 x  5sin 2x.cos x b) cos3 x  sin x  3sin 2 x.cos x  0 Lời giải: a) 6sinx  2 cos3 x  5sin 2x.cos x  cos3 x  5sin x.cos 2 x  3sin x  0  cos x 1  sin 2 x   5sin x.cos 2 x  3sin x  0  cos x  sin x  cos x.sin 2 x  sin x.cos 2 x  4sin x.cos 2 x  2sin x  0   cos x  sin x  1  3cos x.sin x  2sin 2 x   0   cos x  sin x   cos 2 x  3sin x.cos x  3sin 2 x   0     cos x  sin x  0  2 cos  x    0  x   k  k  Z   4 4  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k  k  Z  4 b) cos3 x  sin x  3sin 2 x.cos x  0  cos x  cos 2 x  sin 2 x   sin x  2sin x.cos x  1  0  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x  sin x   0 2   cos x  sin x   cos 2 x  sin x.cos x  sin x.cos x  sin 2 x   0     cos x  sin x  0  2 cos  x    0  x   k  k  Z   4 4  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k  k  Z  . 4 Ví dụ 11. Giải các phương trình sau a) cos3 x  4sin 3 x  3cos x.sin 2 x  sin x  0 b) 4sin 3 x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0 Lời giải: a) cos3 x  4 sin 3 x  3cos x.sin 2 x  sin x  0  cos x  3sin x  4 sin x.cos 2 x  4 sin 2 x.cos x  0  3cos x  3sin x  4sin x.cos x  sin x  cos x   8sin 2 x.cos x  4 cos x  0     sin x  cos x   3  4 cos 2 x   0  2 cos  x    2 cos 2x  1  0  4     3  cos  x  4   0  x  k   4     k  Z  1  x     k  cos 2x  2  6 3  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , x    k ,  k  Z  4 6 b) 4sin 3 x  3cos 3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0  4sin x 1  cos 2 x   3cos x 1  sin 2 x   3sin x  sin 2 x.cos x  0 Trang 14
 sin x  4 sin x.cos 2 x  3cos x  4 sin 2 x.cos x  0   sin x  cos x   4sin x cos x  sin x  cos x   8sin 2 x cos x  4 cos x  0     sin x  cos x  1  4 cos 2 x   0  2 cos  x    2 cos 2x  1  0  4       cos  x  4   0  x  4  k       k  Z  1  x     k  cos 2x   2  3   Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , x    k  k  Z  . 4 3 Ví dụ 12. Giải các phương trình sau 3 1 a) tan x.sin 2 x  2sin 2 x  3  cos 2x  sin x cos x  b) 2sin x  2 3 cos x   cos x sin x Lời giải: a) Điều kiện: cos x  0 tan x.sin 2 x  2 sin 2 x  3  cos 2x  sin x.cos x   sin 3 x  2 sin 2 x.cos x  3sin x.cos 2 x  3cos x  cos 2 x  sin 2 x   0  sin 3 x  sin 2 x.cos x  3sin 2 x.cos x  3sin x.cos 2 x  3cos x  cos 2 x  sin 2 x   0     sin x  cos x   sin 2 x  3cos 2 x   0   2 cos  x    2 cos 2x  1  0  4     3 cos  x  4   0  x  4  k       k  Z  (thỏa mãn)  1  x     k cos 2x   2  3 3  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , x    k ,  k  Z  4 3 3 1 b) 2 sin x  2 3 cos x    sin x, cos x  0  cos x sin x    2sin x.cos x sin x  3 cos x  3 sin x  cos x  2sin 2 x.cos x  2 3 sin x.cos 2 x  3 sin x  cos x  0   cos  2 sin 2 x  1  3 sin x  2 cos 2 x  1  0  cos 2x  cos x  3 sin x  0     cos 2x  0 x  k    4 2  cos 2x.cos  x    0  cos  x     0   k  Z  (thỏa mãn)  6 x     6  k  3    Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , x   k ,  k  Z  4 2 3 Ví dụ 13. Giải các phương trình sau Trang 15
a) 4 sin 3 x.cos 3x  4cos3 x.sin 3x  3 3 cos 4x  3 b) sin 3 x cos 3x  cos 3 x.sin 3x  sin 3 4x Lời giải: a) 4sin x.cos 3x  4 cos x.sin 3x  3 3 cos 4x  3 3 3  4sin 3 x.cos x  4 cos 2 x  3  4 cos3 x.sin x  3  4sin 2 x   3 3 cos 4x  3  12 sin x.cos x   sin 2 x  cos 2 x   3 3 cos 4x  3  2sin 2x.cos 2x  3 cos 4x  1     x k    1 24 2  sin 4x  3 cos 4x  1  cos  4x      k  Z  6  2 x    k    8 2     Vậy phương trình có họ nghiệm x   k ; x    k  k  Z 24 2 8 2 b) Ta có sin 3 x cos 3x  cos3 x.sin 3x  sin 3 4x  sin 3 x.cos x  4 cos 2 x  3   cos3 x.sin x  3  4sin 2 x   sin 3 4x 3  3  3sin x.cos x   sin 2 x  cos 2 x   4sin 3 4x  sin 4x  4 sin 3 4x  2 sin 4x  2 sin 2 x    0 2  4   sin 4x  0 x  k 4 1   2sin 4x   cos 2x   0     k  Z 4   cos 2x  1  x   1 arccos 1  k  4  2 4  1 1 Vậy phương trình có họ nghiệm x  k , x   arccos  k ,  k  Z  4 2 4  Dạng 3: Phương trình đối xứng Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2  sin x  cos x   sin 2x  1  0 b) sin x.cos x  6  sin x  cos x  1 Lời giải: a) 2  sin x  cos x   sin 2x  1  0  2  sin x  cos x   2 sin x.cos x  sin 2 x  cos 2 x  0     sin x  cos x  sin x  cos x  2   0  2 cos  x   .  sin x  cos x  2   0  4     3   cos  x    0 4   x  4  k  k  Z     sin x  cos x  2 sin x  cos x  1  do sin x  1, cos x  1 3 Vậy phương trình có họ nghiệm x   k  k  Z  4 b) sin x.cos x  6  sin x  cos x  1  2sin x.cos x  1  12  sin x  cos x   13   cos x  sin x   12  cos x  sin x   13  0 2 Trang 16
   cos x  sin x  1    1 x   k2   cos  x     2  k  Z  cos x  sin x  13  loai   4 2   x    k2  Vậy phương trình có họ nghiệm x    k2 , x   k2 ,  k  Z  2 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau   a) sin 2x  2 sin  x    1 b) tan x  2 2 sin x  1  4 Lời giải:     a) sin 2x  2 sin  x    1   sin x  cos x   2 sin  x    0 2  4  4            2sin 2  x    2 sin  x    0  2 sin  x    2 sin  x    1  0  4  4  4   4        x   k sin   x    0 4  4     x    2k  k  Z     1  sin  x      x   2k   4 2  2   Vậy phương trình có họ nghiệm x   k , x   2k , x    2k  k  Z  . 4 2 b) ĐK: cos x  0 sin x Ta có: tan x  2 2 sin x  1   2 2 sin x  1  sin x  2 2 sin x.cos x  cos x  0 cos x      sin x  cos x  2  sin x  cos x   1  0  2 2 cos 2  x    2 cos  x    2  0 2    4  4    x    k2    4  cos  x  4   1            5  2  cos  x    1  2 cos  x    1  0    x   k2  k  Z    4    4     1  12  cos  x        4 2  x  11  k2  12  5 11 Vậy phương trình có họ nghiệm x    k2 , x   k2 , x   k2  k  Z  4 12 12 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1 1 1 a) 1  tan x  2sin x  b) sin x  cos x   cos x tan x cot x Lời giải: a) ĐK: cos x  0 1 1  tan x  2 sin x   cos x  sin x  2sin x.cos x  1 cos x Trang 17
  cos x  sin x    cos x  sin x   2  0 2     cos  x    2  loai     cos x  sin x  2  4  x  2  k2  k  Z      cos x  sin x  1     1   cos  x     x    k2   4 2  Vậy phương trình có họ nghiệm x    k2 , x   k2 ,  k  Z  2 b) ĐK: sin x, cos x  0 1 1 Ta có: sin x  cos x     sin x  cos x  sin x.cos x  sin 2 x  cos 2 x tan x cot x sin x  cos x  0   sin x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x   0   sin x.cos x  sin x  cos x  0     Xét sin x  cos x  0  2 sin  x    0  x    k  4 4      Xét sin x.cos x  sin x  cos x  0 . Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x    4  4 Khi đó t 2  1  2sin x.cos x  phương trình có dạng: 1  t 2   2t  0  t  1  2    1  2 Đối chiếu điều kiện t  2  t  1  2  sin  x     sin   4 2      x  4    k2 x  4    k2     x        k2 x  5    k2  4  4 Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví dụ 4. Giải các phương trình sau 1 1 10 a) sin x   cos x   b) 2sin x  cot x  2sin 2x  1 sin x cos x 3 Lời giải: a) ĐK: sin x.cos x  0 1 1 10 sin x  cos x 10 sin x   cos x     sin x  cos x    sin x cos x 3 sin x.cos x 3  3  sin x  cos x  sin x.cos x  1  10sin x.cos x  0 3  sin x  cos x   sin x  cos x   1  5  sin x  cos x   5  0 2 2  2  3  sin x  cos x   10  sin x  cos x   3  cos x  sin x   10  0 3 2   sin x  cos x  2  3  sin x  cos x   4  sin x  cos x   5   0 2   Trang 18
 2  19    sin x  cos x  2 loai do sin x  cos x  2    sin x  cos x  3 1 3 sin x  cos x 2  4 sin x  cos x  5  0       sin x  cos x  2  19  3     2  19  cos  x     1  loai    4 3 2 2  19    x   arccos   k2  k  Z  (thỏa mãn)     2  19 3 2 4  cos  x      4 3 2 2  19  Vậy phương trình có họ nghiệm x   arccos   k2  k  Z  3 2 4 b) ĐK: sin x  0 cos x 2 sin x  cot x  2sin 2x  1  2 sin x   4 sin x.cos x  10  0 sin x  2sin 2 x  cos x  4sin 2 x.cos x  sin x  0   2sin x  1 sin x  2sin x.cos x  cos x   0   2sin x  1 1  2sin x.cos x   cos x  sin x   1  0   2sin x  1  cos x  sin x    cos x  sin x   1  0 2           2sin x  1  2 cos 2  x    2 cos  x    1  0   4  4   1   sin x   x   k2  2 6     10  2 5   cos  x     1 loai    x   k2  k  Z   4 4  6     10  2   10  2    cos  x     x   arccos 4   k2 4   4 4 Vậy phương trình có họ nghiệm  5  10  2  x  k2 , x   k2 , x   arccos   k2  k  Z 6 6 4 4 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) sin 3 x  cos 3 x  2 sin x.cos x  sin x  cos x b) 1  sin 3 x  cos 3 x  sin 2x Lời giải: a) Phương trình đã cho tương đương với sin 3 x  cos 3 x  2sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x.cos x   sin x  cos x  2sin x.cos x  2sin x.cos x  sin x.cos x  sin x  cos x   0  sin x.cos x  sin x  cos x  2   0     sin 2 x  0 do sin x  cosx   2  x  k 2  k  Z  Vậy phương trình có họ nghiệm x  k  k  Z 2 Trang 19
b) 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2x   cos x  sin x 1  sin x.cos x   1  2sin x.cos x  0  cos x  sin x 1  sin x.cos x    cos x  sin x   0   cos x  sin x 1  sin x.cos x  cos x  sin x   0 2       cos  x  4   0 1  cos  x   1  sin x.cos x  cos x  sin x   0      4 1  sin x.cos x  cos x  sin x   0  2   Giải (1)  x   k  k  Z  4 Giải (2)  3  1  2 sin x.cos x  2  cos x  sin x   0  3   cos x  sin x   2  cos x  sin x   0 2  x  k2  cos x  sin x  1   1   cos  x       k  Z  cos x  sin x   3  loai do cos x  sin x  2   4  2  x    k2  2   Vậy phương trình có họ nghiệm x  k2 , x   k , x    k2  k  Z  4 2 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) 2  sin x  cos x   tan x  cot x b) 1  sin x 1  cos x   2 Lời giải: a) ĐK: sin x cos x  0 sin 2 x  cos 2 x 2  sin x  cos x   tan x  cot x  2  sin x  cos x   sin x cos x  2 sin x cos x  sin x  cos x   1   sin x  cos x   1  sin x  cos x   2 2     sin x  cos x    sin x  cos x   2  0 3     sin x  cos x  2  sin x  cos x   2  sin x  cos x   1  0 2       sin x  cos x  2  cos  x    1  x   k2  x   k2  k  Z   4 4 4  Vậy phương trình có họ nghiệm x   k2  k  Z  4 b) 1  sin x 1  cos x   2  sin x  cos x  sin x cos x  1  0  2  sin x  cos x   2 sin x cos x  1  3  0      2  sin x  cos x    sin x  cos x   3  0  2 cos 2  x    2 2 cos  x    3  0 2  4  4    2  cos  x     x  k2   4 2    k  Z    3 2  x     k2  cos  x      0  loai   2   4 2 Trang 20