Tài liệu toán " Bất phương trình chứa căn "
lượt xem 179
download
Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " bất phương trình chứa căn "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tài liệu toán " Bất phương trình chứa căn "
- E. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN. ⇔ (x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 3) ≥ 2 (x − 1)(x − 4) (*) ⇔ x − 2 + x − 3 ≥ 2 x − 4 (3) (chia 2 veá cho x −1 > 0 ) I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. vì x ≥ 4 ⇒ x −2 > x −4 ≥ 0 ⇔ x −2 > x − 4⎫ ⎪ 1. Daïng cô baûn: ⎬⇒ x−2 + x−3 >2 x−4 x −3> x−4≥ 0 ⇔ x−3 > x−4 ⎪ ⎭ ⎧A ≥ 0 . A< B⇔⎨ ⇒ x ≥ 4 laø nghieäm cuûa (3) ⇒ x ≥ 4 laø nghieäm cuûa (2). ⎩A < B * x = 1: (2) thoûa. ⎧A ≥ 0 ⎪ * x < 1: (*) ⇔ 2 − x + 3 − x ≥ 2 4 − x (4) . A < B ⇔ ⎨B > 0 (chia 2 veá (*) cho 1 − x > 0 ) ⎪ 2 ⎩A < B Vôùi x < 1 ⇒ ⎧A ≥ 0 ⎪B ≥ 0 ⎧ 0 < 2−x < 4−x ⇒ 2−x < 4−x⎫ ⎪ . A > B⇔⎨ ∨⎨ 2 ⎬⇒ 2−x + 3−x < 2 4−x ⎩B < 0 ⎪A > B ⎩ 0 b2 Giaûi + Vôùi moïi a, b ∈ R , ta coù: a > b ⇔ a3 > b3 ⎧x ≥ 0 x − x −1 > a Ñieàu kieän ⎨ ⇔ x ≥1 ⎩x − 1 ≥ 0 II. CAÙC VÍ DUÏ. 1 1 Ñaët y = x − x − 1 ⇒ y' = − < 0, ∀x > 1 Ví duï 1: 2 x 2 x −1 Giaûi baát phöông trình: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 3 x 2 − 5x + 4 BBT: (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997). Giaûi ⎧x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⎧x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ Ñieàu kieän ⎨x − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ ⎨x ≤ 1 ∨ x ≥ 3 ⇔ x ≤ 4 ∨ x ≥ 4 (1) ⎪ 2 ⎪x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 ⎪x − 5x + 4 ≥ 0 ⎩ ⎩ 1 2 2 2 Vì lim y x →+∞ = lim x →+∞ ( x − x − 1) = lim x →+∞ =0 *x ≥ 4 : Ta coù: x − 3x + 2 + x − 4x + 3 ≥ 2 x − 5x + 4 (2) x + x −1 158 159
- Döïa vaøo BBT ñeå baát phöông trình: x − x − 1 > a coù nghieäm ⇔ x − 3 < x − 1 + x − 2 + 2 (x − 1)(x − 2) ⇔ 0 < a 0: (**) ⇔ x(x 2 + 2) ≤ x 2 + 2 6 5 ⇔ x 2 (x 2 + 2)2 ≤ x 2 + 2 ⇔ x 2 (x 2 + 2) ≤ 1 (5) vaø (6) ⇒ x ≤ − 6 ⇔ x 4 + 2x 2 − 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x 2 ≤ 2 − 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 −1 5 Toùm laïi, nghieäm cuûa baát phöông trình laø: x ≤ − ∨ x ≥ 3 Vaäy nghieäm : 0 ≤ x ≤ 2 −1 6 Ví duï 4: 2. Xaùc ñònh m ñeå baát phöông trình cho thoûa ∀x ∈ [ 0,1] Giaûi baát phöông trình: (*) ⇔ m ≤ −(x 2 + 1)2 + x x 2 + 2 + 4 x − 3 − x − 1 < x − 2 (1) (Tröôøng TH Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997). ⇔ m ≤ − x 4 − 2x 2 + x x 2 + 2 + 3 Giaûi ⇔ m ≤ − x 2 (x 2 + 2) + x x 2 + 2 + 3 (**) ⎧x − 3 ≥ 0 ⎪ Ñaët t = x x 2 + 2 vôùi 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 Ñieàu kieän ⎨x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ⎪x − 2 ≥ 0 (**) ⇔ m ≤ − t 2 + t + 3 (***) ⎩ 1 (1) ⇔ x − 3 < x − 1 + x − 2 Ñaët f(t) = − t 2 + t + 3, t ∈ ⎡ 0, 3 ⎤ ; ⇒ f '(t) = −2t + 1, f '(t) = 0 ⇔ t = ⎣ ⎦ 2 160 161
- BBT: HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT 4.1. 1. mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) Vôùi m = 1: (1) ⇔ x − x − 3 ≤ 2 ⎧x − 2 ≤ x − 3 ⎪ ⎧x 2 − 5x + 7 ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ VN ⎪x ≥ 3 ⎩ ⎪x ≥ 3 ⎩ (*) ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] thì (****) ñuùng ∀t ∈ ⎡ 0, 3 ⎤ ⇔ m ≤ 3 . ⎣ ⎦ 2. (1) ⇔ mx − m − 1 ≤ x − 3 III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. Ñaët y = f(x) = mx − m − 1 4.1. Cho baát phöông trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 laø ñöôøng thaúng (∆) 1. Giaûi baát phöông trình vôùi m = 1 2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình coù nghieäm. quay quanh (ÑH HUØNG VÖÔNG KHOÁI A naêm 1999). ñieåm I (1, -1). Veõ ñoà thò haøm y = x −3 4.2. Giaûi baát phöông trình: x(x − 4) − x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2 x =3⇒ y = 0 (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1999 Ñôït 1 Khoái D). x = 4 ⇒ y =1 x =7⇒y=2 4.3. Ñònh m ñeå baát phöông trình: 2x 2 + 1 < m − x coù nghieäm (1) ⇒ ñoà thò (C) cuûa y = x − 3 nhö hình veõ. Khi ñöôøng thaúng (∆) : y = mx - m - 1 tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) phöông 4.4. Ñònh m ñeå baát phöông trình: −4 (4 − x)(2 + x) ≤ x 2 − 2x + m − 18 trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (∆) vaø (C). nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ [ −2,4 ] . ⎧x ≥ 3 ⎪ mx − m − 1 = x − 3 ⇔ ⎨ 2 ⎪(mx − m − 1) = x − 3 ⎩ 4.5. Giaûi baát phöông trình: x + 2 − 3 − x < 5 − 2x (ÑH THUÛY LÔÏI naêm 2001). ⎧x ≥ 3 ⎪ ⇔⎨ 2 2 2 2 ⎪ m x − (2m + 2m + 1)x + m + 2m + 4 = 0 ⎩ 1 2 1 ∆ = (2m 2 + 2m + 1)2 − 4m 2 (m 2 + 2m + 4) 4.6. Giaûi baát phöông trình: x+ 2 + x− 2 ≥ x x x = 8m 2 − 4m − 1 (ÑH AN GIANG - KHOÁI A naêm 2001). 1+ 3 Khi (∆ ) tieáp xuùc vôùi (C) ⇔ ∆ = 0 ⇔ m = (m > 0) 4 4.7. Giaûi baát phöông trình: x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x (ÑH Ngoaïi Thöông Khoái A naêm 2001) 1+ 3 ⇒ heä soá goùc cuûa (∆1 ) tieáp xuùc vôùi (C) laø m = . 4 162 163
- 1+ 3 2 ⇒ Baát phöông trình coù nghieäm khi m < . ⇒ Phöông trình coù nghieäm ⇔ m > . 4 2 4.2. x(x − 4) − x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2 (1) Ñieàu kieän 4.4. Ñaët t = (4 − x)(2 + x) = − x 2 + 2x + 8 − x 2 + 4x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 −x + 1 t 'x = , t 'x = 0 ⇔ x = 1 2 2 Ñaët t = − x + 4x (t ≥ 0) . − x + 2x + 8 (1) ⇔ − t 3 − t 2 + 4 < 2 ⇔ t 3 + t 2 − 2 > 0 BBT: ⇔ x 2 − 4x + 1 < 0 ⇔ 2 − 3 < x < 2 + 3 4.3. 2x 2 + 1 < m − x (1) 2x 2x + 2x 2 + 1 Ñaët f(x) = 2x 2 + 1 + x, x ∈ R, f '(x) = +1= 2x 2 + 1 2x 2 + 1 Phöông trình cho ⇔ f(t) = t 2 − 4t + 10 ≤ m f(x) = 0 ⇔ 2x 2 + 1 = −2x f '(t) = 2t − 4, f '(t) = 0 ⇔ t = 2 (vôùi t ∈ [ 0,3] ⎧x ≤ 0 BBT: ⎧−2x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⎪2x + 1 = 4x ⎩ ⎪x = − ⎩ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 ⇒ f⎜− = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎠ lim x →∞ f(x) = lim x→∞ ( 2x 2 + 1 + x) = lim x →∞ ( 2 x + x) ⇒ m ≥ max f(t) = 10 lim x →+∞ f(x) = lim x→+∞ ( 2 + 1)x = +∞ lim x →−∞ f(x) = lim x→−∞ (1 − 2 )x = +∞ 4.5. x + 2 − 3 − x < 5 − 2x (1) BBT: 5 Ñieàu kieän −2 ≤ x ≤ 2 (1) ⇔ x + 2 < 5 − 2x + 3 − x ⇔ x + 2 < 5 − 2x + 3 − x + 2 (5 − 2x)(3 − x) ⇔ 2x − 3 < 2x 2 − 11x + 15 (*) Ta nhaän thaáy baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi ⎡ 3⎤ 3 5 ∀x ∈ ⎢ −2, ⎥ vôùi ≤ x ≤ : Hai veá cuûa (*) ñeàu khoâng aâm, neân bình ⎣ 2⎦ 2 2 phöông 2 veá: 164 165
- 3 4x 2 − 12x + 9 < 2x 2 − 11x + 15 ⇔ 2x 2 − x − 6 < 0 ⇔ − < x < 2 2 ⎡ 3 ⎢ −2 ≤ x < 2 ⎢ ⎧3 5 Vaäy baát ñaúng thöùc cho ⇔ ⎢ ⎪ ≤ x ≤ ⎢⎪ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 2 ⎢⎨ ⎢ ⎪− 3 < x < 2 ⎢⎪ 2 ⎣⎩ 1 x3 − 1 4.6. Ñieàu kieän x − ≥0⇔ ≥ 0 ⇔ x ≥1 x2 x2 Baát ñaúng thöùc ⇔ x3 + 1 + x3 − 1 ≥ 2 ⇔ x 3 + 1 + x3 − 1 + 2 x 6 − 1 ≥ 4 ⇔ x 6 − 1 ≥ 2 − x3 (*) Baát ñaúng thöùc (*) ñuùng ∀x ≥ 3 2 (1) vôùi 1 ≤ x < 3 2 thì (*) ⇔ x 6 − 1 ≥ 4 − 4x 3 + x 6 5 5 ⇔ x ≥ 3 ⇒ 3 ≤ x < 3 2 (2) 4 4 5 (1) vaø (2) ⇒ x ≥ 3 4 4.7. x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x (1) Ñieàu kieän 4 ≤ x ≤ 7 (*) (1) ⇔ x + 3 ≥ ( 2x − 8 + 7 − x )2 ⇔ x + 3 ≥ x − 1 + 2 (2x − 8)(7 − x) ⇔ 2 ≥ (2x − 8)(7 − x) ⇔ 4 ≥ (2x − 8)(7 − x) ⇔ x 2 − 11x + 30 ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 ∨ x ≥ 6 (**) (*) vaø (**) ⇒ 4 ≤ x ≤ 5 ∨ 6 ≤ x ≤ 7 166
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Trắc nghiệm phương trình và bất phương trình chứa căn
10 p | 461 | 96
-
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
10 p | 213 | 32
-
Chuyên đề: phương trình vô tỷ - bất phương trình vô tỷ
13 p | 136 | 30
-
Giáo án Toán 12 ban cơ bản : Tên bài dạy : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ và BẤT PHƯƠNG TRÌNH (tt)
19 p | 220 | 30
-
PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
3 p | 218 | 23
-
Hệ bất phương trình vô tỷ
13 p | 124 | 21
-
Luyện thi Đại học môn Toán: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Thầy Đặng Việt Hùng
16 p | 100 | 21
-
Luyện thi Đại học môn Toán: Bất phương trình - Thầy Đặng Việt Hùng
18 p | 86 | 17
-
§ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
10 p | 255 | 11
-
Hướng dẫn chọn tài liệu Toán và cách học hiệu quả - Lương Văn Thiện
4 p | 90 | 8
-
Hệ bất phương trình
3 p | 56 | 8
-
Tiết 34 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
5 p | 124 | 5
-
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
3 p | 96 | 5
-
Hệ bất phương trình trong các đề thi thử năm 2016
92 p | 61 | 4
-
Tài liệu Toán lớp 10: Chương 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình
98 p | 19 | 4
-
Tài liệu Toán lớp 11: Chương 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình
174 p | 15 | 4
-
Chuyên đề phương trình và bất phương trình chứa căn - Nguyễn Thanh Vân
26 p | 16 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn