Về phương pháp dạng cỡ với mật độ

Chia sẻ: Lâm Đức Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về phương pháp dạng cỡ với mật độ trình bày: Các định nghĩa về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân và đạo hàm riêng với mật độ của một hàm,... trong trường hợp các mật độ được xét riêng biệt ứng với các số chiều khác nhau. Với các định nghĩa đó, ta có được một số kết quả trong Hình học định cỡ với mật độ tương tự với các kết quả đã biết ở trường hợp cổ điển,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về phương pháp dạng cỡ với mật độ

VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ NGUYỄN THỊ THANH LOAN Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo đưa ra các định nghĩa về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân và đạo hàm riêng với mật độ của một hàm,... trong trường hợp các mật độ được xét riêng biệt ứng với các số chiều khác nhau. Với các định nghĩa đó, ta có được một số kết quả trong Hình học định cỡ với mật độ tương tự với các kết quả đã biết ở trường hợp cổ điển. 1 GIỚI THIỆU Sự mở rộng các khái niệm trong Hình học Riemann sang Hình học với mật độ và khảo sát các kết quả liên quan là một trong những chủ đề hình học được quan tâm nhiều trong thời gian gần đây. Trong thời gian gần đây xuất hiện nhiều kết quả liên quan đến Hình học với mật độ, đặc biệt trong đó là các kết quả của Frank Morgan và các cộng sự. Hình học định cỡ với mật độ cũng đã được xem xét với cùng một mật độ cho mọi chiều. Đoàn Thế Hiếu đã định nghĩa vi phân ngoài của một k-dạng vi phân Φ trên đa tạp Riemann M với mật độ eψ là dψ Φ := e−ψ deψ Φ và đã chứng minh định lý cơ bản của Hình học định cỡ với mật độ, từ đó áp dụng để đưa ra một số kết quả và ví dụ về đa tạp con cực tiểu diện tích với mật độ bằng phương pháp dạng cỡ. [6] Nếu ta xét các mật độ riêng biệt cho các số chiều khác nhau thì sẽ như thế nào? Liệu có thể xây dựng các khái niệm để có được các kết quả tương tự với trường hợp cổ điển hay không? Với sự quan tâm đó chúng tôi đã bắt đầu tìm hiểu về Hình học định cỡ với mật độ và bước đầu có một số kết quả trình bày trong bài báo này. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 11-17 12 NGUYỄN THỊ THANH LOAN 2 VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ Xét đa tạp Riemann (M, g) với các hàm mật độ eφk dùng làm trọng số cho các thể tích k-chiều. Ta định nghĩa vi phân ngoài của một k-dạng vi phân ω như sau: dWk ω := e−φk+1 deφk ω. Một k-dạng vi phân w được gọi là W -đóng nếu dWk w = 0. Một k-dạng vi phân w được gọi là W -khớp nếu tồn tại (k − 1)-dạng vi phân η để w = dWk−1 η. Nhận xét 2.1. 1. Với hai k-dạng vi phân ω1 , ω2 ta luôn có dWk (ω1 + ω2 ) = dWk ω1 + dWk ω2 . 2. Dạng vi phân W -khớp là W -đóng. Thật vậy, giả sử (k + 1)-dạng vi phân w là W -khớp. Khi đó tồn tại k-dạng vi phân η để w = dWk η = e−φk+1 deφk η. dWk+1 w = e−φk+2 deφk+1 w = e−φk+2 deφk+1 e−φk+1 deφk η = e−φk+2 ddeφk η = 0. Suy ra ω là dạng vi phân W -đóng. 3. Từ định nghĩa ta có: k-dạng vi phân w là W-đóng (t.ư. W-khớp) khi và chỉ khi eφk w là dạng đóng (t.ư. khớp). Như vậy ánh xạ w 7−→ eφk w là một đẳng cấu tuyến tính biến dạng vi phân W-đóng (t.ư. W-khớp) thành dạng đóng (t.ư. khớp). Suy ra H k W DR ≡ H k DR , và do đó H k W DR và H k DR có cùng chỉ số Betti. KerdWk là nhóm đối đồng điều de Rham bậc k với mật (Trong đó H k W DR = ImdWk−1 độ.) Ta định nghĩa Wk -đạo hàm riêng của hàm (0-dạng) f như sau: Định nghĩa 1. ∂f ∂φk ∂Wk f = eφk −φk+1 ( + f ). ∂Wk xi ∂xi ∂xi VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ Nhận xét 2.2. 13 1. Với mật độ thỏa eφk = eφ , ∀k (trường hợp một mật độ) ta có ∂ 2 Wk f ∂ 2 Wk f = (∗). ∂Wk xi ∂Wk xj ∂Wk xj ∂Wk xi Thật vậy, ∂Wk ∂f ∂φ ∂ 2 Wk f = ( + f) ∂Wk xi ∂Wk xj ∂Wk xj ∂xi ∂xi ∂ ∂f ∂φ ∂φ ∂f ∂φ = ( + f) + ( + f) ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂ 2φ ∂φ ∂f ∂φ ∂f ∂φ ∂φ ∂ 2f = + f+ + + f ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂ 2f ∂ 2φ ∂φ ∂f ∂φ ∂f ∂φ ∂φ = + f+ + + f ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂ 2 Wk f . = ∂Wk xj ∂Wk xi 2. Trong trường hợp tổng quát, (∗) không còn đúng nữa. Chẳng hạn xét Rn \ {O} với mật độ eφk = rk với r là hàm khoảng cách từ điểm đến O, ta có xi ∂φk kxi ∂r = ; φk = k ln r; = 2 ; ∂xi r ∂xi r ∂ 2 Wk f ∂Wk φk −φk+1 ∂f ∂φk ( = [e + f )] ∂Wk xi ∂Wk xj ∂Wk xj ∂xi ∂xi ∂φk ∂Wk 1 ∂f [ ( + f )] = ∂Wk xj r ∂xi ∂xi 1 ∂ 1 ∂f ∂φk ∂φk 1 ∂f ∂φk = { [ ( + f )] + [ ( + f )]} r ∂xj r ∂xi ∂xi ∂xj r ∂xi ∂xi ∂φk 1 ∂ 2f ∂ 2 φk ∂φk ∂f 1 −xj ∂f = { 3 ( + f) + ( + f+ ) r r ∂xi ∂xi r ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj 1 ∂φk ∂f ∂φk + ( + f )} r ∂xj ∂xi ∂xi ∂ 2 φk ∂φk ∂f ∂φk ∂f ∂φk ∂φk 1 ∂ 2f + f+ + + f = 2[ r ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi kxi xj xj ∂f − 4 f] − 4 ; r r ∂xi 1 ∂ 2f ∂ 2 Wk f ∂ 2 φk ∂φk ∂f ∂φk ∂f ∂φk ∂φk = 2[ + f+ + + f ∂Wk xj ∂Wk xi r ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi kxi xj xi ∂f − 4 f] − 4 . r r ∂xj 14 NGUYỄN THỊ THANH LOAN Định lý 2.1. Nếu ω là k-dạng vi phân và ω = ∑ ωI dxI thì I dWk ω = ∑ ∑ ∂W ωI k dxα dxI . ∂Wk xα α I Chứng minh. dWk ω = e−φk+1 deφk ω ∑ = e−φk+1 d(eφk ωI dxI ) I = e−φk+1 = ∑∑ ∑∑ I α I (eφk α eφk −φk+1 ( ∂ωI ∂φk + eφk ωI )dxα dxI ∂xα ∂xα ∂ωI ∂φk + ωI )dxα dxI ∂xα ∂xα ∑ ∑ ∂W ωI k = dxα dxI . ∂ x W α k α I Kết quả trên tương tự với kết quả trong trường hợp cổ điển: “Nếu ω = ∑ ωI dxI I ∑ ∑ ∂ωI dxα dxI ”. Tuy nhiên, kết quả với mật độ tương ứng với kết quả I α ∂xα “d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 với ω1 , ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng” nói chung không còn đúng nữa. Đối với trường hợp eφk = eφ , ∀k (trường hợp một mật độ) ta có kết quả: thì dω = “dφ (ω1 ∧ ω2 ) = dφ ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 với ω1 , ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng”. Thật vậy, dφ (ω1 ∧ ω2 ) = e−φ deφ (ω1 ∧ ω2 ) = e−φ [d(eφ ω1 ) ∧ ω2 + (−1)k eφ ω1 ∧ dω2 ] = e−φ d(eφ ω1 ) ∧ ω2 + (−1)k e−φ eφ ω1 ∧ dω2 = dφ ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 . Nhưng với mật độ eφk = rk với r là hàm khoảng cách từ điểm đến một điểm cho trước thì ta lại có kết quả với mật độ tương ứng: “dWk+l (ω1 ∧ω2 ) = dWk ω1 ∧ω2 +(−1)k ω1 ∧dWl ω2 , với ω1 , ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng”. Tổng quát lên với các mật độ thỏa điều kiện eφk+l = eφk eφl , kết quả trên còn đúng không? 15 VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ Định lý 2.2. Với mật độ thỏa eφk+l = eφk eφl và với ω1 , ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng ta có dWk+l (ω1 ∧ ω2 ) = dWk ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dWl ω2 . Chứng minh. dWk+l (ω1 ∧ ω2 ) = e−φk+l+1 deφk+l (ω1 ∧ ω2 ) = e−φk+l+1 d(eφk ω1 ∧ eφl ω2 ) = e−φk+l+1 [deφk ω1 ∧ eφl ω2 + (−1)k eφk ω1 ∧ deφl ω2 ] = e−φk+1 deφk ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ e−φl+1 deφl ω2 = dWk ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dWl ω2 . Từ định lý ta có nhận xét Nhận xét 2.3. Với mật độ thỏa eφk+l = eφk eφl thì tích của hai dạng vi phân W -đóng là một dạng vi phân W -đóng. (Kết quả này tương tự như trong trường hợp cổ điển.) Áp dụng định lý Stokes ta có định lý sau Định lý 2.3 (Định lý Stokes với mật độ). ∫ ∫ φk+1 e dWk w = N Chứng minh. ∫ ∫ φk+1 e N ∂N φk+1 −φk+1 dWk w = eφ k w e e ∫ ∫ φk φk de w = N eφk w. de w = N ∂N Định nghĩa 2. 1. Với Φ là k-dạng vi phân, ξ là k-vector trên n-đa tạp Riemann (M, g), chuẩn mass của ξ và chuẩn comass của Φ lần lượt được định nghĩa là ∥ξ∥∗ = inf { ∑√ i g(βi , βi ) | ξ = ∑ βi , βi : đơn}, i ∥Φ∥∗ = sup{Φx (ξx ) | x ∈ M, ξx là k-vector đơn, ∥ξx ∥∗ = 1}. 2. Một dạng vi phân W -đóng được gọi là một dạng cỡ với mật độ nếu nó có chuẩn comass bằng 1.