Tính giải được địa phương và toàn cục cho một lớp phương trình vi phân địa phương phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này tác giả xét một lớp phương trình vi phân địa phương phi tuyến; sử dụng lý thuyết về hàm hoàn toàn dương và phương pháp điểm bất động, tác giả chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ trên đoạn hữu hạn và trên đoạn compact với các giả thiết khác nhau cho phần phi tuyến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính giải được địa phương và toàn cục cho một lớp phương trình vi phân địa phương phi tuyến

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 TÍNH GIẢI ĐƯỢC ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỊA PHƯƠNG PHI TUYẾN LOCAL AND GLOBAL SOLVABILITY FOR A CLASS OF NONLOCAL DIFFERENTIAL EQUATION PERTURBED BY NONLINEARITY Lâm Trần Phương Thủy1,* DOI: https://doi.org/10.57001/huih5804.2023.127 TÓM TẮT Trong (1), nhân k  L1   loc   là hàm không âm, Trong bài báo này chúng tôi xét một lớp phương trình vi phân địa phương γ   0;1 , f :  0 ; T   H  H là hàm phi tuyến cho trước và phi tuyến sau:  t u   t k  A γ u   Au  f(t,u) với điều kiện đầu u(0) = ψ,   hàm ψ là dữ kiện ban đầu của bài toán. trong không gian Hilbert tách được. Sử dụng lý thuyết về hàm hoàn toàn dương Ký hiệu  là ký hiệu tích chập Laplace với biến thời và phương pháp điểm bất động, tác giả chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ t trên đoạn hữu hạn và trên đoạn compact với các giả thiết khác nhau cho phần phi gian, tức là  k  v  t, x   k  t  s  v(s,x)ds . tuyến. Kết quả thu được có thể áp dụng cho một số hệ cụ thể và làm tiền đề cho  0 các nghiên cứu tiếp theo về tính ổn định và chính quy của nghiệm. Trước hết ta thấy rằng phương trình (1) khi xét trên Từ khóa: Phương trình vi phân không địa phương, sự tồn tại nghiệm địa phương, sự tồn tại nghiệm toàn cục. H  L2   với Ω là miền bị chặn trong ℝn với biên đủ trơn và A = -Δ cùng điều kiện biên Dirichlet thì phương trình (1) ABSTRACT là mô hình tổng quát cho một số phương trình trong In this paper, we consider the following equation perturbed by the nghiên cứu về động lực học chất lưu. Tiêu biểu là phương nonlinearity  t u   t k  A γ u   Au  f(t,u) with initial u(0) = ψ in an trình phản ứng khuếch tán cổ điển phi tuyến (γ = 1 và k là   số không âm), phương trình khuếch tán không cổ điển (γ = arbitrary separable Hilbert space H. By using theory about completely functions and fixed point arguments, author proves the local existence and the global 1    1 và k   C  , xem [3, 4]), phương trình Rayleigh- existence due to different assumptions imposed on f. The obtained results can be tα applied to some concrete systems, and they are used to make the next study Stokes suy rộng (γ = 1 và k  t   m 0 ,m 0  0 ,  1  α  such as studying on stability or regularity. α   0, 1 , xem [2]) và phương trình Basset (γ = 1 và Keywords: Nonlocal differential equations, local existence, global existence. tα k  t   m0 , m 0  0 , α   0, 1 , xem [1]). Như vậy, bài 1 Trường Đại học Điện lực  1  α  * Email: thuyltp@epu.edu.vn toán đang xét là mô hình tổng quát của một số phương Ngày nhận bài: 25/3/2023 trình đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 25/4/2023 Trong tài liệu [7], các tác giả đã xét bài toán với A = -Δ và Ngày chấp nhận đăng: 15/6/2023 phân tích bài toán tuyến tính tương ứng và xét bài toán phi tuyến với hàm phi tuyến dạng f(u). Bài báo đã trình bày về các giải thức sinh ra từ bài toán, công thức nghiệm, chứng minh sự tồn tại khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện 1. GIỚI THIỆU Lipschitz địa phương với điều kiện ban đầu đủ nhỏ, nghiên Cho H là một không gian Hilbert tách được. Xét bài toán cứu về tính chính qui và ổn định nghiệm cũng như sự hội Cauchy: tụ về điểm cân bằng. Mục đích của chúng tôi là xem xét trên không gian Hilbert với toán tử A tổng quát và nghiên  t u   t k  A γ u  Au  f ( t, u), t  0   (1) cứu bài toán với phần phi tuyến dạng f(t, u). Tác giả xét sự với điều kiện ban đầu tồn tại địa phương và chứng minh tính giải được toàn cục khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục u  0 , x   ψ ( x ), x   , (2) do đó ta giải phóng được điều kiện ban đầu đủ nhỏ. 158 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 59 - Số 3 (6/2023) Website: https://jst-haui.vn
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY Bài báo trình bày về phương trình tích phân Volterra, Chú ý 1: Nếu k(t)  k 0 g1 α (t), α   0,1 thì giả thiết (K) công thức nghiệm và các ước lượng cơ bản liên quan đến được thỏa mãn, ngoài ra nếu k là hàm hoàn toàn đơn điệu giải thức sinh ra từ bài toán tuyến tính. Bằng cách dùng lý thì 1 + ρk(t) cũng hoàn toàn đơn điệu và do đó giả thiết (K) thuyết về hàm hoàn toàn dương, các ước lượng tiên được thỏa mãn (xem [16]). nghiệm và nguyên lí ánh xạ co Banach tác giả chỉ ra sự tồn Nhắc lại rằng, một hàm l được gọi là hoàn toàn dương tại nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàn cục cho nếu các nghiêm s và r của phương trình Volterra loại 2 bài toán đang xét. Cuối cùng, tác giả đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả lí thuyết. s(t)  η l * s  (t)  1, t0 2. CƠ SỞ TÍNH TOÁN r(t)  η l * r  (t)  l(t), t  0 Trước hết, ta xét bài toán tuyến tính tương ứng nhận giá trị không âm với mọi η > 0. Sự tồn tại nghiệm γ và tính duy nhất nghiệm đã được chứng minh trong [3]. tu  t k  A u  Au  h(t),t (0,T]   (3) Như thế, với giả thiết (K), thì phương trình giảm dư có U(0) = ψ (4) nghiệm. Ta ký hiệu nghiệm đó là ω(t, µ, σ). Tính chất của Mục đích là tìm nghiệm của hệ này, để đạt được mục hàm này đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự đích, chúng ta cần giả thiết sau về toán tử A. tồn tại nghiệm nhẹ của bài toán ban đầu, vì thế tác giả cần bổ đề sau: Giả thiết (A): Toán tử A là toán tử tuyến tính xác định Bổ đề 1. Giả sử (K) được thỏa mãn. Khi đó dương, tự liên hợp, xác định trù mật với giải thức compact. (a) Hàm ω(., µ, σ) là hàm không tăng trên ℝ+ và thoả Khi đó, ta xét cơ sở của H gồm các hàm riêng trực chuẩn mãn ước lượng sau:  en n1 của toán tử A và 1 0  ω(t,μ,σ)  ,t  0 . (7)  σ 1  μ1* (1  k)(t) Av = λn vn en , trong đó Aen  λ n en , μ n1 t 1 và 0 < λ1 ≤ λ2 ≤…≤ λn →∞ khi n → ∞. (b) Ta có:  ω(τ,μ,σ)dτ  1 ω(t,μ,σ)  , t  0 . (8) 0 μ Ta định nghĩa toán tử lũy thừa của A như sau:   (c) Với mỗi số cố định t > 0, hàm ω(t,μ,μ γ ) không tăng Aβ v = λβn (v,en )en , D(Aβ ) : {v H :  λ2β (v,en )2  } , n theo biến µtrên (0, +∞). n1 n1 Chứng minh: Tương tự như trong [7]. với β và (, ) là ký hiệu tích vô hướng trên không  Dựa vào nghiệm của phương trình thuần nhất, chúng ta gian Hilbert H và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng là . có nghiệm của phương trình không thuần nhất v'(t)  μv(t)  σ(k  v)  g(t),t  0 Giả sử    v(0)  v0 u(t)   un (t)e n , ψ   ψn e n , h(t)   hn (t)e n là n1 n1 n1 t thay vào (3)-(4), ta được v(t)  ω(t,μ,σ)v 0   ω(t  τ,μ,σ)g(τ)dτ . 0 d d un (t)  λ n un (t)  λγn (k  u n )(t)  h n (t), t  0 (5) Áp dụng kết quả vừa thu được cho hệ (5)- (6), ta được: dt dt t Un(0) = ψn (6) un (t)  ω(t, λ n , λn γ )ψn   ω(t  τ, λ n , λ n γ )hn (τ)dτ . Nhằm tìm một biểu diễn cho tọa độ thứ n, ta xét 0 phương trình giảm dư sau đây: Từ đây, ta có công thức nghiệm cho bài toán tuyến tính là: ω(t)  μω(t)  σ(k  ω)  0,t  0   t ω(0)  1 u(t)   ω(t,λn ,λnγ )ψnen    ω(t  τ,λn , λn γ )hn (τ)dτen (9) n1 n1 0 trong đó, µ, σ là các số dương bất kỳ. Ký hiệu ω(t, λn) thay cho ω(t, λ n , λ n γ ) , và định nghĩa Phương trình trên được viết lại ở dạng tích phân như sau: toán tử trên không gian H như sau σ  ω(t)  μ(1 k) * ω(t)  1,t  0 . T(t)ζ   ω(t, λn )ζnen , ζ  H, t  0 μ (10) n1 Nhằm sử dụng lý thuyết về hàm hoàn toàn dương, tác Ta được công thức nghiệm cho bài toán tuyến tính như giả cần giả thiết sau về nhân k. sau 1    Giả thiết (K): k Lloc  là một hàm không âm sao cho t u(t)  T(t)ψ   T(t  τ)h(τ)dτ,t  0 . (11) hàm 1 + ρk(t) là hàm hoàn toàn dương với mỗi ρ > 0. 0 Website: https://jst-haui.vn Vol. 59 - No. 3 (June 2023) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 159
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Ta gọi toán tử T(t) là toán tử giải thức, một số tính chất Chứng minh: Xét ánh xạ như sau phát biểu trong Bổ đề dưới đây sẽ được sử dụng trong việc t chứng minh các kết quả chính của bài toán.  (u)(t) : T(t)   T(t  )f( ,u( ))d 0 Bổ đề 2. Cho T(t)t 0 là họ các toán tử được định trên C[(0, T), H]. Lấy ρ  || ψ || và u  Bρ là hình cầu tâm nghĩa bởi (10), ζ H và T > 0. Khi đó tại gốc và T()ζ  C  0, T  ;H và T(t) op  ω t,λ1  với mọi t ≥ 0. t  (u )(t )  ω(t , λ1 )|| ψ ||   ω(t  τ , λ1 ) f ( τ , u( τ )) dτ Chứng minh. 0 Từ (10), ta suy ra   1  ω(t, λ )  || ψ ||  L(ρ)ρ  sup f(t, 0)  1     0 ,T    λ1 2 T(t)ζ  ω2 (t, λn )ζn . 2 n1 vì ω(t, λ1) là hàm giảm và ω(0, λ1) = 1, nên tồn tại t *  (0, T ) sao cho  (B ρ )  B ρ , với B ρ  C([0, t * ],H) . 0 Theo Bổ đề 1(c), thì ω 2 (t, λ n )  ω 2 (t, λ1 ), n   * . Do đó 0  Tiếp theo, với mọi t  [0,t * ] , ta có: 0 2 2 2 2 2 T(t)ζ  ω (t, λ1 ) ζ  ω (t, λ1 ) ζ . n (12) t n1  (u1 )(t)   (u 2 )(t)  ω(t  τ,λ1 ) f(τ,u1(τ))  f(τ,u1(τ)) dτ  Từ đây suy ra tính hội tụ đều của chuỗi (1) trên [0, T], 0 t  kéo theo T()ζ  C  0, T  ;H .    ω(t  τ, λ1 )L(ρ) u1  u2 dτ 0 Hơn nữa, từ ước lượng (12) ta được T(t) op  ω t,λ1  với 1  ω(t, λ1 ) .  L(ρ) u1  u 2 mọi t ≥ 0. λ1 Dựa vào (11), ta có định nghĩa sau về nghiệm nhẹ của Lấy t *  ( 0 , t * ] sao cho: 0 bài toán. Định nghĩa: 1 ω(t,λ1 ) L(ρ)  1, t [0,t* ] λ1   Hàm u  C  0,T ,H được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (1) - (2) trên [0, T] nếu và chỉ nếu: với t   0, T  , Ta được  là ánh xạ co trên Bρ  C([0, t * ];H) . Vậy bài toán có duy nhất nghiệm trên [0, t*]. t u(t)  T(t)ψ  T(t  τ)f  τ,u(τ)  dτ (13) 3.2. Tính giải được toàn cục  0 Trong kết quả dưới đây, ta sử dụng chuẩn tương đương Cuối cùng, tác giả nhắc lại nguyên lí ánh xạ co Banach. để thu được tính giải được toàn cục khi hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục. Nguyên lí ánh xạ co Banach. (Xem [5]). Cho (X, d) là một không gian metric đủ và f: X → X là một toán tử co, tức Định lí 3.2. Giả sử các giả thiết (K) và (A) được thỏa là tồn tại số λ   0, 1 sao cho d  f(x),f(y)   λd  x,y  , x,y  X . mãn. Hàm phi tuyến liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục sau: Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử p  X sao cho f(p) = p. || f(t,v1 )  f(t,v2 )|| L(t)|| v1  v2 ||, 3. TÍNH GIẢI ĐƯỢC Trong phần này chúng tôi đưa ra điều kiện đủ cho sự với mọi v1 ,v 2  H,t  0 , trong đó L  L1   là hàm loc   tồn tại nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàn cục. cho trước sao cho 3.1. Tính giải được địa phương t Với giả thiết hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện lim sup e  η(t  τ ) ω(t  τ, λ1 )L(τ)dτ  0 (*) .  Lipschitz địa phương và điều kiện đầu bất kì, ta có tính giải η t0,T  0 được địa phương được trình bày trong định lí dưới đây. Khi đó bài toán (1)-(2) có nghiệm duy nhất trên [0, T]. Định lí 3.1. Giả sử các giả thiết (K) và (A) được thỏa mãn. Hàm phi tuyến liên tục và thỏa mãn điều kiện   Chú ý 2: Nếu ω(t  , λ1 )L()  L1loc   , thì (*) thỏa mãn Lipschitz địa phương: (xem Bổ đề 2.7 trong [6]). || f(t,v1 )  f(t,v2 )|| L(ρ)|| v1  v2 ||, Chứng minh. với mọi v 1 , v 2  B ρ , t  0 , trong đó Bρ là hình cầu đóng Đặt v η  supe ηt v(t) với v C 0,T  ;H , và η > 0  tâm tại gốc và bán kính ρ. Khi đó tồn tại số t  (0, T) sao * 0,T  cho bài toán (1)-(2) có nghiệm trên [0, t*]. sao cho 160 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 59 - Số 3 (6/2023) Website: https://jst-haui.vn
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY t 2 sup e η(t  τ) ω(t  τ, λ1 )L(τ)dτ  1 ,   Đặt H  L 0,π . Định nghĩa toán tử A : D(A)  H  H t 0,T   0 2   du d2u   bởi Au   d u , D(A)  u H , 2 H,u(0)  u(π)  0  ở đây sự tồn tại η > 0 là dựa vào giả thiết (*), ta thu được dy 2  dy dy    chuẩn tương đương với chuẩn sup trên không gian C([0, T]; Khi đó, theo [8], thì A là toán tử sinh của Co nửa nhóm H). Xét ánh xạ như sau S(t)t0 compact trong H và A xác định bởi t   (u)(t) :  T(t)ψ  T(t  τ)f(τ,u(τ))dτ trên C([0, T]; H). 2  0 Au  n n1 u,en en , giả thiết (A) được thỏa mãn với Mỗi điểm bất động của ánh xạ chính là nghiệm của bài 2 toán. Để chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất, ta sẽ chỉ λ n  n2 và en (y)  sinny . π ra nó là ánh xạ co. Thật vậy, với mọi u1,u2  C([0,T],H) ta có: Hàm k(t)  g1 (t) , theo Chú ý 1 thì giả thiết (K) được t 2   u1  (t)    u2  (t)  ω(t  τ,λ1) f(τ,u1(τ))  f(τ,u1(τ)) dτ  0 thỏa mãn. Cuối cùng f(t,u)  αsinu  cos2πt , thì ta có t L(t)  α ,  t  J . Theo Định lí 3.2, thì bài toán có nghiệm  ω(t  τ, λ1 )L  τ  u1(τ)  u2 (τ) dτ  0 toàn cục. t 4. KẾT LUẬN  ω(t  τ, λ1 )L  τ  sup u1(τ)  u2 (τ) dτ  Bằng cách sử dụng chuẩn tương đương và sử dụng θ 0,τ  0 nguyên lí ánh xạ co Banach, tác giả đã chỉ ra điều kiện đủ t để bài toán (1)-(2) có nghiệm toàn cục khi hàm phi tuyến  eητ ω(t  τ, λ1 )L  τ  sup e  ηθ u1(τ)  u2 (τ) dτ  thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục, tác giả đưa ra một ví θ 0,τ  dụ minh họa cho kết quả lí thuyết. Ngoài ra, với giả thiết 0 t hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz cục bộ thì bài ητ  u1  u2 η e ω(t  τ, λ1 )L  τ  dτ . toán có nghiệm cục bộ. Các kết quả không cần điều kiện 0 ban đầu đủ nhỏ. Hướng phát triển tiếp theo của nghiên Từ đó suy ra cứu này là tìm hiểu về tính chính qui và ổn định nghiệm. sup e ηt   u1  (t)    u2  (t) t 0,T  TÀI LIỆU THAM KHẢO t [1]. A. Allaberen, 2011. Well-posedness of the Basset problem in spaces of smooth functions. Appl. Math. Lett., 24, 1176–1180.  u1  u2 η sup e  η(t  τ) ω(t  τ, λ1 )L  τ  dτ .  t0,T  [2]. E. Bazhlekova, B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou, 2015. An analysis of the Rayleigh- 0 Stokes problem for a generalized second-grade ﬂuid. Numer. Math., 131, 1–31. Tức là [3]. P. Cannarsa, H. Frankowska, E. M. Marchini, 2013. Optimal control for   u1     u2   ρ u1  u2 η , evolution equations with memory. J. Evol. Equ., 13, 197–227. η t [4]. J. R. Cannon, Y.P. Lin, 1990. A priori L2 error estimates for fnite-element methods for nonlinear diﬀusion equations with memory. SIAM J. Numer. Anal., 27, với ρ  sup e η(t  τ) ω( t  τ, λ1 )L(τ )dτ  1 . Ta được  là t 0,T  0  595–607. [5]. Ciesielski, Krzysztof, 2007. On Stefan Banach and some of his ánh xạ co trên C([0, T]; H). results. Banach J. Math. Anal. 1 (1): 1–10. Vậy bài toán có duy nhất nghiệm trên [0, T]. [6]. K. Ezzinbi, S. Ghnimi, M.A. Taoudi, 2019. Existence results for some 3.3. Ví dụ minh họa nonlocal partial integro differential equations without compactness or Xét hệ sau equicontinuity, J. Fixed Point Theory Appl. 21, no. 2  1 [7]. Tran Dinh-Ke, Nguyen Nhu-Thang, 2022. On regularity and stability for a 2  t u(t,y) c Dt2 u(t,y)  2 u(t,y) class of nonlocal evolution equations with nonlinear  y perturbations. Communications on Pure & Applied Analysis 21 (3), 817-835.  [8]. I. I Vrabie, 2003. Co-semigroups and Applications. North-Holland αsinu(t,y)  cos2πt, t  J, y   0,π   Publishing Co., Amsterdam. u(t,0)  u(t,π)  0, t  J u(0,y)  u (y), y   0,π   0 AUTHOR INFORMATION với α   và J = [0, T]. Lam Tran Phuong Thuy Electric Power University, Vietnam Website: https://jst-haui.vn Vol. 59 - No. 3 (June 2023) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 161