Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 29
Böôùc 3 :
Xaùc ñònh caùc heä soá baát ñònh trong nghieäm toång quaùt thoâng qua caùc ñieàu kieän
ñaàu laø caùc giaù trò ban ñaàu cuûa y(n - k).
Phöông phaùp naøy coù tính chaát lyù thuyeát hôn laø thöïc tieãn, nhaèm tìm nghieäm döôùi
daïng giaûi tích. Chuùng ñöôïc trình baøy ôû ñaây nhö laø moät minh hoïa ñeå thaáy roõ nhöõng khoù
khaên khi duøng phöông phaùp giaûi tích soá vaø sau naøy ta seõ thaáy nhöõng öu ñieåm cuûa
phöông phaùp khaùc duøng trong thöïc teá.
Ví duï 1.11 :
Cho phöông trình sai phaân sau :
n
nynyny −
=−+−− 5)2(
6
1
)1(
6
5
)(
vôùi ñieàu kieän ban ñaàu : y(-2) = 25 vaø y(-1) = 6
Giaûi :
Böôùc 1 :
Giaû thieát nghieäm thuaàn nhaát coù daïng (nhöôïc ñieåm laø ôû choã phaûi moø daïng
nghieäm):
nn
cbcacny ..)( 21 +=
trong ñoù a, b laø caùc haèng soá thöïc
ta thay y(n) = an vaøo phöông trình thuaàn nhaát ta coù :
0
6
1
6
521 =+− −− nnn aaa
chia caû hai veá cho an-2
0
6
1
6
5
2=+− aa
Trong ñoù hai nghieäm : a1 = ½ vaø a2 = 1/3
Cuoái cuøng ta coù nghieäm :
nn
cccny −− += 3.2.)( 21
Vôùi c1 vaø c2 laø hai haèng soá tuøy yù
Böôùc 2 :
Tìm nghieäm rieâng töông öùng vôùi phöông trình coù veá phaûi. Ta cuõng laïi giaû thieát
nghieäm coù daïng :
n
3p 5.c)n(y −
=
Thay vaøo phöông trình ta coù
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 30
05
6
1
5
6
5
5[ )2()1(
3=+− −−−−− nnn
c
töø ñoù ruùt ra c3 = 1 ⇒ yp = 5-n
Vaäy nghieäm toång quaùt laø
y(n) = yp(n) + yc(n)
= c1.2-n + c2.3-n + 5-n
Böôùc 3 :
Töø ñieàu kieän ban ñaàu y(-2) = 25 vaø y(-1) = 6
Ta coù heä phöông trình
4c1 + 9c2 = 0
2c1 + 3c2 = 1
choïn c1 = 3/2 vaø c2 = - 2/3
cuoái cuøng nghieäm phöông trình laø :
nnn
ny −−− +−= 53
3
2
2
2
3
)( ,n ≥ 0
1.5 Caùc Heä Thoáng Ñeä Qui Vaø Khoâng Ñeä Qui
1.5.1 Heä Thoáng Khoâng Ñeä Qui
Moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán ñöôïc ñaëc tröng bôûi PT-SP-HSH baäc N nhö sau :
∑∑ ==
−=− M
0r
r
N
0k
k)rn(x.b)kn(y.a ; a0 = 0 (1.60)
neáu tröôøng hôïp N = 0, ta coù :
∑
=
−= M
0r 0
r)rn(x.
a
b
)n(y ; a0 ≠ 0
∑
=
−= M
0r
r)rn(x.b)n(y ; a0 = 1 (1.61)
Ñònh nghóa :
Heä thoáng ñöôïc ñaëc tröng bôûi phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc khoâng (N = 0)
ñöôïc goïi laø heä thoáng khoâng ñeä qui.
Nhaän xeùt :
Töø quan heä (1.49) ta thaáy raèng br laø haèng soá. Heä thoáng khoâng ñeä qui laø heä thoáng
coù ñaùp öùng ra y(n) chæ phuï thuoäc vaøo kích thích vaøo ôû thôøi ñieåm hieän taïi vaø quaù khöù, ta
vieát nhö sau :
y(n) = F[x(n), x(n - 1), … , x(n - M)] (1.62)
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 31
)n(h
Hình 1.28
-1 0 1 2 3 4 5
1
n
ôû ñaây F[.] kyù hieäu laø haøm, neáu ñaët h(k) = br, ta coù :
∑
=
−= M
0k
)rn(x).k(h)n(y (1.63)
Phöông trình (1.51) laø bieåu thöùc cuûa tích chaäp giöõa h(n) vaø x(n) khi h(n) laø nhaân
quaû vaø coù chieàu daøi höõu haïn : L[h(n)] = M + 1 : höõu haïn vaø h(n) chính laø ñaùp öùng xung
cuûa heä thoáng khoâng ñeä qui hay noùi roõ raøng phöông trình
(1.49) laø heä thoáng khoâng ñeä qui.
Ví duï 1.12 :
Haõy tìm ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng khoâng ñeä qui cho
bôûi phöông trình sai phaân sau :
y(n) = x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)
Giaûi :
Trong tröôøng hôïp N = 0, M = 0, heä thoáng naøy khoâng ñeä qui vaø L[h(n)] = 4. Ñeå
tìm h(n), ta thay x(n) = δ(n) thì y(n) = h(n), ta coù :
y(n) = δ (n) + δ (n - 1) + δ (n - 2) + δ (n - 3)
)n(rect)n(h 4
=
Vaäy heä thoáng naøy laø heä thoáng FIR, h(n) ñöôïc bieåu dieãn treân hình 1.28.
1.5.2 Heä Thoáng Ñeä Qui
Trong tröôøng hôïp neáu N > 0, ta coù phöông trình SP-TT-HSH baäc N nhö sau :
∑∑ ==
−−−= N
1k 0
k
M
0r 0
r)kn(y.
a
b
)rn(x.
a
b
)n(y ; a0 ≠ 0
∑∑ ==
−−−= N
1k
k
M
0r
r)kn(y.a)rn(x.b)n(y ; a0 = 0 (1.64)
Ñònh nghóa :
Heä thoáng ñöôïc ñaëc tröng bôûi phöông trình sai phaân baäc N > 0 ñöôïc goïi laø heä
thoáng ñeä qui.
Nhaän xeùt :
Töø heä phöông trình (1.52), ta thaáy raèng br vaø ak laø caùc haèng soá, do ñoù heä thoáng
ñeä qui coù ñaùp ra y(n) coù ñaùp öùng ra phöï thuoäc vaøo kích thích vaøo ôû thôøi ñieåm hieän taïi
vaø quaù khöù vaø caû ñaùp öùng ra ôû thôøi ñieåm quaù khöù.
y(n) = F[y(n-1), y(n-2), … , y(n-N), x(n-1), … , x(n-M)] (1.65)
ôû ñaây F[.] kyù hieäu laø haøm. Neáu ta giaûi phöông trình (1.52) vôùi kích thích vaøo x(n) = δ(n)
ta seõ tìm ñöôïc ñaùp öùng xung h(n). Ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng ñeä qui luùc naøy coù chieàu
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 32
daøi voâ haïn. Neáu giaûi ôû ñieàu kieän y(n) = 0, n < 0 thì heä thoáng seõ nhaân quaû vaø h(n) seõ laø
daõy nhaân quaû. Vaäy heä thoáng ñeä qui laø heä thoáng coù ñaùp öùng xung daøi voâ haïn.
Ví duï 1.13 :
Haõy tìm ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng ñeä qui cho bôûi
phöông trình sai phaân sau :
y(n) = a.y(n - 1) + x(n) ; n < 0
vôùi ñieàu kieän ñaàu y(0) = 0
Giaûi :
Trong tröôøng hôïp N = 1, M = 0 thì heä thoáng seõ laø ñeä
qui. Neáu ta thay x(n) = δ(n) , ta seõ coù y(n) = h(n), duøng phöông trình (1.38) ñeå tìm h(n),
ñôn giaûn ta ñöôïc :
h(n) = an.u(n)
h(n) ñöôïc bieåu dieãn ôû hình 1.29
Ñaây laø heä thoáng ñeä qui vaø cuõng laø heä thoáng IIR, L[h(n)] = [0, +∞] = ∞
1.5.3 Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù
Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù laø tröôøng hôïp rieâng cuûa heä thoáng ñeä qui khi M = 0.
Neáu N > 0 vaø m = 0 ta coù phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc N nhö sau :
∑
=
−−= N
k
kknyanxbny
1
0)()()( ; a0 = 1 (1.66)
vaäy phöông trình sai phaân (1.51) laø phöông trình ñaëc tröng cho heä thoáng ñeä qui thuaàn
tuyù.
Nhaän xeùt :
Töø phöông trình (1.54), ta thaáy raèng b0 vaø a0 laø caùc haèng soá, vaäy thì heä thoáng ñeä
qui thuaàn tuyù laø heä thoáng maø ñaùp öùng ra y(n) cuûa noù phuï thuoäc vaøo kích thích ngoõ vaøo
chæ ôû thôøi ñieåm hieän taïi vaø ñaùp vaøo ñaùp öùng ngoõ ra chæ ôû thôøi ñieåm quaù khöù.
y(n) = F[x(n), y(n - 1), y(n - 2) , … , y(n - N) ] (1.67)
ôû ñaây f[.] kyù hieäu laø haøm.
Taát nhieân heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù (1.54) cuõng laø heä thoáng IIR, töùc laø ñaùp öùng
xung h(n) cuûa noù coù chieàu daøi voâ haïn.
Ví duï1.14 :
Cho heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù moâ taû bôûi phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá
haèng sau :
y(n) – 3.y(n - 1) +2.y(n - 2) = x(n)
)n(u
2
1
)n(h
n
=
Hình 1.29
-1 -2 0 1 2 3 4 5
n
1
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc
Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 33
Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n), xeùt ñoä oån ñònh cuûa noù vôùi ñieàu kieän ñaàu y(n) = 0 vôùi n < 0.
Giaûi :
Ôû ñaây N = 2, M = 0 vaø b0 = 1.
Ñeå xaùc ñònh h(n) ta chæ caàn tìm y0(n).
Phöông trình ñaëc tröng coù daïng :
023
2=+−
αα
ta coù: α1 = 1; α2 = 2
vaäy y0(n) = A11n ≠ A22n = h(n)
Xaùc ñònh A1 vaø A2 theo ñieàu kieän ñaàu vaø ñaët x(n) = δ(n).
n = 0 : y(0) – 3y(-1) +2y(-2) = δ(0) = 1.
ta coù : y(0) = 1
n = 1 : y(1) – 3y(0) +2y(-1) = δ(1) = 0.
ta coù : y(1) = 3
thay vaøo y0(n) ta coù :
y(0) = A1 + A2 = 1
y(1) = A1 + 2A2 = 3
töø ñaây ta coù : A1 = -1 vaø A2 = 2
cuoái cuøng h(n) = -1 + 2.2n = 2n+1 – 1, n ≥ 0
Vì 1
1=
α
vaø 12
2>=
α
neân heä thoáng naøy laø khoâng oån ñònh.
Nhaän xeùt :
Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù trong ví duï naøy coù cuøng veá phaûi cuûa phöông trình sai
phaân vôùi heä thoáng ñeä qui trong ví duï treân, vaäy chuùng coù chung phöông trình ñaëc tröng,
vì vaäy ñoä oån ñònh cuûa chuùng gioáng nhau maëc duø ñaùp öùng xung cuûa chuùng khaùc nhau.
Sau naøy khi xeùt trong mieàn z, ta thaáy chuùng coù cuøng caùc cöïc, vì vaäy tính oån ñònh cuûa
chuùng laø nhö nhau.
1.6 Thöïc Hieän Heä Thoáng Soá
Nhôø coù phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng, chuùng ta coù theå thöïc hieän
tröïc tieáp caùc heä thoáng soá baèng caùc phaàn töû thöïc hieän.
1.6.1 Caùc Phaàn Töû
Caùc phaàn töû thöïc hieän ñöôïc bieåu dieãn treân hình 1.30