Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhị thức Newton và một số ứng dụng

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình phương pháp xây dựng chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhị thức Newton và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CÔNG SỨ Hà Nội - Năm 2018
1 PHẦN MỞ ĐẦU Nhị thức Newton đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình phổ thông trung học từ rất lâu. Tuy nhiên do hạn chế về thời lượng, khối lượng và cả nội dung kiến thức, nên nhị thức Newton với học sinh phổ thông lâu nay đơn giản chỉ là cách xây dựng công thức tổng quát từ các trường hợp cụ thể và rèn luyện kỹ năng sử dụng các công thức đó trong việc giải các bài toán có liên quan. Trong khi thực tế thì công thức nhị thức Newton là đóng góp đáng kể của nhiều nhà toán học trước đó. Và sau cùng là Newton vào kho tàng toán học của nhân loại cả về phương diện lý thuyết lẫn thực tế tính toán, cả trong lĩnh vực toán học sơ cấp lẫn toán cao cấp. Cũng đã có một vài luận văn thạc sĩ đề cập đến lĩnh vực này, nhưng chỉ dừng lại ở các phương pháp xây dựng công thức nhị thức với số mũ nguyên. và vận dụng nó vào việc giải bài toán sơ cấp trong chương trình trung học phổ thông. Luận văn này ngoài việc trình bày phương pháp xây dựng chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ngoài việc mở rộng công thức nhị thức Newton, tác giả cũng đề cập đến ý nghĩa toán học to lớn của công thức trong lĩnh vực tính toán các giá trị của hàm số siêu việt,hàm số lượng giác (sin x, cos x).
2 Các vấn đề trên được trình bày đầy đủ và hệ thống trong Chương 1 và Chương 2 của luận văn từ trang 05 đến trang 49. Chương 3 của luận văn dành riêng để giới thiệu ứng dụng khai triển công thức nhị thức Newton trong việc giải một số bài toán sơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng các biểu thức tổ hợp, đến việc xét tính chia hết, việc tìm số dư trong phép chia các số lớn. Những bài toán này cũng thường gặp trong các lĩnh vực khác của khoa học toán ứng dụng. Đặc biệt là các mã đại số và mật mã trong lý thuyết mã.
3 Chương 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 1.1.1 Vài nét lịch sử Cần phải nói rằng trước Newton rất lâu rất nhiều các nhà toán học đã quan tâm đến việc nâng một nhị thức lên lũy thừa. Vào 1303 trong bài viết của nhà toán học Trung Quốc (Chu Sinh) người ta đã gặp bảng sau: Cứ theo các số trên thì ta thấy đó là bảng các hệ số của khai triển nhị thức cấp từ 0 đến 8, mặc dù nhà toán học này không nói gì cho hệ số tiếp theo, nhưng theo cùng cách lập bảng của ông thì dễ dàng lập được hàng tiếp theo. Tính quy luật ở đây là: Tổng hai số cách nhau trong cùng một hàng bằng số đứng giữa chúng ở hàng dưới.
4 Đặc biệt trong công trình cuối cùng về tam giác số học và các tính chất của nó được công bố năm 1665 của Pascal (sau khi tác giả đã chết) mang tên “Luận văn về tam giác số học” được coi là công trình biết đến rộng rãi nhất trong các nhà toán học làm cho tam giác số học mang tên là tam giác Pascal. Về phương diện lịch sử thì tên gọi đó không đúng bởi lẽ như trình bày trên thì tam giác số học được xét đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, Trung Quốc, Ả Rập trước Pascal rất lâu. 1.1.2 Xây dựng công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ dương Giả sử rằng cần nhân m lần các nhị thức (1 + x), hay nói cách khác đó là nâng (1 + x) lên lũy thừa cấp m. Lặp lại cách làm như trên ta có công thức (1+x)m = 1+A1 x+A2 x2 +A3 x3 +A4 x4 +· · ·+Ak xk +· · ·+Am−1 xm−1 +xm . Vậy m (k − 1) m (k − 2) m (k − 3) m−2 m−1 Ak = · · ··· ·m· k k−1 k−2 3 2 m (m − 1) (m − 2) · · · [m − (k − 3)] [m − (k − 2)] [m − (k − 1)] = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (k − 2) (k − 1) k m (m − 1) (m − 2) · (m − k + 2) (m − k + 1) = (1.1) k! Ở đây ta viết k! = 1 · 2 · 3 · · · (k − 1)k. Đến đây ta có thể viết công thức khai triển nhị thức Newton m m (m − 1) 2 m (m − 1) · · · (m − k + 1) k (1 + x)m = 1 + x+ x + ··· + x 1 2 k! m (m − 1) · · · 3 · 2 · 1 m + x (1.2) m! Đa thức phải của (1.2) được gọi là công thức khai triển nhị thức Newton. Còn các hệ số của đa thức này gọi là hệ số nhị thức.
5 1.2 KIỂM TRA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VỚI SỐ MŨ BẤT KỲ 1.2.1 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ nguyên âm Để kiểm tra công thức (1.2) với số mũ nguyên âm, ta bắt đầu từ trường hợp m = −1. Nếu công thức (1.2) đúng với m = −1 thì ta có: 1 (1 + x)−1 = = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 . . . . . . (1.3) 1+x Như vậy có thể nói rằng phương trình (1.3) đúng đắn với các giá trị của x mà |x| < 1. Sự đúng đắn này được hiểu là khi lấy tổng đại số ở vế phải của (1.3) đến một vị trí nào đó của chuỗi 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · thì dù kết quả nhận được không 1 bằng (1 + x)−1 = nhưng sự khác nhau sẽ nhỏ tùy ý nếu số 1+x phần tử được chọn đủ lớn. Ngoài ra x càng gần với 1 về giá trị tuyệt đối thì chuỗi lớn (1.3) nhận được kết quả gần đúng tốt. 1.2.2 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ không nguyên 1 Với m = 2 ta có 1 1 1 1 − 1 12 − 2 1 1 −1 (1 + x) = 1 + · x + 2 2 2 · x2 + 2 2 · x3 + · · · 2 1.2 1.2.3 Tiếp tục như vậy ta được 1 1 1 1 5 4 (1 + x) 2 = 1 + x − x2 + x3 − x + ··· (1.4) 2 8 16 128 Như vậy kiểm tra một cách hình thức ta không phủ nhận phương trình (1.4) nhưng phân tích chi tiết lại chỉ ra rằng (1.4) không
6 phải đúng với mọi x mà chỉ đúng với các giá trị x thỏa mãn |x| < 1 (nó đúng với cả x = ±1). Với |x| > 1 công thức (1.4) không còn đúng. 1.3 CHỨNG MINH CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton: m m (m − 1) 2 m (m − 1) (m − 2) 3 (1 + x)m = 1+ x+ ·x + ·x +· · · 1 1.2 1.2.3 (1.5) 1.3.1 Chứng minh công thức khai triển nhị thức New- ton với số mũ nguyên Đầu tiên sử dụng tiêu chuẩn Dalembert để chứng minh rằng chuỗi bên phải của (1.5) hội tụ thậm chí hội tụ tuyệt đối với điều kiện |x| < 1 đến hàm F (x). Còn nếu |x| > 1 thì chuỗi phân kỳ. Sau đó chỉ ra rằng F (x) = (1 + x)m và như vậy công thức nhị thức đúng. 1.3.2 Chứng minh công thức khai triển nhị thức New- ton với số mũ không nguyên Như vậy chúng ta đi đến cùng việc chứng minh khẳng định của Newton tức là đã chứng minh được rằng m m (m − 1) 2 m (m − 1) (m − 2) 3 (1 + x)m = 1+ x+ ·x + ·x +· · · 1 1.2 1.2.3 đúng với m bất kỳ và với |x| < 1.
7 Chương 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG CỦA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 2.1 ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON TRONG KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI CỦA MỘT VÀI HÀM ĐẶC BIỆT 2.1.1 Khai triển thành chuỗi của một vài hàm vô tỷ √ 1 1 1 1 5 4 1 + x = (1 + x) 2 = 1 + x − x2 + x3 − x ... 2 8 16 128 √ 1 1 1 5 10 4 3 1 + x = (1 + x) 3 = 1 + x − x2 + x3 − x ... 3 9 81 243 1 = (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 . . . 1+x 1 1 1 2 14 35 4 √ 3 = (1 + x)− 3 = 1 − x + x2 − x3 + x ... 1+x 3 9 81 243 1 1 1 3 5 35 4 √ = (1 + x)− 2 = 1 − x + x2 − x3 + x ... 1+x 2 8 16 128 2.1.2 Khai triển thành chuỗi các hàm sin x và cos x Các công thức cơ bản sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x
8 sin 3x = 3cos2 x · sin x − sin3 x cos 3x = cos3 x − 3 cos x · sin2 x sin 4x = 4cos3 x · sin x − 4 cos x · sin3 x cos 4x = cos4 x − 6cos2 x · sin2 x + sin4 x sin 5x = 5cos4 x · sin x − 10cos2 x · sin3 x + sin5 x cos 5x = cos5 x − 10cos3 x · sin2 x + 5 cos x · sin4 x Từ đó ta đưa ra quy luật bằng cách viết các kết quả trên theo sơ đồ trong bảng sau Từ bảng trên ta thấy các hệ số tương ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức Newton nếu không quan tâm đến dấu và đi theo chiều mũi tên.
9  sin 2x hệ số 1 2 1 cos 2x  sin 3x hệ số 1 3 3 1 cos 3x  sin 4x hệ số 1 4 6 4 1 cos 4x  sin 5x hệ số 1 5 10 10 5 1 cos 5x Như vậy biểu thức sin mx và cos mx là hai nửa của cùng một công thức trong khai triển nhị thức Newton. Từ các thực nghiệm trên ta có thể đi đến kết luận sau: Nếu khai triển biểu thức (sin x + cos x)m dưới dạng công thức nhị thức thì các phần tử ở vị trí lẻ ghép dấu theo quy luật đan dấu (+, −, +, − . . .) cho ta công thức của cos mx (hàm chẵn) và các vị trí chẵn cùng với việc ghép dấu như trên cho ta công thức khai triển sin mx (hàm lẻ). 2.1.3 Khai triển thành chuỗi và tính giá trị hàm logarit Từ logarit với cơ số tự nhiên ta có thể dễ dàng viết nó dưới dạng chuỗi và từ đó có thể tính logarit với cơ số bất kỳ. Ta xuất 1 n phát từ logarit với cơ số b = 1 + (n là số tự nhiên đủ lớn). n Đặt 1 ny y logb N = y ⇒ b = N ⇒ 1 + = N. (2.1) n Ta sẽ cố gắng từ phương trình (2.1) để tìm y hay tìm logarit cơ số b của N .
10 Đầu tiên lấy căn bậc n cả 2 vế của (2.1) và sau đó khai triển vế trái thành chuỗi nhị thức ta có 1 y 1 1+ =Nn n y 1 y (y − 1) 1 y (y − 1) (y − 2) 1 1 1+ · + · 2+ · 3 + ... = N n. 1 n 1·2 n 1·2·3 n (2.2) Khi đó sẽ nhận được phương trình gần đúng. y 1 1 1+ ≈Nn ⇒y ≈n· Nn −1 . n Như vậy để tính được y lại cần phải lấy căn bậc n của số N (hay 1 1 là lũy thừa của N , ví dụ = 0, 0001). n n 1 Đến lượt tính N n ta lại có thể sử dụng công thức nhị thức nếu N có dạng N = 1 + x với |x| < 1. (Ví dụ N = 1, 736 = 1 + 0, 736, N = 0, 3745 = 1 − 0, 6255, . . .). Với giả thiết như trên ta tìm được logarit một số N bất kỳ h 1 i y ≈ n (1 + x) n − 1 1 1 1 1 1 1 − − − 1 1 2 =n 1+ nx+ n n x2 + n n n x3 1 1·2 1·2·3 1 1 1 1 − − − n n 1 n 2 n 3 4 + x + ... − 1 1·2·3·4 1 1 1 x n −1 2 n −1 n −2 = + x + x3 1 1·2 1 · 2 · 3 1 1 1 n −1 n −2 n −3 + x4 + . . . (2.3) 1·2·3·4 1 1 Nhưng với n rất lớn, rất nhỏ. Khi bỏ trong các biểu thức n n trên chúng ta chỉ làm thay đổi không đáng kể (đương nhiên khẳng
11 định này cần có chứng minh chặt chẽ vì đó là chuỗi vô hạn, tức là chứa vô hạn phần tử). Như vậy chúng ta nhận được biểu thức gần đúng log(1+ 1 )n (1 + x) = logb N = y n thì x x2 (−1) (−2) 3 (−1) (−2) (−3) 4 y≈ − + ·x + · x + ... 1 1·2 1·2·3 1·2·3·4 x x2 x3 x4 x5 ≈ − + − + − ... (2.4) 1 2 3 4 5 Sử dụng dấu hiệu D’ Alembert có thể dễ dàng kiểm tra rằng chuỗi trong vế phải của (2.4) sẽ hội tụ với mọi x mà |x| < 1. 2.2 NHỊ THỨC NEWTON VÀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Trong lý thuyết xác suất người ta chứng minh được rằng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện biến cố A xác định trong dãy phép thử Bernoulli là phân phối nhị thức tức là P (x = k) = Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k (k = 0, 1, 2, . . . , n) 0 < p < 1. Rõ ràng theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có được các tính chất cơ bản sau đây a. n X n X n−k Cnk pk (1 − p) = Cnk pk q n−k k=0 k=0 = (p + q)n = 1 (q = 1 − p). b. Số lần xuất hiện chắc chắn nhất Trị số của P (k) rõ ràng phụ thuộc vào k và p với n cố định.
12 Trong thực tế thống kê nhiều khi cần xác định một giá trị k0 nào đó sao cho P (k0 ) đạt giá trị lớn nhất. Số k0 được gọi là số lần xuất hiện có khả năng nhất trong dãy n phép thử độc lập, ví như số câu trả lời đúng trong một đề thi trắc nghiệm gồm n câu hỏi của một thí sinh trả lời hú họa (phương pháp Random). . . Tức là nếu một đề thi trắc nghiệm 50 câu, mỗi câu 4 phương án học sinh trả lời ngẫu nhiên thì khả năng đúng hy vọng vẫn có thể là 12 câu với số điểm vào khoảng từ 2 đến 2,5 (?) Thành thử với đề thi trắc nghiệm kiểu này thì dưới 2,5 điểm mới được coi là điểm liệt (?). . . c. Kỳ vọng hay số lần trung bình xảy ra biến cố A trong dãy n X E (X) = kCnk pk q n−k = n · p (2.5) k=0 Công thức (2.5) cũng với ý nghĩa thực hành của kỳ vọng toán, trong lý thuyết xác suất là cơ sở cho nhiều bài toán. Ước lượng và kiểm định giả thuyết trong thống kê ứng dụng. d. Phương sai hay độ sai lệch khỏi giá trị trung bình phân phối nhị thức Đã biết trong lý thuyết xác suất phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X được tính theo biểu thức V (X) = E (X − E(X))2 với E(X) là kỳ vọng. Trường hợp X có phân phối nhị thức thì n n !2 X X 2 V (X) = k Cnk pk q n−k − kCnk pk q n−k . k=0 k=0 Và vì vậy V (X) = n (n − 1) p2 + np − n2 p2 = np (1 − p) = npq.
13 Chương 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP CÓ LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NEWTON 3.1 TÌM HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VỚI SỐ MŨ NGUYÊN 3.1.1 Tìm số hạng chứa xk trong khai triển nhị thức Ví dụ 3.1. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 √ n trong khai triển nhị thức Newton của x13 + x5 , biết rằng n+1 n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) (n nguyên dương, x > 0). Lời giải. Ta có n+1 n n+1 n n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) ⇔ (Cn+3 + Cn+3 ) − Cn+3 = 7(n + 3) (n + 2)(n + 3) ⇔ = 7(n + 3) 2! ⇔ n + 2 = 7 · 2! = 14 ⇔ n = 12. Số hạng tổng quát của khai triển là 5 12−k k 60−11k k C12 (x−3 )k x 2 = C12 x 2 Ta có 60−11k 60 − 11k x 2 = x8 ⇔ = 8 ⇔ k = 4. 2 12! Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là C12 4 = = 495. 4!(12 − 4)!
14 3.1.2 Tìm số hạng trung gian trong khai triển một nhị thức Ví dụ 3.2. (ĐH HCQG, 2000) 1 12 a) Tìm hệ số x8 trong khai triển 1 + x b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức n x2 + 1 bằng 1024. Hãy tìm hệ số a a ∈ N∗ của số hạng ax12 trong khai triển đó. ( ĐHSPHN, khối D, 2000) Lời giải. a) Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là k k 12−x 1 k 12−2k ak = C12 x = C12 x (0 ≤ k ≤ 12) x Ta chọn 12 − 2k = 8 ⇔ k = 2. Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là 2 = 66. C12 b) Ta có n n X 1 + x2 = Cnk x2n = Cnk + Cn1 x2 + . . . + Cnk x12−2k . k=0 Với x = 1 thì 2n = Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10. Do đó hệ số a (của x12 ) là C10 6 = 210.
15 3.1.3 Tìm số hạng của nhị thức với số mũ không nguyên theo điều kiện cho trước Ví dụ 3.3. (ĐH Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. √ 1 7 f (x) = 3 x+ √ 4 với x > 0. x Lời giải. Số hạng tổng quát trong khai triển k √ 1 k 7−k 7 7 Tk+1 = C7 3 x √ 4 = C7k x 3 − 12 k (k ∈ N, k ≤ 7) . x 7 7 Ứng với số hạng không chứa x ta có − k = 0 ⇔ k = 4. Vậy 3 12 số hạng không chứa x trong khai triển f (x) là C74 = 35. 3.2 TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP 3.2.1 Các bài toán liên quan tới đạo hàm và tích phân 0 Ví dụ 3.4. Tính tổng 2008C2007 1 + 2007C2007 2007 . + . . . + C2007 Lời giải. Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008, 2007, . . . , 1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu. Thật vậy ta có (x + 1)2007 = C2007 0 x2007 + C2007 1 x2006 + . . . + C2007 2007 0 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C2007 x2006 trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm x (x + 1)2007 = C2007 0 x2008 + C2007 1 x2007 + . . . + C2007 2007 x ⇔ (x + 1)2006 (2008x + 1) = 2008C2007 0 x2007 + 2007C2007 1 x2006 + . . . 2007 + C2007 . Thay x = 1 vào ta tìm được tổng là 2009 · 22006 .
16 Ví dụ 3.5. (CĐ Giao thông III 2003) 1. Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + . . . + (−1)n−1 nCnn (n > 2) 1 1 1 2. Tính tổng T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + . . . + C n biết rằng n 2 3 n+1 n là số nguyên dương thoả điều kiện Cnn + Cnn+1 + Cnn+2 = 79. Lời giải. 1. Ta có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + . . . + Cnn xn . Đạo hàm 2 vế, ta được n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + . . . + nCnn xn−1 . Cho x = −1 0 = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + . . . + (−1)n−1 nCnn . Vậy S = 0. 2. Ta có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + . . . + Cnn xn . Z 1 Z 1 n ⇒ (1 + x) dx = (Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + . . . + Cnn xn )dx 0 0 (1 + x)n+1
1 0 1 1 2 1 2 3 1