zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi Tốt nghiệp THPT

Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 8: Đại số tổ hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Báo xấu

14
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 8: Đại số tổ hợp" cung cấp cho học sinh lớp 10 kiến thức về các khái niệm và công thức tổ hợp. Tài liệu này bao gồm tóm tắt lý thuyết về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, ôn tập các công thức tính cơ bản, kèm theo bài tập trắc nghiệm và tự luận, hướng dẫn lời giải chi tiết. Tài liệu này giúp học sinh nắm vững các công cụ tổ hợp để giải các bài toán đếm và xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 8: Đại số tổ hợp

TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 8. ĐẠI SỐ TỔ HỢP • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 23. QUY TẮC ĐẾM A - Kiến thức cần nhớ Có hai quy tắc đếm quan trọng nhất, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân. Quy tắc cộng. Giả sử có một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án khác nhau: - Phương án 1 có n1 cách thực hiện; - Phương án 2 có n2 cách thực hiện; …. - Phương án k có nk cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là n1  n2  nk cách. Quy tắc nhân. Giả sử có một công việc nào đó phải hoàn thành qua k công đoạn liên tiếp nhau: - Công đoạn 1 có m1 cách thực hiện; - Công đoạn 2 có m2 cách thực hiện; …. - Công đoạn k có mk cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc là m1  m2  mk cách. B - Ví dụ Ví dụ 1. Một lớp học có 16 bạn nam và 14 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra bạn lớp trưởng ? Giải Có hai phương án để bầu ra bạn lớp trưởng: - Phương án 1: bầu 1 trong số 16 bạn nam làm lớp trưởng; - Phương án 2: bầu 1 trong số 14 bạn nữ làm lớp trưởng. Với phương án 1 , ta có 16 cách bầu và với phương án 2 , ta có 14 cách. Như vậy, theo quy tắc cộng, có tất cả 16  14  30 cách bầu ra một bạn làm lớp trưởng. Ví dụ 2. Một câu lạc bộ cầu lông có 10 tay vợt nam và 8 tay vợt nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đôi nam nữ để tham gia một giải đấu đôi nam nữ? Giải Để lập một đôi nam nữ, câu lạc bộ có thể thực hiện hai công đoạn: - Công đoạn 1: chọn 1 trong số 10 tay vợt nam; - Công đoạn 2: chọn 1 trong số 8 tay vợt nữ. Với công đoạn 1 , câu lạc bộ có 10 cách chọn tay vợt nam và với công đoạn 2 , có 8 cách chọn cây vợt nữ. Vì thế, theo quy tắc nhân, số các cách lập ra một đôi nam nữ tham gia giải đấu là 10  8  80 (cách). BÀl 24. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP A - Kiến thức cần nhớ Trong các bài toán đếm, các khái niệm cơ bản nhất là hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Hoán vị. Một hoán vị của một tập hợp n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (n  , n  1) . Số các hoán vị của n , kí hiệu là Pn , được tính bằng công thức: Pn  n!  n  (n  1)  (n  2)2 1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ta quy ước 0!  1 . Chỉnh hợp. Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử, với k , n  ,1  k  n . Số các chỉnh hợp chập k của n , kí hiệu là Ank được tính bằng công thức: k k n! An  n  (n  1)  (n  2)(n  k  1), hay An  . (n  k )! Tổ hợp. Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử, với k , n  , 0  k  n . Số các tổ hợp chập k của n , kí hiệu là Cn , được tính bằng công thức: k k n! Cn  . (n  k )! k ! Để tránh nhầm lẫn các khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, cần lưu ý rằng chỉnh hợp liên quan đến việc chọn có xếp thứ tự còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự. B - Ví dụ Ví dụ 1. Có bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số là đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 ? Giải Mỗi số như vậy tương ứng với một cách sắp xếp có thứ tự các chữ số 1, 2,3 , 4,5. Như vậy, số các số có 5 chữ số thoả mãn yêu cầu của bài toán bằng số các hoán vị của 5 , nghĩa là có P5  5  4  3  2  1  120. (số) Ví dụ 2. Cửa hàng kem có các vị va ni, sô cô la, dâu, trà xanh, cà phê, chuối, sầu riêng. Lan muốn mua một cốc kem có hai vị khác nhau. Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn? Giải Có 7 loại kem khác nhau. Lan muốn chọn 2 loại từ 7 loại kem đó. Do đó, số cách chọn là 2 76 C7   21 (cách) 2 BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON A - Kiến thức cần nhớ Các công thức khai triển nhị thức Newton cho ( a  b)4 và ( a  b)5 : ( a  b)4  C4 a4  C4 a3 b  C4 a2 b2  C4 ab3  C4 b4 0 1 2 3 4  a 4  4 a3 b  6 a2 b2  4 ab3  b 4 ( a  b )5  C5 a5  C5 a 4 b  C5 a3 b2  C5 a2 b3  C5 ab4  C5 b5 0 1 2 3 4 5  a5  5a 4 b  10 a3 b2  10a2 b3  5ab 4  b5 B - Ví dụ Ví dụ 1. Khai triển ( x  3) 4 . Giải Áp dụng công thức khai triển của (a  b)4 với a  x, b  3 , ta có ( x  3)4  x 4  4 x 3  3  6 x 2  32  4 x  33  34  x 4  12 x 3  54 x 2  108 x  81 Ví dụ 2. Hãy sử dụng ba hạng tử đầu tiên trong khai triển của (3  0, 02)5 để tính giá trị gần đúng của 2,985 . Xác định sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được. Giải Ta có 2,985  (3  0, 02)5 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Sử dụng công thức khai triển (a  b)5 , áp dụng cho a  3, b  0, 02 , ta thu được: 2,985  (3  0, 02)5  35  5  34  (0, 02)  10  33  (0, 02)2   243  405  0, 02  270  0, 0004    243  8,1  0,108    235, 008. Bằng máy tính, ta kiểm tra được rằng giá trị đúng là 235,0072823968. Như vậy, sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được trên đây là | 235, 0072823968  235, 008 | 0, 0007176032. PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN CÂU HỎI TỰ LUẬN Câu 1. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau? Câu 2. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 . Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7? 10  1  Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển   3 x . 5x  Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể? Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6? Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ a , b , c , d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a ? Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn? Câu 11. Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5 . Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500  ? Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000? Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6 trong đó các chữ số đều khác nhau? Câu 14. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy? Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66 . Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu? Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng? Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được thỏa mãn? n  3 x Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức  x 2 x   bằng 36. Hãy tìm số  x    hạng thứ 7. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40  1  Câu 20. Tìm hệ số của x 31 trong khai triển f  x    x  2  .  x  6  4  Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển  4 x  2 x 21  bằng 240.  4  x  1  Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển  3 2  3  tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng  3 1 tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng . 6 Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. n 0 1 1 1 2 S  C  Cn  Cn  ...   1  C n n Câu 24. Tính tổng 2 3 n1 n Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B , người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ chối tham gia? Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ? Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp. Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp? Câu 30. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ? Câu 31. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M . Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác M , trên b lấy 10 điểm phân biệt khác M . Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác? Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là 7? Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván? Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên. Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu? Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau? Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã cho, nhiều nhất là bao nhiêu? 28 n    Câu 43. Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x , biết rằng   n n 1 n2 Cn  Cn  Cn  79 . 12  x 3 Câu 44. Trong khai triển nhị thức    . Tìm hạng tử độc lập với x ? 3 x 1 2 3 4 n 1 n A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cn Câu 45. Tính . 10 1 2  Câu 46. Cho khai triển nhị thức   x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a10 x10 . Tìm số hạng ak lớn nhất. 3 3  Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. 26 0 25 1 2 4 23 3 2 2 2 5 1 6 S  C6  C6  C62  C6  C64  C6  C6 Câu 48. Tính tổng 1 2 3 4 5 6 7 . n n n 1 n  x 1  x  0 x 1  1 x 1   x n x   Câu 49. Cho khai triển  2 2  2 3   Cn  2 2   Cn  2 2  2 3  ...  Cn  2 3  ( n là số nguyên         3 1 dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n . Tìm n và x . LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau? Lời giải Số cách chọn số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2.1 = 96. Số cách chọn số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2 = 96. Số cách chọn số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3 = 48. Số cách chọn số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4 = 16. Số cách chọn số tự nhiên có 1 chữ số là: 5. Vậy có thể lập được 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Câu 2. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 . Lời giải Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a4  a1  0  . - Chữ số 5 đứng đầu  a1  5 :  3 a1 có 1 cách chọn; a2 a3 a4 có A6 cách. 3 Suy ra trường hợp này có 1. A6  120 số. - Chữ số 5 không đứng đầu  a1  5  : có 3 vị trí để đặt chữ số 5 , khi đó: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 a1 có 5 cách (khác 0 và 5 ); hai chữ số còn lại có A5 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 3  5  A52  300 số. Vậy có tất cả 120  300  420 số. Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải Gọi số cần tìm là a1 a2 a3  a1  0  . - Chữ số cuối cùng bằng 0  a3  0  : a3 có 1 cách chọn; a1 có 9 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 1  9  8  72 số. - Chữ số cuối cùng khác 0  a3  0 : a3 có 4 cách chọn; a1 có 8 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 4  8  8  256 số. Vậy có tất cả 72  256  328 số cần tìm. Chọn đáp án A . Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Do đó có thể viết được A54  120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7? Lời giải Giả sử số cần tìm là abcde trong đó a  0 và a ; b ; c ; d ; e đôi một khác nhau. Do một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7 nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a  7 . Do bcde đôi một khác nhau khác a và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A74 cách chọn bcde . Vậy có 1.A74 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số đầu tiên bằng 7. Trường hợp 2: b  7 . a  0 Do  và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn; a  b 3 cde đôi một khác nhau khác a và b và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A6 cách chọn cde . 3 Vậy có 6.A6 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số thứ 2 bằng 7. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Trường hợp 3: c  7 . a  0 Do  và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn; a  c 3 bde đôi một khác nhau khác a và c và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A6 cách chọn bde . 3 Vậy có 6.A6 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số thứ 3 bằng 7. 4 3 Vậy có 1.A7  1.2.6. A6 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 10  1  Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển  5  3 x  .  x  Lời giải 10 10  1  1 k Ta có  5 3 x    C10k 10  k .  x . 3  x  k 0  x 5 10 k    1  Do  nên số hạng đứng giữa của khai triển   3 x  là số hạng ứng với k  5 . 0  k  10 5  x  10  1  1 5 5 Suy ra số hạng đứng giữa của khai triển  5  3 x  là C10 5  x 3  C10 3 x 2 . 5  x   x 5 Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể? Lời giải Giả sử vị trí xếp chú rể, cô dâu và 4 người bạn được đánh số là 1 2 3 4 5 6 7. Do cô dâu đứng bên trái chú rể nên chú rể chỉ được đứng ở các vị trí 2 3 4 5 6 7. Giả sử chú rể đứng ở vị trí x với x   2 ; 6  . Khi đó số cách xếp cô dâu sao cho cô dâu luôn đứng bên trái chú rể x  1 và 4 bạn còn lại đảo xếp trong 4 vị trí còn lại. 6 Vậy có 4!.  x  1  360 cách xếp vị trí chú rể, cô dâu và bốn bạn còn lại sao cho cô dâu đứng ở x2 phía bên trái chú rể. Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6? Lời giải Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 là 4k khi đó ta có: k   k      k  0;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7 ;8;9 ;10;11;12;...; 25 . 0  4k  100 0  k  25 Vậy có 26 số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4. Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6 là 6 p khi đó ta có: k   p    50  p  0;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7 ;8;9 ;10;11;12;13 ; 14;15 ; 16 . Vậy có 17 số 0  6 p  100 0  p   3 tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6. Do số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 thì chia hết cho 12. Nên gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 là 12q khi đó ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ q   q       25  q  0 ;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7; 8  . Vậy có 9 số tự nhiên không lớn hơn 0  12q  100 0  q  3  100 chia hết cho 6. Vậy có 26  17  9  34 số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6. Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ a , b , c , d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a ? Lời giải Xếp bốn chữ thành một dãy có 4!  24 cách. Ta đi tìm số cách xếp bốn chữ a, b, c, d thành một dãy sao cho b luôn đi liền sau chữ a Ta coi ab là một nhóm còn 2 chữ số c, d mỗi chữ cái một nhóm. Xếp chỗ cho 3 nhóm này có 3!  6 cách. Vậy có 24  6  18 cách xếp sao cho chữ b không đi liền sau chữ a . Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn? Lời giải Gọi số cần tìm là abcdefg Vị trí a có 9 cách chọn. Các vị trí b, c, d , e, f mỗi vị trí có 10 cách chọn Vị trí g TH1: Nếu a  b  c  d  e  f là một số chẵn thì chọn g cũng phải là một số chẵn suy ra có 5 cách chọn g . TH2: Nếu a  b  c  d  e  f là một số lẻ thì chọn g cũng phải là một số lẻ suy ra có 5 cách chọn g . Vậy chọn g có 5 cách chọn. Vậy có 9.105.5 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11. Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4,5 . Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500  ? Lời giải Gọi số cần tìm là abc Chọn a  3; 4 có 2 cách chọn. 2 2 Chọn bc có A4 . Vậy có 2.A4 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000? Lời giải: + TH1: Xét số có 4 chữ số dạng: abcd Chọn a: 2 cách ( số 6 và 7) 3 Chọn bcd : A4 cách. 3 Có 2A4 số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. + TH2: Xét số có 5 chữ số dạng: abcde 5 Có 5! = A5 cách chọn abcde 5 Có A5 số có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. 3 5 Vậy có thể lập 2A4  A5 số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6 trong đó các chữ số đều khác nhau? Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcde . ( a  0 ) Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG + Chọn ab từ 6;7;8;9 có A cách. 2 4 + Chọn cde từ 0;1;2;3; 4;5 có A6 cách. 3 2 3 Vậy có A4 . A6 =1440 số thỏa đề. Câu 14. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy? Lời giải: Vì P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Nên x, y, z được chọn từ 0;1; 2;3;4;5;6;7;8;9 . + Chọn x : 10 cách. + Chọn y : 10 cách. + Chọn z : 10 cách. Vậy có 10.10.10 = 1000 ( điểm P thỏa đề). Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66 . Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu? Lời giải: Gọi tổng số vận động viên là n (n  *, n  2) . Số vận đông viên nam là n  2 . 2 (n  2)! Số ván các VĐV nam chơi với nhau là: 2.Cn 2 = 2.  (n  2)(n  3) . 2!( n  4)! Số ván các VĐV nam chơi với 2 VĐV nữ là: 2.(n  2).2  4( n  2) .  n  13 Theo đề bài ta có: (n  2)(n  3)  4(n  2)  66    n  4 Mà n  *, n  2  n  13 . 2 Số ván tất cả VĐV chơi là 2.C13  156 Vậy có 13 VĐV và 156 ván. Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? Lời giải 4 TH1: 0 nữ 4 nam có C10 cách chọn. 1 3 TH2: 1 nữ 3 nam có C5C10 cách chọn. TH3: 2 nữ 2 nam có C52C10 cách chọn. 2 Vậy có C10  C5C10  C52C10  1260 cách chọn thỏa đề. 4 1 3 2 Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng? Lời giải 1 Chọn loại cây trồng trong 2 hố có C3  3 cách. 2 Chọn 2 hố sẽ trồng cùng 1 loại cây có C4  6 cách. 1 Chọn 1 loại cây trồng ở hố tiếp theo có C2  2 cách. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy có 3.6.2  36 cách trồng cây. Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được thỏa mãn? Lời giải 4 Xếp 4 người ngồi quay mặt về hướng tàu đi có A5 cách. 3 Xếp 3 người ngồi quay về hướng ngược lại có A5 cách. Xếp 3 người còn lại vào các vị trị còn lại có 3! cách. Vậy có A54 A5 3!  43200 cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn các yếu tố được đưa ra. 3 n  3 x Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức  x 2 x   bằng 36. Hãy tìm số  x    hạng thứ 7. Lời giải k 3x nk Số hạng tổng quát của khai triển C . x x  x  , .  n  n, k  , 2  n  k 2    Vì hệ số của số hạng thứ 3 bằng 36 nên ta được 2 n! n  9  N  Cn  36   36  n  n  1  72   2! n  2  !  n  8  L  6 3x 3 Vậy số hạng thứ 7 là C . x 6 9  2  3  x   84 x x . x .    40  1  Câu 20. Tìm hệ số của x 31 trong khai triển f  x    x  2  .  x  Lời giải 40 k k  1  k x 0  k  40 Số hạng tổng quát: C40 .x 40 k .  2   C40 . 2 k  C40 .x 403k với  k k x  x k   Số hạng này chứa x 31 khi 40  3k  31  k  3 (thỏa mãn) 3 Hệ số của số hạng chứa x 31 là C40 . 6  4  Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển  4 x  2 x 21  bằng 240.  4  Lời giải Số hàng thứ 5 của khai triển là 2 2 2 4    1  4  1 41x  4  1 1   1  4 4 4  4  4 4.1 4 x  4 x 4 6  4  C .  4  x  . 2 x 2 1   C . 14 6  4 x   .  2.2 x   C64 .  4         .  2 x   C64 .2     8  .2  C64 .2 4 x x 4  4 4 4 4 4 8  4 x x 4 4 4 8 4  4 x x Theo giả thiết: C6 .2  240  2  4  4  0  16  8  4 x x 4 x x 2  4 x  16  4 x  4 x  4  x   0  4 x  16 x  16  0  x  2 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG x  1  Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển  3 2  3  tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng  3 1 tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng . 6 Lời giải x x 3 1   1 1   2   23  3 3     3  3   Điều kiện x  6, x  * Ta có: 1 x 6 6 6   1  Cx  23   3 3  1 x 12 1 12  x x 12 x 12 x12      1   23  . 3 3  1  1 3  1 3 1  1 1 3 3 1        2  . 3     2 .3   1 6 1 x 6 6 6 6 6                C xx 6  2 3   3 3      x 12  1 1 x 12 x  12   63    6 3  61   1  x  9 (nhận)   6 3 Vậy x  9 . Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. Lời giải 6 Số cách chọn 6 người tùy ý: C14  3003 Số cách chọn 6 người chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: C6  C86  29 6 Số cách chọn 6 người có cả nam lẫn nữ: 3003  29  2974 . n 1 1 1 2 0 Câu 24. Tính tổng S  C  Cn  Cn  ...    1 C n n 2 3 n1 n Lời giải 1 k 1 k 1 Ta chứng minh công thức Cn  Cn 1 với k , n là các số tự nhiên và k  n . k 1 n 1 Ta có 1 k Cn  1 . n!   n  1!  1 k Cn 11 . k 1 k  1 k !.  n  k  !  n  1 .  n  1   k  1  !.  k  1 ! n  1   Áp dụng công thức trên ta được n 1 1 1 2 0 S  C  Cn  Cn  ...   1 C n n n 2 3 n 1 n = 1 1 Cn 1  1 2 Cn 1  1 3 Cn 1  1 4 Cn 1  ...   1 C n1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1  1 n = C  Cn1  Cn1  Cn 1  ...   1 Cn 1  2 3 4 n 1 n 1  n 1  Ta tính Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 2 3 4 n n 1 T  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 Cn 1 1 2 3 4 n 1 n 1  T  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 Cn 1 0 1 2 3 4 n 1 n 1  1  T  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn1  Cn 1  ...   1 Cn 1  1 T  0  T  1. 1 Vậy S  . n 1 Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? Lời giải 3 Số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm là C10 . 3 Số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm thẳng hàng là C4 . 3 3 Số tam giác có đỉnh là 3 trong các điểm trên là C10  C4 . Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B , người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ chối tham gia? Lời giải Trong nhóm có cậu A và cô B từ chối tham gia nên nhóm còn lại 9 nam và 4 nữ. Số cách họn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ xảy ra các trường hợp sau: TH1: Chọn ra 2 nam và 3 nữ có C92C4 cách chọn. 3 3 2 TH2: Chọn ra 3 nam và 2 nữ có C9 C4 cách chọn. Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là C92C4  C9 C4 cách chọn. 3 3 2 Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ? Lời giải Để chọn chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ta thực hiện các bước sau: 3 Chọn 3 nguyên âm từ 5 nguyên âm có C5 cách chọn. 1 Chọn 1 phụ âm ( trừ q và v ) từ 19 phụ âm có C19 cách chọn. Hoán vị 6 kí tự có 6! . 3 1 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là C5 .C19 .6! . Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp. Lời giải Giả sử các phiếu được chọn có số thứ tự là a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và 1  a1  a2  a3  a4  a5  90 . Ta xét trường hợp không tồn tại hai phiếu nào có số thứ tự là hai số liên tiếp. Mỗi trường hợp như vậy tương ứng với bộ  a1 , a2 , a3 , a4 , a5  thỏa mãn Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG 1  a1  a2  a3  a4  a5  90 và ai 1  ai  2, i  1, 4 1 . Đặt b1  a1 , b2  a2  1, b3  a3  2, b4  a4  3, b5  a5  4 , ta có 1  b1  b 2  b3  b4  b5  86 và bi 1  bi  2, i  1, 4  2 . Ta thấy số cách chọn bộ  a1 , a2 , a3 , a4 , a5  thỏa mãn 1 bằng số cách chọn bộ 5 5 5  b1 , b2 , b3 , b4 , b5  thỏa mãn  2 và bằng C86 . Vậy có C90  C86 cách rút phiếu. Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp? Lời giải 2 2 Thầy giáo thứ nhất có C6 cách chọn lớp, thầy giáo thứ nhất có C4 cách chọn 2 trong ách chọn 2 2 2 lớp còn lại. Vậy có tất cả C6 C4 cách chia lớp. Câu 30. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ? Lời giải Hai điểm  x1 , y1 , z1  và  x2 , y2 , z2  không cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox khi x1  x2 . Vậy mỗi hệ có nhiều nhất 10 điểm. Câu 31. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M . Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác M , trên b lấy 10 điểm phân biệt khác M . Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác? Lời giải 3 3 3 Có C20 cách chọn 3 điểm trong 20 điểm đã cho, có C10 cách chọn 3 điểm trên a , có C11 cách 3 3 3 chọn 3 điểm trên b . Suy ra lập được C20  C10  C11 tam giác. Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? Lời giải 1 Bước 1: Cho bạn A mượn 2 quyển trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết: 1. C8 cách 2 Bước 2: Cho bạn B mượn 2 quyển: C7 cách 3 Bước 3: Cho bạn C mượn 3 quyển: C5 cách Vậy bạn D có: C8C72C53 cách cho mượn 1 Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Lời giải 1 2 Lấy 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 có: C10 .C20 tam giác 2 1 Lấy 2 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 1 trên đường thẳng thứ hai có: C10 .C20 tam giác 1 2 2 1 Vậy tổng cộng ta có C10 .C20 + C10 .C 20 tam giác Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? Lời giải - Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Bước 1: Chọn a có 5 cách Bước 2: Điền 5 chữ số vào bcde có A54 cách Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Suy ra có 5. A54  600 số có 5 chữ số khác nhau. - Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. Coi chữ số 3, 4 là chữ số M. TH1: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau abcd bất kì, có mặt chữ số M Bước 1: Điền chữ số M có 4 cách 3 Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại khác M vào 3 vị trí có A4 cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3, 4 trong M có 2 cách 3 Suy ra có 4. A4 .2  192 số TH2: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau 0bcd bất kì, có mặt chữ số M Bước 1: Điền chữ số M có 3 cách Bước 2: Điền 3 chữ số còn lại khác M vào 2 vị trí có A32 cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3,4 trong M có 2 cách Suy ra có 3. A32 .2  36 số Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau 192  36  156 Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau 600  156  444 . Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? Lời giải Gọi số cần tìm là 5bcd Bước 1: Điền chữ số 4 có 3 cách Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại vào 2 vị trí có A42 cách. 2 Vậy số các số cần tìm là 3A4 Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là 7? Lời giải TH1 : Chữ số cuối là chữ số 0 Chọn vị trí cho số 7 có 2 cách và lấy 2 trong 4 chữ số còn lại sắp vào 2 vị trí còn lại số cách là 4.3= 12 suy ra TH1 có 2.12= 24 số TH2 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đầu là 7 Chọn chữ số cuối có 2 cách, hai chữ số đứng giữa có 4.3= 12 cách suy ra TH2 có 2.12= 24 số TH3 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đứng thứ hai là 7 Chọn chữ số cuối có 2 cách, chọn chữ số đứng đầu có 3 cách, chọn chữ số đứng thứ 3 có 3 cách suy ra TH3 có 2.3.3 = 18 số. Vậy có 24 +24 + 18 = 66 số. Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván? Lời giải Giả sử số người tham gia là n (n  , n  2) suy ra số ván cờ khi 2 người bỏ cuộc là Cn 2 . Do 2 2 trước khi 2 người bỏ cuộc đã chơi được 2.3 = 6 ván nên số ván cờ thực tế là Cn 2 + 6 = 84 (theo gt của đề bài), giải phương trình này được n =15 . Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Giả sử các đường thẳng đôi một cắt nhau và không có bất cứ 3 đường nào đồng quy thì số giao 2 điểm là C10 . Do có 4 đường thẳng trong số 10 đường thẳng song song nên số giao điểm thức tế là 2 2 C10  C4  39 . Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên. Lời giải Do ở các hàng thứ nhất, hai, ba, tư và năm các chữ số 1,2,3,4,5 đều xuất hiện 4 ! số nên suy ra tổng các số cần tìm là :  (1  2  3  4  5).104  (1  2  3  4  5).103  (1  2  3  4  5).102    .4!  3999960.   (1  2  3  4  5).10  (1  2  3  4  5)  Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu? Lời giải Cả cậu Huy và cô Thục đều nằm trong ban cán sự. Ta chọn thêm 3 người làm cán sự (trong 49 3 3 người còn lại) có C49 cách. Vậy số cách bầu được ban cán sự theo yêu cầu là C49 cách. Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau? Lời giải 5 Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người bất kì trong 51 người là C51 cách. 3 Số cách bầu ban cán sự mà cậu Huy và cô Thục làm việc chung là C49 cách. Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người mà cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau là 5 3 C51  C49 cách. Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã cho, nhiều nhất là bao nhiêu? Lời giải Đường thẳng cần dựng là đường thẳng đi qua 2 điểm nên có C52  10 đường thẳng. 1 Qua mỗi điểm A chẳng hạn, có C4  4 đường thẳng. Do đó có 6 đường thẳng không đi qua A . Vậy từ A có C52  C4  6 đường thẳng vuông góc. 1 Xét hai điểm bất kì B  A . Các đường thẳng vuông góc từ B xuống các đường thẳng đi qua A cắt tất cả các đường thẳng vuông góc hạ từ A . Có 3 đường thẳng qua A mà không qua B . Vậy từ B ta hạ được 3 đường thẳng vuông goc với 3 đường thẳng đó. Ba đường thẳng vuông góc này cắt 6 đường vuông góc hạ từ A tại 3.6  18 điểm. Hạ từ B còn có ba đường vuông góc nữa, mỗi đường này sẽ cắt 5 đường vuông góc hạ từ A ( nó song song với một đường còn lại). Vậy có 3.5  15 giao điểm. Vậy có tổng cộng 10. 18  15  330 giao điểm. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Nhưng cứ mỗi 3 giao điểm lại tạo thành một tam giác mà 3 đường cao của nó là 3 đường vuông góc đã xét. Vậy các trực tâm của các tam giác này được kể 3 lần. Số các tam giác được tạo thành 3 là C5  10 . Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là 330  10  320 . 28 n    Câu 43. Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x , biết rằng   n n 1 n2 Cn  Cn  Cn  79 . Lời giải Điều kiện: n   * n(n  1) n n n Ta có Cn  Cn 1  Cn 2  79  1  n   79  n  12  tm  2 28 12 28  3   12 k 4 12  k  15 k 12 k 48 16  k Xét khai triển  x x  x    C12  x  15 3 x  C12  x  15 .   k 0 k 0 48 Số hạng không phụ thuộc vào x ứng với k thỏa mãn 16  k  0  k  5. 15 5 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển trên là C12  792 . 12  x 3 Câu 44. Trong khai triển nhị thức    . Tìm hạng tử độc lập với x ? 3 x Lời giải Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có: 12 12 12  k k 12  x 3 k  x 3      C12 .   .     C12 .32 k 12.x12 2 k k (k  , k  12) . 3 x k 0 3  x  k 0 Ta có số hạng tổng quát: Tk 1  C12 .32 k 12.x12 2 k với (k  , k  12) . k Hạng tử độc lập với x ứng với 12  2k  0  k  6 (thỏa mãn). 6 Vậy hạng tử không chứa x là T7  C12 1 2 3 4 n 1 n Câu 45. Tính A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cn . Lời giải k n! n! n.  n  1 !  n  1!  n.C k 1 . Ta có: kCn  k .    n. n 1  n  k !.k !  n  k !.  k  1!  n  k !.  k  1!  n  k !.  k  1 ! Thay vào biểu thức A ta có: 1 2 3 4 n 1 A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cnn 0 1 2 3 n 1 n 1  nCn1  nCn1  nCn 1  nCn1  ...   1 nCn 1 n 1  n Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 0 1 2 3 Cn 1  n 1   Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG n 1  n 1  1 0. 10 1 2  Câu 46. Cho khai triển nhị thức   x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a10 x10 . Tìm số hạng ak lớn nhất. 3 3  Lời giải Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có: 10 10 10  k k 10 k 1 2  k 1 2  k 2   x    C10 .   .  x    C10 . 10 .x k với (k  , k  10) . 3 3  k 0 3  3  k 0 3 k 2k Ta có: ak  C10 . 310 2k 1 k 2 k 10! 10! k Xét ak 1  ak  C101. 10 k k  C10 . 10  2C101  C10  2.  3 3  9  k !.  k  1! 10  k !.k ! 2 1 19    20  2k  k  1  k  . k  1 10  k 3  a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 .(1) 2k 1 k 2 k 10! 10! k Xét ak 1  ak  C101. 10 k k  C10 . 10  2C101  C10  2.  3 3  9  k !.  k  1! 10  k !.k ! 2 1 19    20  2k  k  1  k  k  1 10  k 3  a7  a8  a9  a10 .(2) 27 7 Từ (1) và (2) ta có số hạng a7  .C10 là số hạng lớn nhất. 310 Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. Lời giải 5 + Số cách chon ra 5 người mà không có nam là C6 . + Số cách chọ ra 5 người mà có 1 nam và 4 nữ là C64 .C4 . 1 + Vậy số cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam là C64C4  C6  C62C4  C6 . 1 5 1 5 26 0 25 1 2 4 2 23 3 2 2 4 2 5 1 6 S C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 Câu 48. Tính tổng 1 2 3 4 5 6 7 . Lời giải + Một cách tổng quát, ta 1 k 1 n! n! 1 (n  1)! 1 có Cn    .  k Cn 11 . k 1 k  1 (n  k )!k ! (n  k )!(k  1)! n  1 ((n  1)  (k  1))!(k  1)! n  1 26 0 25 1 2 4 2 23 3 2 2 4 2 5 1 6 + Do đó S  C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 1 2 3 4 5 6 7 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 26 1 25 2 2 4 3 23 4 2 4 5 2 6 1 7 S C7  C7  C7  C7  C7  C7  C7 7 7 7 7 7 7 7 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7  7 S  2 C7  2 C7  2 C7  2 C7  2 C7  2C7  C7  7 S  27 C7  27 C7  26 C7  25 C72  24 C7  23 C74  22 C7  2C7  C77 0 0 1 3 5 6 7  7 S  27 C7   C7k 27 k 1k 0 k 0 7 7 3 2 S . 7 n n n 1 n  x 1  x  0 x 1  1 x 1   x n x   Câu 49. Cho khai triển  2 2  2 3   Cn  2 2   Cn  2 2  2 3  ...  Cn  2 3  ( n là số nguyên         3 1 dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n . Tìm n và x . Lời giải 3 1 n! n! + Ta có Cn  5Cn   5 , (điều kiện: n   , n  3 ). 3!(n  3)! 1!(n  1)! 1 5   6(n  3)! (n  3)!(n  2)(n  1)  ( n  1)( n  2)  30  n 2  3n  2  30  0  n 2  3n  28  0 n  4(ktm)  n  7(tm) + Vì số hạng thứ tư bằng 20n nên n 3 x 3 3 x 1   3  C 2 2  n  2   20n     7 3 3 3 x 1    x   C  2 2   2 3   20.7 7     2( x 1) x  35.2  2  140 x 2 2 4  x2  2  x  4. + Vậy x  4, n  7. PHẦN 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Hãy chọn phương án trả lời đúng nhất trong các phương án sau A. 1260. B. 4 A64  3 A53 . C.  A7  A64    3 A64  3 A53  . 5 D. Cả ba đáp án trên đều đúng. Câu 2. Trong một buổi dạ vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người ra khiêu vũ? 2 2 2 2 A. A22 . B. A18 . C. C40 . D. A40 . Câu 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách theo thứ tự? Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG A. P . 5 B. A50 . 1 C. A5 . D. C55 . Câu 4. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con? 3 A. C52 . 3 B. A52 . C. 523 . D. 352 . Câu 5. Trong một ủy ban có 10 người, cần chọn ra 3 người để 1 người làm chủ tịch, 1 người làm phó chủ tịch và 1 người làm thư ký. Hỏi có thể có bao nhiêu cách chọn? 3 3 3 3 A. C10 . B. C10  3! . C. 3! A10 . D. 3C10 . Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? A. A10  A94 . 5 5 B. A10 . C. C10  C94 . 5 D. A94 . Câu 7. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8? A. C53  C42 . B. 43 . C. A53  A42 . D. A53 . Câu 8. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay biết rằng chỉ có 8 vị thẩm phán? A. A82 . B. C82 . 1 C. C8 . D. 16. Câu 9. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Biết rằng có 36 cái bắt tay được thực hiện (hai vị thẩm phán bất kỳ chỉ bắt tay nhau đúng một lần). Hỏi đoàn thẩm phán có bao nhiêu người? A. 18. B. 10. C. 9. D. 8. 17  1  Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức   4 x3  với x  0 . 3 2  x  7 17 8 A. C17 . B. C8 . C. Không tồn tại. D. C17 . Câu 11. Có 8 vận động viên võ thuật tham gia thi đấu theo hình thức loại trực tiếp trong mỗi trận đấu, người thắng cuộc sẽ tiếp tục đấu ở vòng sau. Kết thúc giải đấu, ba người xếp hạng ở vị trí nhất, nhì và ba sẽ lần lượt được nhận huy chương vàng, huy chương bạc và huy chương đồng. Hỏi có bao nhiêu khả năng trao huy chương cho các vận động viên biết rằng khả năng chiến thắng của các vận động viên là như nhau? A. A83 . B. C83 . C. 8! . D. 83 . Câu 12. Có 4 người nam và 3 người nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 4! 3!. B. 7! . C. 4! 5! . D. 4! 3!. Câu 13. Một người sắp xếp thời khóa biểu cho 7 môn học. Do ngày Thứ Hai có tiết sinh hoạt tập thể nên chỉ có 3 tiết học văn hóa. Người đó dự định sắp xếp 3 môn học cho ngày Thứ Hai, mỗi môn có 1 tiết học. Hỏi người đó có bao nhiêu khả năng xếp thời khóa biểu cho ngày Thứ Hai đó. A. C73 . 3 B. A7 . C. 3! . D. 7! Câu 14. Có 10 viên bi kích thước hoàn toàn giống nhau, trong đó có 7 viên bi màu trắng và 3 viên bi màu đen. Ta xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? 3 3 A. C10 . B. A10 . C. 10! . D. 7!3! Câu 15. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau? A. 48. B. 72. C. 120. D. 150. Câu 16. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9. Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau? A. 120. B. 184. C. 288. D. 360. Câu 17. Có 12 công nhân xây dựng. Người đội trưởng bố trí 3 người làm ở A, 4 người làm ở B và 5 người làm ở C. Có bao nhiêu cách bố trí? A. 19248. B. 19720. C. 20150. D. 27720. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh? 5 5 5 5 A. C26 . B. A24 . C. A26 . D. C24 . Câu 19. Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam bằng số ủy viên nữ? 6 3 3 3 3 6 6 A. C25 . B. C10 .C15 . C. A10  A15 . D. C10 .C15 . Câu 20. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 4 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 1? A. 4 A53  3 A4 . 3 B.  A64  A5    A54  A4  . 3 3 C. 4 A53  4 A42 . D. A64  A54 . Câu 21. Kí hiệu Ck n là số tổ hợp chập k của n phần tử. Tính giá trị của tổng S  C 0 n  C 2 n 32  C 4 n 34  ...  C 2 n 32 n. 2 2 2 2n A. 22 n1  22 n  1 . B. 22 n  22 n1  1 . C. 22 n1  22 n  1 . D. 22 n  22 n1  1 . Câu 22. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó? 3 2 3 2 2 3 3 4 A. C10 C11 . B. C12 C11 . C. C10 C10 . D. C12 C12 . Câu 23. Cho một tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau. Xét các tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp trên. Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy? A. 210  1 . B. 28  1 . C. 211  1 . D. 29  1 . Câu 24. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu? 4 4 4 4 4 5 4 4 4 A. C 7  C8 . B. C8 .C 7 . C. C 7  C8 . D. C 7  C8  C5 . Câu 25. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n nội tiếp đường tròn tâm O , với n là số nguyên dương, n  2 . Biết rằng số tam giác có các đỉnh là ba trong số 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n nhiều gấp hai mươi lần số hình chữ nhật có đỉnh là bốn trong 2n điểm đó, tìm n . A. n  7 . B. n  8 . C. n  9 . D. n  10 . Câu 26. Có 10 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác lồi? 4 4 2 2 A. C10 . B. A10 . C. C10 . D. A10 . Câu 27. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam? 4 4 4 4 4 4 A. C30 . B. C20 . C. C30  C 20 . D. C30  C10 . Câu 28. Từ các số 0, 4, 5, 7, 9. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5. A. 96. B. 42. C. 60. D. 72. Câu 29. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho các số đó không tận cùng bằng chữ số 5? A. 5160. B. 840. C. 120. D. 720. Câu 30. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? A. 35. B. 210. C. 120. D. 6!. Câu 31. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh đứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho các bạn nữ đứng chung với nhau? A. 3!.3!. B. 3!.3!.2!. C. 3!.4!. D. 6!. Câu 32. Từ 9 nam và 6 nữ có bao nhiêu cách lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ? 5 A. C15 . B. C92 .C62 . C. C92 .C6  C93 .C62 . 3 D. C92 .C93 . Câu 33. Một toà án có 9 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào cửa này và ra bằng cửa khác? Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.