15 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp án

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

232
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 kèm đáp án giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi học sinh giỏi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 15 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp án

1 S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH GIA LAI L P 12 THPT, NĂM H C 2010-2011 ............ Môn thi : Toán - B ng A Đ CHÍNH TH C Th i gian làm bài : 180 phút (không k th i gian giao đ ) Ngày thi : 02/12/2010 ....................................... Câu 1 (3 đi m). Ch ng minh r ng có vô s s nguyên dương a th a mãn đi u ki n . − 1 . 2012. 2010 a2 .2   x = 3z 3 − 2z 2 Câu 2 (3 đi m). Gi i h phương trình y = 3x3 − 2x2 z = 3y 3 − 2y 2.  Câu 3 (3 đi m). Gi s a, b, c, d là các s th c dương th a mãn đi u ki n a + b + c + d = 1. Ch ng minh r ng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ . b+c c+d d+a a+b 8 Đ ng th c x y ra khi nào ? Câu 4 (3 đi m). Tìm t t c các hàm s f : R → R th a mãn đi u ki n f (x + 14) − 6f (x + 7) + 9f(x) = 4, ∀x ∈ R. Câu 5 (4 đi m). Cho dãy s (xn ) như sau : x1, x2, x3 là các s dương cho trư c, √ √ xn+3 = xn+2 + xn , ∀n = 1, 2, . . . Ch ng minh r ng dãy s đã cho có gi i h n h u h n và tìm gi i h n đó. Câu 6 (4 đi m). Cho hình chóp S.ABC có các c nh bên SA = a, SB = b, SC = c không đ i và các góc BSC = α, CSA = β, ASB = γ thay đ i (00 < α, β, γ < 1800 , α + β + γ < 3600 và m i góc nh hơn t ng hai góc còn l i). a) Tính th tích VS.ABC c a hình chóp theo a, b, c, α, β, γ. √ abc 3 b) Ch ng minh r ng khi các góc α, β, γ thay đ i, ta luôn có VS.ABC < . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . H T. . . . . . . . . . . . . . . . . . WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
1 S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH GIA LAI L P 12 THPT, NĂM H C 2010-2011 ............ ............ Đ CHÍNH TH C ĐÁP ÁN VÀ HƯ NG D N CH M Môn : Toán - B ng A ....................................... Câu 1 (3đ). Xét các s nguyên dương a ≥ 3. Ta có 2010 2009 2009 2008 2008 2009 a2 − 1 = a2 −1 a2 + 1 = a2 −1 a2 +1 a2 +1 (0,5 đi m) 2007 2007 2008 2009 = a2 −1 a2 +1 a2 +1 a2 + 1 = ··· 2 2007 2008 2009 = (a − 1) (a + 1) a2 + 1 a2 + 1 ... a2 +1 a2 +1 a2 +1 . (0,5 đi m) N u a là s l , thì t n t i s t nhiên k sao cho a = 2k + 1. Khi đó . (a − 1)(a + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1). = 23 , .8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) và . a2 + 1. .2 . a2 + 1. 2 .2 ............ . + 1. 2009 a2 .2. (0,5 đi m)   . − 1 . 23 . 2.2...2 = 22012. 2010 V y a2 . 2009 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Nhưng vì t p h p các s nguyên dương l l n hơn 3 là vô h n nên ta có đi u ph i ch ng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Câu 2 (3đ). Gi s x = max {x, y, z}, th thì x ≥ y ≥ z ho c x ≥ z ≥ y. Xét trư ng h p x ≥ y ≥ z (trư ng h p x ≥ z ≥ y tương t và các nghi m trùng v i các nghi m c a trư ng h p đã xét). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) H phương trình đã cho tương đương v i   x + z = 3z 3 − 2z 2 + z y + x = 3x3 − 2x2 + x  z + y = 3y 3 − 2y 2 + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Xét hàm s f (t) = 3t3 − 2t2 + t, t ∈ R. Khi đó, h phương trình đã cho có d ng   x + z = f (z) y + x = f (x)  z + y = f (y) . WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
2 M t khác, ta có f (t) = 9t2 − 4t + 1 > 0, ∀t ∈ R. Suy ra f (t) là hàm s đ ng bi n trên R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Khi đó y ≥ z ⇒ f (y) ≥ f (z) ⇒ z + y ≥ x + z ⇒ y ≥ x. V y x = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Suy ra f (x) = f (y), hay y + x = y + z, hay x = z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Thay x = y = z vào h phương trình, ta có 3x3 − 2x2 − x = 0. Phương trình này có 3 nghi m 1 x = 0, x = 1, x = − . V y h phương trình đã cho có 3 nghi m (x; y; z) là 3 1 1 1 (0; 0; 0) , (1; 1; 1) , − ; − ; − . 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Câu 3 (3 đi m). B i B t đ ng th c Cô-si (B t đ ng th c AM-GM), ta có a3 b+c 1 a3 (b + c) 3a + + ≥33 = . b+c 16 32 (b + c) .16.32 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Tương t b3 c+d 1 b3 (c + d) 3b + + ≥33 = . (0,5 đi m) c+d 16 32 (c + d) .16.32 8 c3 d+a 1 c3 (d + a) 3c + + ≥33 = . (0,5 đi m) d+a 16 32 (d + a) .16.32 8 d3 a+b 1 d3 (a + b) 3d + + ≥33 = . (0,5 đi m) a+b 16 32 (a + b) .16.32 8 Suy ra a3 b3 c3 d3 b+c+c+d+d+a+a+b 1 3 + + + + + ≥ (a + b + c + d) , b+c c+d d+a a+b 16 8 8 hay a3 b3 c3 d3 1 1 3 + + + + + ≥ . b+c c+d d+a a+b 8 8 8 a3 b3 c3 d3 1 Vy + + + ≥ . b+c c+d d+a a+b 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Đ ng th c x y ra khi và ch khi a + b + c + d = 1; a3 b+c 1 = = ; b+c 16 32 3 b c+d 1 = = ; WWW.MATHVN.COM c+d 16 32 WWW.MATHVN.COM
3 c3 d+a 1 = = ; d+a 16 32 3 d a+b 1 = = . a+b 16 32 1 Gi i h này ta tìm đư c a = b = c = d = . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Câu 4 (3 đi m). Gi s f là hàm s th a mãn các yêu c u đ bài, khi đó f(x + 14) − 6f(x + 7) + 9f(x) = 4, ∀x ∈ R ⇔ [f(x + 14) − 1] − 6 [f(x + 7) − 1] + 9 [f(x) − 1] = 0, ∀x ∈ R. (1) Đ t f(x) − 1 = g(x), ∀x ∈ R. Thay vào (1) ta đư c g (x + 14) − 6g (x + 7) + 9g(x) = 0, ∀x ∈ R ⇔g(x + 14) − 3g(x + 7) = 3 [g(x + 7) − 3g(x)] , ∀x ∈ R. (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Xét hàm s h như sau : h(x) = g(x + 7) − 3g(x), ∀x ∈ R. (3) Khi đó (2) ⇔ h(x + 7) = 3h(x), ∀x ∈ R. (4) x Đ t h(x) = 3 k(x), ∀x ∈ R. Khi đó k là hàm s xác đ nh trên R. Thay vào (4) ta đư c 7 k(x + 7) = k(x), ∀x ∈ R. (5) Hay k là hàm s tu n hoàn c ng tính chu kì 7 trên R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) T (3) ta có x g(x + 7) − 3g(x) = 3 7 k(x), ∀x ∈ R g(x + 7) g(x) ⇔ x − x −1 = k(x), ∀x ∈ R. (6) 37 37 g(x) Xét hàm s I(x) = x , ∀x ∈ R, thay vào (6) ta đư c 3 7 −1 I(x + 7) − I(x) = k(x), ∀x ∈ R. (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) x+7−x do (5) x + 7 x Vì k(x) = k(x) = k(x + 7) − k(x), ∀x ∈ R nên t (7) ta đư c 7 7 7 x+7 x I(x + 7) − I(x) = k(x + 7) − k(x), ∀x ∈ R 7 7 x+7 x ⇔I(x + 7) − k(x + 7) = I(x) − k(x), ∀x ∈ R 7 7 x ⇔m(x + 7) = m(x), ∀x ∈ R, v i m(x) = I(x) − k(x), ∀x ∈ R. 7 WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Vy x I(x) = m(x) + k(x), ∀x ∈ R 7 g(x) x ⇔ x −1 = m(x) + k(x), ∀x ∈ R 37 7 x−7 x ⇔g(x) = 3 7 m(x) + k(x) , ∀x ∈ R 7 x−7 x ⇔f(x) = 1 + 3 7 m(x) + k(x) , ∀x ∈ R. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Sau khi th l i ta k t lu n : T t c các hàm s th a mãn đ bài đ u có d ng x−7 x f(x) = 1 + 3 7 m(x) + k(x) , ∀x ∈ R, 7 trong đó m, k là các hàm s tu n hoàn c ng tính chu kì 7 trên R, tùy ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Câu 5 (4 đi m). Xây d ng hai dãy s (an ) và (bn ) như sau : √ √ a1 = a2 = a3 = min {x1, x2 , x3} , an+3 = an+2 + an , ∀n = 1, 2, . . . b1 = b2 = b3 = max {x1, x2 , x3} , bn+3 = bn+2 + bn , ∀n = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Trư ng h p 1 : min {x1 , x2, x3} ≥ 4. Khi đó a1 , a2, a3 ≥ 4. Gi s an , an+1 , an+2 ≥ 4, khi đó √ √ √ √ an+3 = an+2 + an ≥ 4 + 4 = 4, √ √ √ √ an+4 = an+3 + an+1 ≥ 4 + 4 = 4, √ √ √ √ an+5 = an+4 + an+2 ≥ 4 + 4 = 4. Theo nguyên lí quy n p toán h c suy ra an ≥ 4, ∀n = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Ti p theo ta ch ng minh an+1 ≤ an . (1) Hi n nhiên (1) đúng khi n = 1, n = 2. Ta có √ √ √ √ √ √ a4 = a3 + a1 = 2 a3 ≤ a3 (do 2 a3 − a3 = a3 (2 − a3) ≤ 0). V y (1) đúng khi n = 1, 2, 3. Gi s (1) đúng khi n = k, n = k + 1, n = k + 2, t c là ak ≥ ak+1 , ak+1 ≥ ak+2 , ak+2 ≥ ak+3 . Khi đó √ √ √ √ ak+4 = ak+3 + ak+1 ≤ ak+2 + ak = ak+3 , √ √ √ √ ak+5 = ak+4 + ak+2 ≤ ak+3 + ak+1 = ak+4 , √ √ √ √ ak+6 = ak+5 + ak+3 ≤ ak+4 + ak+2 = ak+5 . WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
5 V y theo nguyên lí quy n p suy ra (1) đúng v i m i n = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Ta đã ch ng minh đư c dãy (an ) gi m và b ch n dư i b i s 4, do đó có gi i h n h u h n. Đ t lim an = a. T an ≥ 4, ∀n = 1, 2, . . . suy ra a ≥ 4. T n→+∞ √ √ an+3 = an+2 + an , ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta đư c √ √ √ a≥0 a=0 a= a+ a⇔a=2 a⇔ ⇔ ⇔ a = 4(do lo i a = 0). a2 = 4a a=4 V y lim an = 4. n→+∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Trư ng h p 2 : min {x1 , x2, x3} < 4. Tương t , ta ch ng minh đư c dãy s (an ) tăng và b ch n trên b i s 4 và lim an = 4. n→+∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) V y trong c hai trư ng h p ta đ u có lim an = 4. Ti p theo ta ch ng minh n→+∞ xn ≥ a n . (2) D th y (2) đúng khi n = 1, 2, 3. Gi s xk ≥ ak , xk+1 ≥ ak+1 , xk+2 ≥ ak+2 . Khi đó √ √ √ √ xk+3 = xk+2 + xk ≥ ak+2 + ak = ak+3 . Theo nguyên lí quy n p suy ra (2) đúng v i m i n = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Tương t ta ch ng minh đư c lim bn = 4, xn ≤ bn , ∀n = 1, 2, . . . n→+∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Tóm l i ta có lim an = 4, lim bn = 4, an ≤ xn ≤ bn , ∀n = 1, 2, . . . n→+∞ n→+∞ Theo nguyên lí k p suy ra lim xn = 4. n→+∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) 1 1 1 Câu 6 (4 đi m). K AH⊥mp (BSC). Ta có VS.ABC = .SBSC .AH = . bc. sin α.AH. (1) 3 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) K AM⊥SB. Suy ra HM⊥SB (do SB⊥(AMH)). Gi s N là giao đi m c a MH và SC. Xét tam giác vuông AHM, ta có AH = AM. sin AMN = a. sin γ. sin AMN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Sau đây ta s tính sin AMN: S d ng Đ nh lý hàm s cosin cho các tam giác AMN và ASN, ta WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
6 đư c AN 2 = MA2 + MN 2 − 2.MA.MN. cos AMN, AN 2 = SA2 + SN 2 − 2.SA.SN. cos β. Suy ra MA2 + MN 2 − 2.MA.MN. cos AMN = SA2 + SN 2 − 2.SA.SN. cos β. (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) ∆SMA vuông t i M, suy ra MA = SM. tan γ. ∆SMN vuông t i M, suy ra MN = SM. tan α. SM ∆SMA vuông t i M, suy ra SA = . cos γ SM ∆SMN vuông t i M, suy ra SN = . cos α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Thay vào (2), ta có 1 1 2. cos β SM 2 tan2 γ + tan2 α − 2. tan γ. tan α. cos AMN = SM 2 2γ + 2α − cos cos cos γ. cos α 2 2 sin γ sin α sin γ sin α 1 1 2. cos β ⇒ 2 + 2α − 2. . . cos AMN = 2γ + 2α − cos γ cos cos γ cos α cos cos cos γ. cos α 2 2 sin γ sin α sin γ 1 sin α 1 2. cos β ⇒2. . . cos AMN = 2γ − 2γ + 2α − 2α + cos γ cos α cos cos cos cos cos γ. cos α sin γ sin α 2. cos β ⇒2. . . cos AMN = −2 + cos γ cos α cos γ. cos α sin γ. sin α cos β − cos γ. cos α ⇒ . cos AMN = cos γ. cos α cos γ. cos α cos β − cos γ. cos α ⇒ cos AMN = . sin γ. sin α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) Dó đó (cos β − cos γ. cos α)2 sin AMN = 1− cos2 AMN = 1− sin2 γ. sin2 α sin2 γ. sin2 α − (cos β − cos γ. cos α)2 = sin2 γ. sin2 α (1 − cos2 γ) (1 − cos2 α) − (cos β − cos γ. cos α)2 = sin γ. sin α 1 + 2. cos α. cos β. cos γ − (cos2 α + cos2 β + cos2 γ) = . (3) sin γ. sin α T (1) và (3), ta thu đư c abc VS.ABC = . 1 + 2. cos α. cos β. cos γ − (cos2 α + cos2 β + cos2 γ) (4) 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) (Lưu ý r ng, vì 00 < α, β, γ < 1800 ; α + β + γ < 3600 và m i góc nh hơn t ng hai góc WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
7 còn l i nên công th c (4) xác đ nh). Vì |cos α. cos β. cos γ| = |cos α| . |cos β| . |cos γ| ≤ 1, nên cos α. cos β. cos γ ≤ 1. Do đó √ abc abc √ abc 3 VS.ABC ≤ . 1 + 2. cos α. cos β. cos γ ≤ . 1 + 2.1 = . 6 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) D u đ ng th c x y ra khi và ch khi cos α = cos β = cos γ = 0 cos α. cos β. cos γ = 1. √ abc 3 Đi u này không x y ra. V y VS.ABC < . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m) WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM
PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ NHA TRANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-LỚP 2 TRƯỜNG TIỂU HỌC PHƯỚC LONG 1 Năm học : 2011- 2012 Môn : Toán Họ và tên : ……………... Lớp : …. Điểm I / TRẮC NGHIỆM : Em hãy khoanh vào ý đúng nhất: Câu 1 : 4cm 8mm + 7mm = ……mm A .87 B .47 C. 87 D .55 Câu 2 : 51 – X = 28 A.X= 23 B. X=79 C .X= 34 D. X= 63 Câu 3 : Điền số giống nhau vào chỗ chấm: …….. + ……… + …….. +……….= 100 Câu 4 : Số bé nhất có 3 chữ số khác nhau là: A . 100 B . 999 C . 101 D . 102 Câu 5 : Thứ năm tuần này là ngày 21 tháng 5.Vậy: - Thứ năm tuần trước là ngày: A . 25 B . 14 C . 16 D . 23 - Thứ năm tuần sau là ngày: A . 17 B . 19 C . 26 D . 28 Câu 6: Viết tiếp 3 số vào dãy: - 4 , 9, 14, 19, ..... , ….. , ……. A . 24 , 29, 34 B . 13 , 18, 23 C . 25, 30,35 D . 14, 19, 24
II/ TỰ LUẬN : Câu 1 : Cho 3 số 1; 3; 8. Hãy viết tất cả các số có hai chữ số khác nhau tạo ra từ các chữ số đó. Bài làm: …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Câu 2 : Cường và Sơn đi câu cá. Cường câu được số cá bằng số lớn nhất có một chữ số.Tổng số cá hai bạn câu được là số bé nhất có hai chữ số. Hỏi Sơn câu được bao nhiêu con cá ? Bài giải ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010 ------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đề chính thức ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: ( 5 điểm) 1a) Giải hệ phương trình sau: 3x ln( x 2 x 1) y x3 3 3 y ln( y 2 y 1) z y3 3 3z ln( z 2 z 1) x z3 3 U1 4 2a) Cho dãy số (Un), biết rằng : U 2 10 , n N *. Un 2 Un 1 6U n 12 Chứng minh rằng : (Un + 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n. Câu 2: ( 4 điểm) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện 1 f 0 f 1 . Chứng minh rằng phương trình f x f x có nghiệm 2009 x 0,1 . Câu 3: ( 5 điểm) 3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại AI .BI .CI 8 A’, B’, C’. Chứng minh rằng: AA'.BB '.CC ' 27 3b) Gọi , , là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Tính M = sin2 .sin2 .sin2 + cos2 .cos2 .cos2 Câu 4: (3 điểm) Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa ab – c + 1 = 0. Câu 5: (3 điểm) Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên P1 , P2 ,..., Pn n 1 .Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt Wr và Lr là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu n n thủ Pr .Hãy chứng tỏ rằng: Wr2 L2 . HẾT r r 1 r 1
Kú thi chän ®éi tuyÓn häc giái Thµnh phè hµ néi n¨m häc 2009 - 2010 M«n thi: To¸n Ngµy thi 02 -12 - 2009 Thêi gian lµm bµi 180 phót Bµi I: (4 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p vµ c¸c sè nguyªn d-¬ng x, y tháa m·n: x3 + y 3 = p4 . Bµi II: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E. Giao ®iÓm cña BE víi ®-êng ph©n gi¸c cña gãc BAC lµ D. Gäi d lµ ®-êng th¼ng qua ®iÓm D vµ song song víi AB, d c¾t BC t¹i F . Giao ®iÓm cña AF vµ BE lµ M. Chøng minh r»ng M lµ trung ®iÓm cña BE. Bµi III: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau:     x2 + 5 = y 2 − y−1 √ y2 + 5 = z 2 − z − 1   √  z 2 + 5 = x2 − x − 1 Bµi IV: (4 ®iÓm) 3 1 3 Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho c¸c ®iÓm A − ; 0 , B − ; 0 , C ; 0 . 2 2 2 T×m täa ®é ®iÓm M tháa m·n: cot AMB. cot BMC = 1 cot AMB + cot BM C = 3 Bµi V: (4 ®iÓm) Cho d·y sè Un x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: U1 = p > 0; U2 = q > 0 3 3 Un+2 = Un+1 + Un (víi n ≥ 1) Chøng minh r»ng d·y sè nµy cã giíi h¹n h÷u h¹n vµ t×m giíi h¹n ®ã.
TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI (LẦN I) Môn thi: Toán ;năm học 2010 – 2011 (Đề gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút Bài 1: (6 điểm) Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m 2 x  m . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  0 . b) Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x 3  3 x 2  a 3  3a 2 . 1 5 c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng () : y  x . 2 2 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 6 sin x  2 cos 3 x  5 sin 2 x cos x .  2  x  2 xy  x  y  0 b) Giải hệ phương trình:  4 . x  4 x 2 y  3x 2  y 2  0  Bài 3: (4 điểm) a) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan  và thể tích khối chópA’BB’C’C. b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc OXY tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình cạnh BC: x  y  2  0 .đường phân giác trong của góc B có phương trình 2 x  y  9  0 ,và đường cao qua điểm A của tam giác có phương trình x  y  4  0 . Bài 4: (4 điểm) a) Từ các số tự nhiên, lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau. Trong đó nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 9. mx 2  6 x  2 b) Cho hàm số: y  . x2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên 0;  . Bài 5: (2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  9 . a 2  2b 2 b 2  2c 2 c 2  2a 2 Chứng minh rằng:    3. ab bc ca HẾT Họ và tên thí sinh dự thi:…………………………………………….. lechungqx@yahoo.com.vn
TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LẦN I NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I Ý 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,00 điểm)  Tập xác định:D = R  Sự biến thiên: y '  3x 2  6 x, y '  0  x  0; x  2 0,5 Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y  , lim y   x   x   Bảng biến thiên: x - 0 2 + y’ + 0 - 0 + 0 + 0,5 y - -4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ;0) và (2;+  ), nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại y CD  0 tại x = 0, hàm số đạt cực tiểu y CT  4 tại x = 2 0,5  Đồ thị: y -1 0 2 3 x 0,5 -4 2 Xác định m …. (2,00 điểm) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2 và đường thẳng y  a 3  3a 2 . 1 Để pt có 3 nghiệm  4  a 3  3a 2  0 a 2 (a  3)  0    a  (1;3) \ 0;2 1 (a  1)(a  2) 2  0  3 …….(2,00 điểm)
1 1 2m 2 m2 0,5 Ta có y  y ' ( x  )  (  2) x   m. 3 3 3 3 2m 2 m2 0,5 y’ = 0 có hai nghiệm x1;x2  m  3 và pt đường thẳng cực trị y = (  2) x   m (d) 3 3 Các điểm cực trị A  x1 , y1  , B  x 2 , y 2  đối xứng nhau qua    : y  1 x  5 0,5 2 2 x1  x 2 0,5  (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có x I   1 suy ra 2  2  m 2  3  1  1 3  2 m  0  0,5 (*)   2   m  0.  2  m 2  3  1  m  m  1  1  5  m  m  1  0  3  3 2 2 II 1 Giải phương trình lượng giác (2,00 điểm) + Với cosx = 0 pt vô nghiệm. + Với cosx  0 pt đã cho  (tan x  1)(3 tan 2 x  3 tan x  1)  0 1   tan x  1  x   k ; k  Z 1 4 2 Giải hệ phương trình (2,00 điểm)  x 2  y  x(1  2 y )  0  Hệ pt đã cho   2 ( x  y ) 2  3 x 2 (1  2 y )  0  0,5 2 Đặt u  x  y; v  1  2 y u  xv  0 u   xv 0,5 Khi đó hệ pt trở thành  2 2  2 2 u  3x v  0  x (v  3v )  0 0,5  x  0 v  0 v  3  ; ; 0,5 u  0 u  0 u  3x Hệ pt có nghiệm: (0;0) ; (1;2) ; (2;2). III ……. (4,00 điểm) a B’ Gọi H là tâm của tam giác ABC AH  ( ABC ) M là trung điểm của BC 0,5 A' H 2 3b 2  a 2 Ta có tan    0,5 HM a A’ C’ a2 A' H  b 2  B 3  M H A C
0,5 2 2 2 1 a 3b  a V A' ABC  A' H .S ABC  3 12 a 2 3b 2  a 2 Vtrụ = A' H .S ABC  , suy ra thể tích A’BB’C' là: 4 0,5 2 2 2 a 3b  a V  Vtru  V A' BC  6 b Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt x  y  2  0 x  7 0,5    B (7;5) A 2 x  y  9  0 y  5 Lấy điểm M(2;0)  BC Gọi M’ đối xứng với M qua đường phân giác góc B Suy ra M’(6;-2)  AB 0,5 Suy ra pt AB: 7x - y - 44 = 0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt x  y  4  0 x  6    A(6;2) B H C 0,5 7 x  y  44  0  y  2 Gọi H là hình chiếu của A lên BC, suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: x  y  4  0 x  3    H (3;1) 0,5 x  y  2  0 y  1 Ta thấy H là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm C(-1;-3). IV a Gọi số gồm 6 chữ số khác nhau là: abcdef + 1 và 9 xếp vào 6 vị trí từ a đến f có A62 cách chọn. 1 + a  2;3;4;5;6;7;8 có 7 cách chọn sau khi xếp số 1 và 9. 3 + Còn lại 7 số sắp xếp vào 3 vị trí có A7 cách chọn. 1 Suy ra có 7. A62 . A7 = 44100 số. 3 b mx 2  4mx  14 TXD: D = R \  2 ; y '  . ( x  2) 2 0,5 y '  0, x  0;   f ( x )  mx 2  4mx  14  0, x  0;  + Với m = 0 không thỏa mãn. 0,5 + Với m  0 ta xét hai trường hợp:
  0 4m 2  14m  0 0,5 TH1:    ( vô nghiệm). m  0 m  0   0 4m 2  14m  0 m  0  0,5  m  0 TH2:    (vô nghiệm) S  0  4  0 P  0  14 / m  0  V …..(2điểm) 1 2 1 2 1 2 0,5 VT = 2  2  2  2  2  2 b a c b a c Ta có: 1 2 1 1 1 3 0,5 + 2  2  2  2  2  đẳng thức xảy ra khi a = b. b a b a a 3 ba 2 1 3 +  đẳng thức xảy ra khi a = b. 0,5 3 ba 2 b  2a 1 1 1 1 + VT  3 3(   )  27 3  3 (đpcm) b  2a c  2b a  2c 3a  3b  3c 0,5 Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài thi: 180 phút Ngày thi: 24/11/2009 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (4 đ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m, sao cho phương trình: x 3 3mx 2 4 0 có ba nghiệm phân biệt và các nghiệm đều nhỏ hơn 4. Câu 2: (4 đ) x y 1 Giai hệ phương trình: {x y 1 xy Câu 3: (4 đ) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M, song song với DA, DB, DC, theo thứ tự cắt mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) tương ứng ở A1 , B1 , C1 . MA1 MB1 MC1 1) Chứng minh: 1 DA DB DC 2) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện MA1 B1C1 khi M thay đổi. Câu 4: (4 đ) Cho hàm số f : R R, thỏa mãn f ( xy f ( z )) f ( x) f ( y ) z , x; y; z R. Chứng minh: 1/ f ( xy ) f ( x) f ( y ), x; y R. 2/ f ( x y ) f ( x) f ( y ), x; y R. 3/ f đồng biến trên R. Câu 5: (4 đ) Cho số nguyên dương n. Gọi M là tập số tự nhiên (viết trong hệ thập phân) có n chữ số, các chữ số lớn hơn 1 và không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau. 1/ Chứng minh: trong M, số các số có tận cùng 2 bằng số các số có tân cùng 3. 2/ Tính số phần tử của M theo n. HẾT
Đ THI CH N H C SINH GI I C P TRƯ NG NĂM H C 2009 - 2010 Huỳnh Kim Linh Sưu t m và gi i thi u —————— Bài 1 : √ Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch ng minh r ng : abc + (1 − a) (1 − b) (1 − c) < 1. Bài 2 : Cho các s th c x, y, z khác không. Tìm t t c giá tr c a : |x+y| |y+z| |z+x| f (x, y, z) = |x|+|y| + |y|+|z| + |z|+|x| . Bài 3 : Cho n là s t nhiên l và t p các s th c X = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } . Tìm t t c các song ánh f (hàm 1-1) trên t p X, f : X → X sao cho : |f (x1 ) − x1 | = |f (x2 ) − x2 | = · · · = |f (xn ) − xn | . Bài 4 : Cho 7 s th c thu c kho ng (1; 13). Ch ng minh r ng có ít nh t ba s trong đó là đ dài 3 c nh c a 1 tam giác. Bài 5 : Cho a, b, c > 0. Gi i h phương trình :   ax − by + 1 = c    xy 1  bz − cx + zx =a    cy − az + 1 = b. yz Bài 6 : Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 1 và bên trong hình vuông cho n đi m phân bi t. Ch ng minh r ng t n t i m t tam giác có đ nh t i các đi m đã cho ho c là đ nh c a hình vuông sao cho di n tích S c a nó th a mãn b t đ ng th c : 1 S≤ 2(n+1) . ——— H T ———
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề chính thức Môn Toán cấp THPT Ninh Bình, ngày 17 tháng 01 năm 2013 Các giám khảo Số phách Điểm bài thi (Họ tên, chữ ký) (Do chủ tịch HĐ ghi) Bằng số Bằng chữ Lưu ý: - Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề). - Đề thi gồm 06 câu, mỗi câu 05 điểm, được in trong 05 trang. - Thí sinh được phép sử dụng tất cả các loại máy tính cầm tay không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ. - Thí sinh trình bày ngắn gọn cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào phần giấy trống liền kề bài toán ngay trong bản đề thi này. Nếu không trình bày cách giải hoặc cách giải sai thì không chấm điểm phần kết quả. - Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định lấy chính xác tới 05 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Câu 1. 1,(02)  1,(7)  5,(25)  4,(46) 1. Tính giá trị biểu thức P  . 5,(4)  1,(05)  12,(1)  16,(4) Cách giải:................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Kết quả:………………………………………. x 1 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  sao cho F(P) = P + P2 + ... + x2  x  1 P10. (Lấy kết quả chính xác, không lấy kết quả xấp xỉ) Cách giải:................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Trang 1/5