Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay - Khối nón (Đề số 4)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dành cho các bạn học sinh lớp 12, "Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay" cung cấp một bộ đề ôn tập toàn diện. Các bài tập trong đề kiểm tra tập trung vào việc ứng dụng công thức tính toán liên quan đến khối tròn xoay. Tài liệu này không chỉ có đáp án mà còn có các bước giải thích rõ ràng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay" để học tập và nắm vững kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Khối tròn xoay - Khối nón (Đề số 4)

ĐỀ SỐ 4 Câu 1. Thể tích V của khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h được cho bởi công thức nào dưới đây? 1 4 A. V =  r 2 h . B. V =  r 2 h . C. V =  r 2h . D. V =  2r 2h . 3 3 Câu 2. Cho hình nón có đỉnh S , tâm đáy là O , bán kính đáy là a , góc tạo bởi một đường sinh SM và o đáy là 60 . Tìm kết luận sai?  a3 3 A. l = 2a . B. S xq = 2 a 2 . C. Stp = 4 a 2 . D. V = . 3 Câu 3. Cho hình nón đỉnh O, tâm đáy là I, đường sinh OA = 4, Sxq = 8 . Tìm kết luận sai: 4 3 A. R 2. B. h 2 3. C. Sđáy = 4 . D. V . 3 Câu 4. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là a. Tìm kết luận đúng? a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 12 6 Câu 5. Một hình nón có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 5 41 . B. 25 41 . C. 75 41 . D. 125 41 . Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 4 a , đường sinh là 5a . Thể tích của khối nón là A. 48 a3 . B. 40 a3 . C. 24 a3 . D. 16 a3 . Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a , chiều cao là 4a . Thể tích của khối nón là: A. 15 a3 . B. 36 a3 . C. 12 a3 . D. 18 a3 . Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: 1 3 A.  a2 . B. 2 a2 . C.  a 2 . D.  a 2 . 2 4 Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a . Thể tích của khối nón bằng:  a3 2 a 3  a3  a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Câu 10. Cho hình nón có thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông cân có cạnh huyền a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón là  a2 3  a2 2  a2 2  a2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 2 Câu 11. Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, hai đường sinh SA, SB bằng 4 và tạo với nhau một góc 60 và ABO vuông tại O. Tìm kết luận đúng A. R = 2 . B. R = 2 2 . C. R = 4 . D. R = 4 3 . Câu 12. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 6cm . Thiết diện qua 2 đường sinh tạo với nhau góc 30 thì diện tích của thiết diện bằng: A. 18cm2 . B. 16cm2 . C. 9cm2 . D. 10cm2 . Câu 13. Cho tam giác ABC có AB = 3 , BC = 5 và AC = 4 . Cho tam giác ABC quay quanh AB và AC ta được hai hình nón có diện tích xung quanh là S1 và S 2 . Chọn kết quả đúng?
S1 3 S1 4 S1 4 S1 3 A. = . B. = . C. = . D. = . S2 5 S2 3 S2 5 S2 4 Câu 14. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC  của hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh b khi quay xung quanh trục AA . Diện tích S là A.  b2 . B.  b 2 2 . C.  b 2 3 . D.  b 2 6 . Câu 15. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là 1 1 1 A.  a 2 3. B.  a 2 2. C.  a 2 3. D.  a 2 3. 2 3 3 Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Cho tam giác ABC quay quanh AB ta được khối nón tròn xoay có thể tích bằng 1200 A. V = . B. V = 240 . C. V = 100 . D. V = 120 . 13 Câu 17. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a . Một hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC . Tìm kết luận đúng? a 33  a2  a3 A. R = a 3 . B. h = . C. S xq = . D. V = . 3 4 9 Câu 18. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD . Diện tích xung quanh của hình nón đó là.  a2 3  a 2 23  a2 3  a2 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Câu 19. Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là  a2 3 2 a 2 3  a2 3 A. . B. . C. . D.  a 2 3. 2 3 3 Câu 20. Hình ABCD (hình vẽ) khi quay quanh BC thì đường gấp khúc BADC tạo ra hình hình nào? A. Một hình trụ. B. Một hình nón. C. Một hình nón cụt. D. Hai hình nón. Câu 21. Cho tứ diện đều ABCD . Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Không có hình nón nào. Câu 22. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a , biết B , C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là: 2 3 a 3 a 3 3 3a 3 A. a  3 . 3 B. . C. . D. . 9 24 8
Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SC = a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SCA tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là a3 2 4 a 3  a3 3  a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Câu 24. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bằng mặt phẳng ( P ) đi qua đỉnh sao cho góc giữa ( P ) và mặt đáy hình nón bằng 60 . Khi đó diện tích thiết diện là 3 2 3 2 2 2 2 A. a . B. a . C. a 2 . D. a . 2 2 3 3 Câu 25. Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 90 . Thể tích của khối nón đó bằng  h3 6 h3 2 h 3 A. . B. . C. . D. 2 h3 . 3 3 3 Câu 26. Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và SAO = 30 ; SAB = 60 . Tính diện tích xung quanh hình nón. 3 2 A. 2 3 . B. . C. 4 3 . D. 3 2 . 4 Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc SAB = 60 . Thể tích của khối nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng  a3 3  a3 2  a3 2  a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 12 6 6 Câu 28. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = a 10, BC = 2a . Gọi H là trung điểm của BC . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay hình tam giác ABC xung quanh trục AH . A. V = 2 a3 . B. V = 3 a3 . C. V = 9 a3 . D. V =  a3 . Câu 29. Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng ( P ) song song với đáy. Mặt phẳng này chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tỉ số thể tích của hình nón phía trên mặt phẳng ( P ) và hình nón cho trước là số nào? 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 8 Câu 30. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a . Mặt phẳng ( P ) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến ( P ) . 3a 5a 2a A. d = . B. d = a . C. d = . D. d = . 2 5 2
BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.B 17.B 18.C 19.C 20.D 21.D 22.C 23.B 24.D 25.A 26.C 27.B 28.D 29.C 30.D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Thể tích V của khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h được cho bởi công thức nào dưới đây? 1 4 A. V =  r 2 h . B. V =  r 2 h . C. V =  r 2h . D. V =  2r 2h . 3 3 Lời giải Chọn A 1 Theo định nghĩa ta có thể tích khối nón tròn xoay được cho bởi công thức V =  r 2 h . 3 Câu 2. Cho hình nón có đỉnh S , tâm đáy là O , bán kính đáy là a , góc tạo bởi một đường sinh SM và đáy là 60o . Tìm kết luận sai?  a3 3 A. l = 2a . B. S xq = 2 a . 2 C. Stp = 4 a . 2 D. V = . 3 Lời giải Chọn C Gọi l , h , S xq , S tp là độ dài đường sinh, chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.  a3 3 + Ta có h = SO = OM tan 60 = a 3 , l = SM = 2a suy ra S xq = 2 a , V = o 2 , Stp = 3 a 2 3 do đó đáp án C sai. Câu 3. Cho hình nón đỉnh O, tâm đáy là I, đường sinh OA = 4, Sxq = 8 . Tìm kết luận sai: 4 3 A. R 2. B. h 2 3. C. Sđáy = 4 . D. V . 3 Lời giải Chọn D O I A Ta có đường sinh OA l 4 , mà S xq .l.R 8 R 2 Sđáy = R2 4 .
1 1 8 3 Có OI h l 2 R2 2 3 V Sđáy.h = .4 .2 3 . 3 3 3 Như vậy, đáp án D sai. Câu 4. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là a. Tìm kết luận đúng ? a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 12 6 Lời giải Chọn C S A O B AB a 2 Tam giác SAB vuông cân tại S AB SA 2 a 2 AO OB SO . 2 2 a 2 Như vậy hình nón có SO h AO R . 2 1 1 2 a3 2 Suy ra V Sday .h Rh . 3 3 12 Câu 5. Một hình nón có đường cao h = 20cm , bán kính đáy r = 25cm . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 5 41 . B. 25 41 . C. 75 41 . D. 125 41 . Lời giải Chọn D Ta có h = SO = 20cm và r = OA = 25cm . Xét  AOS vuông tại O có: SA2 = SO2 + AO2 = 202 + 252 = 1025  SA = 1025 = 5 41 .  l = SA = 5 41 . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng: Sxq =  rl =  .25.5 41 = 125 41 (đvdt). Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 4 a , đường sinh là 5a . Thể tích của khối nón là A. 48 a3 . B. 40 a3 . C. 24 a3 . D. 16 a3 . Lời giải Chọn D
Ta có l = SA = 5a và r = OA = 4a . Xét  AOS vuông tại O có: SO2 = SA2 − AO2 = ( 5a ) − ( 4a ) = 9a 2  SO = 3a  h = 3a . 2 2 1 1 Thể tích khối nón là: V =  r 2 h =  . ( 4a ) .3a = 16 a 3 (đvtt). 2 3 3 Câu 7. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a , chiều cao là 4a . Thể tích của khối nón là: A. 15 a3 . B. 36 a3 . C. 12 a3 . D. 18 a3 . Lời giải Chọn C  h = 4a Hình nón ( N ) có  .  r = 3a 1 1 Thể tích khối nón ( N ) là: V =  r 2 h =  . ( 3a ) .4a = 12 a3 . 2 3 3 Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: 1 3 A.  a2 . B. 2 a2 . C.  a 2 . D.  a 2 . 2 4 Lời giải Chọn C Tam giác đều ABC quay xung quanh AH tạo nên một hình nón tròn xoay ( N ) .
l = a  Hình nón ( N ) có  a. r = 2  a  a2 Diện tích xung quanh của hình nón ( N ) là: S xq =  rl =    a = . 2 2 Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a . Thể tích của khối nón bằng:  a3 2 a 3  a3  a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Lời giải Chọn A Gọi thiết diện qua trục là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh huyền BC = 2a BC 2a BC Vì thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nên r = = = a và h = =a 2 2 2 1  a3 Do đó V =  a 2 .a = . 3 3 Câu 10. Cho hình nón có thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông cân có cạnh huyền a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón là  a2 3  a2 2  a2 2  a2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 2 Lời giải Chọn D Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB vuông cân tại S có AB = a 2 . Áp dụng định lí Pitago vào SAB vuông ta có SA2 + SB2 = AB2  2SA2 = 2a2  SA = a . 1 a 2 Mặt khác AO = AB = . 2 2 a 2  a2 2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =  rl =  . AO.SA =  . .a = . 2 2
Câu 11. Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, hai đường sinh SA, SB bằng 4 và tạo với nhau một góc 60 và ABO vuông tại O. Tìm kết luận đúng A. R = 2 . B. R = 2 2 . C. R = 4 . D. R = 4 3 . Lời giải Chọn B Ta có: SAB có SA = SB = 4, ASB = 60  SAB đều  AB = 4 . Xét tam giác OAB vuông cân tại O, có: OA2 + OB2 = AB2  2R2 = AB2 = 16  R = 2 2 . Câu 12. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 6cm . Thiết diện qua 2 đường sinh tạo với nhau góc 30 thì diện tích của thiết diện bằng: A. 18cm2 . B. 16cm2 . C. 9cm2 . D. 10cm2 . Lời giải Chọn C Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều SAB. Ta có: SAB đều cạnh 6cm  SA = SB = AB = 6cm. Xét thiết diện qua hai đường sinh SA, SC là SAC có: SA = SC = 6cm , và ASC = 30 . 1 1 Suy ra: SSAC = SA.SC.sin ASC = 6.6.sin 30 = 9cm2 . 2 2 Câu 13. Cho tam giác ABC có AB = 3 , BC = 5 và AC = 4 . Cho tam giác ABC quay quanh AB và AC ta được hai hình nón có diện tích xung quanh là S1 và S 2 . Chọn kết quả đúng? S1 3 S1 4 S1 4 S1 3 A. = . B. = . C. = . D. = . S2 5 S2 3 S2 5 S2 4 Lời giải Chọn B Ta có AB2 + AC 2 = BC 2 nên suy ra tam giác ABC vuông tại A . S . AC.BC AC 4 Khi đó, ta có 1 = = = . S2 . AB.BC AB 3
Câu 14. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC  của hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh b khi quay xung quanh trục AA . Diện tích S là A.  b2 . B.  b 2 2 . C.  b 2 3 . D.  b 2 6 . Lời giải Chọn D Khối nón tròn xoay sinh bởi đoạn thẳng AC  của hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh b khi quay xung quanh trục AA có bán kính đáy là R = AC = b 2 và đường sinh là AC  = b 3 . Vậy S = . AC. AC = b2 6 . Câu 15. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là 1 1 1 A.  a 2 3. B.  a 2 2. C.  a 2 3. D.  a 2 3. 2 3 3 Lời giải Chọn C Đường sinh của hình nón là l = a. Bán kính R của đường tròn đáy hình nón là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 2 a 3 a 3 a . Ta có R = . = . 3 2 3 a 3 1 Vậy, diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =  Rl =  . .a =  .a 2 3. 3 3 Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Cho tam giác ABC quay quanh AB ta được khối nón tròn xoay có thể tích bằng 1200 A. V = . B. V = 240 . C. V = 100 . D. V = 120 . 13 Lời giải Chọn B
Chiều cao của hình nón là h = AB = 5. Bán kính đáy nón là R = AC = 12. 1 1 Vậy, thể tích khối nón là V =  R 2 h =  .122.5 = 240 . 3 3 Câu 17. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a . Một hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC . Tìm kết luận đúng? a 33  a2  a3 A. R = a 3 . B. h = . C. S xq = . D. V = . 3 4 9 Lời giải Chọn B S l h A C R O M B Gọi O là tâm của đáy khi đó ta có SA = l , AO = R , SO = h . a 3 2 a 3 a 3 Ta có AM =  R = AO = . = . Phương án A sai. 2 3 2 3 a2 11a 2 a 33 h = l 2 − R 2 = 4a 2 − = = . Phương án B đúng. 3 3 3 a 3 2a 2 3 S xq =  Rl =  . .2a = . Phương án C sai. 3 3 1 1 a a 33 a3 33 2 V =  R2h =  . . = . Phương án D sai. 3 3 3 3 27 Câu 18. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD . Diện tích xung quanh của hình nón đó là.  a2 3  a 2 23  a2 3  a2 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Lời giải Chọn C S l a A' D' O B' a C'
BD a Gọi O là tâm của đáy ABCD khi đó ta có SB = l , h = SO = a , r = = . 2 2 a2 a 6 a a 6  a2 3 Ta có l = h 2 + r 2 = a 2 + = suy ra S xq =  rl =  = . 2 2 2 2 2 Câu 19. Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là  a2 3 2 a 2 3  a2 3 A. . B. . C. . D.  a 2 3. 2 3 3 Lời giải Chọn C Gọi tứ diện đều S . ABC , có đỉnh trùng đỉnh của hình nón, ABC nội tiếp đường tròn tâm O là đáy của hình nón. I là trung điểm của BC . a 3 2 a 3 Ta có AI =  AO = AI = . 2 3 3 a 3  .a 2 3 Diện tích xung quanh của hình nón S xq =  .OA.SA =  . .a = . 3 3 Câu 20. Hình ABCD (hình vẽ) khi quay quanh BC thì đường gấp khúc BADC tạo ra hình hình nào? A. Một hình trụ. B. Một hình nón. C. Một hình nón cụt. D. Hai hình nón. Lời giải Chọn D Câu 21. Cho tứ diện đều ABCD . Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Không có hình nón nào.
Lời giải Chọn D Khi quay tứ diện đều ABCD quanh trục AB không có hình nón nào được tạo thành ( vì tam giác ABC , ABD là các tam giác đều). Câu 22. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a , biết B , C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là: 2 3 a 3 a 3 3 3a 3 A. a  3 . 3 B. . C. . D. . 9 24 8 Lời giải Chọn C Gọi R , h , l lần lượt là bán kính đáy, đường cao và độ dài đường sinh của khối nón. 2 BC a a a 3 Ta có: R = = , l = a , h = l 2 − R2 = a2 − = . 2 2 4 2 1 1 a2 a 3 a3 3 Thể tích khối nón là: V =  R 2 h =  . = . 3 3 4 2 24 Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SC = a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SCA tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là a3 2 4 a 3  a3 3  a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Lời giải Chọn B S A D B C Khối nón tròn xoay có bán kính đáy r = AC , chiều cao h = SA
Hình vuông ABCD cạnh a  AC = a 2 . Tam giác SAC vuông tại A  SA = SC 2 − AC 2 = 2a . 4 a 3 1 1 ( ) 2 Thể tích khối nón tròn xoay tạo thành V =  r 2 h =  . a 2 .2a = . 3 3 3 Câu 24. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bằng mặt phẳng ( P ) đi qua đỉnh sao cho góc giữa ( P ) và mặt đáy hình nón bằng 60 . Khi đó diện tích thiết diện là 3 2 3 2 2 2 2 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 2 3 3 Lời giải Chọn D S M H A O B N Gọi O là tâm của đáy hình nón, M , N là giao điểm của ( P ) và đường tròn đáy của hình nón, H là hình chiếu của O trên MN . Góc ở đỉnh hình nón bằng 90  ASB = 90  ASB vuông cân AB SA 2 a 2  SO = AO = BO = = = . 2 2 2 ( P ) tạo với đáy một góc 60  SHO = 60 . a 2 1 a 6 Trong tam giác SHO : HO = SO.cot H = . = , 2 3 6 a2 a2 a 6 SH = SO 2 + HO 2 = + = . 2 6 3 a2 a2 a 3 2a 3 Trong tam giác MHO : MH = MO − HO = − =  MN = 2MH = 2 2 . 2 6 3 3 1 1 a 6 2a 3 a 2 2 Diện tích thiết diện SSMN = .SH .MN = . . = . 2 2 3 3 3 Câu 25. Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 90 . Thể tích của khối nón đó bằng  h3 6 h3 2 h 3 A. . B. . C. . D. 2 h3 . 3 3 3 Lời giải Chọn A
Gọi SO = h là chiều cao; SA , SB là đường sinh và OB là bán kính đáy. Ta có góc ở đỉnh là ASB = 90  OSB = 45 và SOB vuông tại O  SO = OB . 1 1  h3 Vậy thể tích khối nón là V =  .OB 2 .SO =  .SO 3 = . 3 3 3 Câu 26. Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và SAO = 30 ; SAB = 60 . Tính diện tích xung quanh hình nón. 3 2 A. 2 3 . B. . C. 4 3 . D. 3 2 . 4 Lời giải Chọn C Để tiện kí hiệu hình vẽ được chuyển sang phải. Gọi M là trung điểm AB  OM = 2 và ta có OA = R . SO R 3 2R 3 Do SAO = 30 và SOA vuông tại O  tan 30 =  SO = và SA = . OA 3 3  SAB = 60  SA 3 Trong SAB có   SAB là tam giác đều  SM = = R.  SA = SB  2 2 R 3 Trong SOM : SM = SO + OM  R =  2 2 2  3  + 2  R = 6  SA = 2 2 . 2  2   Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq =  Rl =  6.2 2 = 4 3 . Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc SAB = 60 . Thể tích của khối nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng  a3 3  a3 2  a3 2  a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 12 6 6 Lời giải
S B C O A D Chọn B Gọi O = AC  BD . Xét khối nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD , ta có: bán a 2 kính đáy R = OA = , đường cao h = SO . 2 Tam giác SAB cân tại S và có góc SAB = 60 nên SAB là tam giác đều, suy ra độ dài đường sinh l = SB = AB = a . 2 a 2 a 2 Xét tam giác SOB vuông tại O có SO = SB − OB = a −  2  2  = 2  2 2   2 1 2 1  a 2  a 2  a3 2 Thể tích của khối nón là: V =  R h = . .   = . 3 3  2  2   12 Câu 28. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = a 10, BC = 2a . Gọi H là trung điểm của BC . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay hình tam giác ABC xung quanh trục AH . A. V = 2 a3 . B. V = 3 a3 . C. V = 9 a3 . D. V =  a3 . Lời giải Chọn D A B C H . Xét khối nón nhận được khi quay hình tam giác ABC xung quanh trục AH , ta có: 1 Bán kính đáy R = BC = a , chiều cao h = AH . 2 Tam giác AHB vuông tại H  AH = AB2 − BH 2 = 10a 2 − a 2 = 3a . 1 1 Khi đó thể tích khối nón là: V =  R 2 h =  a 2 3a =  a3 . 3 3 Câu 29. Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng ( P ) song song với đáy. Mặt phẳng này chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tỉ số thể tích của hình nón phía trên mặt phẳng ( P ) và hình nón cho trước là số nào ? 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 8 Lời giải Chọn C
S l' h' O' r' C' A' l h O r A C Gọi V , r , h , l lần lượt là thể tích, bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của khối nón ban đầu. Gọi V  , r , h , l  lần lượt là thể tích, bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của khối nón phía trên mặt phẳng ( P ) . Ta có diện tích xung quanh của hình nón ban đầu là S xq =  rl . Ta có diện tích xung quanh của hình nón phía trên mặt phẳng ( P ) là S xq =  r l  .  1 1 r l 1  Theo giả thiết, suy ra S xq = S xq  r l  = rl  . = (1) . 2 2 r l 2 r  l  h Vì hình nón được cắt bởi một mặt phẳng ( P ) song song với đáy nên ta có = = ( 2) . r l h  r  1 r 2 2 Từ (1) và ( 2) suy ra   =  = . r 2 r 2 1 1 Mặt khác, ta có V =  r 2 h , V  =  r 2 h . 3 3 3 V   r   h  r    2  r  l  h 2 3 2 Vậy =  . =  =  = vì = = . V r h r  2    4 r l h Câu 30. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a . Mặt phẳng ( P ) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến ( P ) . 3a 5a 2a A. d = . B. d = a . C. d = . D. d = . 2 5 2 Lời giải Chọn D S SO = h = a H AB = 2 3a B OA = r = 2a K O A Gọi điểm O là tâm của đường tròn đáy và điểm K là trung điểm của đoạn thẳng AB . AB Suy ra OK ⊥ AB và AK = =a 3. 2
Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng SK . Ta có:  AB ⊥ SO  AB ⊥ OK    AB ⊥ ( SOK ) mà OH  ( SOK )  AB ⊥ OH ;  SO  OK = O  SO , OK  ( SOK )  OH ⊥ AB OH ⊥ SK    OH ⊥ ( SAB )  d = d ( O , ( SAB ) ) = OH .  SK  AB = K  SK , AB  ( SAB )  Xét tam giác OAK vuông tại K . Ta có OK = OA2 − AK 2 = 4a 2 − 3a 2 = a . Xét tam giác SOK vuông tại O và OK = SO = a nên tam giác SOK vuông cân tại O . SK SO 2 + OK 2 a 2 Suy ra OH = = = . 2 2 2 a 2 Vậy d = . 2