intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu này tóm tắt lý thuyết về hệ tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, ôn tập các công thức tính cơ bản, kèm theo bài tập trắc nghiệm và tự luận, hướng dẫn lời giải chi tiết. Tài liệu này giúp học sinh áp dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo "Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" để làm chủ hình học tọa độ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

  1. TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀl 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A - Kiến thức cần nhớ   - Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với  . - Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax  by  c  0 , với a và b không đồng thời bằng 0 .  - Phương trình đường thẳng đi qua M  x0 ; y0  và nhận vectơ n (a; b ) là vectơ pháp tuyến có dạng a  x  x0   b  y  y0   0 hay ax  by  ax0  by0  0 . - Mỗi phương trình dạng ax  by  c  0 (a và b không đồng thời bằng 0 ) đều là phương trình tổng quát của  một đường thẳng, nhận n ( a; b) là vectơ pháp tuyến.   - Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với  .    - Nếu n ( a; b) là một vectơ pháp tuyến của  thì u ( b; a ) và v (b;  a ) là các vectơ chỉ phương của  .    - Nếu u ( a; b) là một vectơ chỉ phương của  thì n1 (b; a) và n2 (b; a) là các vectơ pháp tuyến của  .  - Đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận u ( a; b) là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số  x  x0  at của đường thẳng  là  .  y  y0  bt B - Ví dụ   Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (1; 2) và hai vectơ n (3; 2), u (2;1) .  a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M nhận vectơ n là vectơ pháp tuyến.  b) Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua M nhận vectơ u là vectơ chỉ phương. c) Lập phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc bằng 3. Giải a) Áp dụng công thức ta có phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là 3( x  1)  2( y  2)  0  3 x  2 y  7  0.  x  1  2t b) Áp dụng công thức ta có phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là  y  2  t c) Phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc bằng 3 là y  3( x  1)  2 hay y  3x  5 . Lưu ý - Phương trình tham số của một đường thẳng có thể có hình thức khác nhau do cách chọn điểm đi qua và vectơ chỉ phương. - Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  x0 ; y0  , có hệ số góc k là: d : y  k  x  x0   y0 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A(1;0), B(1; 2) và C (3;3) . a) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB . b) Lập phương trình đường trung trực của đoạn AB . c) Tìm điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho CD  5 . Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  a) Đường thẳng AB nhận vectơ AB  (2; 2) là một vectơ chỉ phương. Khi đó đường thẳng AB đi qua điểm   x  1  t A và nhận u (1;1) là một vectơ chỉ phương nên đường thẳng AB có phương trình tham số là   y  t.  1  1 0  2  b) Trung điểm của đoạn thẳng AB là M   ;   (0;1) . Đường trung trực  của AB vuông góc  2 2    với AB nên nó nhận vectơ AB  (2; 2) là một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm M (0;1) của đoạn thẳng AB . Do đó phương trình đường thẳng  là 2( x  0)  2( y  1)  0  x  y  1  0. c) Do điểm D thuộc đường thẳng AB nên toạ độ của D có dạng D(1  t; t ) . Khi đó ta có CD  (t  4)2  (t  3)2  5  (t  4)2  (t  3)2  25  2t 2  14t  0. Giải phương trình ta có t1  0, t2  7 . Vậy có hai điểm D thoả mãn là D1 ( 1; 0), D2 (6;7) . Lưu ý Để tìm toạ độ của một điểm trên một đường thẳng, ta lập phương trình đường thẳng đó dưới dạng tham số và gọi toạ độ của điểm cần tìm theo một tham số. Khi đó, ta chỉ cần một điều kiện để tìm ra tham số, và từ đó suy ra điểm cần tìm. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác MNP có M (2;1), N (3;0) và P(1; 4) . a) Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ M của tam giác MNP . b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng MN . c) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến kẻ từ M của tam giác MNP . Giải a) Đường cao kẻ từ M của tam giác MNP là đường thẳng đi qua M và vuông góc với NP nên nhận vectơ    NP là một vectơ pháp tuyến. Ta có NP  (4; 4) và M (2;1) , vậy phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ M là 4( x  2)  4( y  1)  0  x  y  3  0.    b) Đường thẳng MN nhận vectơ MN (5; 1) là một vectơ chỉ phương nên nhận vectơ n (1; 5) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường thẳng MN đi qua điểm M (2;1) và có một vectơ pháp tuyến  n (1; 5) là 1( x  2)  5( y  1)  0  x  5y  3  0. c) Đường trung tuyến  kẻ từ M của tam giác MNP đi qua M (2;1) và trung điểm của NP là I (1; 2) , do   đó  nhận MI (3;1) là một vectơ chỉ phương. Khi đó  nhận vectơ n (1;3) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường trung tuyến đó là 1( x  2)  3( y  1)  0  x  3y  5  0. Lưu ý - Để giải quyết được các bài toán về tam giác hay mở rộng hơn là đa giác trong mặt phẳng toạ độ, ta cần ghi nhớ các mối liên hệ giữa các yếu tố quen thuộc trong tam giác. Chẳng hạn: - Đường cao có yếu tố vuông góc. - Đường trung tuyến có yếu tố trung điểm, trọng tâm. - Đường trung bình có yếu tố song song và trung điểm. - Đường trung trực có yếu tố vuông góc và trung điểm. - Khi viết phương trình đường thẳng, ta có thể viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát hoặc tham số. Tuy nhiên khi đề bài hỏi cụ thể loại phương trình nào thì ta cần phải viết đúng loại phương trình đó. BÀl 20. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH A - Kiến thức cần nhớ 1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng với phương trình tổng quát 1 : a1 x  b1 y  c1  0 vaø  2 : a2 x  b2 y  c2  0.  a x  b1 y  c1  0  Tọ ̣ độ điểm chung của 1 và  2 là nghiệm của hệ phương trình:  1 (I)  a2 x  b2 y  c2  0  Khi đó: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG a1 b1 - 1 cắt  2  hệ (I) có nghiệm duy nhất   0; a2 b2 a1 b1 b c1 c a1 - 1 song song với  2  hệ (I) vô nghiệm   0 và 1 hoặc 1 khác 0; a2 b2 b2 c2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c a1 - 1 trùng  2  hệ (I) có vô số nghiệm    1  0 . Trong trường hợp a2 , b2 , c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 đều khác 0 thì ta có: a1 b1 - 1 và  2 cắt nhau   ; a2 b2 a b c - 1 song song với  2  1  1  1 ; a2 b2 c2 a b c - 1 trùng  2  1  1  1 . a2 b2 c2     Xét hai đường thẳng 1 và  2 có hai vectơ chỉ phương u1 , u2 và hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 . Lấy một điểm M thuộc 1 . Khi đó ta cũng có kết quả sau:       - 1 và  2 trùng nhau khi và chỉ khi n1 cùng phương với n2 (hoặc u1 cùng phương với u2 ) và M thuộc 2 .       - 1 và  2 song song khi và chỉ khi n1 cùng phương với n2 (hoặc u1 cùng phương với u2 ) và M không thuộc  2 .     - 1 và  2 cắt nhau khi và chỉ khi n1 không cùng phương với n2 (hay khi và chỉ khi u1 không cùng   phương với u2 ). 2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau 1 : a1 x  b1 y  c1  0 vaø  2 : a2 x  b2 y  c2  0.    Khi đó, n1  a1 ; b1  , n2  a2 ; b2  tương ứng là các vectơ pháp tuyến của 1 ,  2 và góc  giữa hai đường thẳng         n1  n2 a1a2  b1b2   1 ,  2 được xác định thông qua công thức cos   cos n1 , n2       n1  n2 a12  b12 a2  b2 2 2 .     Hai đường thẳng 1 ,  2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi cos   0  n1  n2  a1a2  b1b2  0. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm M  x0 ; y0  và đường thẳng  : ax  by  c  0 . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  , kí ax0  by0  c hiệu là d ( M , ) , được tính bởi công thức d ( M , )  . a2  b2 B - Ví dụ Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: a) d : x  y  1  0 và k : 2 x  y  3  0 ; x  3  t x  1 t b) d :  và k :    y  4  2t  y  2t ;  x  6t c) d :  và k : x  3 y  5  0 .  y  2  2t Giải 1 1 a) Do  nên hai đường thẳng d và k cắt nhau. 2 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/         b) Từ giả thiết ta có ud  (1; 2), uk  (1; 2) . Khi đó ud  uk , do đó hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của d ta nhận thấy d đi qua điểm M (3; 4) . Thay 3  1  t   t   2 toạ độ điểm M vào phương trình đường thẳng k ta có    t  2.   4  2t  t 2 Vậy k cũng đi qua M . Từ đó suy ra hai đường thẳng trùng nhau.       c) Từ giả thiết ta có ud  (6; 2), nk  (1; 3) . Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là nd  (2;6) , do     đó nd  2nk . Vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng cùng phương. Mặt khác, từ phương trình tham số của d ta nhận thấy d đi qua điểm N (0; 2) . Thay toạ độ điểm N vào phương trình đường thẳng k ta có 0  3  2  5  0 . Do đó N không thuộc đường thẳng k . Vậy hai đường thẳng song song với nhau. Lưu ý - Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể chuyển về tìm số điểm chung của hai đường thẳng. - Một trong những sự lúng túng của nhiều em khi làm dạng bài này là ta cố gắng chuyển tất cả các phương trình của các đường thẳng về dạng tổng quát. - Khi hai đường thẳng có các vectơ pháp tuyến (các vectơ chỉ phương tương ứng) cùng phương, nhiều em hay nhầm lẫn khi kết luận ngay rằng hai đường thẳng song song mà không kiểm tra xem hai đường thẳng đó có trùng nhau hay không. Trong tình huống này, để biết chính xác vị trí giữa hai đường thẳng ta cần xét thêm điểm chung của hai đường thẳng. Ví dụ 2. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau. a) d : 3x  y  2  0 và k : x  3 y  2  0 . x  2  t x  1  t ' b) a :  vaø b :   y  1  2t  y  5  3t '  x  3  5t c) p :  và q : 5 x  4 y  3  0 .  y  2  4t Giải     a) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và k . Từ giả thiết ta có nd  ( 3; 1), nk  (1;  3) . Do đó theo         nd  nk |2 3| 3   công thức tính góc của hai đường thẳng ta có cos   cos nd , nk       nd  nk 22  2    30. Vậy góc giữa hai đường thẳng là   30 .   b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b . Từ giả thiết ta có ua  (1; 2) , ub  (1;3) . Do đó theo công         ua  ub | 5 | 2   thức tính góc của hai đường thẳng ta có cos   cos ua , ub       ua  ub 5  10  2    45. Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là   45 .   c) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng p và q . Từ giả thiết ta có u p  ( 5; 4)  n p  (4;5) . Mặt khác   nq  (5; 4) . Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì         n p  nq   cos   cos n p , nq     0    90.   n p  nq Vậy góc giữa hai đường thẳng p và q là   90 . Lưu ý - Khi tính góc giữa hai đường thẳng chúng ta cần phải dựa vào công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó. Nhiều em hay mắc sai lầm khi dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng bằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này và vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG - Nhiều em thường mắc lỗi khi tính góc giữa hai đường thẳng bằng cách đưa về góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc hai vectơ chỉ phương). Khi góc giữa hai vectơ là góc tù thì góc giữa hai đường thẳng sẽ bù với góc giữa hai vectơ. - Gọi góc giữa hai đường thẳng là  . Khi đề bài cần tính sin  , tan  , cot  thì các em phải dùng công thức tính cos  rồi áp dụng các tính chất giá trị lượng giác của một góc để tính sin  , tan  ,cot  . Ví dụ 3. Cho đường thẳng d : 2 x  y  1  0 và hai điểm A(1; 2), B(4;0) . a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d . b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d . c) Tìm điểm C trên trục Oy sao cho trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng d . Khi đó tính diện tích tam giác ABC . Giải | 2  ( 1)  2  1| 3 3 5 a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là   . 2 2  (1) 2 5 5 b) Gọi  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d . Khi đó  nhận vectơ chỉ phương  ud  (1; 2) của đường thẳng d là một vectơ pháp tuyến nên phương trình của  là 1( x  1)  2( y  2)  0  x  2 y  3  0 . Hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d là giao 2 x  y  1  0 điểm của đường thẳng d và  . Do đó toạ độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình  . x  2 y  3  0 1 7 1 7 Giải hệ phương trình ta được x  , y  . Vậy H  ;  . 5 5 5 5 c) Điểm C thuộc trục Oy nên toạ độ của C có dạng C (0; c) . Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là  1  4  0 2  0  c   2  c   2c G  ;   1;  . Do G thuộc đường thẳng d nên ta có 2 1    1  0  c  7 .  3 3   3   3  Vậy C (0;7) .    Đường thẳng AB nhận vectơ AB  (5; 2) là một vectơ chỉ phương nên AB nhận vectơ n (2;5) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của AB là 2 x  5 y  8  0 . Khi đó diện tích tam giác ABC là 1 1 | 2  0  5 7  8 | 27 S ABC   d (C , AB)  AB    52  (2)2  . 2 2 2 2 5 2 2 Lưu ý - Khi tìm hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng d ta có thể viết phương trình tham số của d và   biểu diễn tọ ̣ độ của H tính theo một tham số. Sau đó dùng điều kiện AH  d  AH  ud  0 để tính ra tham số. Từ đó các em tìm được toạ độ của điểm H . 1 - Diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức S ABC   AB  AC  sin A . Từ đó áp dụng các công thức 2 tính diện tích tam giác để suy ra góc, độ dài các đường cao, bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . BÀI 21. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A - Kiến thức cần nhớ - Phương trình của đường tròn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R là ( x  a)2  ( y  b)2  R2 . - Với các hằng số a, b, c thoả mãn a 2  b2  c  0 , phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 là phương trình của một đường tròn có tâm I (a; b) và có bán kính R  a 2  b 2  c . - Cho đường tròn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R . Phương trình tiếp tuyến  của (C ) tại M 0  x0 ; y0  là  a  x0    x  x0    b  y0    y  y0   0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ B - Ví dụ Ví dụ 1. Cho hai điểm I  2; 1 , A(1; 4) và đường thẳng  : 3x  4 y  20  0 . a) Viết phương trình đường tròn  C1  có tâm I và đi qua A . b) Viết phương trình đường tròn  C2  có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  . Giải a) Vì đường tròn (C ) có tâm I và đi qua A nên (C ) có bán kính R bằng R  IA  (1  2)2  (4  (1))2  34. Vậy phương trình của (C ) là ( x  2) 2  ( y  1) 2  34 . b) Vì đường tròn (C ) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  nên bán kính R của (C ) được tính bởi công | 3  2  4  (1)  20 | thức R  d ( I , )   2. 32  (4)2 Vậy phương trình của (C ) là ( x  2) 2  ( y  1) 2  4 . Lưu ý Trong câu a, một số sai lầm có thể mắc phải khi viết phương trình của (C ) : - ( x  2) 2  ( y  1)2  34 (nhầm vế phải là R ); - ( x  2) 2  ( y  1) 2  34 (nhầm dấu ở vế trái). Ví dụ 2. Cho bốn điểm A(2;6), B(6;2), C (1; 3) và M (3;5) . a) Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua ba điểm A, B, C . b) Chứng minh rằng điểm M thuộc đường tròn (C ) . c) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C ) tại điểm M . Giải. a) Phương trình của đường tròn (C ) có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Vì A(2;6)  (C ) nên ta có 22  62  2a  2  2b  6  c  0  4a  12b  c  40 . (1) 12 a  4 b  c  40.  2  Tương tự, thay toạ độ các điểm B, C vào phương trình (C ) ta được hai phương trình 2 a  6 b  c  10.  3  Cộng theo từng vế của phương trình (1) với phương trình (2), phương trình 16 a  8b  0   a  1 (1) với phương trình (3), ta được hệ phương trình   6 a  18b  30  b  2. Suy ra C  4a  12b  40  20 . Vậy phương trình của đường tròn (C ) là: x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 . b) Ta có xM  yM  2 xM  4 yM  20  32  52  2  3  4  5  20  0 . 2 2 Suy ra điểm M thuộc đường tròn (C ) . c) Đường tròn (C ) có tâm là I (a; b)  (1; 2) . Tiếp tuyến  của (C ) vuông góc với đường thẳng IM , do đó nó có vectơ pháp tuyến là     n  IM  (3  ( 1); 5  2)  (4;3). Mặt khác,  đi qua điểm M (3;5) , vậy phương trình của  là 4  ( x  3)  3  ( y  5)  0  4 x  3y  27  0. Nhận xét - Trong câu a, ta có thể tìm tâm I của đường tròn bằng cách gọi toạ độ của điểm I (a; b) . Từ giả thiết ta có hệ  AI 2  BI 2  2 2 , từ đó ta tìm được tọa độ điểm I . Sau đó tìm bán kính R  IA .  AI  CI - Em có thể làm câu b bằng cách tính độ dài đoạn thẳng IM rồi so sánh với bán kính R của (C ) . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG BÀI 22. BA ĐƯỜNG CONIC A - Kiến thức cần nhớ - Định nghĩa elip: Cho hai điểm cố định và phân biệt F1 , F2 . Đặt F1 F2  2c  0 . Cho số thực a  c . Tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a được gọi là đường elip ( E ) . Hai điểm F1 , F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1 F2  2c được gọi là tiêu cự của (E). x2 y 2 Phương trình chính tắc của elip ( E ) có dạng   1 với a  b  0 . Elip (E) có hai tiêu điểm là a 2 b2 F1 ( c;0), F2 (c;0) và có tiêu cự là 2c , với c  a 2  b2 . - Định nghĩa hypebol: Cho hai điểm phân biệt cố định F1 và F2 . Đặt F1 F2  2c . Cho số thực dương a  c . Tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a được gọi là đường hypebol ( H ) . Hai điểm F1 , F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1 F2  2c được gọi là tiêu cự của ( H ) . x2 y2 Phương trình chính tắc của hypebol ( H ) có dạng   1 với a, b  0 . Hypebol ( H ) có hai tiêu điểm là a2 b2 F1 ( c;0), F2 (c;0) và có tiêu cự là 2c , với c  a 2  b 2 . - Định nghĩa parabol: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F . Tập hợp các điểm M cách đều F và  được gọi là đường parabol ( P) . Điểm F được gọi là tiêu điểm,  được gọi là đường chuẩn của ( P) . Khoảng cách từ F đến  được gọi là tham số tiêu của ( P) . Phương trình chính p  tắc của parabol ( P) có dạng y 2  2 px với p  0 . Parabol ( P) có tiêu điểm là F  ; 0  , phương trình 2  p đường chuẩn  là x   . 2 B - Ví dụ x2 y 2 Ví dụ 1. Cho elip ( E ) :  1. 25 9 a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm, tiêu cự của (E). b) Cho điểm M bất kì thuộc ( E ) . Tính MF1  MF2 . c) Cho điểm M thuộc ( E ) sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn OM , trong đó O là gốc toạ độ, từ đó hãy tìm toạ độ điểm M . Giải. a) Trong phương trình chính tắc của ( E ) ta có a 2  25, b 2  9  a  5, b  3, c  a 2  b 2  52  32  4. Vậy ( E ) có hai tiêu điểm là F1 ( c;0)  ( 4; 0), F2 (c; 0)  (4;0) , có tiêu cự là 2c  8 b) Vì điểm M thuộc ( E ) nên theo định nghĩa của đường elip ta có MF1  MF2  2a  2  5  10. 2 2 x0 y0 c) Gọi M  x0 ; y0  . Do M thuộc ( E ) nên ta có   1 . (1) 25 9  FF Theo giả thiết ta có F1MF 2  90 , kết hợp với O là trung điểm của F1 F2 nên ta suy ra OM  1 2  c  4 . 2 Điều này tương đương với x0  y0  42  16  y0  16  x0 . (2) 2 2 2 2 2 2 x0 16  x0 175 5 7 Thay (2) vào (1) ta được 25  9 2 2  2  1  9 x0  25 16  x0  225  x0  16  x0   4 . 2 2 175 81 9 Thay x0 vào (2) ta được y0  16  x 0  16    y0   . 16 16 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy OM  4 và có bốn điểm M thoả mãn đề bài, các điểm này có toạ độ là 5 7 9 5 7 9  5 7 9  5 7 9 M1  ;  , M2  ;   , M3   ;  , M4   ;  .  4 4  4 4  4 4  4 4         M   E   Lưu ý: Trong câu c, để tìm tọa độ điểm M , ta có thể giải hệ      MF1 .MF2  0  Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của hypebol ( H ) , biết rằng ( H ) có một tiêu điểm là F2 (5; 0) và ( H ) đi qua điểm A(3;0) . Tìm điểm M thuộc ( H ) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ M đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. Giải x2 y2 Phương trình chính tắc của ( H ) có dạng 2  2  1 , trong đó a, b  0 . Vì ( H ) đi qua điểm A(3;0) nên a b (3) 2 0 2 ta có  2 1 a  3. a2 b Do ( H ) có một tiêu điểm là F2 (5;0) nên ta có c  5  b2  c 2  a 2  52  32  16 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của ( H ) là   1. 9 16 2 2 x0 y0 x2 y2 2 Gọi M  x0 ; y0  , điều kiện x0  0 . Do M thuộc ( H ) nên ta có   1  0  1  0  1  x0  9. 9 16 9 16 Kết hợp với x0  0 ta được x0  3 . 2 2 2 Từ đó suy ra OM  x0  y0  x0  x0  3 . y  0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  0  M (3;0) .  x0  3 Vậy M (3;0) . Nhận xét - Điểm M thuộc nhánh bên phải của ( H ) (nhánh nằm bên phải trục tung) sao cho khoảng cách từ M đến gốc tọ ̣ độ O nhỏ nhất chính là giao điểm của nhánh đó với trục Ox . - Một cách tương tự, ta có thể tìm được điểm N thuộc nhánh bên trái của ( H ) (nhánh nằm bên trái trục tung) sao cho khoảng cách từ N đến gốc toạ độ O nhỏ nhất là giao điểm của nhánh đó với trục Ox . Ví dụ 3. Cho parabol ( P) có phương trình ở dạng chính tắc và ( P) đi qua điểm A(8;8) . a) Viết phương trình của ( P) . b) Tìm tọa độ tiêu điểm F , phương trình đường chuẩn  và tham số tiêu p của ( P) . c) Cho điểm M thuộc ( P) và có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng MF . Giải. a) Phương trình chính tắc của ( P) có dạng y 2  2 px , trong đó p  0 . Vì A(8;8) thuộc ( P) nên ta có phương trình 82  2 p  8  p  4 . Vậy phương trình chính tắc của ( P) là y 2  8 x . p  p b) ( P) có tiêu điểm là F  ;0   (2;0) , phương trình đường chuẩn  là x    2 và có tham số tiêu 2  2 là p  4 . c) Vì điểm M thuộc ( P) nên ta có MF  d ( M , ) . | 32 | Phương trình tổng quát của  là x  2  0 . Từ đó suy ra MF  d ( M , )   5. 12  0 2 Lưu ý - Dựa vào điều kiện điểm M có hoành độ bằng 3 và M thuộc ( P) , ta có thể tìm được hai điểm M , từ đó tính được độ dài đoạn thẳng MF (đều bằng 5 ). Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG - Với một điểm N bất kì thuộc ( P) , dựa vào điều kiện NF  d ( N , ) và công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có thể tìm ra được công thức tính khoảng cách NF một cách dễ dàng p NF  xN  . 2 PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN CÂU HỎI TỰ LUẬN Câu 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M 1;  1 và có  một vectơ pháp tuyến là n   2022 ; 2023 . Câu 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M  4 ;  5 và có một vectơ chỉ phương  là u  1; 0 Câu 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình sau d1 : 2 x  y  1  0 và d 2 : 4 x  2 y  2  0 . Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  1  0 có tâm I và bán kính R 2 2 Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C  :  x  1   y  2   29 tại điểm M   3;7  x2 y 2 Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip có phương trình  1 . Tìm tâm sai của elip 16 7 Câu 7. Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 6 và một tiêu điểm F1  2;0 x2 y 2 Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho hypebol có phương trình   1 . Tìm tiêu cự của hypebol 1 8 Câu 9. Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 12 và cắt trục hoành tại điểm A 5;0 Câu 10. Xác định đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol y 2  4 x Câu 11. Xác định phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A  4; 2  Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3;6 , B  4;1 và C  5;  2 . Xác định phương trình đường cao AH của tam giác ABC Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M  1;5 , N  7; 2  và P  3;0 . Xác định phương trình đường trung tuyến kẻ từ M Câu 14. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng  biết  qua K  6; 2  và tạo với trục Ox một góc 60 o Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho M (3; 4) . Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt hai tia Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho OA  OB  14, OA  OB Câu 16. Viết đường thẳng  đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : x  2 y  2  0 , d 2 : 2 x  y  6  0 và vuông góc với đường thẳng d : x  3 y  7  0 Câu 17. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d : x  3 y  6  0 với trục Oy , có vec tơ chỉ  phương u   3;4  Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A   3;1 và B  2; 4  Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3; 2  và vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  7  0  x  2  2t Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng 1 :  và  2 : x  3 y  2  0 . Tìm tọa tọa  y  1  t độ giao điểm của 1 và  2 Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng  :2 x  y  1  0, 1 : x  y  5  0 và  2 : x  my  11  0 . Tìm m để ba đường thẳng  , 1 và  2 đồng quy. Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng d1 : x  3 y  5  0 và d 2 : mx  y  2  0 bằng 30 . Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  :4 x  3 y  1  0 .Tìm điểm M nằm trên trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  bằng 3 . Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  0, 2  , B 1, 2  , C  3, 6  . Gọi d đường phân giác trong của tam giác ABC tại góc A . Hãy xác định phương trình của đường thẳng d ? Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  : ax  by  3  0  a 2  b 2  0  đi qua điểm N 1;1 và cách điểm M  2 ; 3  một khoảng bằng 5 Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn tâm I  1; 2  và đi qua điểm M  2;1 Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  song song với đường thẳng d : x  2 y  15  0 1 Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M  2;0 và có tâm sai bằng . 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Câu 29. Lập phương trình chính tắc của hypebol  H  biết độ dài trục thực bằng 4 , tiêu cự bằng 12 . Câu 30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol có khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng 2022 ? Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  3;  1 và vuông góc với phân giác của góc phần tư thứ hai Câu 32. Cho H là trực tâm tam giác ABC , phương trình cạnh AB : 7 x  y  4  0 và phương trình hai đường cao của tam giác là BH : 2 x  y  4  0 ; AH : x  y  2  0 . Viết phương trình đường cao CH của tam giác ABC . Câu 33. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A  2;0 và tạo với đường thẳng  : x  3 y  3  0 một góc 45. Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  , lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1;2 và cách đều hai điểm M  5;1 ; N  3; 1 . Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ABC với A  2;1 , B  4;3 và C  6;7  . Viết phương trình đường tròn có tâm là trọng tâm G của ABC và tiếp xúc với đường thẳng BC . 5 Câu 36. Cho elip  E  có tâm sai e  và hình chữ nhật cơ sở của elip có chu vi bằng 40 . Tổng các 3 khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên  E  đến hai tiêu điểm có giá trị bằng bao nhiêu? Câu 37. Viết phương trình chính tắc của hypebol  H  đi qua điểm N  6;3 và có góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 x2 y 2 Câu 38. Cho hyperbol có phương trình chính tắc   1 . Tìm điểm M trên hypebol để khoảng cách 16 25 từ đến tiêu điểm F2  c;0  nhỏ nhất. Câu 39. Cổng của một công viên có dạng một parabol. Để đo chiều cao hcủa cổng, một người đo khoảng cách giữa hai chân cổng được 8 m , người đó thấy nếu đứng cách chân cổng 0, 5m thì đầu chạm cổng. Cho biết người này cao 1, 6 m , tìm chiều cao của cổng Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A với BC  4 2 . Các đường K  5  18  thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M 1;   B N  0;  . Biết đường cao AH có và C 3   7 F A phương trình x  y  2  0 và điểm B có hoành độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC 0 Câu 41. Một bánh xe đạp hình tròn khi gắn trên hệ E H tọa độ Oxy trục có phương trình 2 2  C  :  x  1   y  2   16 . Người ta thấy một hòn sỏi M bị kẹt trên bánh xe và một điểm A nằm trên đũa xe cùng với tâm của đường tròn tạo thành một tam giác cân tại A có diện tích D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ bằng 4. Biết khi bánh xe quay tròn thì điểm A sẽ di chuyển trên một đường tròn, xác định phương trình đường tròn đó. Câu 42. Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng 93.000.000 dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và 59 điểm viễn nhật đến mặt trời là . Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điểm 61 cận nhật. Lấy giá trị gần đúng. Trái dát Mat troi Câu 43. Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Trái Đất là 3.108 km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3, 6 . Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 108 km trên thực tế. Câu 44. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y 2  2 px và điểm A  a ;0  , (a  0) . Đường thẳng qua A vuông góc với Ox cắt  P  tại D ; gọi B, C là hai điểm bất kỳ thuộc nhánh chứa D của  P    sao cho DAB  DAC . Khi đó tích các khoảng cách từ B và C đến trục hoành bằng bao nhiêu? LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M 1;  1 và có  một vectơ pháp tuyến là n   2022 ; 2023 . Lời giải  Đường thẳng d đi qua điểm M 1;  1 và có một vectơ pháp tuyến là n   2022 ; 2023 nên có phương trình: 2022  x  1  2023  y  1  0  2022 x  2023 y  1  0 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Câu 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M  4 ;  5 và có một vectơ chỉ  phương là u  1; 0 Lời giải  Đường thẳng d đi qua điểm M  4 ;  5 và có một vectơ chỉ phương là u  1; 0 nên có phương x  4  t trình:  .  y  5 Câu 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình sau d1 : 2 x  y  1  0 và d 2 : 4 x  2 y  2  0 . Lời giải 2 1 1 Ta có :   suy ra d1 song song với d 2 . 4 2 2 Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  1  0 có tâm I và bán kính R Lời giải 2 2 Ta có : x 2  y 2  2 x  6 y  1  0   x  1   y  3  9 . Đường tròn đã cho có tâm I 1; 3 và bán kính R  9  3 . 2 2 Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C  :  x  1   y  2   29 tại điểm M   3;7  Lời giải Đường tròn  C  có tâm I  1; 2  .   Tiếp tuyến của  C  tại M   3;7  đi qua M   3;7  và nhận IM   2;5 làm một véc tơ pháp tuyến, có phương trình 2  x  3  5  y  7   0   2 x  5 y  41  0  2 x  5 y  41  0 . x2 y 2 Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip có phương trình  1 . Tìm tâm sai của elip 16 7 Lời giải x2 y 2 Phương trình elip  E  có dạng  1. 16 7  a 2 16  Theo bài ra ta có:  2 . b  7  Mà c  a 2  b2  16  7  3 . c 3 Vậy tâm sai của elip đã cho là e   . a 4 Câu 7. Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 6 và một tiêu điểm F1  2;0 Lời giải 2 2 x y Gọi phương trình elip là  E  : 2  2  1  a  b  0 . a b Do độ dài trục nhỏ bằng 6 nên 2b  6  b  3 . Vì elip có một tiêu điểm F1  2;0 nên c  2 . Ta có: a 2  b 2  c 2  32  22 13  a 2 13 . x2 y2 Vậy phương trình elip cần tìm là  E  :   1. 13 9 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x2 y 2 Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho hypebol có phương trình   1 . Tìm tiêu cự của hypebol 1 8 Lời giải 2 2 x y Phương trình hypebol có dạng 2  2  1  a  0, b  0  . a b Suy ra a 1 , b  8  c  a  b 2  9  c  3 . 2 2 2 2 Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F1  3;0  , F2  3;0 và tiêu cự 2 c  6 . Câu 9. Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 12 và cắt trục hoành tại điểm A5; 0 Lời giải x2 y 2 Phương trình chính tắc của hypebol có dạng   1  a, b  0  . a2 b2 2c  12    c  6   25    1  a2  25 . Ta có :  2  a   2 b  11  2 b  c  a    2 2   x2 y2 Phương trình chính tắc của hypebol là  1. 25 11 Câu 10. Xác định đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol y 2  4 x Lời giải Phương trình chính tắc của parabol  P  : y 2  2 px . p Suy ra p  2  Phương trình đường chuẩn là x    1 . 2 Câu 11. Xác định phương trình chính tắc của Parabol đi qua điểm A  4; 2  Lời giải Phương trình chính tắc của parabol  P  : y 2  2 px . 4 1 A  4; 2    P   2 p   2p 1 p  . 4 2 2 Vậy phương trình  P  : y  x . Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3;6 , B  4;1 và C  5;  2 . Xác định phương trình đường cao AH của tam giác ABC   Lời giải Ta có: BC   9;  3   3  3;  1 .  Đường thẳng AH qua A  3;6 và vuông góc với BC suy ra AH nhận n   3;  1 làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường thẳng AH : 3  x  3   y  6   0  3x  y  3  0 . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M  1;5 , N  7; 2  và P  3;0 . Xác định phương trình đường trung tuyến kẻ từ M Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG  7   3   xI   2 Gọi I là trung điểm NP   2  I  2;1 . y  2 0 1  I  2   Ta có: MI   3;  4 . Đường trung tuyến d qua M  1;5 và điểm I  2;1 có vectơ pháp tuyến  n   4;3  d : 4  x  1  3  y  5  0  4 x  3 y  11  0 . Vậy phương trình đường trung tuyến kẻ từ M của tam giác MNP : 4 x  3 y  11  0 . Câu 14. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng  biết  qua K  6; 2  và tạo với trục Ox một góc 60 o Lời giải Do đường thẳng  tạo với trục Ox một góc 60 o nên hệ số góc của đường thẳng  là k  tan 60o  3 hoặc k  tan120o   3 . Trường hợp 1:  qua K  6; 2  có hệ số góc  k  3   : y  3  x  6   2  3x  y  2 1  3 3  0 .  Trường hợp 2:  qua K  6; 2  có hệ số góc  k   3   : y   3  x  6   2  3x  y  2 1  3 3  0 .    Vậy đường thẳng cần tìm là 1 : 3 x  y  2 1  3 3  0 và  2 : 3 x  y  2 1  3 3  0 .   Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho M (3; 4) . Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt hai tia Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho OA  OB  14, OA  OB Lời giải Gọi A(a;0), B (0; b) . Điều kiện 0  a  b . x y Phương trình đường thẳng AB là:   1. a b Ta có OA  OB  14 nên a  b  14  b  14  a (1). 3 4 M (3; 4)  AB    1 (2). a b 3 4 Thay (1) vào (2) ta được  1. a 14  a a  6 Từ đó ta thu được phương trình a 2  13a  42  0  (a  7)(a  6)  0   . a  7 Với a  7  b  7 ( loại). x y Với a  6  b  8 ( thoả mãn), ta được phương trình đường thẳng AB là   1 . 6 8 x y Vậy phương trình đường thẳng thoả mãn bài toán là:   1 . 6 8 Câu 16. Viết đường thẳng  đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : x  2 y  2  0 , d 2 : 2 x  y  6  0 và vuông góc với đường thẳng d : x  3 y  7  0 Lời giải Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x  2 y  2  0 , d 2 : 2 x  y  6  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ta tìm được A(2; 2) . Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d : x  3 y  7  0 nên phương trình đường thẳng  có dạng: 3 x  y  m  0 . Ta có A(2; 2)   nên 3.2  2  m  0  m  4 . Do đó phương trình đường thẳng thoả mãn bài toán là 3 x  y  4  0 . Câu 17. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d : x  3 y  6  0 với trục Oy , có vec tơ chỉ  phương u   3;4  Lời giải Gọi A là giao điểm của đường thẳng của d : x  3 y  6  0 với trục Oy . Ta tìm được A(0; 2) . x0 y2  Do đó phương trình đường thẳng cần lập là  4x  3 y  6  0 . 3 4 Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A   3;1 và B  2; 4  Lời giải   Đường thẳng AB nhận AB   5;3 làm vectơ chỉ phương.  x  3  5t Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là:  .  y  1  3t Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  3; 2  và vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  7  0 Lời giải  Đường thẳng  có một vectơ pháp tuyến là n   2; 1 .  Vì đường thẳng d vuông góc với  nên n   2; 1 là một vectơ chỉ phương của d , suy ra  u  1; 2  là một vectơ pháp tuyến của d . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 1  x  3   2  y  2   0  x  2 y  1  0.  x  2  2t Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng 1 :  và  2 : x  3 y  2  0 . Tìm tọa tọa  y  1  t độ giao điểm của 1 và  2 Lời giải  x  2  2t  x  2  2t  x  2  2t x  4     Xét hệ phương trình  y  1  t   y  1  t   y  1  t   y  2 . x  3y  2  0 2  2t  3 1  t  2  0 t  1  0 t  1       Vậy tọa độ giao điểm của 1 và  2 là  4; 2  . Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng  :2 x  y  1  0, 1 : x  y  5  0 và  2 : x  my  11  0 . Tìm m để ba đường thẳng  , 1 và  2 đồng quy. Lời giải. Tọa độ giao điểm M của  và 1 là nghiệm của hệ phương trình 2 x  y  1  0  x  2    M  2;3 . x  y  5  0 y  3 Ba đường thẳng  , 1 và  2 đồng quy khi M   2  2  3m  11  0  m  3 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Vậy với m  3 thì ba đường thẳng trên đồng quy. Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng d1 : x  3 y  5  0 và d 2 : mx  y  2  0 bằng 30 . Lời giải   Đường thẳng d1 có một véc tơ pháp tuyến là n1  1;  3 .    Đường thẳng d 2 có một véc tơ pháp tuyến là n2   m ;1 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Ta có    m 3  cos   cos n1 , n2   m2  1.2  cos 30 m 3 3 m  0    m  3  3 . m2  1   . 2 m  1.2 2 m   3 Vậy với m  0, m   3 thì đường thẳng d1 hợp với đường thẳng d 2 một góc 30 . Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  :4 x  3 y  1  0 .Tìm điểm M nằm trên trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  bằng 3 . Lời giải. Do điểm M nằm trên trục Ox nên M  m ;0  . 4m  1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là d  M ,    . 5 m  4 4m  1  4m  1  15 Theo bài ra ta có  3  4m  1  15    7 . 5  4m  1  15  m    2  7  Vậy điểm cần tìm là điểm M  4; 0  và M   ; 0  .  2  Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  0, 2  , B 1, 2  , C  3, 6  . Gọi d đường phân giác trong của tam giác ABC tại góc A . Hãy xác định phương trình của đường thẳng d ? Lời giải   Đường thẳng AB qua A  0, 2  và có 1 vectơ chỉ phương là AB  1, 0   vectơ pháp tuyến của  đường thẳng AB là n AB   0,1 . Phương trình đường thẳng AB là: y  2  0  Đường thẳng AC qua A  0, 2  và có 1 1 vectơ chỉ phương AC   3, 4   vectơ pháp tuyến của  đường thẳng AC là: n AC   4, 3  . Phương trình đường thẳng AC là: 4 x  3 y  6  0 y2 4x  3y  6 Các đường phân giác góc A có phương trình là:  . 12 2 4   3 2  x  2y  4  0  d1   5 y  2  4x  3y  6    2x  y  2  0   d2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ta có:  xB  2 y B  4  xC  2 yC  4   1  2.2  4  3  2.6  4   5  0 suy ra B; C nằm khác phía của đường thẳng d1 . Vậy phương trình đường phân giác trong của tam giác ABC tại góc A là: x  2 y  4  0 . Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  : ax  by  3  0  a 2  b 2  0  đi qua điểm N 1;1 và cách điểm M  2 ; 3  một khoảng bằng 5 Lời giải Đường thẳng  : ax  by  3  0 đi qua điểm N 1;1  a  b  3  0  b  3  a . Suy ra  : ax   3  a  y  3  0 . 2a   3  a  .3  3 Khi đó d ( M , )  5   5  a 2  2a  1  0  a  1  b  2 . 2 a2  3  a  Vậy  : x  2 y  3  0 . Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn tâm I  1; 2  và đi qua điểm M  2;1 Lời giải Đường tròn có tâm I  1; 2  và đi qua M  2;1 thì có bán kính là R  IM  3 2    1 2  10 2 2 Khi đó, đường tròn có phương trình là  x  1   y  2   10  x 2  y 2  2 x  4 y  5  0 . Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  song song với đường thẳng d : x  2 y  15  0 Lời giải Đường tròn  C  có tâm I  1; 3 và bán kính R  1  9  5  5 . Tiếp tuyến  // d  phương trình  : x  2 y  m  0; m  15 .  là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi 1  6  m  m  5  5  m  10 d  I ,   R   5  m5 5    (thỏa mãn). 1 4 m  5  5 m  0 Đối chiếu với điều kiện. ta có phương trình tiếp tuyến của  C  là: x  2 y  0 và x  2 y  10  0 . 1 Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M  2;0 và có tâm sai bằng . 2 Lời giải 2 x y2 Giả sử phương trình elip có dạng  E  : 2  2  1  a  b  0  . a b 4  E  đi qua điểm M  2;0   2  1  a  2 . a 1 c 1  E  có tâm sai bằng    c  1 . 2 a 2 Ta có b 2  a 2  c 2  3 . x2 y2 Vậy phương trình elip cần tìm là  E  :   1. 4 3 Câu 29. Lập phương trình chính tắc của hypebol  H  biết độ dài trục thực bằng 4 , tiêu cự bằng 12 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Lời giải x2 y 2 Giả sử phương trình chính tắc của hypebol có dạng  H  :   1  a, b  0  . a 2 b2 H  có độ dài trục thực bằng 4  2a  4  a  2 . H  có tiêu cự bằng 12  2c  12  c  6 . Ta có b 2  c 2  a 2  36  4  32 . x2 y 2 Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là  H  :   1. 4 32 Câu 30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol có khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng 2022 ? Lời giải Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng y 2  2 px với p  0. p  p Khoảng cách giữa tiêu điểm F  ;0  và đỉnh O  0;0  là 2022 nên  2022  p  4044. 2  2 2 Vậy parabol có phương trình chính tắc là y  4044 x. Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  3;  1 và vuông góc với phân giác của góc phần tư thứ hai Lời giải Ta có phân giác của góc phần tư thứ hai là đường thẳng d có phương trình x  y  0. Gọi  là đường thẳng vuông góc với d và đi qua điểm M  3;  1 . Vì   d nên  : x  y  c  0 . Mà M    3  1  c  0  c  4. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: x  y  4  0. Câu 32. Cho H là trực tâm tam giác ABC , phương trình cạnh AB : 7 x  y  4  0 và phương trình hai đường cao của tam giác là BH : 2 x  y  4  0 ; AH : x  y  2  0 . Viết phương trình đường cao CH của tam giác ABC . Lời giải 2 x  y  4  0  x  2 Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình   . x  y  2  0 y  0 Suy ra H  2; 0 .  Vì CH  AB mà AB : 7 x  y  4  0 nên đường thẳng CH có 1 vectơ pháp tuyến n  1;7   Phương trình đường cao CH là: 1 x  2   7  y  0   0  x  7 y  2  0 . Câu 33. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A  2;0 và tạo với đường thẳng  : x  3 y  3  0 một góc 45. Lời giải  Gọi n   A; B  ,  A  B  0  là 1 véctơ pháp tuyến của d . 2 2 Phương trình đường thẳng d có dạng: A  x  2   By  0 . A  3B 2 Từ giả thiết ta có: cos  , d    cos 45  A2  B 2 . 10 2  A  2B  2 A2  3 AB  2 B 2  0   .  B  2 A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ + Với B   2 A : chọn A  1, B  2 ta được phương trình đường thẳng d là x  2 y  2  0 . + Với A  2 B : chọn A  2, B  1 ta được phương trình đường thẳng d là 2 x  y  4  0 . Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài là: x  2 y  2  0 , 2 x  y  4  0 . Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  , lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1;2 và cách đều hai điểm M  5;1 ; N  3; 1 . Lời giải  Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: n   a, b  . Điều kiện: a 2  b 2  0 .  Khi đó đường thẳng d đi qua A 1;2 và nhận vectơ pháp tuyến là n có dạng: a  x  1  b  y  2   0  d : ax  by  a  2b  0 . Vì đường thẳng d cách đều hai điểm M  5;1 ; N  3; 1 5a  b  a  2b 3a  b  a  2b  d  M; d   d  N; d    a 2  b2 a 2  b2  4a  b  2a  3b  2a  2b  a  b  4a  b  2a  3b     .  4a  b  3b  2a 6a  4b 3a  2b a  1 Với a  b . Ta chọn   d : x  y 1  0 . b  1 a  2 Với 3a  2b . Ta chọn   d : 2x  3 y  8  0 . b  3 Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ABC với A  2;1 , B  4;3 và C  6;7  . Viết phương trình đường tròn có tâm là trọng tâm G của ABC và tiếp xúc với đường thẳng BC . Lời giải  Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là: u  1; 2  . Khi đó, đường thẳng BC có một  vectơ pháp tuyến là n   2; 1 . Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B  4;3 và  có vectơ pháp tuyến n   2; 1 là: 2  x  4   1 y  3  0  2 x  y  5  0 . Gọi đường tròn cần tìm là  C  .  x A  xB  xC  xG   3 4  11  G là trọng tâm của ABC suy ra   G  4;  .  y  y A  yB  yC  11  3 G   3 3 Đường tròn  C  tiếp xúc với đường thẳng BC nên có bán kính là 11 2.4  5 3 2 5 R  d  G, BC    . 2 2   1 2 15 2  11  2 4 Phương trình đường tròn  C  là  x  4    y    .  3 45 Câu 40 . Trong hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  có phương trình x2  y 2  8x  4 y  5  0 , viết phương trình tiếp tuyến với  C  biết tiếp tuyến có hệ số góc âm và tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác cân. Lời giải Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
46=>1