Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
41 CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC (Nhân dịp Việt Nam thắng Đài Loan 4-1) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
2
+ 2
x
4
y
1
2 xy + - y
x
-
Câu 1: Giải hệ phương trình
2
= - 1 )
(
(
1 2
+ y
2
y
+ x
) + y
3
x
) 1
- - -
( = y 2 1 Lời giải.
x
1
0
y£
và
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Điều kiện
2
2
2
2
£
(
+ 1
x
2
y
)( 1
x
+ + = y
xy
2
y
) 1
0
.
1 2 ( x
y
) + - + x y 1
4
2
- (cid:219) - - -
.
y+ „ )( + + = 22 y
y
= - 2 xy ( ) 1
x
xy
- -
2
2
2
(
) 1
Xét trường hợp 1 0 Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x tham số y ta có điều kiện có nghiệm x 2 2 10 9
+ - D = - - - - ‡ (cid:218) £ + + = 2 (cid:219) > y 4 0 9 4 4 y y y y y y . 2 2 10 9
£ Hệ quả này mâu thuẫn với điều kiện 0 y£ nên (1) vô nghiệm x, y. 1 2
(
1 2
+ y
= y
( 2 1
) + y
3
x
)2 1
- - - = thì phương trình thứ hai trở thành . x 1
)
)
(
( 2 1
1 2
= y
+ y
y
y
y
( + 2 1
y
3
x
)2 1
- £ - - £ - - . y+ Xét trường hợp 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ) ( + 2 1 2
y (cid:219) = =
= y - =
-
x
y
1 3
1 0 = y 1 2
1 2 3 x + x
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
2
Thử lại thấy hệ có nghiệm duy nhất x y= = . 1 3
)
- - + = + x 2 2 - 2 x x - + y y 3 2 + 2 x x y y
Câu 2: Giải hệ phương trình
(
+ - - - x - + 1 y = 5 2 x xy 7
Điều kiện:
4 12 y Lời giải - ‡ 1 x . Phương trình một của hệ tương đương với: và x £ y ‡ + x 3 y 5 2
)
(
)
(
2 - = x
) 2 .
( y x x
+ - - - - - 2 x - + x 3 2 + + y = - (cid:219) x 2 1 x - - - 2 x x - + y y 3 2 + 2 x x y y + 2 y x xy y y y x y - + y 2 2 =
(
)
)
( +
) 2 .
( y x x
(
)
+
2
x
+ + 2 x = (cid:219) - x - - - y y x - + y x y - + x y 2 2 y + 3 2
)
( + x
y
0
y
x
y
y + y
x
(
x
- + y
y
x
- + x
y
2
4 + 3
2
2
2
- +
(cid:219) - - -
= (cid:219) + = (cid:219) = - x 0 ) = 1 2 5 2 x
+ 24
14
8
x
x
2 2
x
Với thế vào phương trình hai của hệ ta được
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
= 2
)
)
x
5 2
x
8
x
24
x
10
0
(cid:219) - - - - - - -
( 2 (
( (
2
+ 1 2 2 x )( 1 2
x
2
x
x )( 1 2
x
)
( 2 2
x
)( 1 2
= x
5
0
x - +
1 ) 5 + 1
2
x
1 2 2
x
5 2
x
+ 2 5 2 ) 5 + 2 5 2 x
y
+
- - - - (cid:219) - - - - - -
(
)
2
)( 1 2
5
0
x
x
- +
= (cid:219) 2
1 1 2 2
2
1
5 2
1 2 5 2
+ x
x
x
x
y
= ⇒ = - 1 x 2 5 = ⇒ = - x 2
1 2 5 2
(cid:219) - - - - - -
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.
2
(
) = 1
- - - x xy - + 2 y 1 x y 0
Câu 3: Giải hệ phương trình
3
+ 2 - - x 5 x + = y 6 7 2
3 y Lời giải:
x
1;
y
.
Điều kiện:
2 3
2
=
‡ ‡
=
+
1
a
x
1
x
a
(
Đặt
) ‡ ⇒ 0
. Khi đó phương trình một của hệ tương đương với:
a b ,
2
=
y
b
y
b
2
2
2
4
2
2
2
+ 2
-
= (
) 1
1
0
0
a
= (cid:219) ab
a
+ 2 a
2
2
2
+
=
- - - -
)
) + b 1 )
ab )
+ (
2 )(
+ 2 a
a
) 1 + b
+ 0
a
2
( a )( + a b a b
= b 2 ( b a b
0
2
(cid:219) - - - -
- + 2 b 2 ( = (cid:219) b a b )
b ) )( +
2
+ a b
= (cid:219) = (cid:219) b
0
a
- = b
(cid:219) = - 1 x
y
y
x
1
.
2
+
(cid:219) -
+ ( ( a b )(
+ a b
( a )( 2 ) ( + a ) + > b
0;
Vì (
a
2
a b ,
0
. Thế vào phương trình thứ hai trong hệ ta được:
3
3
+ 2
" ‡
(
(
.
x
5
x
) - + = x 6 1
7
3
x
) 1
2
- = 2 5 x
7
3
x
5
5 3
3
2
- - - (cid:219) - -
x )
1 (
x ‡ với )
+ x ( + 2 x x
2
+ (cid:219) - - - - - - x + 5 x + - 6 x x - = (cid:219) 1 x 3 5 5 x 6 1 3 x 5 = x 0
(
(
2
2
( )
)
)
( x x
( + x
2
- - - x x 3 1 (cid:219) - - * + 5 x + 6 + x 5 6 x 0 0 - - 0 ) 5 = (cid:219) 5 x = 3 x - + x 1 5
2
) 1 - + 1 x 3 - + + x 1 - + x
{ (
} )
- 2 x 1 3 5 + = > * (cid:219) - x + = (cid:219) 5 x 6 0 . x Dễ thấy , do đó ( ) " > x 0; - - 3 1 - + 1 x 3 5 x x = x = x
. 5 3 ) ( 2;1 , 3; 2
x 5 x 3 ) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x y = ;
)
(
y
- + = + x 2
x
y
x
) 1
y
y
- -
Câu 4: Giải hệ phương trình
2
y
+ x
+ = y
x
y
2
3
1 2
6
2
4
5
3
( - 1
- - - - -
y x Lời giải:
y 2 ; 4
3 0
0;
5
x
y
y
x
Điều kiện . y x ; Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
‡ ‡ ‡ - - ‡
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
)
x
y
) 1
y
( 1
y
y
1
y
- - - - - -
- = x (
)
- + x y
x
y
y
y
(cid:219) - - - - -
(
( 1 ( 1
( )( 1 1 )( 1 1
x
y
y
) ( + - 1 y ) 1 ) 1 +
) y =
0
1
y + 1
x )( )( x - + y
x
y
1 =
- - - - - - (cid:219)
)(
( 1
) 1
0
( ) 1
y
x
y
+ 1 1
1 + - + y
x
y
1
1
>
(cid:219) - - -
Ta thấy
nên ( ) 1
0
x
- = y 0 - = y
1 0
x
1
1
= y = - y
y x
3
.
y y
Với Với
2
(cid:219) (cid:219) -
x
x
x
x
2
1 + + - + 1 1 x y = (cid:219) = = ⇒ - 9 3 1 x 0 x= - ta có 1 - = x 3
2
( - + - 2 x 2
) - = x 1
1
2
0
2
- - (cid:219) - -
x
1
2
2
+
(
(
x
- + x
x
x
2
) 1
0
0
) 1 2
x - + 1
x
1 = (cid:219) x 2
= 1
2
x
- + x
2
- - (cid:219) - - - - -
+
+
- = x
1
5
1
5
1
+
>
=
2
0
nên thu được
.
Vì
⇒ = x
;
y
(cid:219) = x
- -
2
5 1 2
2
1 0 2
x
- + 1
x
2
x
x 1
£ £ -
)
(
Kết luận hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm (
+ 5 - + 1 5 = . ; x y ; 3;1 , 2 2 ) 1
2
3
= 2
3
2
) 1
3
y
x
y
- + 3 x
x
y
+ + 2 y
( + y
- - -
Câu 5: Giải hệ phương trình
2
+
+
+ =
+ y
3
4
y
3
y
3
x
2
x
(
-
) ( ) y 5 2 3 Lời giải.
‡ - ‡ 2;3 x 2
Điều kiện (
)
( +
- - - - y x y x 2 3 y ) 1 + 2 3 3 1 3 0 3
(
(cid:219) - - - x + - y )( + - + y 1 - = 3 x 3 0 y y
+ - - - - x ( 3 ( y y 2 )( 3 3 3 2 x y y y . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với y - = + + y y 2 2 ) ) + 2 1 1 ) ( 1 + 2 ) 3 = (cid:219) 0 x 2 + + - y )( )( + 1 + y 2 3 x 1 2 1 y
(
)
)( + 1
(cid:219) - - 0 3 x 2 y y 3 - 1 2 = + y 1 3 x
;
y
+ > " 3 0,
y
0
1 2
> + y
1
3
x
2
= + ‡ - - Ta thấy nên thu được 3 x - = (cid:219) y 1 0 2 3 x 2 y 1 . - y 4 3 1 + + + 2 1 1 + + + 2 1
y Phương trình thứ hai trở thành y
2
2
+ = = + + 1 5 2.1. 3 3 2 y y y + (cid:219) 4 + 2 y 4
) = 4 1
+ + = (cid:219) + (cid:219) + = 5 y 6 ( + 2 y + + 2 y 1 3 + - y 4 2 3 4 1 0 y + y + 2 3 y ( ) + - 3 1 y 0
(
)
+ = + = 1 0 y y (cid:219) (cid:219) - ⇒ y 1 x y ; ; 1 + = = - 1 0 (cid:219) = - + = 4 1 y 1 3 3 y 4 1 3
)
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- . Kết luận hệ có nghiệm duy nhất ( x y ; ; 1 = - 1 3
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
)2 =
x
12
- + y
( 12
y
x
12
-
Câu 6: Giải hệ phương trình
3
x
- = x
8
1 2
y
- -
2 Lời giải:
Điều kiện 2
12;
12
.
y
x
2
2
+
2
a
b
ℝ
£ £ £
)
Ta có (
0,
. Áp dụng bất đẳng thức này ta có
a b
a b ,
⇒ £ ab
2
2
2
+
- ‡ " ˛
x
y
+ y
x
2
) = 2
12
( 12
- + 12
. 12
12
.
x
- + y
y
x
x
y
y
x
12 = 2
12 + 2
- - - - £
Phương trình thứ nhất của hệ có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là
2
2
3
2
2
- 12 y 0 (cid:219) = - y 12 x = - ‡ x y 12 x = x
x
- = x
8
x
x
0
2
- - (cid:219) - - Phương trình thứ hai của hệ trở thành
(
- + - 3 x 8 (
= 3 2 2 10 )
2
(
)
(
)( + x
) 1
( ) 0 1
2
1 2 10 + + 2 x
x + = 10
) 9 = (cid:219) 2 x
2
x
= ⇒ = . y
3
3
2
(
)
- 2 x 2 x 3 + (cid:219) - - x 3 + + 3 x 3 3 x 1 0 x + - - + 1 x + 1 ( x 10 ) 3 + ‡ x 3 x + + 1 > " 0, x 0 nên (1) có nghiệm duy nhất Dễ thấy 2 + - x 1
.
) x y = ;
3;3
10 Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất (
12 2
x
= + 2 y
4
-
Câu 7: Giải hệ phương trình
1 2
y
= - 2 y
5 2
- -
x Lời giải.
2
2
x
y
y
0
.
6;1 2
2
+
+
£ - - ‡
2
x
12 2
x
1 2
y
- = 2 y y
1
8
.
- - - -
)
)
(
2
2
2
2
2
2
2 =
+
+
(
)
12 2
2.
2
x
x
x
+ 2 1. 12 2
x
)( + 2 1 2
x
= 12 2
x
36
⇒ + 2 x
12 2
x
6
Điều kiện Cộng theo từng vế hai phương trình ta có ( Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có )
- - £ - - £
(
(
)
2
2
+
+
=
(
⇒ -
y
+ - 2 y
y
) 1
2
y
y
) 1
+ - 2 y
1 2
2 1
2
4
y
y
y
y
1 2
( 2 1
)( + 1 2
) 1
2 +
2
2
+
+
- - - £ - - - - £
(*).
12 2
1 2
2
1
8
x
x
y
y
y
- - - - - £
)
( ) ( Kết hợp lại thu được ( Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) xảy ra đẳng thức, nghĩa là
2
x
x
=
-
12 2 1
(Thỏa mãn hệ ban đầu).
2 2
2
= x 2 = - y
(cid:219)
1 2
y
y
= - 2 y
- - -
(
)
.
1 ) Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y = ;
2; 2
2
2
-
4
x
- + y
x x
+ + = + 4 y x 1 1
x
-
Câu 8: Giải hệ phương trình
3
+ 2
x
25
x
+ x
3
4
0
5
-
+ - = + + 4 x y 3 y Lời giải.
2
2
2
2
)
) + + = + 2 x x 1
2 £ + 1
)( - + 4 x
( 1
( 1
- - + + 4 y x - + y x x 4 4 y y x x x
)
Điều kiện căn thức xác định. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho phương trình thứ nhất ta có (
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- ⇒ 4 x - + y x x + + £ + 4 y x 1 1 x
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
2
2
) =
4
1
x
y
x
+ + 4 y x
4
1
y
x
=
x 1
+ + 4 y x x
0
( x > x
2
2
+
- - - - (cid:219)
)( 1 4
x
4
4
1 0
x
- = x y
) - + 1 y
) - = 0 1 y (cid:219) =
y
4
x
1
0
( x > x
0
3
2
- - - (cid:219) (cid:219) -
( x > x Phương trình thứ hai của hệ trở thành - = 5
2
+ 2 - - - - = (cid:219) x 4 25 19 + x 0 5 5 x x x x + 3 x 25 x 20 x
( ) 1
2
2
)
( x x
( ) 2
- 4 5 + = x 5 4 0 x - (cid:219) - (cid:219) 5 + 5 x 4 = + - 5 x 4 = 4 x x + x 5 5 x - 4 + x
£ " ‡ nên (2) vô nghiệm. x x 4 5 , Ta thấy + - 1 5 x 4 5 1 5 x 4 x
)
{ } 1; 4
) x y = ;
( ) ( 1;3 , 4;15
(cid:219) ˛ .
)
(
) 1
+ + + 2 1 5 = < £ 4 4 5 , kết luận bài toán có hai nghiệm ( + ‡ + + 7 2 6 x x x x x + x 7 12 . Ta có ( ) x 1 Câu 9: Giải phương trình (
Lời giải:
Cách 1: Liên hợp theo hằng số bình thường
x ‡
2
ĐK:
-
( +
(
(
)
)
Khi đó (1)
(*) ( + x
)( 1
+ - x
+ 2 2
x
)( + - x
6
) + 7 3
+ 2 x
7
x
+ - 12 2
x
) + 1
3
x
6
+
+ -
(
(
)
7 9
6
x
+ x
2
) 2 4 +
(cid:219) ‡ -
+ x
2
x
8
)( 1 x + +
)( + - x + +
x
(cid:219) ‡ -
x )(
(
7 3 )
(
6
x
x
(
)(
)
x
+ 2
x
4
0
+ x +
2 +
2 +
)( + x +
2 2 ) 1 + 2
2
x
3
7
x
+
+
x
- - (cid:219) - - ‡
(
)
x
2
x
4
0
(2)
+
x +
1 + + x
2
6 + x
7
2
3
+
+
+
+
+
x
x
2
x
6
<
<
(cid:219) - - - ‡
Với
x
- ⇒ 2
và
+
x +
x +
2
2
2
1 + x
2
2
2
2 + x
6 + x
3
7
+
+
+
x
x
x
+
‡ £
4 0.
- < 4 x
6 - = x
+
x +
2
+ 2 + 2
1 + x
2
6 + x
7
2
3
- - ⇒
Do đó (2)
x
2 0
x
2,
kết hợp với (*) ta được 2
x
2
thỏa mãn.
(cid:219) - £ (cid:219) £ - £ £
Đ/s: 2
x
2
- £ £
Cách 2: Liên hợp theo hằng số kiểu truy ngược dấu
ĐK:
x ‡
2
2
+
+
-
)
( +
(*) ( + x
2
+ - x
2
+ + x
2
x
) + ‡ x
6
7
x
7
x
12
Khi đó (1)
(cid:219)
( +
(
+ + 2 7 x x
+ 12
+ - x
2
x
) + - x
2
+ 2
x
) + £ 6 x
7
0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
(cid:219)
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
)
( +
) +
( + x
2
+ -
+ 2
+
(cid:219) 2 + x + - x + 2 1 x 6 x 2 7 7 1 1 2 1 + - x 3
)
(
)
(
) +
2 2
x
x
+ x
7
14
( + x
2
x
)( + 6
x
7
0
1 2
1 + 3
- - £
) +
)
(
)
)
3
2
+ 2 2
( + 2
6
7
7 3
( + x
+ x
x
x
( + - x
2
+
+ -
+ 2
(cid:219)
(
)
(
)
)
2 (
+ - x ) +
6
2 2
6
7
14
3
4
( + 2
+ 13
42
0
x
x
+ x
+ 2 x
+ x 4
x
x
- - £
(
)
(
)
( + - x
) 2 4 +
) 7 9 +
( x 2 + +
( + 7 x + +
) 2 4 + 2 2
+ + + - 3 x 2 x + x 2 6 + - x 6 (cid:219) - £ + 2 x 4 x 12 0 + + x 7 3 x x
(
(
)
(
)
)( + 2
)( +
)( + x +
( 6 +
) 2 + + 2
- - - 2 2 ) + x + x x x x 3 2 2 2 2 + + x 7 + (cid:219) - £ x x 6 0 2 + 6 + x 2 2 3 7 x 2 x
(
)
(
)
(
)
+ + x x 3 2 2 2 6 7 (cid:219) - £ x x 2 6 0 (2) + x + + x + + 2 + + 2 x 3 + + 7 x 6 x + + + 2 2
(
)
(
)
+ + + + 3 2 2 2 6 7 x x + + + + > ‡ Với x - ⇒ 2 6 0. x + x + + x + + + 2 x 3 7 x 6 x 2 2 2
x
2
thỏa mãn.
x
2 0
2,
kết hợp với (*) ta được 2
x
(cid:219) - £ (cid:219) £ - £ £ Do đó (2)
Đ/s: 2
x
2
- £ £
Cách 3: Phương pháp hàm số
ĐK:
x ‡
2
2
-
)
Khi đó (1)
(*) ( + x
) 1
+ + x 2
( + x
6
+ - x
7
x
7
x
12 0
(2)
2
=
+
+
(cid:219) - - ‡
(
(
)
)
[ - +¥
Xét hàm số
( ) f x
x
) 1
+ + 2
x
x
6
+ - 7
x
x
7
x
12
với
có
x ˛
2;
+
x
x
=
+
- -
(
)
'
x
f
+ + 2
x
+ + 7
x
2
x
7.
6 +
+ 1 +
2
x
7
x
2
2
+
+
x
x
<
+
- -
( - +¥
)
Với
x
2;
( ) x
'
f
+ + 2
x
+ + 7
x
2
x
7
7 +
2 +
2
x
7
2
x
2
<
+ -
˛ - - ⇒
⇒
( ) x
'
+ + 2
x
7 2
x
x
7
f
3 2
3 2
< -
-
⇒
(
)
( ) x
'
+ x
4
14 3
+ - x
+ 2 3
x
= - 7
( ) g x
.
f
1 2
1 2
2
2
=
+
+
-
Ta có
( ) g x
14
x
14 3
+ - x
2 3
+ = 7 x
+ - x
2
7
2
x
+ - x
3 + 2
3 + 2
19 2
-
(
)
⇒
( ) g x
+ x
- +¥ x
2
0,
2;
19 > - + 4 2
19 > 2
<
‡ " ˛
(
)
)
⇒ -
⇒
( ) < g x
0,
- +¥ x
2;
( ) x
'
f
0,
( - +¥ x
2;
.
1 2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
" ˛ " ˛
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
)
)
- +¥ ⇒
Kết hợp với
nghịch biến trên [
f x liên tục trên [ ( )
2;
( ) f x
- +¥ 2;
.
)
x
2
thỏa mãn.
Do đó (2)
kết hợp với (*) ta được 2
( f x
( )2
f
x
2,
(cid:219) ‡ (cid:219) £ - £ £
x
+
+
+ 2
)
(
)
2
+ + 3
7
+ ‡ 8
9
20.
- £ £
Đ/s: 2 2 Câu 10: Giải phương trình (
x
x
x
x
x
+ x
Lời giải
ĐK:
3
x ‡
-
( +
(
)
(
)
)(
)
Khi đó (1)
2
+ 3 2
7
) + 8 3
9
+ 20 2
+ 2
3
7
(*) ( + x
+ - x
x
)( + - x
+ 2 x
x
x
x
+
+ -
(
(
)
x
2
+ x
8 9
7
2
) 3 4 +
(cid:219) ‡ - -
+ x
4
x
5
)( x + +
)( + - x + +
x
(cid:219) ‡ -
(
8 3 )
(
x
7
x
(
)
x
)( + 1
x
5
0
x )( 1 +
+ x +
)( + x 1 + +
3 2 ) 2 + 3
x
x
8
3
2
+
+
- - (cid:219) - - ‡
(
) 1
5
0
(2)
x
x
x +
x +
2
3
8
3
2 + + x
7 + x
+
+
+
+
+
3
7
x
x
<
<
(cid:219) - - - ‡
Với
- ⇒ 3
và
x
x +
x +
x +
2
2
3
2
3
8
3
2
2 + x
3 + x
7 + x
+
+
+
x
x
+
‡ £
⇒
5 0.
- < x 5
7 - = x
x +
x +
+ 3 + 2
2
2
8
3
3
2 + x
7 + x
- -
Do đó (2)
x
x
1 0
1,
kết hợp với (*) ta được 3
1x
thỏa mãn.
(cid:219) - £ (cid:219) £ - £ £
Đ/s: 3
1x
+
+
+ 2
(
(
)
2
x
) 1
+ + 2
x
x
2
2
x
+ ‡ 5
2
x
+ x
7
2.
- £ £
Câu 11: Giải phương trình
Lời giải
ĐK:
x ‡
2
-
( +
(
(
)
)
)(
) +
Khi đó (1)
(*) ( + x
2
)( 1
+ - x
+ 2 2
x
2
+ - 2 x
5 3
+ - 2 x
2
7
x
+ - 2 4
x
) + 1
3
x
2
+
+ -
(
)
(
+ x
)( 2 2
5 9
2
x
2
) 2 4 +
(cid:219) ‡
2
x
8
)( x 1 + +
+ - x + +
x
x
(cid:219) ‡ -
(
(
5 3 )
2
x
2
2
2
2
2 2 ) 1 +
(
)(
)
2
x
+ 2
x
2
0
)( + x +
+
x +
2 )( + x +
x
2
2
3
x
2
5
+
+
x
x
- - (cid:219) - - ‡
(
)
2
x
2
x
2
0
(2)
+
+
+
1 + + x
2
2 x
2
3
5
2
+
+
+
+
+
x
2
x
x
x
2
<
(cid:219) - - - ‡
Với
- ⇒ 2
x
và
+
x +
+
+
2
2
2
1 + x
2
2
2
2 + x
3
2
2 x
5
+
+
+
x
x
x
x
+
‡ £ £
⇒
- < x 2
2 - = x
2 0.
+
+
+
+ 2 + 2
2
2
2
2
5
3
1 + x
2 x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
x
2
thỏa mãn.
x
2 0
x
2,
kết hợp với (*) ta được 2
Do đó (2)
(cid:219) - £ (cid:219) £ - £ £
Đ/s: 2
x
2
2
- £ £
=
+
+ -
(
)(
)
3
3
2 2
x
x
-
Câu 12: Giải phương trình
+ +
8 3
x 9 2 x
x 6 + x 2
Lời giải
+ ‡
x
2 0
(*)
ĐK:
x
2
+
+ „
2 3
2
3 0
x
x
3
+ „
2 3 ) 2 1
2 0
‡ x ( + x
- (cid:219) (cid:219) ‡ -
(
(
)
3
+ x
)( 3 3
2 4
) 4 =
Khi đó
2
+ x +
+ - x + +
)( 2 3 + x 2
3
x x
2 2
3
x
- (cid:219)
(
(
)
) 4 =
2
)( + x +
)( 2 3 + x 2
2
- - x x 3 3 3 2 (cid:219) (cid:219) + + + x + + x x 3 x 2 3 2 = (2) + x 4 + x 3 3 + x 3 2 2
(
)(
( + x
) = 3
)( + 4 2
(cid:219) = 2 x 3 x 3 + 2 ) 3 + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x 2 Ta có (2)
(
)2 +
(
)
( ) + + x 1
( + x
) 2 + 1
( + f x
) = 1
= 2
) (
(cid:219) (cid:219) 2 + + 3 x 2 2 + 3 x 2 2 f + 3 x 2 (3)
x
⇒ + ‡ x 1
, 3
+ ‡ 2 x
0.
2 3
1 3
2
2
+
=
+ +
+
>
‡ - Với
)
)
( +¥
)
[
)(
)
f
( ) t
( = + t
2
t
2
với
ta có
Xét hàm số
t ˛
+¥ 0;
f
( ) t
'
t
2 2
( t t
2
0,
t
0;
.
+¥
)
) +¥ ⇒
Kết hợp với
liên tục trên [
đồng biến trên [
f
( ) t
0;
( ) t
0;
f
.
+ ‡
" ˛
1
5
Do đó (3)
(cid:219) + = x 1
+ (cid:219) 3 x
2
x
.
+
=
+
2
x
1 (cid:219) = - = x
1 0
1 0 )2 1
x
3
x
2
- x 2
x (
‡ – (cid:219) -
1
5
=
Ta thấy
x
đã thỏa mãn (*)
2 x = và 3
2
–
(
(
) + 2
) 1
) + = x
( + y
+ 2 2 4 y - + x y x - + y x
Câu 13: Giải hệ phương trình
)( 1 2 )
3 3 0 + - y x 2 (
+ - = + + + 2 1 y x y x Lời giải.
0
+ ‡ ‡ x 1 0 1 0; x y 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương
Điều kiện căn thức xác định. ( )1 x y + ‡ Ta thấy )( ( - + x 1 2
+ - và ) y+ + ‡ ( nên ) - + 2 y 2 2 y y = 2 x - + 4 y x 4
=
=
Đặt
4 4 + (cid:219) (cid:219) - + = 2 y x 2 x - + = 2 y x + 2 2 y 1 x 2
u
2
2
2
2
+ =
+
ta được x - + x y + - y 1 - + x
(
)2
; x v (
2 y )
(
)
u v
u
2
v
+ 2 u
+ uv 2
= 2 v
+ 2 u
2
v
= (cid:219) = (cid:219) = u v u
0
- + (cid:219) = + v x
2
y
x
2
x
y
1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
(cid:219) (cid:219) -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT và BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
3
+ + = (cid:219)
Phương trình thứ hai của hệ trở thành (
)
(
+ - x y
x
x
y
y
0
+ + + x y 1
3
2
2
3
1 0
) + + + x x 3
2
1
x 2 + - + 2 y
3
x
= + + x y
1
=
- - - -
(
)
2
3
1
⇒ - = ⇒ = 3 0
2
;
x
x
x
y
1 2
3 2
3
1
1 + - + 2 y
x
+ + x y
+ + + y x
=
x
;
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3 2
1 = . 2
2
+
=
+
+
(
)
x
( x y
) 1
2
x
)( 1
x
y
(cid:219) -
Câu 14: Giải hệ phương trình
+ + y )
y
2
4
+ - x 1
(
-
+ = 3 y 0 4 Lời giải.
2
+
= thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành
v
Đặt
x
) 1
u
;
2
2
2
+ = y (
( x y )
(
)
2
2
+ = + (cid:219) v u + 2 u + uv 2 = 2 v + 2 u 2 v
+ (cid:219) - u v ( 2 ) = (cid:219) = (cid:219) u v 0 u + = v x y xy x
2
(
)
)( = (cid:219) 1
+
2
23
509
(
1 (cid:219) - - - x - + = (cid:219) y xy x 0 x x y 0
1
) = 2 . 5
3
x
= ⇒ - y
+ ⇒ 4 y
(cid:219) = y
2
10
y
20
+ = y
5 3
+ y
4
y= ta được
Xét trường hợp . - = x = y x ‡ y 5
Xét trường hợp x
(
)
(
( + -
)
x
x
x
x
x
+ - 1 x
+ = (cid:219) 3 x
) + + 4 3
+ 1
= 3
- - 2 4 4 0 1 4 4 0
(
)
x
+ + 4 x
= +
x
x
x + + 1
=
- 3 (cid:219) - 3 1 0 3 4 4
(
)
x
y
+ + 4 x
+
x
x
= 4
(cid:219) - ⇒ = x 3 1 0 3; 3 1 + + 1 4 3
+ 23 509 = = x 1; y (cid:218) = = x y 3 . Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là 10
Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
