Tài liệu toán " Bất phương trình chứa căn "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

780
lượt xem 179
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " bất phương trình chứa căn "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Bất phương trình chứa căn "

E. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN. ⇔ (x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 3) ≥ 2 (x − 1)(x − 4) (*) ⇔ x − 2 + x − 3 ≥ 2 x − 4 (3) (chia 2 veá cho x −1 > 0 ) I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. vì x ≥ 4 ⇒ x −2 > x −4 ≥ 0 ⇔ x −2 > x − 4⎫ ⎪ 1. Daïng cô baûn: ⎬⇒ x−2 + x−3 >2 x−4 x −3> x−4≥ 0 ⇔ x−3 > x−4 ⎪ ⎭ ⎧A ≥ 0 . A< B⇔⎨ ⇒ x ≥ 4 laø nghieäm cuûa (3) ⇒ x ≥ 4 laø nghieäm cuûa (2). ⎩A < B * x = 1: (2) thoûa. ⎧A ≥ 0 ⎪ * x < 1: (*) ⇔ 2 − x + 3 − x ≥ 2 4 − x (4) . A < B ⇔ ⎨B > 0 (chia 2 veá (*) cho 1 − x > 0 ) ⎪ 2 ⎩A < B Vôùi x < 1 ⇒ ⎧A ≥ 0 ⎪B ≥ 0 ⎧ 0 < 2−x < 4−x ⇒ 2−x < 4−x⎫ ⎪ . A > B⇔⎨ ∨⎨ 2 ⎬⇒ 2−x + 3−x < 2 4−x ⎩B < 0 ⎪A > B ⎩ 0 b2 Giaûi + Vôùi moïi a, b ∈ R , ta coù: a > b ⇔ a3 > b3 ⎧x ≥ 0 x − x −1 > a Ñieàu kieän ⎨ ⇔ x ≥1 ⎩x − 1 ≥ 0 II. CAÙC VÍ DUÏ. 1 1 Ñaët y = x − x − 1 ⇒ y' = − < 0, ∀x > 1 Ví duï 1: 2 x 2 x −1 Giaûi baát phöông trình: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 3 x 2 − 5x + 4 BBT: (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997). Giaûi ⎧x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⎧x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ Ñieàu kieän ⎨x − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ ⎨x ≤ 1 ∨ x ≥ 3 ⇔ x ≤ 4 ∨ x ≥ 4 (1) ⎪ 2 ⎪x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 ⎪x − 5x + 4 ≥ 0 ⎩ ⎩ 1 2 2 2 Vì lim y x →+∞ = lim x →+∞ ( x − x − 1) = lim x →+∞ =0 *x ≥ 4 : Ta coù: x − 3x + 2 + x − 4x + 3 ≥ 2 x − 5x + 4 (2) x + x −1 158 159
Döïa vaøo BBT ñeå baát phöông trình: x − x − 1 > a coù nghieäm ⇔ x − 3 < x − 1 + x − 2 + 2 (x − 1)(x − 2) ⇔ 0 < a 0: (**) ⇔ x(x 2 + 2) ≤ x 2 + 2 6 5 ⇔ x 2 (x 2 + 2)2 ≤ x 2 + 2 ⇔ x 2 (x 2 + 2) ≤ 1 (5) vaø (6) ⇒ x ≤ − 6 ⇔ x 4 + 2x 2 − 1 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x 2 ≤ 2 − 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 −1 5 Toùm laïi, nghieäm cuûa baát phöông trình laø: x ≤ − ∨ x ≥ 3 Vaäy nghieäm : 0 ≤ x ≤ 2 −1 6 Ví duï 4: 2. Xaùc ñònh m ñeå baát phöông trình cho thoûa ∀x ∈ [ 0,1] Giaûi baát phöông trình: (*) ⇔ m ≤ −(x 2 + 1)2 + x x 2 + 2 + 4 x − 3 − x − 1 < x − 2 (1) (Tröôøng TH Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997). ⇔ m ≤ − x 4 − 2x 2 + x x 2 + 2 + 3 Giaûi ⇔ m ≤ − x 2 (x 2 + 2) + x x 2 + 2 + 3 (**) ⎧x − 3 ≥ 0 ⎪ Ñaët t = x x 2 + 2 vôùi 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 3 Ñieàu kieän ⎨x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ⎪x − 2 ≥ 0 (**) ⇔ m ≤ − t 2 + t + 3 (***) ⎩ 1 (1) ⇔ x − 3 < x − 1 + x − 2 Ñaët f(t) = − t 2 + t + 3, t ∈ ⎡ 0, 3 ⎤ ; ⇒ f '(t) = −2t + 1, f '(t) = 0 ⇔ t = ⎣ ⎦ 2 160 161
BBT: HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT 4.1. 1. mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) Vôùi m = 1: (1) ⇔ x − x − 3 ≤ 2 ⎧x − 2 ≤ x − 3 ⎪ ⎧x 2 − 5x + 7 ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ VN ⎪x ≥ 3 ⎩ ⎪x ≥ 3 ⎩ (*) ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] thì (****) ñuùng ∀t ∈ ⎡ 0, 3 ⎤ ⇔ m ≤ 3 . ⎣ ⎦ 2. (1) ⇔ mx − m − 1 ≤ x − 3 III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. Ñaët y = f(x) = mx − m − 1 4.1. Cho baát phöông trình: mx − x − 3 ≤ m + 1 laø ñöôøng thaúng (∆) 1. Giaûi baát phöông trình vôùi m = 1 2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình coù nghieäm. quay quanh (ÑH HUØNG VÖÔNG KHOÁI A naêm 1999). ñieåm I (1, -1). Veõ ñoà thò haøm y = x −3 4.2. Giaûi baát phöông trình: x(x − 4) − x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2 x =3⇒ y = 0 (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1999 Ñôït 1 Khoái D). x = 4 ⇒ y =1 x =7⇒y=2 4.3. Ñònh m ñeå baát phöông trình: 2x 2 + 1 < m − x coù nghieäm (1) ⇒ ñoà thò (C) cuûa y = x − 3 nhö hình veõ. Khi ñöôøng thaúng (∆) : y = mx - m - 1 tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) phöông 4.4. Ñònh m ñeå baát phöông trình: −4 (4 − x)(2 + x) ≤ x 2 − 2x + m − 18 trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (∆) vaø (C). nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ [ −2,4 ] . ⎧x ≥ 3 ⎪ mx − m − 1 = x − 3 ⇔ ⎨ 2 ⎪(mx − m − 1) = x − 3 ⎩ 4.5. Giaûi baát phöông trình: x + 2 − 3 − x < 5 − 2x (ÑH THUÛY LÔÏI naêm 2001). ⎧x ≥ 3 ⎪ ⇔⎨ 2 2 2 2 ⎪ m x − (2m + 2m + 1)x + m + 2m + 4 = 0 ⎩ 1 2 1 ∆ = (2m 2 + 2m + 1)2 − 4m 2 (m 2 + 2m + 4) 4.6. Giaûi baát phöông trình: x+ 2 + x− 2 ≥ x x x = 8m 2 − 4m − 1 (ÑH AN GIANG - KHOÁI A naêm 2001). 1+ 3 Khi (∆ ) tieáp xuùc vôùi (C) ⇔ ∆ = 0 ⇔ m = (m > 0) 4 4.7. Giaûi baát phöông trình: x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x (ÑH Ngoaïi Thöông Khoái A naêm 2001) 1+ 3 ⇒ heä soá goùc cuûa (∆1 ) tieáp xuùc vôùi (C) laø m = . 4 162 163
1+ 3 2 ⇒ Baát phöông trình coù nghieäm khi m < . ⇒ Phöông trình coù nghieäm ⇔ m > . 4 2 4.2. x(x − 4) − x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2 (1) Ñieàu kieän 4.4. Ñaët t = (4 − x)(2 + x) = − x 2 + 2x + 8 − x 2 + 4x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 −x + 1 t 'x = , t 'x = 0 ⇔ x = 1 2 2 Ñaët t = − x + 4x (t ≥ 0) . − x + 2x + 8 (1) ⇔ − t 3 − t 2 + 4 < 2 ⇔ t 3 + t 2 − 2 > 0 BBT: ⇔ x 2 − 4x + 1 < 0 ⇔ 2 − 3 < x < 2 + 3 4.3. 2x 2 + 1 < m − x (1) 2x 2x + 2x 2 + 1 Ñaët f(x) = 2x 2 + 1 + x, x ∈ R, f '(x) = +1= 2x 2 + 1 2x 2 + 1 Phöông trình cho ⇔ f(t) = t 2 − 4t + 10 ≤ m f(x) = 0 ⇔ 2x 2 + 1 = −2x f '(t) = 2t − 4, f '(t) = 0 ⇔ t = 2 (vôùi t ∈ [ 0,3] ⎧x ≤ 0 BBT: ⎧−2x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⎪2x + 1 = 4x ⎩ ⎪x = − ⎩ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 ⇒ f⎜− = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎠ lim x →∞ f(x) = lim x→∞ ( 2x 2 + 1 + x) = lim x →∞ ( 2 x + x) ⇒ m ≥ max f(t) = 10 lim x →+∞ f(x) = lim x→+∞ ( 2 + 1)x = +∞ lim x →−∞ f(x) = lim x→−∞ (1 − 2 )x = +∞ 4.5. x + 2 − 3 − x < 5 − 2x (1) BBT: 5 Ñieàu kieän −2 ≤ x ≤ 2 (1) ⇔ x + 2 < 5 − 2x + 3 − x ⇔ x + 2 < 5 − 2x + 3 − x + 2 (5 − 2x)(3 − x) ⇔ 2x − 3 < 2x 2 − 11x + 15 (*) Ta nhaän thaáy baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi ⎡ 3⎤ 3 5 ∀x ∈ ⎢ −2, ⎥ vôùi ≤ x ≤ : Hai veá cuûa (*) ñeàu khoâng aâm, neân bình ⎣ 2⎦ 2 2 phöông 2 veá: 164 165
3 4x 2 − 12x + 9 < 2x 2 − 11x + 15 ⇔ 2x 2 − x − 6 < 0 ⇔ − < x < 2 2 ⎡ 3 ⎢ −2 ≤ x < 2 ⎢ ⎧3 5 Vaäy baát ñaúng thöùc cho ⇔ ⎢ ⎪ ≤ x ≤ ⎢⎪ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 2 ⎢⎨ ⎢ ⎪− 3 < x < 2 ⎢⎪ 2 ⎣⎩ 1 x3 − 1 4.6. Ñieàu kieän x − ≥0⇔ ≥ 0 ⇔ x ≥1 x2 x2 Baát ñaúng thöùc ⇔ x3 + 1 + x3 − 1 ≥ 2 ⇔ x 3 + 1 + x3 − 1 + 2 x 6 − 1 ≥ 4 ⇔ x 6 − 1 ≥ 2 − x3 (*) Baát ñaúng thöùc (*) ñuùng ∀x ≥ 3 2 (1) vôùi 1 ≤ x < 3 2 thì (*) ⇔ x 6 − 1 ≥ 4 − 4x 3 + x 6 5 5 ⇔ x ≥ 3 ⇒ 3 ≤ x < 3 2 (2) 4 4 5 (1) vaø (2) ⇒ x ≥ 3 4 4.7. x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x (1) Ñieàu kieän 4 ≤ x ≤ 7 (*) (1) ⇔ x + 3 ≥ ( 2x − 8 + 7 − x )2 ⇔ x + 3 ≥ x − 1 + 2 (2x − 8)(7 − x) ⇔ 2 ≥ (2x − 8)(7 − x) ⇔ 4 ≥ (2x − 8)(7 − x) ⇔ x 2 − 11x + 30 ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 ∨ x ≥ 6 (**) (*) vaø (**) ⇒ 4 ≤ x ≤ 5 ∨ 6 ≤ x ≤ 7 166