Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y(0) 0  luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính ổn định của nghiệm kỳ dị của mô hình tăng trưởng solow

Nguyễn Văn Minh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 124(10): 45 - 47 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW Nguyễn Văn Minh1*, Nguyễn Văn Thảo2 Nguyễn Thị Thu Hằng1 1Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y (0)  0 luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow. Từ khóa: Bài toán Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mô hình kinh tế, mô hình tăng trưởng Solow, trạng thái ổn định MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW* Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởi bài toán Cauchy sau đây (1.1) k (t )  s. f (k (t ))  .k (t )  (1.2) k (0)  k0  K (t ) Với k (t )  là tỷ số vốn/lao động. Biến L(t ) này biểu thị hàm lượng vốn tính bình quân trên một đơn vị lao động. s là hằng số dương nhỏ hơn 1, biểu thị tiết kiệm cận biên.  là hệ số tăng trưởng lao động. k0  K (0) là L(0) điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao động tính tại thời điểm ban đầu. Nghiên cứu về định tính của bài toán (1.1)(1.2) đã được trình bày trong hầu hết các tài liệu về toán kinh tế. Trong bài báo này ta quan tâm phân tích định lượng và đặc biệt là tính không ổn định của nghiệm kỳ dị của bài toán (1.1)-(1.2). PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG Xét trường hợp hàm sản xuất là hàm CobbDouglas có dạng Q(t )  aK (t ) L(t )1 (a  0;0    1) Khi đó bài toán (1.1)-(1.2) được viết lại: * k (t )  .k (t )  s.ak (t )  k (0)  k0  (2.3) (2.4) Phương trình (1.3) là phương trình Bernoulli. Phương trình này luôn luôn có hai nghiệm, trong đó một nghiệm là nghiệm tổng quát, một nghiệm là nghiệm kỳ dị: Nghiệm tổng quát 1 sa  1  y  c.e  (1 )t   ,   ở đây c là hằng số tích phân. Nghiệm kỳ dị y  0. Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trị của k0 mà bài toán có duy nhất nghiệm hay hai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) cho nghiệm duy nhất là: 1  s.a    (1 ) t s.a  1 k (t )   k01  e       Trường hợp 2. Nếu k0  0 , bài toán (2.3)(2.4) có hai nghiệm là: k1 (t )  0 (2.5) 1 1 1 s.a 1  sa 1  s.a k2 (t )   e (1 )t      1  e (1 )t 1     (2.6) Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com 45 Nguyễn Văn Minh và Đtg nghĩa Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Từ ý của điều kiện ban đầu k0  K (0) , ta thấy khi k0  0 , dẫn tới L(0) K(0)=0. Ta xét giới hạn của (2.5) và (2.6) lim k1 (t )  0 t   s.a   (1 )t s.a  lim k2 (t )  lim   e  t  t       as     1 1 (2.7) 1 1 i  1,..., n Nếu trong số các nghiệm của phương trình đặc trưng của xấp xỉ thứ nhất tồn tại dù chỉ một nghiệm có phần thực dương thì nghiệm không của hệ không ổn định. n dyi   aij y j  Y i ( y1 ,... yn ), dt j 1 i  1,..., n f (k )  k  s.a.k  Từ hai giới hạn ở trên xuất hiện một vấn đề: mô hình tăng trưởng Solow với điều kiện ban đầu không có vốn, trạng thái của nền kinh tế có thể rơi vào (2.7) hoặc (2.8). Một câu hỏi được đặt ra: khi thời gian đủ lớn, k(t) tiến tới đâu? Tiến tới (2.7) hay (2.8)? Để trả lời cho câu hỏi trên, ta phải xét tính ổn định theo nghĩa Liapunov của mỗi nghiệm (4.1) Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2, ta được f '(k )    s.a. k  1 f ''(k )  s.a. (  1)k   2 Vì 0    1,  f ''(k )  0 k  0 , do đó f '(k ) là hàm nghịch biến theo k. Mà phương trình f '(k )    s.a. k  1  0 có nghiệm 1 k1 (t ); k2 (t ). ỔN ĐỊNH LIAPUNOV Để dễ theo dõi, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định. Trong mục này chúng ta xét phương trình (3.1) Định nghĩa 3.1 a) Nghiệm không của phương trình (3.1) được gọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu với   0;   0 sao cho từ bất đẳng thức || y (0) ||  , suy ra bất đẳng thức || y (t ) ||  t  0 ; ở đây, y(t) là ký hiệu một nghiệm bất kỳ của (3.1), xác định bởi điều kiện y(0). b) Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov, nếu nó ổn định và lim || y (t ) || 0 t  Định lý 3.1 Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của xấp xỉ thứ nhất có phần thực âm thì nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận. 46 n dyi   aij y j  Y i ( y1 ,... yn ), dt j 1 ỔN ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH SOLOW k (t )  .k (t )  s.a.k (t ) Đặt (2.8) dy(t )  Y ( y(t ), t ) dt 124(10): 45 - 47  sa 1 . k  k*       Từ lập luận trên ta thấy f '( k )  0 với k  (0;1) và f (0)  0; f '(0)   . Sau đây ta phân tích định tính bằng phương pháp mặt phẳng pha, muốn vậy, ta dựng hệ trục tọa đồ đề các vuông góc Okf, trên mặt phẳng tọa độ này ta vẽ đồ thị của hàm (4.1). Định lý 4.1 Nghiệm k1 (t )  0 là trạng thái không ổn định của mô hình tăng trưởng Solow. Tiếp theo, ta khảo sát tính ổn định của trạng thái (2.6), muốn vậy, ta xét dấu của f ' (k2 ) : f ' (k2 )  s.a. .k2 1    1  1 1 sa   s.a.  1  e   (1 ) t 1         (1  e   (1 ) t ) 1        1  Nguyễn Văn Minh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Chuyển qua giới hạn lim f ' (k2 )  lim( (1  e (1 )t )1   )  ( 1)  0 t  t  Điều này chứng tỏ f ' (k2 ) sẽ âm với t đủ lớn. Từ hình vẽ trên cho ta hình ảnh trực quan về tính ổn định của trạng thái k2(t) và tính không ổn định của trạng thái k1(t) Định lý 4.2. Trạng thái  sa  k2 (t )       1 1 1  e   (1 ) t 1 1  là trạng thái ổn định. Kết luận: Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởi phương trình vi phân dạng Bernoulli (2.3). Phương trình này luôn luôn cho hai nghiệm: một nghiệm tổng quát và một nghiệm kỳ dị. Bài toán Cauchy của phương trình (2.3) với điều kiện ban đầu y (0)  0 luôn luôn có hai nghiệm, trong đó nghiệm (2.5) luôn là nghiệm không ổn định theo 124(10): 45 - 47 nghĩa Liapunov. Còn nghiệm (2.6) luôn luôn là nghiệm ổn định theo nghĩa Liapunov. Từ đó ta rút ta khẳng định: mặc dù ban đầu doanh nghiệp không có vốn nhưng sau một khoảng thời gian nào đó sẽ thoát khỏi trạng thái tĩnh, và khi đó tỷ số đơn vị vốn trên một đơn vị lao động k(t)=K(t)/L(t) sẽ dần đến một 1  sa 1 giá trị gọi là giá trị tới hạn, đó là     TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb ĐH và THCN. 2. E. A. Barbasin (1973), Mở đầu Lý thuyết ổn định, Nxb KHKT. 3. I. V. Matveev (1978), Các phương pháp tích phân phương trình vi phân, Nxb Mir. 4. Kevin Lee, M. Hashem Pesaran, Ron Smith (1077), Growth and convergence in a multycountry empirical stochastic Solow mode;, Applied Econometrics, vol 12 SUMMARY STABILITY OF SINGULAR SOLUTION IN SOLOW GROWTH MODEL Nguyen Van Minh1*, Nguyen Van Thao2, Nguyen Thi Thu Hang1 1College of Economics and Business Administration - TNU 2College of Technology - TNU Solow model researches the economic growth which is described by Cauchy problem of Bernoulli difference equation has the singular solution. This proplem always has two solutions including a singular solution, in the case initial condition as y(0) = 0. Usually, the regular solution of the problem is only concerned. In this paper, however, we research stability of solutions, including singular solution of Solow model. Keywords: Cauchy problem, differential equation, economic growth, model economy, Solow growth model, steady state Ngày nhận bài:15/8/2014; Ngày phản biện:3/9/2014; Ngày duyệt đăng: 15/9/2014 Phản biện khoa học: TS. Phạm Hồng Trường – Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh - ĐHTN * Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com 47