zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 4: Vecto

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 – Chương 4: Vecto hỗ trợ học sinh củng cố kiến thức về các phép toán vecto, biểu diễn hình học và ứng dụng trong giải bài. Bao gồm tóm tắt lý thuyết, công thức trọng tâm, bài tập thực hành và lời giải chi tiết. Tài liệu phù hợp để luyện tập kỹ năng vẽ hình và chứng minh hình học qua vecto. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu ôn tập vecto để rèn luyện tư duy hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập chương Toán lớp 10 (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chương 4: Vecto

TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 4. VEC TO • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ CHƯƠNG 4. VECTƠ Bài 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A - Kiến thức cần nhớ 1. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai đầu mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điềm đầu, điềm cuối. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. 2. Một vectơ hoàn toàn được xác định khi biết hướng và độ dài của nó. 3. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. 4. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cung độ dài và cùng hướng. 5. Vectơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.  Vectơ 0 có độ dài bằng 0 , cùng phương với mọi vectơ, cùng hướng với mọi vectơ. B - Ví dụ   Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC , BD . Xét các cặp vectơ: AB                 và DC , DA và BC , BC và CD, OA và CO, BO và DO . a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ trong mỗi cặp trên. b) Trong các cặp trên, có bao nhiêu cặp gồm hai vectơ bằng nhau? Giải a) Do tứ giác ABCD là hình thoi, nên các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm  mỗi đường. Từ đó của   - Hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài;    - Hai vectơ DA và BC ngược hướng và cùng độ dài;    - Hai vectơ BC và CD không cùng phương, nhưng có độ dài bằng nhau;     - Hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài;   - Hai vectơ BO và DO cùng độ dài, nhưng ngược hướng. b) Theo kết quả của câu a,       - Do hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài, nên AB  DC ;         - Do hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài, nên OA  CO ;        - Do hai vectơ DA và BC có cùng độ dài, nhưng ngược hướng nên DA và BC không bằng nhau. Tương    tự, BO và DO không bằng nhau;        - Do hai vectơ BC và CD không cùng phương, vì vậy BC và CD không bằng nhau. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/       Vậy, trong những cặp vectơ được xét, có 2 cặp gồm hai vectơ bằng nhau, đó là AB và DC ; OA và CO . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Vẽ các đường trung tuyến AD, BE , CF của tam giác ( D  BC , E  CA, F  AB) . Xét các vectơ có đầu mút được lấy từ các điểm A, B , C, D, E, F.  Hãy chỉ ra các bộ ba vectơ khác 0 và đôi một bằng nhau. Giải Từ giả thiết suy ra D là trung điểm BC , E là trung điểm CA và F là trung điểm AB . Từ đó DE, EF , FD là các đường trung bình của tam giác. Do đó, hai đoạn thẳng DE, BF song song và bằng nhau, hai đoạn thằng DE, FA song song và bằng nhau. Suy ra các tứ giác AEDF , FEDB là hình bình hành. Do đó các vectơ           BF , DE , FA cùng hướng và cùng độ dài; các vectơ AF , FB , ED cùng hướng và cùng độ dài. Bởi vậy            BF  FA  DE và AF  FB  ED . Bằng lập luận tương tự, cũng được            BD  DC  FE vaø CD  DB  EF             CE  EA  DF vaø AE  EC  FD. BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A - Kiến thức cần nhớ 1. Vectơ đối    Vectơ đối của vectơ a , ki hiệu  a , là vectơ ngược hướng và cùng độ dài với vectơ a . 2. Quy tắc cộng, trừ hai vectơ - Quy tắc ba điểm (hay còn được gọi  quy tắc tam giác):   là         Với ba điểm bất kì A, B, C , ta có: AB  BC  AC; AC  AB  BC.     - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC . 3. Tính chất       - Tính chất giao hoán của phép cộng: a  b  b  a , a , b .          - Tính chất kết hợp của phép cộng: ( a  b )  c  a  (b  c ), a , b , c .        - Tính chất của vectơ 0 : a  0  0  a  a , a .     - Tính chất của vectơ đối: a  ( a )  0, a . 4. Dấu hiệu nhận biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác    M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA  MB  0 .       - G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 . B-Ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a, AD  a 2 .      a) Tính độ dài của vectơ DC  BD  AB .        b) Xác định điểm M sao cho DC  BD  AB  BM . Giải Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG a) Do hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  a 2 nên độ dài hai đường chéo AC , BD bằng a 2  (a 2) 2  a 3 . Theo tính chấtgiao   kết hợp phép cộng vectơ, ta có      hoán và   DC  BD  AB  AB  BD  DC           ( AB  BD )  DC  AD  DC  AC .       Do đó | DC  BD  AB || AC | a 3 .                 b) Do DC  BD  AB  AC nên DC  BD  AB  BM  AC  BM .    Theo kết quả bài tập 4.3, SGK Toán 10 tập 1 , đẳng thức AC  BM tương đương với tứ giác ABMC là một      hình bình hành. Từ đó CM  AB  DC . Vậy điểm M cần tìm là điểm đối xứng với D qua C . Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O , độ dài các cạnh bằng 1 . a)   minh rằng   Chứng        OA  OB  OC  OD  OE  OF  0.           b) Tính độ dài của các vectơ AB  OE , AB  CD  EF . Giải a) Do O là tâm của lục giác đều ABCDEF nên O là trung điềm của các đường chéo AD, BE , CF .             Khi đó OA  OD  0, OB  OE  0, OC  OF  0 .            Suy ra OA  OB  OC  OD  OE  OF .     0     b) Theo kết quả của bài tập 4.4, ta được AB  OE  FO  OE  FE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/       Từ đó, do độ dài các cạnh của lục giác ABCDEF bằng 1 nên | AB  OE || EF | 1 .      Ví dụ 3. Trên Hình biểu diên ba lực F1 , F2 , F3 cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng 0 . Cho biết        cường độ của F1 , F2 đều bằng 100 N và góc tạo bởi F1 và F2 bằng 120 .   Tính cường độ của lực F3 . Giải                  Ta sử dụng các vectơ OA, OB, OC và OD lần lượt biểu diễn cho các lực F1 , F2 , F3 và hợp lực F của F1 , F2 .       Khi đó, do F  F1  F2 và F1  F2  100 , nên tứ giác AOBD là hình thoi. Từ đó, do   120 , suy ra AOB   OAD  60 , do đó tam giác AOD đều. Bởi vậy | F | OD  OA  100 .     Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực F và F3 ngược hướng và có cường độ bằng nhau, tức là hai vectơ OD    và OC là hai vectơ đối nhau. Suy ra cường độ của lực F3 bằng    F3 | F | 100( ). N BÀI 9. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A - Kiến thức cần nhớ     1. Tích của vectơ a  0 với số thực k , kí hiệu ka , là một vectơ:  - có độ dài bằng | k |  | a | ; Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG   - cùng hướng với a khi k  0 và ngược hướng với a khi k  0 ;   2. Tính chất. Cho hai vectơ a , b và cho hai số thực k , t. Khi đó   k (ta )  (kt )a ;          k ( a  b )  ka  kb ; k ( a  b )  ka  kb ;    (k  t )a  ka  ta     - 1a  a , (1)a  a;     ka  0  k  0 hoặc a  0 .       3. Hai vectơ a và b (b  0) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho a  kb     4. Cho trước vectơ a  0 . Khi đó với mọi vectơ b cùng phương với a , tồn tại duy nhất số thực x sao cho   b  xa .    5. Cho trước hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó với mọi vectơ c tồn tại duy nhất cặp số ( x; y)    sao cho c  xa  yb .       6. M là trung điểm của AB khi và chỉ khi OA  OB  2OM , O . G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ       khi OA  OB  OC  3OG, O . B. Ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC . Gọi G, G1 , G2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, ABM , ACM . Chứng minh rằng G là trung điềm của G1G2 . Giải Do M là trung điểm của BC; G, G1 , G2 theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC , ABM , ACM nên với mọi điềm O , ta có             OB  OC  2OM , OA  OB  OC  3OG               OA  OB  OM  3OG1 , OA  OC  OM  3OG2 . Tử đó suy ra              3 OG1  OG2  (OA  OB  OC )  (OA  2OM )               (OA  OB  OC )  (OA  OB  OC )  6OG     Suy ra OG1  OG2  2OG . Do đó G là trung điểm của G1G2 . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM  2 MC .     a) Chứng minh rằng MB  2MC  0 .     b) Chứng minh rằng AB  2 AC  3 AM . Giải      a) Do M thuộc cạnh BC và BM  2 MC nên hai vectơ MB, MC ngược hướng và | MB | 2 | MC | . Suy ra       MB  2MC và do đó MB  2MC  0 .           b) Theo quy tắc ba điểm, ta có AB  AM  MB; AC  AM  MC .                 Từ đó AB  2 AC  ( AM  MB )  2( AM  MC )  3 AM  ( MB  2 MC )  3 AM . Nhận xét - Điểm M trong ví dụ này được gọi là điểm chia đoạn thẳng BC theo tỉ số 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   - Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được điểm M chia đoạn AB theo ti số k (tức là MA  k MB ) khi       và chỉ khi OA  kOB  (1  k )OM , O . Ví dụ 3. Gọi G và G theo thứ tự là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A BC  . Chứng minh rằng       AA  BB   CC   3GG  . Giải Do G là trọng tâm tam giác ABC , G  là trọng tâm tam giác A BC  nên ta có:           AG  BG  CG  0 1 vaø G A  G B  GC   0  2  Theo quy tắc ba điểm, ta có     AA  BB  CC               ( AG  BG  CG )  3GG  G  A  G  B  G C                    AG  GG   G  A  BG  GG  G  B  CG  GG   G C        Từ đó và (1), (2) suy ra AA  BB  CC   3GG  . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC .      a) Tìm điểm M sao cho MA  2MB  3MC  0 .      b) Tìm tập hợp các điềm N thoả mãn | NA  3 NC | 4 | NB | . Giải a) Giả sử tìm được điềm M  mãn (H.4.9a). Khi với / là trung điềm AC , ta có     thoả      đó,        MA  2 MB  3MC  ( MA  MC )  2( MB  MC )  2 MI  2CB  2( MI  CB).               Khi đó MA  2MB  3MC  0  2( MI  CB )  0  MI  CB . Do B, C , I không cùng thuộc một đường thẳng, nên điều này tương đương với tứ giác BCMI là một hình bình hành. Vậy điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh BC , BI tức là M đối xứng với B qua trung điểm của IC . b) Gọi J là trung điểm của IC    Khi đó JA  3 JC và do đó JA  3JC . Từ đó suy ra Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG            NA  3NC  ( NJ  JA)  3( NJ  JC )  4 NJ .         Do ñoù | NA  3NC | 4 | NB | 4 | NJ | 4 | NB |     | NJ || NB |, tức là N thuộc trung trực của đoạn JB . Vậy tập hợp các điềm N cần tìm là đường trung trực của đoạn JB . BÀI 10. VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A - Kiến thức cần nhớ 1. Trục toạ độ, toạ độ đối với trục Trục toạ độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng, mà trên đó đã xác định một điểm O và một   vectơ e có độ dài bằng 1 . Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ e gọi là vectơ đơn vị của trục.   Điểm M trên trục biểu diễn số x0 nếu OM  x0 e . 2. Hệ trục tọa độ, tọa độ đối với hệ trục toạ độ   Hệ trục tọa độ là một hệ gồm hai trục Ox (với vectơ đơn vị i ) và trục Oy (với vectơ đơn vị j ) vuông góc với nhau tại gốc chung O . Trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là trục tung.     Với mỗi vectơ u trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số thực  x0 ; y0  sao cho u  x0i  y0 j    Cặp số  x0 ; y0  ở đây được gọi là toạ độ của vectơ u đối với hệ trục. Ta viết u   x0 ; y0  hay u  x0 ; y0  để  chỉ rằng vectơ u có toạ độ là  x0 ; y0  đối với hệ trục toạ độ. Các số x0 , y0 tương ứng gọi là hoành độ, tung     2 2 độ của vectơ u . Nếu điểm M có toạ độ  x0 ; y0  thì vectơ OM có toạ độ  x0 ; y0  và | OM | x0  y0 .   Với hai điểm M ( x; y) và N  x ; y   thì MN   x  x; y   y  và khoảng cách giữa hai điểm M , N bằng   2 2    MN | MN | x  x  y  y .  3. Tính chất   Cho hai vectơ u  ( x; y ), v   x ; y   và cho số thực k . Khi đó          u  v  x  x  ; y  y ; u  v  x  x  ; y  y ; ku  (kx; ky );    x  x     x   x uv  ; u  v    y  y  y  y .    4. Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ: Vectơ v ( x; y ) cùng phương với vectơ u  x ; y    0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x  kx và y  ky  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 5. Cho hai điểm A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  . Khi đó trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ  a1  b1 a2  b2   ; .  2 2  6. Cho tam giác ABC với A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  , C  c1 ; c2  . Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ  a1  b1  c1 a2  b2  c2   ; .  3 3  B-Ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3; 4) . a) Tìm toạ độ trung điềm M của đoạn AB .    b) Tìm toạ độ điềm N sao cho NA  2 NB . Giải  1 3 x  2  2  a) Gọi M ( x; y) là trung điểm của AB . Khi đó  . Suy ra M (2; 1) .  y  2  (4)  1   2               b) Do NA  2 NB nên OA  2OB  (1  2)ON  ON , suy ra ON  2OB  OA . Từ đó, do     OA  (1; 2), OB  (3; 4) nên ON  (5; 10) . Vậy N (5; 10) . Nhận xét    Một cách khái quát, với hai điểm A  a1 ; a2  , B  b1 ; b2  thì điểm P thoả mãn PA  k PB (k  1) có toạ độ  a1  kb1 a2  kb2   ; .  1 k 1 k  Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(1; 4) và C (2;3) . a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải    1 5    a) Từ giả thiết suy ra AB  ( 1;5), AC  ( 4; 4) . Do  nên các vectơ AB và AC không cùng phương. 4 4 Suy ra A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.  2  1  (2) 1 x   3  3 b) Gọi G ( x; y ) là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó   y  (1)  4  3  2   3 1  Suy ra G  ; 2  . 3         Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A, B thoả mãn OA  2i  3 j , OB  3i  2 j . a) Chứng minh rằng O, A, B không thằng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành. c) Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục hoành sao cho DA  DB . Giải    2 3    a) Từ giả thiết suy ra OA  (2; 3) và OB  (3; 2) . Vì  nên hai vectơ OA và OB không cùng 3 2 phương, hay O, A, B không thẳng hàng.   b) Từ giả thiết suy ra AB  (1;5) . Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành. Khi đó    do OC  AB nên OC  (1;5) . Suy ra C (1;5) . c) Xét điểm D(d ;0)  Ox . Khi đó DA  (2  d ) 2  9, DB  (3  d ) 2  4 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG 2 2 2 2 Suy ra DA  DB  DA  DB  (2  d )  9  (3  d )  4  d  0 . Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ O(0;0) . Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3; 4) . Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục     tung sao cho vectơ CA  CB có độ dài ngắn nhất. Giải     Xét điểm C (0; c)  Oy . Khi đó CA  (1; 2  c) và CB  (3; 4  c) .         Do đó CA  CB  (4; 2  2c) , suy ra | CA  CB | 16  4(1  c) 2 .     Do (1  c) 2  0c , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c  1 , nên | CA  CB | 4 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ     khi c  1 . Vậy với điểm C (0; 1)  Oy thì vectơ CA  CB có độ dài ngắn nhất. Nhận xét          - Với mỗi điểm C đều có CA  CB  2CI , với I là trung điểm AB . Suy ra vectơ CA  CB có độ dài ngắn  nhất khi và chỉ khi vectơ CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.     - Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm C thuộc đường thẳng  sao cho vectơ  CA   CB có độ dài ngắn nhất, với  ,  là hai hằng số cho trước. Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ A - Kiến thức cần nhớ         1. Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ u và v khác vectơ 0 . Từ một điểm A nào đó, vẽ AB  u , AC  v .    Khi đó số đo của góc BAC được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ u và v hay đơn giản là góc giữa hai     vectơ u , v , ki hię̂u (u , v ) .     2. Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u và v là một số, kí hiệu u  v , được xác định bởi công       thức u  v | u |  | v |  cos(u , v ) . Chú ý     - Hai vectơ khác vecto-không u và v có phương vuông góc với nhau khi và chỉ khi u  v  0 . - Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó:   u | u |2 .   3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai vectơ u  ( x; y) và v   x ; y   . Khi     đó tích vô hướng của hai vectơ u , v được tinh theo công thức u  v  xx  yy .   Nhận xét. Với vectơ u  ( x; y) và v   x ; y   , ta có:   - Hai vectơ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi xx  yy  0 .   - Bình phương vô hướng của vectơ u là u 2  x 2  y 2 .         u v xx  yy - Nếu u  0 và v  0 thì cos(u , v )     . | u || v | x 2  y 2  x 2  y 2 4. Tính chất Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    Với ba vectơ u , v , w bất kì và mọi số thực k , ta có:     - Tính chất giao hoán: u  v  v  u .         - Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ: u  (v  w )  u  v  u  w .       - Tính chất kết hợp đối với phép nhân với số: (ku )  v  k (u  v )  u  (kv ) .   Nhận xét. Với hai vectơ u , v bất kì, ta có:       (u  v ) 2  u 2  2 u  v  v 2       (u  v )2  u 2  2 u  v  v 2       (u  v )  (u  v )  u 2  v 2 B- Ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC tâm O , có độ dài các cạnh bằng 1 .                a) Xác định góc giữa các cặp vectơ AB và AC , AB và BC , OA và BC , OB và CB . b) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:                   AB và AC , AB và BC , OA và OB, OA và BC , OB và CB Giải a) Do tam giác ABC đều, nên CAB    BCA  60 .  ABC      Suy ra ( AB; AC )  CAB  60 .    Gọi D là điểm đối xứng với B qua CA . Khi đó tứ giác ABCD là một hình thoi, do đó AD  BC và BAD  180    120 .  ABC          Suy ra ( AB; BC )  ( AB; AD)  BAD  120 . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của OA, P là điểm đối xứng với M qua C. Khi đó, do       O là tâm của tam giác đều ABC , nên A, N , O, M thẳng hàng, AM  BC , MN  OA và MP  BC .        Suy ra (OA; BC )  ( MN ; MP )  90 .  Lấy điểm Q đối xứng với O qua M . Khi đó tứ giác BOCQ là một hình thoi, có OCQ  60 .          Suy ra (OB; CB )  (CQ; CB)  BCQ  30 . 2 1 3 b) Do AM  BC nên AM  AB 2  BM 2  12     . 2 2     2 2 3 3 Do O là tâm của tam giác đều ABC , nên | OA || OB | OA  AM    . 3 3 2 3          1 Suy ra AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB; AC )  11 cos 60  2             1 AB  BC | AB |  | BC |  cos( AB; BC )  11 cos120   2             3 3 1 OA  OB | OA |  | OB |  cos(OA; OB )    cos120   3 3 6 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG             3 OA  BC | OA |  | BC |  cos(OA; BC )  1  cos 90  0 ; 3             3 1 OB  CB | OB |  | CB |  cos(OB; CB )  1  cos 30  3  2   Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ OB, CB như sau: Lấy O' đối xứng với O qua B và C đối xứng với C qua B . Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn với đường kính AB  2 R . Gọi M và N là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại một điểm I .       a) Chứng minh  AI  AM  AI  AB . rằng    b) Tinh AI  AM  BI  BN theo R . Giải a) Do M thuộc nửa đường tròn với đường kinhh AB nên AMB  90 .      Suy ra AM  AB  cos BAM . Từ đó, để ý rằng BAM  ( AI ; AB) , ta có             AI  AM | AI |  | AM |  cos( AI ; AM )  AI  AM  AI  AB  cos BAM  AI  AB        b) Tương tự như phần a), ta cũng được BI  BN  BI  BA   BI  AB . Suy     ra  AI  AM  BI  BN            AI  AB  BI  AB  AB  ( AI  BI )       2  AB  ( AI  IB)  AB  4 R 2      Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được a  b  a  b , trong đó b là hình chiếu vuông góc của   vectơ b trên giá của vectơ a . Kết quả này được gọi là định lí chiếu. ˆ Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A , có A  120 , AB  3 .           a) Tính AB  AC , AB  CB, AC  CB . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Tính độ dài cạnh BC .   c) Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MB  2 MC . Tính MA  MB . Giải ˆ a) Do tam giác ABC cân tại A, A  120 , AB  3 , nên          9 AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB; AC )  3  3  cos120   .      2 Theo quy tắc ba điềm ta có CB  AB  AC và do đó:       2          9  27 AB  CB  AB  ( AB  AC )  AB  AB  AC  32       2 2         2  9  2    27 AC  CB  AC  ( AB  AC )  AC  AB  AC      3   .  2 2      b) Theo quy tắc ba điểm, ta có BC  AC  AB . Từ đó  2      2  2    9 BC 2  BC  ( AC  AB )2  AC  AB  2 AC  AB  32  32  2      27  2 Suy ra BC  3 3 . c) Gọi I là trung điềm của BC . Do M thuộc cạnh BC và MB  2MC , I là trung điểm của BC , nên theo kết quả của Ví dụ 2 , Bài 9 , ta có  2   1     MB  CB, IB  CB . 3 2 Suy ra   MI       MB  BI  MB  IB  2 1   1        CB  CB. 3 2 6 Từ đó, theo định lí chiếu, ta được     1 2  2   MA  MB  MI  MB    CB  3 6 3 Nhận xét  - Để tính độ dài của một đoạn thằng XY , trước hết ta biểu thị vectơ XY theo hai vectơ không cùng phương     a , b đã biết, rồi tính bình phương vô hướng của vectơ XY .  1   - Nhờ vào kết quả của Ví dụ 2, Bài 9 , ta chứng minh được MA  ( BA  2CA) . Suy ra 3   2          MA  MB  ( BA  CB  2CA  CB) . Bởi vậy cũng có thể tính tích vô hướng MA  MB nhờ vào việc tính các 9         tích vô hướng BA  CB và CA  CB . Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;3) và B(7;1) . a) Tính chu vi của tam giác OAB . b) Chứng minh rằng OA vuông góc với AB . Tính diện tích của tam giác OAB . c) Gọi M là trung điểm của AB . Tính số đo góc BOM . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Giải a) Do A(1;3) và B(7;1) suy ra OA  12  32  10; OB  72  12  50; AB  (7  1)2  (1  3)2  40. Suy ra chu vi của tam giác OAB bằng OA  AB  OB  10  50  40  5 2  3 10. b) Theo kết quả của phần a), ta có OA2  AB 2  10  40  50  OB 2 . Từ đó, theo định lí Pythagore tam giác OAB vuông tại A , hay OA  AB . 1 Suy ra diện tích tam giác OAB bằng SOAB   OA  AB  10 (đ.v.d.t). 2 c) Do M là trung điểm của AB nên M (4;2) . Suy ra OM  42  22  20 và do đó         OB  OM 7  4  1 2 3 cos(OB; OM )        . | OB |  | OM | 50  20 10          Suy ra 0  (OB; OM )  90 và do đó BOM  (OB; OM )  18 266 . Nhận xét. Ta có thể chứng minh được OA vuông góc với AB nhờ vào tích vô hướng, mà không cần phải tính độ dài của các  thẳng sau: đoạn  như  Từ giả thiết suy ra OA  (1;3), AB  (6; 2) .     Suy ra OA  AB  1  6  3  (2)  0      Từ đó, do các vecto OA, AB đều khác 0 , suy ra OA  AB . Một cách khái quát, đề chứng minh hai đường thẳng MN và PQ vuông góc với nhau, ta chứng minh     MN  PQ  0 . PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm   trên là điểm đầu hoặc điểm cuối của các vectơ. Tìm số các vectơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR . Câu 2. Cho hình thang ABCD có AD / / BC và AD  2 BC  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD ; I là giao điểm của AC và BN .   a) Chứng minh AI  NM .     b) Tính độ dài của AI  AM  AD . Câu 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh:       GA  GC  GD  BD. Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  3a, AD  4 a .       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0 .    2. Tính AB  AC . Câu 5. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng 2a và góc   60 . Gọi E là trung điểm AD . ADC   a) Hãy nêu các vectơ khác vectơ-không và ngược hướng với vectơ OE .          b) Hãy tính độ dài của vectơ u  CD  BO  OA  AE .       Câu 6. a) Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng OB  OA  OC  OD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/       b) Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1 , F2 , F3 như hình vẽ bên và ở trạng thái cân bằng (tức là          F1  F2  F3  0 ). Biết độ lớn của lực F3 bằng 10 5 N và    độ lớn của lực F2 gấp đôi độ lớn của lực F1 . Tính độ lớn     của các lực F1 , F2 . Câu 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O .         a) Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4 MO .  b) Gọi I là trung điểm CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Hãy phân tích vectơ AG theo hai    vectơ AB và AD .    Câu 8. Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AN   và CM . Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Đặt      ME  NF  AI . Chứng minh BI  2 IF . Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  2 MB . Gọi E là trung điểm của MC.      Hãy biểu diễn AE theo các véc tơ AB, AC .        Câu 11. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M , N thoả mãn: 3MA  4 MB  0 ; NB  3 NC  0 Chứng minh rằng: G, M , N thẳng hàng. Câu 12. a) Trong cuộc thi “Tôi yêu Bà Rịa Vũng Tàu”, nhằm ngợi ca nét đẹp quê hương, một bạn học sinh làm một mô hình chiếc thuyền với cánh buồm hình tam giác có chiều dài hai cạnh lần lượt là 46cm và 102cm, góc giữa hai cạnh là 4 8 0 như hình vẽ. Tính độ dài một cạnh còn lại và diện tích của cánh buồm (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).         b) Trong mặt phẳng, cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh: NP  QM  QP  NM . c) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, điểm E và F lần lượt nằm trên đường thẳng AB và AC               thỏa EA   EB , FA  2 FC . Phân tích vectơ E F theo hai vectơ BA, BC.  3      1    Câu 13. Cho ABC . Các điểm M , N , P được xác định bởi: MA   BM ; AN  3CN ; CP  PB 4 4          a) Chứng minh: AM  CM  CB  NB  AN .  15  3     b) Chứng minh: MN  AB  BC. 4 4 c) Chứng minh: M , N , P thẳng hàng. Câu 14. Cho hình vuông ABCD tâm O có AB  3 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG     a) Tính BO.BC .    b) Tính AO  AB . c) Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa MD  2 MC và N là trung điểm của AM . Hãy phân tích      vectơ DN theo hai vectơ AC và BC . Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB  6, AD  8 .       a) Chứng minh rằng AC  BD  AD  CB .   b) Tính 2 AD  DB . Câu 16. Cho tam giác ABC     a) Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  2MC . Chứng minh rằng: AB  2 AC  3 AM .       b) Tìm điểm N sao cho NA  2 NB  3NC  0 .    Câu 17. Cho hình vuông ABCD có tâm O , cạnh a . Tính độ dài vectơ AB  2 AO .        Câu 18. Cho tam giác ABC và ba điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0 và 2 NA  3NC  0 ,     3PC  2 PB  0 . Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng Câu 19. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho  1  1   NA  2 NC . Gọi K là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: AK  AB  AC . 4 3 Câu 20. Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP thì        3GG '= AM  BN  CP      Câu 21. Cho tam giác ABC cố định. Xác định vị trí điểm M để MA  3MB  2MC  0 . Câu 22.          a) Cho các điểm phân biệt M , N , P, Q . Chứng minh rằng: MN  PQ  QM  NP  0    b) Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa mãn                    KA  KB  2KC  0 và M thỏa mãn 3MK  AK . MA  MB  2 MC  0 . Tính MJ  MK  Câu 23. Cho hình bình hành ABCD có AB  2a, AD  a, BAD  120 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Tìm điểm M trên cạnh BC để DG  AM .  Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB  a, AD  2a, ABC  1200 , I là trung điểm của AD.    a) Tính BA.BC .   b) Tính BA. AC.      c) Tính cos AC , BI .  Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB  2a, AD  a . Gọi I là trung điểm AB        a) Chứng minh rằng: AB  DC  CB  DA       b) Tính AB  AD và AC  BD         c) Tính AI . AB và DA( AB  AC ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ AC Câu 26. Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM  . Gọi N là trung 4 điểm CD. Chứng minh BMN là tam giác vuông cân.    2   4      Câu 27. Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA , AP  AB . 3 15 Tìm k để AM vuông góc với PN .     Câu 28. a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB = a, Tính theo a giá trị BA.BC . b) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A  2;5  , B(0; 2), C (2;1) . Tính độ dài đường trung tuyến AM . Lời giải     2 a) BA.BC  BA.BC .cos 450  a.a 2.  a2 . 2 3 b) M là trung điểm của BC nên M  (1; ) 2 2 3  253 AM  (1  2)    5   . 2  2 ~!Câu 29.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho ba điểm A(1; 4), B (4;5), C (0; 7) . Điểm M di chuyển trên trục     Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q  2 MA  2 MB  3 MB  MC . Lời giải Do M  Ox  M  ( x; 0)     Ta có MA  (1  x; 4), MB  (4  x;5), MC  ( x; 7).      Suy ra MA  2 MB  (9  3 x; 6), MB  MC  (4  2 x; 2),     2 2 Ta có Q  2 MA  2MB  3 MB  MC  2  9  3x   62  3  4  2x  (2) 2 6  3  x  2  22  2  x 2   (1)2  6  ME  MF      Với E  (3; 2), F  (2; 1)  EF  ( 1; 3)  EF  10 Mà ME  MF  EF  Q  6 10 7  Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox,Suy ra M  ;0  . 3  Vậy Q đạt giá trị nhỏ nhất là 6 10 . ~!Câu 30. a) Cho hình thang ABCD vuông tại A, D có CD  2 AD  2 AB. Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB  3 AE. Điểm F thuộc thuộc BC sao cho FC  2 FB . Sử dụng tích vô hướng, chứng minh DE  EF . b) Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết G là điểm cao nhất của cổng và chiều cao cổng parabol là 6m còn kích Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG 10 thước cửa ở giữa là CDEF với CD  4m, DE  m . Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và 3 B. Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1;5  và B  2;6  a) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với B qua A . b) Tìm tọa độ điểm D  Ox cách đều 2 điểm A và B . Câu 32. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A  2;3  , B 1; 4  , C  2;1    a)Tính tích vô hướng của hai véc tơ AB. AC . Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  3;1 . Giả sử A  a ; 0  và B  0 ; b  là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T  a2  b2 .   Câu 34. a/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính góc  giữa hai vectơ a  1;3 và b   4; 2  . b/ Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  0; -2  , B  5; 3 . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác ABM vuông tại M . Câu 35. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A( 1; 0); B (3; 2) ; C (5; 4) .      a) Tìm tọa độ điểm D sao cho AB  3CD  2 AC . b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm   trên là điểm đầu hoặc điểm cuối của các vectơ. Tìm số các vectơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR . Lời giải Vẽ hình bình hành ABCD tâm O và P, Q, R          4 vec tơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR : RD ; BQ ; QC ; PO . Câu 2. Cho hình thang ABCD có AD / / BC và AD  2 BC  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD ; I là giao điểm của AC và BN . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   a) Chứng minh AI  NM .     b) Tính độ dài của AI  AM  AD . Lời giải Chứng minh ABCN là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của AC . Tứ giác ABCN có AN  BC  a và AN / / BC nên ABCN là hình bình hành, từ đó ta có I là trung điểm AC .  MN / / AI  Ta có MN là đường trung bình ACD nên  AC  MN  2  AI      AIMN là hình bình hành  AI  NM b)            AI  AM  AD  MI  AD  NA  AD  ND      AI  AM  AD  ND  ND  a Câu 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh:       GA  GC  GD  BD. Lời giải Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên       GA  GB  GC  O B C       GA  GC  GB. G             Do đó GA  GC  GD  GB  GD  GD  GB  BD. A D Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  3a , AD  4a .       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0 .    2. Tính AB  AC . Lời giải       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0                        BA  DA  AC  0  BA  DC  0  AB  BA  0 do AB  DC  AA  0 . 2. Gọi I là trung điểm của BC, E đối xứng với A qua I  CABE là hình bình      2 2 hành  AB  AC  AE  AE  2 AI  2 AB  BI  2a 13 . Câu 5. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng 2a và góc   60 . Gọi E là trung điểm AD . ADC   a) Hãy nêu các vectơ khác vectơ-không và ngược hướng với vectơ OE .          b) Hãy tính độ dài của vectơ u  CD  BO  OA  AE . Lời giải Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG      a) Các vectơ thỏa mãn yêu cầu: EO, AB, DC            b) Ta có: u  CD  BO  OA  AE  ...  CE    Vậy u  CE  CE  CD 2  DE 2  a 3       Câu 6. a) Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng OB  OA  OC  OD       b) Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1 , F2 , F3 như hình vẽ bên và ở trạng thái cân bằng (tức là          F1  F2  F3  0 ). Biết độ lớn của lực F3 bằng 10 5 N và    độ lớn của lực F2 gấp đôi độ lớn của lực F1 . Tính độ lớn     của các lực F1 , F2 . Lời giải          a) Theo quy tắc trừ, ta có OB  OA  AB và OC  OD  DC .          Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC . Do đó OB  OA  OC  OD . b)            Đặt F1  AM , F2  AN , F3  AP . Gọi Q là điểm đối xứng với P qua A . Theo giả thiết ta có                AM  AN  AP  0  AM  AN   AP  AM  AN  AQ  AMQN là hình bình hành, mà AM  AN nên AMQN là hình chữ nhật.       Theo giả thiết F3  AP  10 5  AQ  10 5 và F2  2 F1  AN  2 AM . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AMQ ta tính được AM  10 và AN  20 . Vậy độ lớn của lực     F1 , F2 lần lượt là 10 N và 20 N . Câu 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O .         a) Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4MO .  b) Gọi I là trung điểm CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Hãy phân tích vectơ AG theo hai    vectơ AB và AD . Lời giải                     a) Ta có: VT  MA  MB  MC  MD  MA  MC  MB  MD .   2MO  2MO  4MO  VP b) Ta có:  1   1      AI  AC  AD  AB  AD 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  1    1      1            AG  AB  AC  AI   AB  AB  AD   AB  AD   3 3 2    5  2   Suy ra AG  AB  AD . 6 3    Câu 8. Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AN   và CM . Lời giải     1   1    1  1        AB  AN  NB  AN  CB  AN  (CM  MB )  AN  CM  AB 2 2 2 4  4  2     AB  AN  CM . 3 3 Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Đặt      ME  NF  AI . Chứng minh BI  2 IF . Lời giải A M B F N I Q D E C    Theo gt, ME  NF  AI                   MN  NE  NM  MF  AI  2 MF  AI . Đặt 2MF  MQ  F là trung điểm của MQ Vậy I là điểm sao cho AMQI là hình bình hành. 2MF  BD MQ  BD Mặt khác, MF là đường trung bình trong ABD    MF / / BD MQ / / BD MQ  BD  AI   ABDI là hình bình hành, mà F là trung điểm của AD nên F là trung MQ / / BD / / AI điểm của BI . Suy ra điều phải chứng minh. Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  2 MB . Gọi E là trung điểm của MC.      Hãy biểu diễn AE theo các véc tơ AB, AC . Lời giải Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.