Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Oxyz (Đề số 7)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Oxyz (Đề số 7)" là tài liệu không thể thiếu cho học sinh lớp 12 trong giai đoạn ôn tập chương Oxyz. Đề kiểm tra này bao gồm nhiều dạng bài tập và câu hỏi trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao về phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Tài liệu này có kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn giải rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng tự kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để đạt kết quả tốt chương Oxyz.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Oxyz (Đề số 7)

ĐỀ SỐ 7 Câu 1 (NB). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 6 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu ( S ) . A. I (1; − 2;3) , R = 4 . B. I (1; − 2;3) , R = 16 . C. I ( −1;2;3) , R = 4 . D. I ( −1;2; − 3) , R = 4 . Câu 2 (NB). Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + z 2 = 9 có tâm là: 2 2 A. I (1; − 2;0 ) . B. I ( −1; 2;0 ) . C. I (1;2;0) . D. I ( −1; − 2;0) . Câu 3 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1 ; 2 ; − 3) và B ( 3 ; − 2 ; −1) . Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm A. I ( 4 ; 0 ; − 4) . B. I (1 ; − 2 ; 1) . C. I ( 2 ; 0 ; − 2) . D. I (1 ; 0 ; − 2) . Câu 4 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1 ; − 1 ; 2 ) và B ( 2 ; 1 ; 1) . Độ dài đoạn AB bằng A. 2 . B. 6. C. 2. D. 6 . Câu 5 (NB). Phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;3; −2) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x + 5 y + z +1 = 0 là: A. x + 3 y − 2z + 15 = 0 . B. 2x + 5 y + z −15 = 0 . C. x + 3 y − 2z −19 = 0 . D. 2x + 5 y + z +19 = 0 . Câu 6 (NB). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) cắt 3 trục toạ độ tại M (3;0;0) , N (0; − 5;0) và P(0;0;9) . Phương trình mặt phẳng ( ) là x y z x y z A.+ − = 1. B. − + = −1 . 3 5 9 3 5 9 x y z x y z C. − + = 1. D. − − + = −1 . 3 5 9 3 5 9 Câu 7 (NB). Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M ( −1; −3;1) và mặt phẳng ( P ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) nào sau đây thỏa mãn khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) bằng 2 ? A. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . B. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . C. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 . D. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Câu 8 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H ( 2; 2; − 1) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng ( P ) . Số đo góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Q ) : x − z − 2 = 0 bằng bao nhiêu? A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Câu 9 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M (1;2; − 3) và có vectơ chỉ phương u = ( 3; − 2;7 ) . x = 3 + t  x = 1 + 3t  x = −3 + 7t  x = 1 + 3t     A.  y = −2 + 2t . B.  y = 2 − 2t . C.  y = 2 − 2t . D.  y = 2 + 2t .  z = 7 − 3t  z = −3 + 7t  z = 1 + 3t  z = 3 + 7t    
 x = 1 + 2t  Câu 10 (NB). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −2 + t . Phương trình hình chiếu của z = 4 − t  đường thẳng d trên mặt phẳng ( Oxy ) là  x = 1 + 2t  x = 1 + 2t x = 0 x = 0     A.  y = −2 + t . B.  y = 0 . C.  y = −2 + t . D.  y = 0 . z = 0 z = 4 − t z = 4 − t z = 4 − t      x = 1 + 2t  Câu 11 (NB). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 2 − t ( t  ) . Tìm z =0  phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ( Oxy ) .  x = 2t  x = 1 − 2t   A.  :  y = t ( t  ). B.  :  y = 2 − t ( t  ). z = 0 z =0    x = 1 + 2t  x = 1 + 2t   C.  :  y = 2 − t ( t  ). D.  :  y = 2 − t ( t  ). z =3 z =0   Câu 12 (NB). Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) có phương trình ( ): x − 2 y + 3z + 1 = 0 , (  ):2x − 4 y + 6z +1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) / / (  ) . B. ( )  (  ) . C. ( ) ⊥ (  ) . D. ( ) cắt (  ) .  x = 1 + 2t  x = 3 + 4t '   Câu 13 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 + 3t và d ' :  y = 5 + 6t '.  z = 3 + 4t  z = 7 + 8t '   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d  d ' . B. d ⊥ d ' . C. d / / d ' . D. d và d’ chéo nhau. x − 3 y +1 z − 5 Câu 14 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  : = = và 1 2 3  x = 2 + 5t  d :  y = 1 + 2t . Góc giữa đường thẳng  và đường thẳng d là  z = 4 − 3t  A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 15 (NB). Gọi hai vectơ n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) , (  ) và  là góc giữa hai mặt phẳng đó. Công thức tính cos  là: A. n1.n2 . B. n1 . n2 . C.  n1; n2  . D.  n1; n2  . n1 . n2 n1.n2 n1 . n2 n1.n2
 x = 1 + 8t  Câu 16 (TH). Tính góc giữa đường thẳng  :  y = −2 + 2t ( t  ) và mặt phẳng ( ) : −4 x + 4 y + 5 = 0 .  z = 2t  A. 1500 . B. 300 . C. 450 . D. 600 .  x = 1 + 2t  x = −2t '   Câu 17 (TH). Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t ' . z = t z = 4 + t '   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d  d ' . B. d ⊥ d ' . C. d / / d ' . D. d và d’ chéo nhau. Câu 18 (TH). Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) có phương trình ( ):2x + m2 y − 2z − 5 = 0 , (  ): mx − 8 y − 5z + 2 = 0 , với m là tham số. Số giá trị m nguyên để hai mặt phẳng ( ) và (  ) vuông góc với nhau là: A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 19 (TH). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d ) là đường vuông góc chung của hai đường  x=t x − 2 y −1 z − 2  thẳng (d1 ) : = = và (d 2 ) :  y = 3 (t  ) . 1 −1 −1  z = −2 + t  A. (1; 2; −2 ) . B. (1;2; −1) . C. (1; 2;0 ) . D. (1;0; −1) . Câu 20 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 5 y + 2 z + 8 = 0 và  x = 7 + 5t  đường thẳng d :  y = −7 + t ( t  ) . Tìm phương trình đường thẳng  đối xứng với  z = 6 − 5t  đường thẳng d qua mặt phẳng ( P ) .  x = −5 + 5t  x = −17 + 5t   A.  :  y = 13 + t . B.  :  y = 33 + t .  z = −2 − 5t  z = 66 − 5t    x = −11 + 5t  x = 13 + 5t   C.  :  y = 23 + t . D.  :  y = −17 + t .  z = 32 − 5t  z = −104 − 5t   Câu 21 (TH). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;3) . Phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng ( ABC ) là  x = 3 − 2t  x = 3 + 4t x = 3 + t  x = 1 + 2t     A.  y = t . B.  y = t . C.  y = 0 . D.  y = 1 + t . z = t z = t z = 0 z = 1+ t    
Câu 22 (TH). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A ( −2; 4;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 . x−2 y +4 z +3 x+2 y +3 z −6 A. = = . B. = = . 2 −3 6 2 4 3 x + 2 y −4 z −3 x−2 y +3 z −6 C. = = . D. = = . 2 −3 6 −2 4 3 Câu 23 (TH). Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A (1;2; −1) và mặt phẳng ( P ) : 6x − 3 y − 2z + m = 0 ( m là tham số ). Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) bằng 1 . A. m = −1 . B. m = 1 . C. m = 3 . D. m = 5 . Câu 24 (TH). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa điểm OA OB OC M (1; − 4;3) và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho = = 2 3 5 A. 15x +10 y + 6z + 7 = 0 . B. 15x +10 y + 6z − 7 = 0 . C. 15x + 10 y − 6z + 7 = 0 . D. 15x −10 y + 6z + 7 = 0 . Câu 25 (TH). Mặt phẳng ( P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1;1;3); B(−1;2;3); C(−1;1;2) có phương trình là: A. x + 2 y − 2z − 3 = 0 . B. x + y + 3z − 3 = 0 . C. x + 2 y − 2z+3 = 0 . D. x + y + z+3 = 0 . Câu 26 (TH). Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A (1 ; 2 ; − 1) và điểm B ( 2 ; 1 ; 2 ) . 1  1  3  2  A. M  ; 0 ; 0  . B. M  ; 0 ; 0  . C. M  ; 0 ; 0  . D. M  ; 0 ; 0  . 3  2  2  3  Câu 27 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u = (1;1; −2 ) , v = (1;0; m ) . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 . A. m = 2 . B. m = 2  6 . C. m = 2 + 6 . D. m = 2 − 6 . Câu 28 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;2; −3) , B ( 2;5;7 ) , C ( −3;1;4) . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là  8 8 A. D  0; ;  . B. D ( 6;6;0) . C. D ( −4; −2; −6 ) . D. D ( 0;8;8) .  3 3 Câu 29 (TH). Cho hai điểm A (1;0; − 3) và B ( 3;2;1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z = 0. B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 2 z = 0. C. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − y + z − 6 = 0. D. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z + 6 = 0. Câu 30 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A ( −3 ; 4 ; 2) , B ( −5 ; 6 ; 2) , C ( −10 ; 17 ; −7 ) . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB . A. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z − 7 ) = 8 . B. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . D. ( x + 10 ) + ( y + 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2 2 2 2 2 2
Câu 31 (VD). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;5;2) và đường thẳng x +1 y − 5 z + 3 : = = . Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 2 1 1 1 1 1 A, B, C sao cho + + đạt giá trị nhỏ nhất. Côsin góc giữa đường thẳng  và OA OB OC 2 2 2 đường thẳng BC bằng 147 174 417 174 A. . B. . C. . D. . 58 85 58 58 x = 1+ t  Câu 32 (VD). Trong không gian Oxyz , cho d :  y = −1 + 4t . Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d ứng z = t  với giá trị t = 1 . Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với ( P ) : 2 x − y + 2 z − 9 = 0 là A. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 1) = 2 . B. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 4 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 1) = 4 . D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 2 . 2 2 2 2 2 2 Câu 33 (VD). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(m ;0;0) , D(0; m ;0) , A '(0;0; n) với m, n  0 và m + n = 5. Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDA ' M . 245 4 250 64 A. . B. . C. . D. . 108 9 27 27 Câu 34 (VD). Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;2;2 ) , B ( 3; − 1; − 2 ) , C ( −4;0;3) . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng ( Oxz ) sao cho biểu thức IA − 2 IB + 5IC đạt giá trị nhỏ nhất.  37 19   37 23   27 21   25 19  A. I  − ;0;  . B. I  ;0 ; −  . C. I  − ;0 ;  . D. I  ;0 ; −  .  4 4  4 4  4 4  4 4 Câu 35 (VD). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; 0) , B ( 2;1; − 2) và mặt phẳng ( P ) có phương trình: x − 2 y − 2z + 2019 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình là: A. 9x + 5 y − 7 z − 9 = 0 . B. x − 5 y − 2z −1 = 0 . C. 2x + y − 3z − 2 = 0 . D. 2x + 2 y + 2z − 2 = 0 . Câu 36 (VD). Trong không gian Oxyz , cho điểm H (1 ;2 ; − 2 ) . Mặt phẳng ( ) đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) . A. x 2 + y 2 + z 2 = 81 . B. x 2 + y 2 + z 2 = 1 . C. x 2 + y 2 + z 2 = 9 . D. x 2 + y 2 + z 2 = 25 . Câu 37 (VD) . Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) : 2x − 2 y − z +1 = 0 và mặt phẳng (Q) : x + 2 y − 2z − 4 = 0 . Mặt cầu (S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB = 8 . A. −12 . B. −9 . C. 5 . D. 2 .
Câu 38 (VDC). Cho điểm A(2;5;1) , mặt phẳng ( P) : 6x + 3 y − 2z + 24 = 0 , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( P) . Phương trình mặt cầu (S ) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại H sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A. ( x + 16 ) + ( y + 4 ) + ( z − 7 ) = 196 . B. ( x − 16 ) + ( y − 4 ) + ( z + 7 ) = 196 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z − 1) = 196 . D. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z + 1) = 196 . 2 2 2 2 2 2 Câu 39 (VDC). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng ( P ) cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C . Tính thể tích khối chóp O. ABC . 1372 524 686 343 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9 Câu 40 (VDC). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;1;1) ; B ( −1;2;0 ) ; C ( 3; −1; 2 ) . x −1 y z + 1 Điểm M ( a; b; c ) thuộc đường thẳng  : = = sao cho biểu thức 2 1 −1 P = 2MA2 + 3MB2 − 4MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P = a + b + c . 8 11 A. . B. 3. C. 5. D. − . 3 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B B C C A B A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A A D A B D B B A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A C D A C C D C A B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D B C C B C A D C D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (NB). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 6 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu ( S ) . A. I (1; − 2;3) , R = 4 . B. I (1; − 2;3) , R = 16 . C. I ( −1;2;3) , R = 4 . D. I ( −1;2; − 3) , R = 4 . Lời giải Chọn D. Do phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d  0 )
có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a 2 + b2 + c 2 − d , nên áp dụng kết quả trên cho phương trình −2a = 2 a = −1 −2b = −4 b = 2   mặt cầu x + y + z + 2 x − 4 y + 6 z − 2 = 0 ta có  2 2 2  . −2c = 6 c = −3 d = −2  d = −2  Vậy mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;2; − 3) , bán kính R = ( −1) + ( 2 ) + ( −3) +2 =4 . 2 2 2 Câu 2 (NB). Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + z 2 = 9 có tâm là: 2 2 A. I (1; − 2;0 ) . B. I ( −1; 2;0 ) . C. I (1;2;0) . D. I ( −1; − 2;0) . Lời giải Chọn A. Mặt cầu ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 có tâm I ( a ; b ; c ) , bán kính R . 2 2 2 Vì vậy mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + z 2 = 9 có tâm I (1; − 2;0 ) . 2 2 Câu 3 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1 ; 2 ; − 3) và B ( 3 ; − 2 ; −1) . Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm A. I ( 4 ; 0 ; − 4) . B. I (1 ; − 2 ; 1) . C. I ( 2 ; 0 ; − 2) . D. I (1 ; 0 ; − 2) . Lời giải Chọn C Câu 4 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1 ; − 1 ; 2 ) và B ( 2 ; 1 ; 1) . Độ dài đoạn AB bằng A. 2 . B. 6. C. 2. D. 6 . Lời giải Chọn B Câu 5 (NB). Phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;3; −2) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x + 5 y + z +1 = 0 là: A. x + 3 y − 2z + 15 = 0 . B. 2x + 5 y + z −15 = 0 . C. x + 3 y − 2z −19 = 0 . D. 2x + 5 y + z +19 = 0 . Lời giải Chọn B Vì ( P) / /(Q) nên vtpt của ( P) là n = (2;5;1) ; Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M nên phương trình mặt ( P) là: 2( x -1) + 5( y − 3) + ( z + 2) = 0  2x + 5 y + z −15 = 0. Câu 6 (NB). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) cắt 3 trục toạ độ tại M (3;0;0) , N (0; − 5;0) và P(0;0;9) . Phương trình mặt phẳng ( ) là x y z x y z A. + − = 1. B. − + = −1 . 3 5 9 3 5 9 x y z x y z C. − + = 1. D. − − + = −1 . 3 5 9 3 5 9 Lời giải
Chọn C x y z Phương trình mặt phẳng ( ) là− + = 1. 3 5 9 Câu 7 (NB). Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M ( −1; −3;1) và mặt phẳng ( P ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) nào sau đây thỏa mãn khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) bằng 2 ? A. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . B. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . C. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 . D. ( P ) : x + 2 y − 2 z + 4 = 0 . Lời giải Chọn C −1 + 2.(−3) − 2.1 + 3 d ( M , ( P )) = =2 . ( −1) + 22 + ( −2 ) 2 2 Câu 8 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H ( 2; 2; − 1) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng ( P ) . Số đo góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Q ) : x − z − 2 = 0 bằng bao nhiêu? A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn A H ( 2; 2; − 1) là hình chiếu vuông góc của O xuống ( P ) nên OH ⊥ ( P ) . → Do đó ( P ) có vectơ pháp tuyến là n ( P ) = ( 2; 2; − 1) . → (Q) có vectơ pháp tuyến là n (Q) = (1; 0; − 1) . → → n ( P ) . n (Q ) → →  2.1 + 0 + 1 cos ( ( P ) , ( Q ) ) = cos  n ( P) , n (Q)  = → 2 → = = .   n ( P ) . n (Q ) 4 + 4 + 1. 1 + 0 + 1 2 Suy ra (( P ) , (Q )) = 45 . Câu 9 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M (1;2; − 3) và có vectơ chỉ phương u = ( 3; − 2;7 ) . x = 3 + t  x = 1 + 3t  x = −3 + 7t  x = 1 + 3t     A.  y = −2 + 2t . B.  y = 2 − 2t . C.  y = 2 − 2t . D.  y = 2 + 2t .  z = 7 − 3t  z = −3 + 7t  z = 1 + 3t  z = 3 + 7t     Lời giải Chọn B  x = 1 + 3t  Phương trình tham số của đường thẳng  là:  y = 2 − 2t .  z = −3 + 7t 
 x = 1 + 2t  Câu 10 (NB). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −2 + t . Phương trình hình chiếu của z = 4 − t  đường thẳng d trên mặt phẳng ( Oxy ) là  x = 1 + 2t  x = 1 + 2t x = 0 x = 0     A.  y = −2 + t . B.  y = 0 . C.  y = −2 + t . D.  y = 0 . z = 0 z = 4 − t z = 4 − t z = 4 − t     Lời giải Chọn A  x = xo + at  Theo công thức: phương trình hình chiếu của đường thẳng d :  y = yo + bt trên mp ( Oxy ) là:  z = z + ct  o  x = xo + at   y = yo + bt . z = 0   x = 1 + 2t  Câu 11 (NB). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = 2 − t ( t  ) . Tìm z =0  phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ( Oxy ) . Lời giải  x = 2t  x = 1 − 2t   A.  :  y = t ( t  ). B.  :  y = 2 − t ( t  ). z = 0 z =0    x = 1 + 2t  x = 1 + 2t   C.  :  y = 2 − t ( t  ). D.  :  y = 2 − t ( t  ). z =3 z =0   Chọn D Nhận xét: Vì đường thẳng d nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) nên đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d là chính nó . Câu 12 (NB). Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) có phương trình ( ): x − 2 y + 3z + 1 = 0 , (  ):2x − 4 y + 6z +1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) / / (  ) . B. ( )  (  ) . C. ( ) ⊥ (  ) . D. ( ) cắt (  ) . Lời giải Chọn A
1 −2 3 1 Vì = =  nên hai mặt phẳng ( ) và (  ) song song. Chọn A. 2 −4 6 1 Đáp án B học sinh hiểu sai vì nhận thấy hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Đáp án C học sinh hiểu sai điều kiện hai mặt phẳng vuông góc. Đáp án D học sinh hiểu sai điều kiện hai mặt phẳng cắt nhau.  x = 1 + 2t  x = 3 + 4t '   Câu 13 (NB). Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 + 3t và d ' :  y = 5 + 6t '.  z = 3 + 4t  z = 7 + 8t '   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d  d ' . B. d ⊥ d ' . C. d / / d ' . D. d và d’ chéo nhau. Lời giải Chọn A +) ud  ( 4;6;8) = 2ud ( 2;3; 4 )  d và d  cùng phương. +) M (1; 2;3)  d , M  ( 3;5;7 )  d   MM  ( 2;3; 4 )  ud , ud  , MM  cùng phương. x − 3 y +1 z − 5 Câu 14 (NB). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  : = = và 1 2 3  x = 2 + 5t  d :  y = 1 + 2t . Góc giữa đường thẳng  và đường thẳng d là  z = 4 − 3t  A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn D x − 3 y +1 z − 5 Ta có  : = =  vtcp u = (1; 2;3) 1 2 3  x = 2 + 5t  d :  y = 1 + 2t  vtcp v = ( 5; 2; −3)  z = 4 − 3t  Ta có u.v = 1.5 + 2.2 + 3. ( −3) = 0   ⊥ d  Góc giữa  và d là 90 . Câu 15 (NB). Gọi hai vectơ n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) , (  ) và  là góc giữa hai mặt phẳng đó. Công thức tính cos  là: A. n1.n2 . B. n1 . n2 . C.  n1; n2  . D.  n1; n2  . n1 . n2 n1.n2 n1 . n2 n1.n2 Lời giải Chọn A  x = 1 + 8t  Câu 16 (TH). Tính góc giữa đường thẳng  :  y = −2 + 2t ( t  ) và mặt phẳng ( ) : −4 x + 4 y + 5 = 0 .  z = 2t 
A. 1500 . B. 300 . C. 450 . D. 600 . Lời giải Chọn B Ta có : u (8;2;2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  . n ( −4;4;0) là vectơ pháp tuyến của mp ( ) . u.n 8. ( −4 ) + 2.4 + 2.0 1 sin ( u ; n ) = = = u.n 82 + 22 + 22 . ( −4 ) + 42 + 02 2 2 Vậy góc giữa đường thẳng  và mp ( ) là 300 .  x = 1 + 2t  x = −2t '   Câu 17 (TH). Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y = 2 − 2t và d ' :  y = −5 + 3t ' . z = t z = 4 + t '   Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d  d ' . B. d ⊥ d ' . C. d / / d ' . D. d và d’ chéo nhau. Lời giải Chọn D ( S ) : ( x − 1)2 + ( y + 3) 2 + ( z − 2) 2 = 1 có VTCP u = ( 2; −2;1) và đi qua M (1;2;0 )  có VTCP u ' = ( −2;3;1) và đi qua M ' ( 0; −5;4 ) Từ đó ta có MM ' = ( −1; −7; 4 ) và u ; u ' = ( −2;1;6 )  0   Lại có u ; u ' .MM ' = 19  0   Suy ra d chéo nhau với d ' . Câu 18 (TH). Cho hai mặt phẳng ( ) và (  ) có phương trình ( ):2x + m2 y − 2z − 5 = 0 , (  ): mx − 8 y − 5z + 2 = 0 , với m là tham số. Số giá trị m nguyên để hai mặt phẳng ( ) và (  ) vuông góc với nhau là: A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( 2; m 2 ; − 2 ) . Mặt phẳng (  ) có vectơ pháp tuyến n2 = ( m ; − 8; − 5) . Hai mặt phẳng ( ) và (  ) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
 m = −1 n1 ⊥ n2  n1. n2 = 0  2m − 8m −10 = 0   2 . m = 5  4 Vì m nguyên nên m = −1 . Vậy chọn đáp án B. Đáp án A học sinh tính toán sai phương trình chứa m . Đáp án C học sinh không đọc kỹ đề tìm số giá trị m nguyên. Đáp án D học sinh hiểu sai điều kiện hai mặt phẳng vuông góc. Câu 19 (TH). Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d ) là đường vuông góc chung của hai đường  x=t x − 2 y −1 z − 2  thẳng (d1 ) : = = và (d 2 ) :  y = 3 (t  ) . 1 −1 −1  z = −2 + t  A. (1; 2; −2 ) . B. (1;2; −1) . C. (1; 2;0 ) . D. (1;0; −1) . Lời giải Chọn B Đường thẳng d1 có VTCP u1 (1; −1; −1) Đường thẳng d 2 có VTCP u2 (1;0;1)  d ⊥ d1  u.u = 0  Gọi u là VTCP của d ta có:   1 d ⊥ d 2 u.u2 = 0    −1 −1  −1 1 1 −1  Do đó chọn u = − u1 , u2  = −     ; ;   = (1; 2; −1) .   0 1   1 1 1 0   Câu 20 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 5 y + 2 z + 8 = 0 và  x = 7 + 5t  đường thẳng d :  y = −7 + t ( t  ) . Tìm phương trình đường thẳng  đối xứng với  z = 6 − 5t  đường thẳng d qua mặt phẳng ( P ) .  x = −5 + 5t  x = −17 + 5t   A.  :  y = 13 + t . B.  :  y = 33 + t .  z = −2 − 5t  z = 66 − 5t    x = −11 + 5t  x = 13 + 5t   C.  :  y = 23 + t . D.  :  y = −17 + t .  z = 32 − 5t  z = −104 − 5t   Lời giải Chọn A
Nhận xét : ta có nP .ad = 0 . Lấy M ( 7; − 7;6)  d thay vào mặt phẳng ( P ) thấy không thỏa mãn nên đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) . Gọi M ( 7; − 7;6)  d . Gọi N ( x; y; z ) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P ) và I là trung điểm MN .  MN = knP  ( x − 7; y + 7; z − 6 ) = k ( 3; −5; 2 )  Ta có:   . I  ( P )  3x − 5 y + 2 z + 84 = 0  Giải hệ, ta có: k = −4  M ( −5;13; − 2) .  x = −5 + 5t  Do đó:  đi qua M và nhận nP ( 5;1; −5) làm vec tơ chỉ phương  :  y = 13 + t  z = −2 − 5t  Câu 21 (TH). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;3) . Phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng ( ABC ) là  x = 3 − 2t  x = 3 + 4t x = 3 + t  x = 1 + 2t     A.  y = t . B.  y = t . C.  y = 0 . D.  y = 1 + t . z = t z = t z = 0 z = 1+ t     Lời giải Chọn A Dễ thấy O. ABC là hình chóp đều nên hình chiếu của điểm O trên mp ( ABC ) là trọng tâm H của tam giác ABC : H (1;1;1) . Vậy hình chiếu của của đường thẳng OA trên mặt phẳng ( ABC ) là đường thẳng AH . AH đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là AH ( −2;1;1) .  x = 3 − 2t  Vậy phương trình hình chiếu của đường thẳng OA trên mặt phẳng ( ABC ) là:  y = t . z = t  Câu 22 (TH). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A ( −2; 4;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 . x−2 y +4 z +3 x+2 y +3 z −6 A. = = . B. = = . 2 −3 6 2 4 3 x + 2 y −4 z −3 x−2 y +3 z −6 C. = = . D. = = . 2 −3 6 −2 4 3 Lời giải Chọn C Mặt phẳng ( ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 có véc tơ pháp tuyến là: n = ( 2; − 3;6 ) . Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng ( ) nên đường thẳng  có véc tơ chỉ phương là: u = n = ( 2; − 3;6 ) .
x + 2 y −4 z −3 Phương trình đường thẳng  là: = = . 2 −3 6 Câu 23 (TH). Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A (1;2; −1) và mặt phẳng ( P ) : 6x − 3 y − 2z + m = 0 ( m là tham số ). Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) bằng 1 . A. m = −1 . B. m = 1 . C. m = 3 . D. m = 5 . Lời giải Chọn D d ( A, ( P ) ) = 1 6.1 − 3.2 − 2.(−1) + m  =1 ( 6 ) + ( −3) + ( −2 ) 2 2 2  m+2 = 7 m = 5  .  m = −9 Câu 24 (TH). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa điểm M (1; − 4;3) và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho OA OB OC = = . 2 3 5 A. 15x +10 y + 6z + 7 = 0 . B. 15x +10 y + 6z − 7 = 0 . C. 15x + 10 y − 6z + 7 = 0 . D. 15x −10 y + 6z + 7 = 0 . Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng đoạn chắn cắt các tia Ox tại A ( a ;0;0 ) , cắt tia Oy tại B(0; b ;0) , cắt x y z tia Oz tại C ( 0;0; c ) là ( P) : + + = 1 , trong đó a  0 , b  0 , c  0 . a b c Như vậy OA = a , OB = b , OC = c .  2 OA OB OC a b c a = 3 b  Theo giả thiết: = =  = =  . 2 3 5 2 3 5 5 c = b   3 1 −4 3 −7 Mặt khác, do M  ( P) nên ta được + + =1 b = . 2 b 5b 10 b 3 3 −7 −7 Suy ra a = và c = . 15 6 x y z Vậy phương trình mặt phẳng ( P) : + + = 1  15 x + 10 y + 6 z + 7 = 0 . −7 −7 −7 15 10 6 Câu 25 (TH). Mặt phẳng ( P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1;1;3); B(−1;2;3); C(−1;1;2) có phương trình là:
A. x + 2 y − 2z − 3 = 0 . B. x + y + 3z − 3 = 0 . C. x + 2 y − 2z+3 = 0 . D. x + y + z+3 = 0 . Lời giải Chọn C Ta có AB = (−2;1;0); AC = (−2;0; −1)   AB, AC  = (−1; −2; 2)   Mặt phẳng ( P) có véc tơ pháp tuyến n = ( −1; −2; 2) và đi qua điểm A, có phương trình là: −x − 2 y + 2z -3 = 0  x + 2 y − 2z + 3 = 0 Câu 26 (TH). Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A (1 ; 2 ; − 1) và điểm B ( 2 ; 1 ; 2 ) . 1  1  3  2  A. M  ; 0 ; 0  . B. M  ; 0 ; 0  . C. M  ; 0 ; 0  . D. M  ; 0 ; 0  . 3  2  2  3  Lời giải Chọn C Câu 27 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u = (1;1; −2 ) , v = (1;0; m ) . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 . A. m = 2 . B. m = 2  6 . C. m = 2 + 6 . D. m = 2 − 6 . Lời giải Chọn D. 1 − 2m (u, v ) = 45  cos (u, v ) = 2 2  u.v u.v = 2 2  6. 1 + m 2 = 1 2  3 ( m 2 + 1) = 1 − 2m  1 1 − 2m  0 m   2  2  m = 2− 6 . 3m + 3 = 1 − 4m + 4m 2  m 2 − 4m − 2 = 0  Câu 28 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;2; −3) , B ( 2;5;7 ) , C ( −3;1;4) . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là  8 8 A. D  0; ;  . B. D ( 6;6;0) . C. D ( −4; −2; −6 ) . D. D ( 0;8;8) .  3 3 Lời giải Chọn C. 1 = −3 − xD  xD = −4   Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB = DC  3 = 1 − yD   yD = −2 10 = 4 − z  z = −6  D  D Vậy D ( −4; −2; −6 ) . Câu 29 (TH). Cho hai điểm A (1;0; − 3) và B ( 3;2;1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z = 0. B. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 2 z = 0. C. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − y + z − 6 = 0. D. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z + 6 = 0.
Lời giải Chọn A. Gọi I là tâm của mặt cầu cần tìm, ta có I là trung điểm của AB  I ( 2;1; −1) . ( 3 − 1) + ( 2 − 0 ) + (1 + 3) 2 2 2 AB Bán kính của mặt cầu cần tìm là R = = = 6. 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 6  x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 2 z = 0. 2 2 2 Câu 30 (TH). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A ( −3 ; 4 ; 2) , B ( −5 ; 6 ; 2) , C ( −10 ; 17 ; −7 ) . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB . A. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z − 7 ) = 8 . B. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . D. ( x + 10 ) + ( y + 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có AB = 2 2 . Phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB : ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2 2 2 Câu 31 (VD). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;5;2) và đường thẳng x +1 y − 5 z + 3 : = = . Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 2 1 1 1 1 1 A, B, C sao cho + + đạt giá trị nhỏ nhất. Côsin góc giữa đường thẳng  và 2 OA OB OC 22 đường thẳng BC bằng 147 174 417 174 A. . B. . C. . D. . 58 85 58 58 Lời giải Chọn D Ta có mặt phẳng ( ) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C  A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c là các số dương. x y z  ( ) : + + = 1. a b c  1 1 1  1 1 1 + +  (12 + 52 + 22 )  2 + 2 + 2   1  30  2 + 2 + 2  1 5 2 M (1;5;2)  ( )  1 = a b c a b c  a b c  1 1 1 1 1 1 1 1  2+ 2+ 2  2 + 2 + 2  . a b c 30 OA OB OC 30 1 5 2  30 a = 30  1 1 1  1 a + b + c =1   a =1    + + 2  = đạt được khi:    b = 6  OA OB OC min 2 2 30 1 = 1 = 1 1 = 1 = 1 c = 15  a 5b 2c   a 5b 2c    B ( 0;6;0 ) và C ( 0;0;15) .
 vtpt của đường thẳng BC là u = ( 0; 2; −5) vtcp của đường thẳng  là v = ( 2;1;1) Gọi  là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng BC 0.2 + 2.1 − 5.1  cos  = cos u, v ( ) = = 174 02 + 22 + ( −5) . 22 + 12 + 12 58 2 x = 1+ t  Câu 32 (VD). Trong không gian Oxyz , cho d :  y = −1 + 4t . Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d ứng z = t  với giá trị t = 1 . Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với ( P ) : 2 x − y + 2 z − 9 = 0 là A. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 1) = 2 . B. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 4 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + 2 ) + ( y + 3) + ( z + 1) = 4 . D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 2 . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B +) t = 1  A ( 2;3;1) 2.2 − 3 + 2.1 − 9 +) Mặt cầu tâm A và tiếp xúc ( P )  R = d ( A, ( P ) ) = =2 22 + ( −1) + 22 2 +) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 1) = 4 . 2 2 2 Câu 33 (VD). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(m ;0;0) , D(0; m ;0) , A '(0;0; n) với m, n  0 và m + n = 5. Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện BDA ' M . 245 4 250 64 A. . B. . C. . D. . 108 9 27 27 Lời giải Chọn C  n Tọa độ điểm C(m ; m ;0) , C '(m; m; n) , M  m; m;  .  2  n BA ' = (−m;0; n) , BD ' = (−m ; m ;0) , BM =  0; m ;  .  2 1 m2 n VBDA ' M =  BA ', BD  .BM = . 6  4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có  m + m + 2n  1000 3 250 m.m.(2n)    = . Suy ra VBDA ' M  .  3  27 27 10 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = và n = . Chọn C. 3 3
Câu 34 (VD). Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;2;2 ) , B ( 3; − 1; − 2 ) , C ( −4;0;3) . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng ( Oxz ) sao cho biểu thức IA − 2 IB + 5IC đạt giá trị nhỏ nhất.  37 19   37 23   27 21   25 19  A. I  − ;0;  . B. I  ;0 ; −  . C. I  − ;0 ;  . D. I  ;0 ; −  .  4 4  4 4  4 4  4 4 Lời giải Chọn C. Chọn điểm K sao cho KA − 2KB + 5KC = 0 .  27 ( −1 − xK ) − 2 ( 3 − xK ) + 5 ( −4 − xK ) = 0  xK = − 4    27 21  Khi đó: ( 2 − yK ) − 2 ( −1 − yK ) + 5 ( 0 − yK ) = 0   yK = 1  K − ;1;  .    4 4 ( 2 − zK ) − 2 ( −2 − zK ) + 5 ( 3 − zK ) = 0  zK = 21  4 IA − 2IB + 5IC = IK + KA − 2IK − 2KB + 5IK + 5KC = 4IK = 4IK . IK đạt giá trị nhỏ nhất khi K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( Oxz ) .  27 21  Vậy I  − ;0;  .  4 4 Câu 35 (VD). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; 0) , B ( 2;1; − 2) và mặt phẳng ( P ) có phương trình: x − 2 y − 2z + 2019 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình là: A. 9x + 5 y − 7 z − 9 = 0 . B. x − 5 y − 2z −1 = 0 . C. 2x + y − 3z − 2 = 0 . D. 2x + 2 y + 2z − 2 = 0 . Lời giải Chọn B ( ) ( ) + Nhận xét: 00  ( ( P),(Q) )  900 , nên góc ( P ) , ( Q ) nhỏ nhất khi cos ( P ) , ( Q ) lớn nhất. + Giả sử ( Q ) có VTPT là n ( a; b; c ) ( a2 + b2 + c2  0 )  phương trình ( Q ) : a( x −1) + by + cz = 0  ax + by + cz − a = 0 B  (Q)  2a + b − 2c − a = 0  2c = a + b ( ) + cos ( P ) , ( Q ) = a − 2b − 2c 3 a 2 + b2 + c2 = b a 2 + b2 + c2 = b 5c 2 − 4bc + 2b 2 ( ) Nếu b = 0  cos ( P ) , ( Q ) = 0  (( P ) , (Q )) = 90 0 ( Nếu b  0  cos ( P ) , ( Q ) =) c 2 1 c . 5  − 4  + 2 b b 1 1 30 =  = c 2 6 2 6 6 5 −  + b 5 5 5
c 2 + Dấu bằng xảy ra khi = ; a = 2c − b b 5 Chọn c = −2  b = −5; a = 1 nên phương trình ( Q ) : x − 5 y − 2 z −1 = 0 . Câu 36 (VD). Trong không gian Oxyz , cho điểm H (1 ;2 ; − 2 ) . Mặt phẳng ( ) đi qua H và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) . A. x 2 + y 2 + z 2 = 81 . B. x 2 + y 2 + z 2 = 1 . C. x 2 + y 2 + z 2 = 9 . D. x 2 + y 2 + z 2 = 25 . Lời giải Chọn C z C H O B y K A x Ta có H là trực tâm tam giác ABC  OH ⊥ ( ABC ) . Thật vậy : OC ⊥ OA   OC ⊥ AB (1) OC ⊥ OB Mà CH ⊥ AB (vì H là trực tâm tam giác ABC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra AB ⊥ ( OHC )  AB ⊥ OH (*) Tương tự BC ⊥ ( OAH )  BC ⊥ OH . (**) Từ (*) và (**) suy ra OH ⊥ ( ABC ) . Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng ( ABC ) có bán kính R = OH = 3 . Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) là ( S ) : x2 + y 2 + z 2 = 9 . Câu 37 (VD) . Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) : 2x − 2 y − z +1 = 0 và mặt phẳng (Q) : x + 2 y − 2z − 4 = 0 . Mặt cầu (S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB = 8 . A. −12 . B. −9 . C. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn A ⎯⎯ → ⎯⎯ → Mặt phẳng ( P) có VTPT n1 = ( 2; − 2; − 1) , mặt phẳng (Q) có VTPT n2 = (1; 2; − 2 )
⎯⎯→ 1  ⎯⎯ ⎯⎯  → →  Đường thẳng d có VTCP u =  n1 , n2  = ( 2;1; 2 ) 3  A ( 6; 4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng ( P) và (Q) nên A  d Mặt cầu (S ) có tâm I (−2;3;0) , bán kính R = 13 − m , m  13  ⎯⎯ ⎯⎯  → →  IA , u    d (I,d ) = =3 ⎯⎯ → u Gọi K là trung điểm của AB  AK = 4 và IK = d ( I , d ) = 3 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IKA R = IK 2 + AK 2 = 5  13 − m = 5  13 − m = 25  m = −12 (nhận). Câu 38 (VDC). Cho điểm A(2;5;1) , mặt phẳng ( P) : 6x + 3 y − 2z + 24 = 0 , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( P) . Phương trình mặt cầu (S ) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại H sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A. ( x + 16 ) + ( y + 4 ) + ( z − 7 ) = 196 . B. ( x − 16 ) + ( y − 4 ) + ( z + 7 ) = 196 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z − 1) = 196 . D. ( x − 8 ) + ( y − 8 ) + ( z + 1) = 196 . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Gọi đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng ( P) .  x = 2 + 6t  Suy ra phương trình đường thẳng d :  y = 5 + 3t  z = 1 − 2t  H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ( P) nên H = d  (P)  x = 2 + 6t  x = −4  y = 5 + 3t y = 2   Lập hệ phương trình     z = 1 − 2t z = 3 6 x + 3 y − 2 z + 24 = 0  t = − 1  Do đó, H (−4;2;3) . Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S ) Smc = 784  4 R2 = 784  R = 14 . Mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) tại H  I  d  I (2 + 6t ;5 + 3t ;1 − 2t ) , t  −1  6 ( 2 + 6t ) + 3 ( 5 + 3t ) − 2 (1 − 2t ) + 24  d ( I , ( P )) = R   = 14 Theo giả thiết:    62 + 32 + (−2) 2  AI  R   (6t ) + (3t ) + (−2t )  14 2 2 2   t = 1    t = −3   t = 1 . Do đó I (8;8; −1) . −2  t  2 