Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2014-2015
Chương 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤT
2.1 Khái niêm :
Tĩnh học lưu chất:
- Lưu chất ở trạng thái cân bằng: (i) cân bằng tuyệt đối: đối với hệ tọa độ gắn liền với mặt đất;
(ii) Cân bằng tương đối: đối với hệ tọa độ gắn liền với vật chuyển động.
- Không có thành phần ứng suất tiếp → áp lực thủy tĩnh tác dụng vuông góc với thành rắn hoặc
mặt phân chia.
- Ta có thể xét khối thể tích lưu chất nằm trong mặt kiểm tra kín → áp dụng định luật Newton II
: “Tổng lực hoặc moment của ngọai lực tác dụng vào khối thể tích lưu chất cân bằng sẽ là
không” → tìm ra phương trình vi phân cân bằng → tích phân ta đạt được phương trình cân
bằng của lưu chất.
2.2 Áp suất thủy tĩnh :
2.2.1 Định nghĩa :
Xét một mặt phẳng phân cách trong môi trường chất lỏng hoặc thành rắn, áp suất thủy tĩnh p
tại một điểm M trong mặt này là giới hạn áp lực pháp tuyến do chất lưu tác dụng lên một đơn
vị diện tích bao quanh điểm đó, khi diện tích này tiến tới không.
9 Áp suất trung bình:
9 Áp suất tại một điểm:
(2.2)
9 Áp suất thủy tĩnh phụ thuộc vào không gian: p = f [M(x,y,z)].
2.2.2 Tính chất :
9 Áp suất thủy tỉnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực & hướng vào bên trong, nếu là
áp suất tuyệt đối hoặc áp suất dư dương.
9 Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ không phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích
chịu lực. Tham khảo sự chứng minh tính chất này ở mục 1.14 công thức (1.21), với p = σn.
2.2.3 Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không :
9 Áp suất tuyệt đối là áp suất được định giá trị trên cơ sở áp suất chân không tuyệt đối :
p tuyệt = 0 ⇔ áp suất ở điều kiện chân không tuyệt đối.
9 Đặt pa là gốc áp suất, thường là áp suất khí trời, áp suất dư được định nghĩa như sau:
)1.2(
A
F
ptb Δ
Δ
=
r
r
A
F
p
AM
AM Δ
Δ
=
Δ∈
→Δ
r
r
0
lim
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2014-2015
p dư = p tuyệt - pa (2.3)
Nếu như pdư < 0, đặt:
pck = - pdư = pa - ptuyệt (2.4)
Với pa là áp suất khí trời pck được gọi là áp suất chân không.
Lưu ý: áp suất chân không chỉ được định nghĩa khi áp suất dư âm, hoặc áp suất tuyệt đối nhỏ
hơn áp suất khí trời.
2.2.4 Thứ nguyên và đơn vị :
Thứ nguyên của áp suất: [p] = ][
][
A
F = ML-1T-2
Trong hệ SI, áp suất có đơn vị là N/m2 ( Pa ), các đơn vị khác là at, kgf/cm2, mH2O, mDầu,
mmHg…
1 at = 1 Kgf / cm2 ≈ 10 m H2O ≈ 735 mm Hg ≈ 9,81x104 Pa
2.3 Phương trình vi phân cơ bản tĩnh học lưu chất :
Giả sử môi trường lưu chất chịu tác dụng của lực khối lượng có vectơ đơn vị là F
r
=(Fx, Fy, Fz). Vì
khối chất lỏng đang ở trạng thái cân bằng, áp dụng định luật Newton II, ta có:
00 =∑⇒=∑ x
FF r
r
y
x
z
H.2.1
x
δ
z
δ
y
δ
).).(,,( zyzyxp
δ
δ
).}.(.),,({ zyx
x
p
zyxp
δδδ
∂
∂
+
A
EF
G
H
DC
B
F
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2014-2015
Xét hình chiếu vectơ lực lên trục OX :
- Lực khối :
ρ.δx.δy.δz.Fx
- Lực mặt :
+p(x,y,z).(δy.δz) – { p(x,y,z) +
x
p
∂
.δx}.(δy.δz) = -
x
p
∂
.δx.δy.δz
- Tổng hình chiếu của lực :
ρ.δx.δy.δz.Fx -
x
p
∂
∂.δx.δy.δz = 0
ρ.Fx -
x
p
∂
∂= 0 ⇔
x
p
∂
∂=ρ.Fx (2.5a)
Chứng minh tương tự cho hình chiếu lực lên các trục OY, OZ →
y
p
∂
∂= ρ.Fy (2.5b)
z
p
∂
∂= ρ.Fz (2.5c)
Từ các phương trình (2.5a, 2.5b & 2.5c) →
)( pdarg
r
= ρ.F
r
(2.6)
Nhơn (2.5a) cho dx, (2.5b) cho dy và (2.5c) cho dz, rồi cộng lại ta được :
x
p
∂
∂.dx + y
p
∂
∂.dy + z
p
∂
∂.dz = ρ.(Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz)
Mà dp =
x
p
∂
∂.dx + y
p
∂
∂.dy + z
p
∂
∂.dz (2.7)
hay
ρ
dp = (Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz) (2.8)
Phương trình (2.8) chỉ ra rằng vế phải phải là một vi phân toàn phần của một hàm số lực chỉ phụ
thuộc vào tọa độ U(x,y,z). Đặt : U(x,y,z) = -π (x,y,z). Hàm số π (x,y,z) được gọi là hàm số thế.
Phương trình (2.8) trở thành:
ρ
dp = dU = - dπ
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2014-2015
Với :
F
x = x
U
∂
∂= - x∂
∂
π
Fy = y
U
∂
∂= - y∂
∂
π
(2.9a)
Fz=z
U
∂
∂= - z∂
∂
π
Hoặc viết dưới dạng vectơ :
F
r
= )(Udarg
r
= - )(
π
darg
r
(2.9b)
Lực thỏa điều kiện (2.9a & 2.9b) được gọi là lực có thế (chẳng hạn trọng lực, lực quán tính).
Vậy lưu chất chỉ có thể đứng cân bằng khi lực khối lượng tác dụng là loại lực có thế
Phương trình (2.6) được viết lại là :
ρ.)(
π
darg
r
+ )( pdarg
r
= 0 (2.10)
2.4 Tĩnh học tuyệt đối (lưu chất cân bằng trong trường trọng lực) :
Xét hệ tọa độ Descartes có OXY là mặt phẳng nằm ngang, OZ thẳng đứng hướng lên. Lực khối F
r
(Fx, Fy, Fz) của trường trọng lực có giá trị như sau:
Fx = 0 ; Fy = 0 & Fz = -g (2.11)
Thế vào (2.9a):
Fz = - z
∂
∂
π
= -g → vì π chỉ phụ thuộc z nên: dπ = g. dz → π = g. z + C
ở z = zo → đặt π = πo → π = g. (z- zo) + πo
Nếu cho zo = 0 và πo =0, ta suy ra π = g.z, do đó:
→ F
r
= - ).( zgdarg
r
(2.12)
2.4.1 Phương trình thủy tĩnh (Phương trình cơ bản tĩnh học của lưu chất không nén được) :
Thế giá trị của lực khối F
r
(Fx, Fy, Fz) với Fx = 0 ; Fy = 0 & Fz = -g vào p/t (2.8), ta được :
ρ
dp = - g. dz → p = -ρ.g.z + C
Tại z = zo, → cho p = po → p = po + ρ.g.(zo – z)
Hay p* = p + ρ.g.z = po + ρ.g.zo = const (2.13a)
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – 2014-2015
Z : độ cao điểm xét so với mặt chuẩn (vị năng);
γ
p: độ cao đo áp (áp năng);
γ
*p: cột áp thủy tĩnh
(thế năng).
Hệ quả :
a) Mặt đẳng áp là mặt phẳng nằm ngang: p = const → z = const
b) Nếu ta có nhiều chất lỏng không hòa tan, khối lượng riêng khác nhau, đựng chung trong một
bình thì → Mặt phân chia giữa các chất lỏng là những mặt phẳng nằm ngang; chất lỏng nào
nặng hơn nằm bên dưới.
c) Độ chênh áp suất ΔpAB = pB - pA giữa hai điểm bất kỳ A và B (điểm A ở trên, B ở dưới) trong
cùng một lưu chất chỉ phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng giữa hai điểm đó.
ΔpAB = γ.hAB
hay pB = pA + γ.hAB (2.14a)
hAB : độ sâu của điểm B so với điểm A.
Hoặc:
pA = pB - γ.hAB (2.14b)
ABBA
AB
B
B
A
Ahzz
pp
z
p
z
p=−=
−
⇒+=+ )(
γγγ
)13.2(
*bconstz
pp =+=
γγ
H.2.1.a