Đ thi vào l p 10 môn Toán chuyên Đi h c S ph m Hà N i năm ề ớ ạ ọ ư ạ ộ
h c 2012 - 2013 (vòng 1, ngày 6/6/2012)ọ
Câu 1 (2 đi m).ể Cho bi u th c:ể ứ
P=
2 2
2 2 2 2
.
a b a b a b
a b a b a b a b a b
� �
− − +
+
� �
� �
+ + − − − + −
� �
, v i a>b>0ớ
a) Rút g n Pọ
b) Bi t ếa−b=1. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ P.
Câu 2 (2 đi m).ể Trên quãng đng AB dài 210 km, t i cùng m t th iườ ạ ộ ờ
đi m, m t xe máy kh i hành t A đi v B và m t ô tô kh i hành t B vể ộ ở ừ ề ộ ở ừ ề
A, Sau khi g p nhau, xe máy đi ti p 4 gi n a thì đn B và ô tô đi ti p 2ặ ế ờ ữ ế ế
gi 15 phút n a thì đn A. Bi t r ng xe máy và ô tô không thay đi v nờ ữ ế ế ằ ổ ậ
t c trên su t ch ng đng. Tính v n t c c a xe máy và c a ô tô.ố ố ặ ườ ậ ố ủ ủ
Câu 3 (2 đi m).ể Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho parabo (P):y=−x2 và
đng th ng ườ ẳ (d):y=mx−m−2 (m là tham s ).ố
a) Ch ng minh r ng khi ứ ằ m thay đi, ổ(d) luôn c t ắ(P) t i 2 đi m phân bi t ạ ể ệ
có hoành đ ộx1,x2.
b) Tìm m đ ể|x1−x2|=
20
Câu 4 (4 đi m).ể Cho tam giác ABC. Đng tròn ườ (ω) có tâm O và ti p xúc ế
v i các đo n th ng ớ ạ ằ AB,AC t ng ng t i ươ ứ ạ K,L. Ti p tuy n ế ế (d) c a ủ
đng tròn ườ (ω) t i đi m ạ ể E thu c cung nh ộ ỏ KL, c t các đng th ng ắ ườ ằ
AL,AK t ng ng t i ươ ứ ạ M,N. Đng th ng ườ ẳ KL c t ắOM t i ạP v c t ằ ắ ON
t i ạQ.
a) Ch ng minh ứMONˆ=900−
1
2
BACˆ.
b) Ch ng minh r ng các đng th ng ứ ằ ườ ẳ MQ,NP và OE cùng đi qua 1 đi m.ể
c) Ch ng minh ứKQ.PL=EM.EN.
Câu 5 (1 đi m).ể Cho các s th c d ng ố ự ươ x,y th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
( )
xy x y x y− = +
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ P=x+y.
Đ thi vào l p 10 chuyên Toán Tin Đi h c S ph m Hà N i năm ề ớ ạ ọ ư ạ ộ
h c 2012 - 2013 (vòng 2, ngày 7/6/2012, dùng cho thí sinh thi vào l p ọ ớ
1
chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1 (1,5 đi m)ểGi i ph ng trình : ả ươ
2 2 2
2 2 2 1 2 4 4 0x x x x x x+ + + − + + − =
Câu 2 (2 đi m) ể
a, Cho các s ốa,b,c đôi m t phân bi t và th a mãn ộ ệ ỏ
a2 (b+c)=b2 (a+c)=2012.Tính giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ M=c2 (a+b)
b, Cho 5 s nguyên d ng đôi m t phân bi t sao cho m i s d ng trong ố ươ ộ ệ ỗ ố ươ
chúng không có c s nguyên t nào khác 2 và 3. Ch ng minh r ng trong ướ ố ố ứ ằ
5 s đó t n t i 2 s mà tích c a chúng là m t s chính ph ng. ố ồ ạ ố ủ ộ ố ươ
Câu 3 (2 đi m)ể
Cho nó s th c ố ự x1,x2,....,xn v i ớn≥3. Ký hi u ệmax{x1,x2,...,xn} là s l n ố ớ
nh t trong các s ấ ố x1,x2,...,xn. Ch ng minh r ng ứ ằ
max{x1,x2,...,xn}≥
1 2 2 3 1
1 2
...
...
2
n
n
x x x x x x
x x x
n n
− + − + + −
+ + + +
Câu 4 ( 1,5 đi m) ể
Trong m t l p h c có 36 bàn h c cá nhân, đc x p thành 4 hàng và 9 c t ộ ớ ọ ọ ượ ế ộ
(các hàng đc đánh s t 1 đn 1, các c t đc đánh s t 1 đn 9 ). Sĩ ượ ố ừ ế ộ ượ ố ừ ế
s h c sinh c a l p là 35. Sau m t h c k , cô giáo ch nhi m x p l i chố ọ ủ ớ ộ ọ ỳ ủ ệ ế ạ ỗ
ng i cho các b n h c sinh trong l p. Đi v i m i h c sinh c a l p, gi sồ ạ ọ ớ ố ớ ỗ ọ ủ ớ ả ử
tr c khi chuy n ch , b n ng i bàn thu c hàng th ướ ể ỗ ạ ồ ở ộ ứ m, c t th ộ ứ n và sau
khi chuy n ch , b n ng i bàn thu c hàng ể ỗ ạ ồ ở ộ am, c t th ộ ứ an, ta g n cho b nắ ạ
đó s nguyên ố(am+an)−(m+n). Ch ng minh t ng c a 35 s nguyên g n ứ ổ ủ ố ắ
v i 35 b n h c sinh không v t quá 11.ớ ạ ọ ượ
Câu 5 (3 đi m)ể
Cho hình vuông ABCD n i ti p đng tròn ộ ế ườ (O). Đi m M thu c cung nh ể ộ ỏ
CD c a ủ(O), M khác C và D. MA c t DB, DC theo th t t i X ,Z ; MB ắ ứ ự ạ
c t CA, CD t i Y,T; CX c t DY t i K.ắ ạ ắ ạ
a, Ch ng minh r ng góc MXT = TXC , MYZ = ZYD và góc CKD = ứ ằ 1350 .
b, Ch ng minh r ng ứ ằ
1
KX KY ZT
MX MY CD
+ + =
.
C, G i I là giao đi m c a MK và CD. Ch ng minh r ng XT, YZ, OI cùng ọ ể ủ ứ ằ
đi qua tâm đng tròn ngo i ti p tam giác KZT.ườ ạ ế
2
Đ thi vào l p 10 môn Toán tr ng Ph thông năng khi u (PTNK) ề ớ ườ ổ ế
Đi h c Qu c gia TP. HCM năm h c 2012 - 2013ạ ọ ố ọ
CâuI:
1) Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
( )
( )
22
22
22
2
2
2
x y z z
y z x x
z x y y
− = −
− = −
− = −
2) Cho hình vuông ABCD c nh ạa. M và N là hai đi m l n l t n m trên ể ầ ượ ằ
c nh AB và BC sao cho ạ
=x v i ớ0<x<1. Các đng th ng qua ườ ẳ
M,N song song v i BD l n l t c t AD t i Q và CD t i P. Tính di n tích ớ ầ ượ ắ ạ ạ ệ
t giác ứMNPQ theo a và x và tìm x sao cho di n tích này l n nh t.ệ ớ ấ
Câu II: S nguyên d ng ố ươ n đc g i là s đi u hòa n u nh t ng các ượ ọ ố ề ế ư ổ
bình ph ng c a các c d ng c a nó (k c 1 và ươ ủ ướ ươ ủ ể ả n) đúng b ng ằ(n+3)2
.
a) Ch ng minh r ng s ứ ằ ố 287 là s đi u hòa.ố ề
b) Ch ng minh r ng s ứ ằ ố n=p3 (p nguyên t ) không ph i là s đi u hòa.ố ả ố ề
c) Ch ng minh r ng n u s ứ ằ ế ố n=pq (p,q là các s nguyên t khác nhau) là ố ố
s đi u hòa thì ố ề n+2 là s chính ph ng.ố ươ
Câu III:
a) Tìm giá tr ịx
R th a mãn ỏx2 −5x+4+2
1 0x−
b) Ch ng minh r ng v i các s không âm ứ ằ ớ ố a,b,c th a mãn ỏa+b+c=3. Ta có
b t đng th c ấ ẳ ứ
a b c+ +
≥ab+bc+ac
Câu IV: Cho tam giác ABC vuông t i ạA. Trên đng th ng vuông góc v iườ ẳ ớ
AB t i ạB ta l y đi m ấ ể D di đng cùng phía v i ộ ớ C đi v i đng th ngố ớ ườ ẳ
AB.
a) Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế AC+BD<CD thì trên c nh AB t n t i hai đi mạ ồ ạ ể
M,N sao cho CMDˆ=CNDˆ=900
b) Gi s đi u ki n trên đc th a mãn. Đng th ng qua ả ử ề ệ ượ ỏ ườ ẳ A song song
v i ớMD c t đng th ng qua ắ ườ ẳ B song song v i ớMC t i ạE. Ch ng minhứ
r ng đng th ng ằ ườ ẳ DE luôn đi qua m t đi m c đnh.ộ ể ố ị
Câu V: Cho đa giác đu ền c nh. Dùng 3 màu xanh,đ, vàng tô màu các ạ ỏ
đnh đa giác m t cách tùy ý (m i đnh đc tô b i m t màu và t t c các ỉ ộ ỗ ỉ ượ ở ộ ấ ả
3
đnh đu đc tô màu). Cho phép th c hi n thao tác sau đây: ch n hai đnhỉ ề ượ ự ệ ọ ỉ
k nhau b t kì (nghĩa là hai đnh liên ti p) khác màu và thay màu c a hai ề ấ ỉ ế ủ
đnh đó b ng màu còn l i.ỉ ằ ạ
a) Ch ng minh r ng b ng cách th c hi n thao tác trên m t s l n ta luôn ứ ằ ằ ự ệ ộ ố ầ
luôn làm cho các đnh đa giác ch còn đc tô b i hai màu.ỉ ỉ ượ ở
b) Ch ng minh r ng v i ứ ằ ớ n=4 và n=8, b ng cách th c hi n thao tác trên ằ ự ệ
m t s l n ta có th làm cho các đnh c a đa giác ch còn đc tô b i m t ộ ố ầ ể ỉ ủ ỉ ượ ở ộ
màu.
Đ thi môn toán vào l p 10 không chuyên PTNK 2012-2013ề ớ
Bài 1:
Cho x3 -4x
1 0x m+ + =
a)Gi i ph ng trình khi m=-33ả ươ
b)Tìm m đ phu ng trình (1) có đúng hai nghi m phân bi t ể ơ ệ ệ x1,x2 th aỏ
x16+x26 =82
Bài 2:
a)Gi i ph ng trình ả ươ
2 7 3 5 1x x+ − − − =
b)Gi i h ả ệ
2
2
2 1 2 5
1
5
10 2
x xy
y
xy
− = −
− = −
Bài 3:
a)Rút g n ọT=
2 2
2 2 2 2
a b ab
ab a b ab a b
+ −
−
+ − − + + +
Tìm giá tr l n nh t c a T v i a là s t nhiênị ớ ấ ủ ớ ố ự
b)Tìm 3 s t nhiên liên ti p bi t t ng 3 tích c a t ng c p s khác nhau ố ự ế ế ổ ủ ừ ặ ố
c a chúng là 1727ủ
Bài 4:
T ng k t h c k 2, 1 tr ng THCS có 60 h c sinh không đt h c sinh ổ ế ọ ỳ ườ ọ ạ ọ
gi i, trong đó có 6 em t ng đt h c sinh gi i h c kì 1, s h c sinh gi i ỏ ừ ạ ọ ỏ ọ ố ọ ỏ
c a h c kì 2 b ng ủ ọ ằ
40
37
s h c sinh gi i c a h c kì 1 và có 8% s h c sinh ố ọ ỏ ủ ọ ố ọ
c a tr ng không đt h c sinh gi i HK1 nh ng đt h c sinh gi i HK2. ủ ườ ạ ọ ỏ ư ạ ọ ỏ
Tìm s h c sinh gi i HK2 c a tr ng bi t s h c sinh c a tr ng không ố ọ ỏ ủ ườ ế ố ọ ủ ườ
thay đi trong su t năm h cổ ố ọ
Bài 5:
Cho hình thang ABCD(AB//CD) n i ti p (C) tâm O, bán kính R và có ộ ế
4
DABˆ=1050 ,ACDˆ=300
a)Tính
DB
DC
và tính AB theo R
b)Ti p tuy n c a (C) t i B c t DO, DA l n l t t i M, N. Tính ế ế ủ ạ ắ ầ ượ ạ
MN
MD
c)G i E là trung đi m c a AB, tia DE c t MN t i F. Tính ọ ể ủ ắ ạ
BF
BC
Đ thi tuy n sinh l p 10 KHTNHN 2012 - 2013(Vòng 1, Update ề ể ớ
9/6/2012)
Câu 1:
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( )
9 2012 6 2012 9 6x x x x+ + + = + + +
2) Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
2 2
2 4
2 4
x y y
x y xy
+ + =
+ + =
Câu 2:
1) Tìm t t c các c p s nguyên (x; y) th a mãn đng th c: ấ ả ặ ố ỏ ẳ ứ
(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)
2) Gi s x, y la các s th c d ng th a mãn điêu ki n:.ả ử ố ự ươ ỏ ệ
( ) ( )
1 1 4x y+ +
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
P=
2 2
x y
y x
+
Câu 3:
Cho tam giác nh n ABC n i ti p đng tròn tâm O .G i M là m t đi m ọ ộ ế ườ ọ ộ ể
trên cung nh BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Gi s P là m t ỏ ả ử ộ
đi m thu c đo n th ng AM sao cho đng tròn đng kính MP c t cung ể ộ ạ ẳ ườ ườ ắ
nh BC t i đi m N khác M.ỏ ạ ể
1) G i D là đi m đi x ng v i đi m M qua O .Ch ng minh r ng N,P,D ọ ể ố ứ ớ ể ứ ằ
th ng hàngẳ
2) Đng tròn đng kính MP c t MD t i Q khác M.Ch ng minh r ng Q ườ ườ ắ ạ ứ ằ
là tâm đn tròn n i ti p tam giác AQN.ườ ộ ế
Câu 4:
Gi s a,b,c là các s th c d ng th a mãn ả ử ố ự ươ ỏ a≤b≤3≤c;c≥b+1;a+b≥c.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
Q=
( )
( ) ( ) ( )
2 1
1 1 1
ab a b c ab
abc
+ + + −
+ + +
Đ thi tuy n sinh l p 10 KHTNHN 2012 - 2013(Vòng 2, Update ề ể ớ
5