Xử lí số tín hiệu số-phần 2

Chia sẻ: Chung Hữu Hiền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'xử lí số tín hiệu số-phần 2', kỹ thuật - công nghệ, kĩ thuật viễn thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lí số tín hiệu số-phần 2

K t qu là chu i Fourier (3.27) có th bi u di n dư i d ng lư ng giác : ñây : a0 = X0 (có giá tr th c) ði u ki n ñ t n t i chu i Fourier - ði u ki n ñ ñ m t tín hi u tu n hoàn có th khai tri n thành chu i Fourier là tín hi u này có bình phương kh tích trên m t chu kỳ, nghĩa là : - M t t p các ñi u ki n khác cho s t n t i c a chu i Fourier c a m t tín hi u tu n hoàn x(t) ñư c g i là ñi u ki n Dirichlet. ðó là : (1) x(t) có m t s h u h n ñi m b t liên t c trong m t chu kỳ c a nó. (2) x(t) có m t s h u h n các c c ñ i và c c ti u trong m t chu kỳ c a nó. (3) Tích phân c a |X(t)| trong m t chu kỳ là h u h n, nghĩa là : 3.3.2. PH M Tð CÔNG SU T C A TÍN HI U TU N HOÀN Quan h Parseval: M t tín hi u hoàn có công su t trung bình ñư c tính b i : L y liên h p ph c c a phương trình (3.27) và thay vào phương trình (3.33) ta ñư c : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Ta ñã thi t l p ñư c quan h : Pt(3.35) ñư c g i là quan h Parseval. ð minh h a ý nghĩa v t lý c a pt(3.35), ta gi s r ng x(t) bao g m ch m t thành ph n t n s Fk = kFp (các h s Fourier khác b ng 0): Khi ñó, công su t trung bình là : Px = Rõ ràng, n u x(t) bao g m nhi u thành ph n t n s , thì chính là công su t c a thành ph n th k c a tín hi u. Vì v y, công su t trung bình t ng c a m t tín hi u tu n hoàn ñơn gi n là t ng công su t trung bình c a t t c các thành ph n t n s c a tín hi u ñó. Ph m t ñ công su t – Ph biên ñ – Ph pha: |Xk|2 là m t dãy r i r c theo t n s Fk = kFp, k = 0, ±1, ±2, ..., ñư c g i là ph m t ñ công su t c a tín hi u tu n hoàn x(t). Ta th y, ph m t ñ công su t có d ng r i r c, kho ng cách gi a 2 m u k nhau là ngh ch ñ o c a chu kỳ cơ b n Tp. Nói chung, vì các h s c a chu i Fourier có giá tr ph c nên ta thư ng bi u di n dư i d ng phasor như sau : Trong ñó : θk = ∠ Xk (3.36) Thay vì v m t ñ ph công su t, ta có th v ph biên ñ {|Xk|}và ph pha như là m t hàm c a t n s . Rõ ràng ph m t ñ công su t là bình phương c a ph biên ñ . Thông tin v pha không xu t hi n trong ph m t ñ công su t. Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
N u tín hi u tu n hoàn là tín hi u th c, các h s c a chu i Fourier th a mãn ñi u ki n K t qu là : Khi ñó , ph m t ñ công su t và ph biên ñ là các hàm ñ i x ng ch n (ñ i x ng qua tr c tung), ph pha là m t hàm ñ i x ng l (ñ i x ng qua g c t a ñ ). Do tính ch t ñ i x ng, ta ch c n kh o sát ph c a m t tín hi u tu n hoàn th c trong mi n t n s dương. Ngoài ra, t ng năng lư ng trung bình có th bi u di n như sau : Ví d 3.1 : Xác ñ nh chu i Fourier và ph m t ñ công su t c a m t chu i xung hình ch nh t (hình 3.5) Gi i : Tín hi u tu n hoàn có chu kỳ cơ b n là Tp, rõ ràng th a mãn các ñi u ki n Dirchlet. Vì v y, ta có th bi u di n tín hi u b ng chu i Fourier (3.27) v i các h s xác ñ nh b i pt(3.28). Vì tín hi u x(t) là m t hàm ch n (nghĩa là x(t) = x(-t)) nên ñ thu n ti n, ta ch n gi i h n c a tích phân t ñ n(Tp /2) theo pt(3.28). Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Vì x(t) là hàm ch n và có giá tr th c, nên các h s Fourier Xk có giá tr th c. Ph pha cũng có giá tr th c, nó có giá tr là 0 khi Xk dương và là π khi Xk âm. Thay vì v ph biên ñ và ph pha tách r i nhau, ta v ñ th c a Xk (Hình 3.6). Ta th y Xk là các m u c a tín hi u liên t c theo t n s F: Hình 3.6.a v dãy Xk (các h s Fourier), v i chu kỳ không ñ i Tp = 0,25s hay và các giá tr τ khác nhau l n lư t là : τ = 0,05Tp; τ = 0,1Tp và τ=0,2Tp. Ta th y khi tăng τ và gi Tp không ñ i thì công su t c a tín hi u s tr i dài ra trên tr c t n s . Hình 3.6.b v dãy Xk v i τ không ñ i và thay ñ i chu kỳ Tp, v i Tp = 5τ;Tp=10τ và Tp=20τ. Trong trư ng h p này kho ng cách gi a hai v ch ph gi m khi chu kỳ Tp tăng. Khi Tp → ∞ và τ không ñ i) tín hi u ch là m t xung ch nh t duy nh t (không tu n hoàn), lúc tín hi u không còn là tín hi u công su t (power signal) mà là tín hi u năng lư ng (energy signal), các h s Fourier Xk→0, công su t trung bình c a nó b ng 0. Ph c a m t tín hi u có năng lư ng h u h n s ñư c kh o sát trong ph n sau . Ph m t ñ công su t c a chu i xung ch nh t là : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
3.3.3. PHÂN TÍCH T N S C A TÍN HI U LIÊN T C KHÔNG TU N HOÀN - BI N ð I FOURIER Xét m t tín hi u không tu n hoàn có ñ dài h u h n (finite duration) x(t) như ñư c minh h a trong hình 3.7.a. T tín hi u không tu n hoàn này, ta có th t o Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
ra m t tín hi u tu n hoàn xp(t) chu kỳ Tp b ng cách l p l i tín hi u x(t) v i chu kỳ Tp (hình 3.7.b). Rõ ràng, khi Tp → ∞ thì xp(t) = x(t) . Cách bi u di n này hàm ý r ng ta có th thu ñư c ph c a x(t) t ph c a xp(t) b ng cách cho Tp → ∞. Chu i Fourier c a tín hi u tu n hoàn xp(t) là : Vì x(t) = 0, khi nên ta có th thay xp(t) b ng x(t) và gi i h n tích phân trong pt(3.45) t - ∞ ñ n +∞, ta có: ð nh nghĩa : Bi n ñ i Fourier c a tín hi u liên t c không tu n hoàn x(t) là m t hàm X(F) c a bi n t n s liên t c F như sau : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
So sánh pt(3.46) và pt(3.47) ta th y các h s c a chu i Fourier Xk chính là các m u c a X(F) các giá tr F = kFp khi chia cho Tp , ta có: Thay pt(3.48) vào pt(3.44), ta ñư c : ð có gi i h n c a pt(3.48) khi Tp = → ∞, trư c tiên ta ñ t , sau ñó thay vào pt(3.48) ta ñư c : Rõ ràng khi Tp = → ∞ thì xp(t) → x(t), ∆F tr thành vi phân dF và k∆F tr thành bi n t n s liên t c F, t ng trong pt(3.49) bi n thành tích phân v i bi n t n s F và pt(3.49) tr thành : Quan h (3.50) ñư c g i là bi n ñ i Fourier ngư c. Tóm l i, ta có c p bi n ñ i Fourier c a tín hi u liên t c không tu n hoàn có ñ dài h u h n là : - Công th c t ng h p (bi n ñ i Fourier ngư c) - Công th c phân tích (bi n ñ i Fourier thu n) Thay F = và dF = vào phương trình (3.51) và phương trình (3.52) ta ñư c c p công th c bi n ñ i Fourier theo t n s góc. Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
ði u ki n ñ bi n ñ i Fourier t n t i là tích phân trong phương trình (3.54) ph i h i t . Tích phân này s h i t n u : M t tín hi u x(t) th a pt (3.55) là tín hi u có năng lư ng h u h n (Finite energy). M t t p ñi u ki n khác ñ cho bi n ñ i Fourier t n t i ñư c g i là ñi u ki n Dirichlet. Bao g m : (1) Tín hi u x(t) có m t s h u h n các ñi m b t liên t c. (2) Tín hi u x(t) có m h u h n các c c ñ i và c ti u. (3) Tín hi u x(t) kh tích tuy t ñ i, nghĩa là : 3.3.4. PH M Tð NĂNG LƯ NG C A TÍN HI U KHÔNG TU N HOÀN Xét m t tín hi u x(t) có năng lư ng h u h n và có bi n ñ i Fourier là X(F). Năng lư ng c a nó là : V i x*(t) là liên h p ph c c a x(t). Quan h Parseval: L y liên h p ph c c a pt(3.51) và thay vào ta có : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Hay: Suy ra: K t qu là : (3.57) Pt(3.57) ñư c g i là quan h Parseval c a tín hi u không tu n hoàn, chính là nguyên lý b o toàn năng lư ng trong mi n th i gian và mi n t n s . Ph biên ñ – Ph pha: Ph X(F) c a tín hi u nói chung có giá tr ph c, do ñó thư ng ñư c bi u di n theo t a ñ c c: v i θ(F) = ∠ X(F) Trong ñó, là ph biên ñ và θ(F) là ph pha. Ph m t ñ năng lư ng: M t khác, ñ i lư ng: Sxx(F) = (3.58) bi u di n s ph n b năng lư ng theo t n s , ñư c g i là ph m t ñ năng lư ng (energy density spectrum) c a x(t). Tích phân c a Sxx(F) l y trên toàn tr c t n s là t ng năng lư ng c a tín hi u. Ta cũng d dàng th y r ng, n u x(t) là tín hi u th c thì : (3.59) ∠ X(-F) = - ∠ X(F) (3.60) Và Sxx(-F) = Sxx(F) (3.61) Như v y ph m t ñ năng lư ng c a tín hi u th c có tính ñ i x ng ch n. Ví d 3.2 : Hãy xác ñ nh bi n ñ i Fourier và ph m t ñ năng lư ng c a tín hi u xung ch nh t ñư c ñ nh nghĩa như sau : Gi i : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Rõ ràng tín hi u này là không tu n hoàn và th a mãn ñi u Dirichlet. Áp d ng pt(3.52) : Ta th y X(F) có giá tr th c, và ph biên ñ có d ng hàm Sa = . Vì v y ph c a tín hi u ch nh t x(t) là ñư ng bao c a ph r i r c c a tín hi u tu n hoàn có ñư c b ng cách l p l i tín hi u xung ch hi u này v i chu kỳ Tp như hình 3.6. Các h s Xk c a chu i Fourier c a tín hi u tu n hoàn xp(t) chính là các m u c a X(F) các t n s F = kFp = như ñã ñ c p pt(3.48). T pt(3.63), ta th y r ng ñ th c a X(F) ñi qua ñi m 0 các giá tr F = v ik = ±1, ±2, ... (hình 3.8.b). Ngoài ra, ta th y d i t n s chính t p trung h u h t năng lư ng c a tín hi u. Khi ñ r ng xung τ gi m, d i t n chính m r ng ra và năng lư ng phân b lên vùng t n s cao hơn và ngư c l i. Ph m t ñ năng lư ng c a tín hi u xung ch nh t là : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
(3.64) 3.4 PH N TÍCH T N S C A TÍN HI U R I R C 3.4.1. CHU I FOURIER C A TÍN HI U R I R C TU N HOÀN 3.4.2. PH M T ð CÔNG SU T C A TÍN HI U R I R C TU N HOÀN 3.4.3. PHÂN TÍCH T N S C A TÍN HI U R I R C KHÔNG TU N HOÀN - BI N ð I FOURIER 3.4.3.1. ð nh nghĩa bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c 3.4.3.2. Bi n ñ i Fourier ngư c 3.4.3.3. ði u ki n ñ t n t i bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c 3.4.4. PH M T ð NĂNG LƯ NG C A TÍN HI U KHÔNG TU N HOÀN 3.4.5. CÁC TÍNH CH T C A BI N ð I FOURIER C A TÍN HI U R I R C THEO TH I GIAN 1. ð nh lý Wiener - Khintchine 2. D ch trong mi n t n s (Frequency Shifting) 3. ð nh lý bi n ñi u (Modulation Theorem) 4. Tính ch t ñ i x ng Như ñã trình bày trong ph n trư c, chu i Fourier c a m t tín hi u liên t c tu n hoàn có th bao g m m t s vô h n các thành ph n t n s , và hai thành ph n t n s liên ti p có t n s l ch nhau 1/Tp , v i Tp là chu kỳ cơ b n c a tín hi u. Vì d i t n c a tín hi u liên t c tr i r ng t -∞ ñ n +∞ nên nó có th ch a ñ ng vô s các thành ph n t n s . Ngư c l i, d i t n c a tín hi u r i r c gi i h n trong kho ng [-π, π] hay là [0, 2π]. M t tín hi u r i r c có chu kỳ cơ b n là N có th bao g m các thành ph n t n s cách nhau radian hay f= cycles. K t qu là chu i Fourier bi u di n m t tín hi u r i r c tu n hoàn s bao g m nhi u nh t là N thành ph n t n s . ðây là s khác bi t cơ b n gi a chu i Fourier c a tín hi u r i r c và tín hi u liên t c tu n hoàn. 3.4.1. CHU I FOURIER C A TÍN HI U R I R C TU N HOÀN Xét m t tín hi u r i r c tu n hoàn xp(n) có chu kỳ N. xp(n) có th bi u di n t h p tuy n tính c a các hàm mũ ph c có quan h hài : (3.65) Pt(3.65) ñư c g i là chu i Fourier c a tín hi u r i r c tu n hoàn xp(n). Ta s tìm t p các h s c a chu i Fourier {Xp(k)}. Ta b t ñ u v i các hàm mũ ph c : , v i k = 0, 1, ..., N-1 Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
ðây cũng là các hàm tu n hoàn v i chu kỳ N và tr c giao nhau ñư c, c th như sau : (3.66) Pt(3.66) có th ñư c ch ng minh b ng cách d a vào công th c tính t ng c a m t chu i hình h c, ñó là : Bư c ti p theo là nhân hai v c a pt(3.65) cho v i r là m t s nguyên và l y t ng t n = 0 ñ n n = N-1, ta có : ð i v trí các t ng v ph i : (3.67) Áp d ng pt(3.66) ta có : Vì v y, v ph i c a pt(3.67) rút g n v NXp(r) và : (3.68) Các pt(3.65) và pt(3.68) là các công th c phân tích t n s c a tín hi u r i r c. Ta vi t l i : Công th c t ng h p : (3.69) Công th c phân tích : (3.70) Nh n xét : • Các h s Fourier Xp(k) khi vư t ra ngoài kho ng k = [0, N-1] cũng tu n hoàn v i chu kỳ N. T pt(3.70) ta d dàng ch ng minh ñư c : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Xp(k+N) = Xp(k) (3.71) K t lu n: Ph c a m t tín hi u xp(n) tu n hoàn v i chu kỳ N cũng là m t dãy tu n hoàn v i chu kỳ N. V y N m u liên ti p b t kỳ c a tín hi u tu n hoàn mô t nó m t cách ñ y ñ tín hi u trong mi n th i gian, hay N m u liên ti p b t kỳ c a ph c a tín hi u này mô t nó m t cách ñ y ñ trong mi n t n s . • Trong th c t ta thư ng kh o sát trong m t chu kỳ ng v i k = 0, 1, 2, ..., N-1, tương ng v i d i t n cơ b n 0 ≤ ωk = 2π/Ν < 2π.. B i vì, n u kh o sát trong d i t n -π < ωk = 2π/Ν ≤ π tương ng v iĀ s g p b t ti n khi N l . Ví d 3.3: Hãy xác ñ nh ph c a tín hi u : : x(n) = Cos ω0 n,khi: (a) ω0= , (b) ω0 =π/3 Gi i : (a) V i ω0 = ta có f0 = . Vì f0 không là m t s h u t , nên tín h u x(n) không tu n hoàn. K t qu là ta không th khai tri n x(n) b ng chu i Fourier. Tuy nhiên tín hi u này có m t ph riêng c a nó, ph c a nó ch g m m t thành ph n t n s duy nh t ω = ω0 = .. (b) V i ω0 =π/3 , ta có f0 =, v y x(n) tu n hoàn v i chu kỳ N = 6. T pt(3.70) ta có : , k = 0, 1, ..., 5 Tuy nhiên, x(n) có th bi u di n như sau : x(n) = cos So sánh v i pt (3.69), ta th y Xp(1) = và Xp(-1) = ði u này có nghĩa là : Xp(-1) = Xp(5) phù h p v i pt(3.71). Nghĩa là Xp(k) tu n hoàn v i chu kỳ N = 6. Ph c a x(n) trong m t chu kỳ là : Xp(0) = Xp(2) = Xp(3) = Xp(4) = 0 ; Xp(1) = 1/2; Xp(5) = 1/2 và ñư c minh h a trong hình 3.9 3.4.2. PH M T ð CÔNG SU T C A TÍN HI U R I R C TU N HOÀN Quan h Parseval: Công su t trung bình c a m t tín hi u r i r c tu n hoàn v i chu kỳ N ñư c ñ nh nghĩa là : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
(3.72) B ng các thao tác toán h c tương t như khi thi t l p quan h Parseval cho tín hi u liên t c, nhưng ñây tích phân ñư c thay b ng t ng, ta ñư c quan h Parseval cho tín hi u r i r c : (3.73) Pt(3.73) là quan h Parseval c a tín hi u r i r c tu n hoàn. Ta th y công su t trung bình c a tín hi u b ng t ng các công su t c a riêng t ng thành ph n t n s. Ph m t ñ công su t – Ph biên ñ – Ph pha: Dãy v i k = 0, 1, ... , N-1 bi u di n s phân b năng lư ng theo t n s ñư c g i là ph m t ñ công su t c a tín hi u r i r c tu n hoàn. N u xp(n) là tín hi u th c (nghĩa là ) cũng tương t như trong tín hi u liên t c ta có : (3.74) Pt(3.74) tương ñương v i : ph biên ñ (ñ i x ng ch n) và : ph pha - ∠ Xp(-k) = ∠ Xp(k) (ñ i x ng l ) Các tính ch t ñ i x ng này c a ph biên ñ và ph pha liên k t v i tính ch t tu n hoàn cho ta m t k t lu n quan tr ng v vi c mô t tín hi u trong mi n t n s . C th hơn ta có th ki m ch ng l i tính ch t ñ i x ng như sau: Như v y, v i m t tín hi u th c, ph Xp(k), v i k = 0, 1, 2, ..., cho N ch n hay k = 0,1,2, ..., cho N l , hoàn toàn có th ñ c t ñư c tín hi u trong mi n t n s , v i 0 ≤ k ≤ thì 0 ≤ ωk = ≤ π. Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Cũng t tính ch t ñ i x ng c a các h s Fourier c a m t tín hi u th c. Chu i Fourier (3.69) có th bi u di n v i d ng khác như sau : (3.76) (3.77) V i a0 = Xp(0); ak = 2|Xp(k)|cos(k và bk = 2|Xp(k)|sinθk và M =N/2 n u N ch n, M=(N-1)/2 n u N l . Ví d 3.4 Hãy xác ñ nh các h s chu i Fourier và ph m t ñ công su t c a tín hi u tu n hoàn ñư c trình bày trong hình 3.10 Gi i : Áp d ng pt(3.70), ta có : Áp d ng công th c tính t ng h u h n c a m t chu i hình h c ta ñư c : Chú ý r ng : Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
= Do ñó : (3.78) Ph m t ñ công su t c a tín hi u tu n hoàn này là : (3.79) Hình 3.11 v ñ th c a v i L = 5; N = 10 và A = 1 3.4.3. PHÂN TÍCH T N S C A TÍN HI U R I R C KHÔNG TU N HOÀN - BI N ð I FOURIER Tương t như trong tín hi u liên t c không tu n hoàn, phân tích t n s c a m t tín hi u r i r c không tu n hoàn có năng lư ng h u h n là bi n ñ i Fourier. 3.4.3.1. ð nh nghĩa bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c Trong chương 2 ta ñã ñ c p ñ n bi n ñ i Fourier c a m t tín hi u r i r c, ñó là trư ng h p ñ c bi t c a bi n ñ i Z, khi bi n ñ i Z ñư c l y trên ñư ng tròn ñơn v , nghĩa là Z = ejω. Ta có bi n ñ i Fourier c a m t dãy x(n) là : (3.80) Nh t xét : Bi n ñ i Fourier c a m t tín hi u r i r c và bi n ñ i Fourier c a m t tín hi u liên t c có 2 s khác nhau cơ b n: D i t n s c a bi n ñ i Fourier c a tín hi u liên t c (hay ph c a nó) tr i r ng t -∞ ñ n +∞, trong khi ñó d i t n c a bi n ñ i Fourier r i r c là [-π, π](hay [0,2 π]), vư t ra ngoài d i t n này X(ω) tu n hoàn v i chu kỳ 2 π. Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
(3.81) V y X(ω) tu n hoàn v i chu kỳ 2π. Do ñó, các t n s b t kỳ bên ngoài kho ng [- π, π] hay [0, 2π]) là tương ñương v i m t t n s trong kho ng này. Trong bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c, t ng ñư c thay th cho tích phân, và vì X(ω) là m t hàm tu n hoàn theo bi n ω, nó có d ng gi ng như m t khai tri n chu i Fourier, các h s c a chu i Fourier này là giá tr c a dãy x(n). 3.4.3.2. Bi n ñ i Fourier ngư c , ta thay z = ejω và dz=jejωdω. Ta có T công th c bi n ñ i Z ngư c bi n ñ i Fourier ngư c như sau : (3.82) Tóm l i , ta có c p bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c như sau : (3.83) - Coâng thöùc bieán ñoåi ngöôïc : - Coâng thöùc bieán ñoåi thuaän : (3.84) 3.4.3.3. ði u ki n ñ t n t i bi n ñ i Fourier c a tín hi u r i r c X(ω) t n t i khi v ph i c a phương trình (3.84) h i t . Ta cũng ñã ñ c p trong chương 2, bi n ñ i Fourier t n t i khi bi n ñ i Z ch a vòng tròn ñơn v . Bây gi ta xét c th hơn, ñi u ki n ñ X(ω) t n t i là : (3.85) Vì Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
M t tín hi u r i r c th a mãn ñi u ki n (3.85) (g i là kh t ng tuy t ñ i) là tín hi u có năng lư ng h u h n. Th y v y : Năng lư ng c a tín hi u r i r c x(n) ñư c ñ nh nghĩa như sau : (3.86) Ta có: Vì nên năng lư ng Ex c a tín hi u h u h n. 3.4.4. PH M Tð NĂNG LƯ NG C A TÍN HI U KHÔNG TU N HOÀN Quan h Parseval: Ta xác ñ nh m i quan h gi a Ex và X(ω) Ta có : Hoán ñ i v trí t ng và tích phân : Ta có m i quan h gi a x(n) và X(ω) là : (3.87) Phương trình (3.87) là quan h Parseval cho tín hi u r i r c không tu n hoàn có năng lư ng h u h n. Ph biên ñ - Ph pha - Ph m t ñ năng lư ng: Nói chung, X(ω) là m t hàm ph c c a t n s . Vì v y ta có th bi u di n b i m t ñ i lư ng phasor. (3.88) Trong ñó : là ph biên ñ và θ(ω) = ∠X(ω) là ph pha. Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Tương t như trong trư ng h p tín hi u tương t ñ i lư ng: Sxx(ω) = (3.89) bi u di n s phân b năng lư ng theo t n s ñư c g i là ph m t ñ năng lư ng c a x(n). Rõ ràng, Sxx(ω) không ch a thông tin v pha. ð c bi t, n u x(n) là tín hi u th c thì : X*(ω) = X(-ω) (3.90) hay (ñ i x ng ch n) (3.91) ∠X(-ω) = -∠X(ω) (ñ i x ng l ) và : (3.92) T pt(3.89) ta cũng có : Sxx(-ω) = Sxx(ω) (ñ i x ng ch n) (3.93) Do tín ñ i x ng ta ch c n kh o sát tính hi u r i r c trong d i t n 0 ≤ ω ≤ π. Ví d 3.5 Xác ñ nh và v ph m t ñ năng lư ng Sxx(ω) c a tín hi u : x(n) = anu(n) v i -1 < a < 1, c th : a = 0,5 và a = -0,5 Gi i : , v i ROC : z> a (3.94) Bi n ñ i Z c a x(n) là: X(z) = Vì |a|< 1 nên ROC c a X(z) ch a vòng tròn ñơn v , vì v y bi n ñ i Fourier t n t i. Ta thay z = ejω ñ có ñư c bi n ñ i Fourier c a x(n), ñó là : (3.95) (3.96) Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
M t ñ ph năng lư ng : Ta th y Sxx(-ω) = Sxx(ω), phù h p v i pt(3.93). Hình 3.12 v tín hi u x(n) và ph tương ng v i a = 0,5 và a = -0,5. Ta th y v i a=-0,5 tín hi u bi n ñ i nh../Anh hơn và k t qu là ph c a nó t p trung vùng t n s cao. Ví d 3.6: Xác ñ nh tín hi u x(n), bi t r ng ph c a nó là : (3.97) Gi i : T pt(3.83) ta có : Khi n = 0, ta có : V y: (3.98) Please Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.