Bài giảng Cơ học ứng dụng: Phần 3 - Huỳnh Vinh

Chia sẻ: Bánh Bèo Xinh Gái | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Cơ học ứng dụng: Phần 3 Động lực học, cung cấp cho người học những kiến thức như: Động lực học chất điểm; Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ; Các định lý của động lực học đối với cơ hệ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học ứng dụng: Phần 3 - Huỳnh Vinh

Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 627
* Nếu lực là trọng lượng, thì P = m. g 8.2 Trong đó: g là gia tốc trọng trường. P §1. Các định luật Newton g Mặt đất v C Tâm trái đất Khối lượng m quan hệ với trọng lượng P: P P = m. g ⇒ m = 8.3 g GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 628 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 630 1. Định luật 1 (Định luật cơ bản của động lực học) Dưới tác dụng của lực, chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc cùng Tham khảo cách tính gia tốc trọng trường g giá cùng chiều với lực tác dụng. F = m.a 8.1 F m2 m1.m2 m F F =G v F d2 Quỹ đạo chuyển động của chất điểm G: hằng số hấp dẫn m1 a d G = 6,67.10−11 ( N .m² / kg ²) Với: m là khối lượng của chất điểm – độ đo quán tính. F , a , v cùng thuộc mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại vị trí chất điểm GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 629 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 631
* Khi h
Xét hệ vật: 1. Dạng véc tơ P1 n Pn Xét chuyển động của chất điểm chịu tác dụng bởi ∑ F k : k =1 C Véc tơ định vị: r = r (t ) F 21 ɺɺ d 2 r z F1 P2 F 12 Gia tốc chuyển động: a = r = 2 (1) dt F2 (2) m Phương trình vi phân của chuyển động: Fn P3 n d 2r n Phân loại lực: P4 mr = ∑ F k ⇔ m 2 = ∑ F k ɺɺ 8.6 dt e k =1 k =1 r a Ngoại lực F k : các vật ngoài tác dụng lên hệ vật e F k ∼ ( P1 , P 2 ,..., P n ) Lưu ý: F k = F k (t , r , rɺ ) i O y Nội lực F k : các vật bên trong hệ tương tác nhau i F k ∼ ( F 12 , F 21 ) ∼ 0 x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 636 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 638 2. Dạng tọa độ Descartes: Chiếu phương trình 8.6 lên các trục của hệ trục tọa độ z  n  d x 2 n §2. Phương trình vi phân của  mx ɺɺ = ∑ Fkx m  dt 2 = ∑ Fkx F1  k =1  k =1 z (t ) F2 chuyển động điểm   my ɺɺ = ∑ n Fky ⇔  d2y  m 2 = ∑ n Fky m  k =1  dt k =1  n  d z 2 n Fn  mz = ∑ Fkz ɺɺ  m 2 = ∑ Fkz  k =1  dt k =1 a r 8.7 O y (t ) y x (t ) x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 637 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 639
3. Dạng tọa độ tự nhiên: 1. Bài toán thuận – Bài toán tìm lực (Trùng pháp tuyến) Định vị s = s (t ) b Biết chuyển động của chất điểm ( r , v , a ) , tìm lực tác dụng lên chất điểm. − n (Pháp tuyến) n +O * Cách giải quyết: Phép đạo hàm ∑ F kτ k =1 an b n O' Mặt phẳng mật tiếp Ví dụ: Cho chất điểm khối lượng m, chuyển động trên đường a Quỹ đạo n chuyển động cong phẳng. Tìm phản lực theo ϕ , biết ϕ = ϕ (t ), ϕ (0) = 0, ϕɺ (0) = 0. ∑F k =1 k m τ aτ n ∑F τ kn (Tiếp tuyến) ϕ R k =1  n  n  maτ = ∑ Fkτ  aτ = s , ɺɺ  msɺɺ = ∑ Fkτ  k =1  2  k =1  n  sɺ  sɺ 2 n  n ∑ Fkn ma = Vì  an = nên  m = ∑ Fkn  ρ 8.8  k =1  ρ k =1  n  ab = 0  n  b ∑ Fkb ma =  0 = ∑ Fkb  k =1  k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 640 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 642 Bài giải: n + Phân tích lực tác dụng lên chất điểm ( P , N ) + Viết phương trình vi phân chuyển động ϕ R ma = P + N (1) an §3. Hai bài toán cơ bản của động ⇒ m ( an + aτ ) = P + N N lực học aτ( gt ) Chiếu (1) lên các phương tiếp tuyến và bán kính : P τ  maτ = P.cos ϕ = mg .cos ϕ   man = N − P.sin ϕ = N − mg .sin ϕ  a = R.ϕɺɺ  mR.ϕɺɺ = mg .cos ϕ (a) Mà  τ 2 nên  2  an = R.ϕɺ  mR.ϕɺ = N − mg .sin ϕ (b) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 641 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 643
Giải phương trình (a): Bài giải: g mR.ϕɺɺ = mg .cos ϕ ⇒ ϕɺɺ = .cos ϕ + Phân tích lực tác dụng lên chất điểm ( P , T ) R + Viết phương trình vi phân chuyển động O dω g dω g ⇒ = .cos ϕ ⇒ d ϕ = .cos ϕ d ϕ ma = P + T (1) dt R dt R dϕ g g Chiếu (1) lên các phương tiếp tuyến: l ⇒ d ω = .cos ϕ d ϕ ⇒ ω d ω = .cos ϕ d ϕ ϕ an dt R R maτ = − P.sin ϕ = − mg .sin ϕ g 2g ⇒ ∫ ω d ω = ∫ cos ϕ d ϕ ⇒ ω 2 = sin ϕ + A T aτ( gt ) R R Mà aτ = l .ϕɺɺ và sin ϕ ≈ ϕ nên: m ϕ (0) = 0 2 2g g Với điều kiện biên  ⇒ A = 0. Do đó:ϕɺ = .sin ϕ ϕɺɺ +.ϕ = 0 ⇒ ϕɺɺ + k 2 .ϕ = 0 (a) ϕɺ (0) = 0 R l P Giải phương trình (b): N = 3mg .sin ϕ g Trong đó: k = l * Nếu bài toán yêu cầu viết mối quan hệ giữa ϕ và t – phương trình chuyển động thì: t ϕ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (a) 2g 2g dϕ 2g dϕ dϕ ϕɺ 2 = .sin ϕ ⇒ ϕɺ = .sin ϕ ⇒ = .sin ϕ ⇒ dt = ⇒ ∫ dt = ∫ R R dt R 2g .sin ϕ 0 0 2 g .sin ϕ ϕ (t ) = A.cos kt + B.sin kt R R GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 644 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 646 2. Bài toán ngược – tìm chuyển động Xác định A, B từ điều kiện ban đầu của chuyển động: Biết lực tác dụng lên chất điểm, tìm chuyển động ( r , v , a ). ϕ (0) = ϕ 0 (b)  * Cách giải quyết: Giải phương trình vi phân chuyển động.  v (0) = v0 (c) Giải điều kiện (b): ϕ (0) = ϕ 0 ⇒ A = ϕ 0 Ví dụ: Cho con lắc đơn dao động bé như hình vẽ. Tìm phương trình chuyển động của con lắc. Biết thời điểm khi t = 0, ϕ (0) = ϕ 0 , v (0) = v0 . Vận tốc của con lắc: v (t ) = ω (t ).l = ϕɺ (t ).l = − klA.sin kt + klB.cos kt O Giải điều kiện (c): v (0) = v0 ⇒ Bkl = v0 ⇒ B = v0 / kl l Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: ϕ v0 v ϕ (t ) = ϕ 0 .cos kt + .sin kt = (ϕ 0 ) 2 + ( 0 ) 2 .sin( kt + γ ) kl kl ϕ 0 kl m Với: γ = arctan v0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 645 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 647
Kéo lên nhanh dần đều, gia tốc Kéo lên chậm dần đều, gia tốc có chiều hướng lên có chiều hướng xuống T + mg = ma T + mg = ma ⇒ T − mg = ma Kéo đều: a =0 ⇒ T − mg = − ma ⇒ T = m( g + a ) T = mg ⇒ T = m( g − a) T T BÀI TẬP CHƯƠNG 8 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT a Hai bài toán cơ bản của động lực học m m a mg mg GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 648 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 650 Bài 8.1 Bài 8.2 Kéo vật nặng có trọng lượng P đi lên theo phương thẳng đứng bởi Một đoàn tàu chạy trên một đường ray thẳng đặt trên mặt phẳng một sợi dây mềm không trọng lượng với gia tốc là a = const. Hãy xác ngang. Lúc tàu đang có vận tốc là v0 thì tàu tắt máy đồng thời tiến hành định lực căng trong dây. Xem vật như là chất điểm. hãm phanh. Biết rằng tổng lực hãm phanh và cản khác là hằng số bằng 1/12 trọng lượng đoàn tàu. Yêu cầu, kể từ khi tàu tắt máy hãy xác định: 1. Phương trình chuyển động của tàu 2. Mất bao lâu để tàu dừng v 3. Quãng đường đi được đến lúc dừng * Hướng dẫn: N Vị trí và thời điểm tắt m x (t ) máy (x = 0, t = 0, v = v0) x m g O Fc mxɺɺ(t ) = − Fc ⇒ ɺɺx (t ) = − P 12  g  g  xɺ (t ) = − 12 t + A1  x (0) = 0  A2 = 0  v (t ) = xɺ (t ) = − 12 t + v0 ⇒  ⇒ →  x (t ) = − g t 2 + A t + A  xɺ (0) = v0  A1 = v0  x (t ) = − g t 2 + v t  24 1 2  24 0 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 649 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 651
Bài 8.3 Bài 8.4 Một chất điểm A có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng Một quả cầu nhỏ có khối lượng m buộc vào một đầu mút của lò xo nằm ngang có phương trình: có độ cứng là k, đầu kia cố định. Người ta kéo quả cầu khỏi vị trí cân  x A (t ) = R.cos kt bằng theo phương trục lò xo một đoạn là a rồi thả cho nó chuyển động.  Bỏ qua ma sát giữa quả cầu và mặt phẳng tựa, lò xo làm việc hoàn toàn  y A (t ) = R.sin kt đàn hồi. Yêu cầu lập phương trình chuyển động của quả cầu trong hai Hãy tìm những lực chưa biết tác dụng lên chất điểm. trường hợp: 1. Không kể đến cản của môi trường * Hướng dẫn: 2. Chịu cản từ môi trường có hệ số cản nhớt c, c < 4 mk . + Quỹ đạo chuyển động là đường tròn tâm O bán kính R trong hệ trục Oxy. N N + Các lực tác dụng lên chất điểm O m Fc F lx m Fc  Fx = − mRk 2 .cos kt x O x  m.ɺɺ x A (t ) = Fx   y A (t ) = Fy ⇒  Fy = − mRk 2 .sin kt  m. ɺɺ P P  Flx = kx x (t ) x (t )  ɺɺ    m. z A (t ) = Fz  Fz = 0  Fc = cxɺ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 652 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 654 z Bài 8.5 Trong mặt phẳng Oxy, lực tác dụng lên chất điểm là: Một chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của một lực theo phương ngang x là F = Qsin(kt) + Q. Tìm phương trình chuyển động Q = ( Fx , Fy ) của chất điểm biết khi t= 0(s) thì chất điểm ở vị trí x0 và có vận tốc v0. R Q = mRk 2 y Q N m kt F O x A x P * Hướng dẫn: F = ma ⇒ Q.sin kt + Q = mxɺɺ Theo phương z, lực chưa biết tác dụng v t lên chất điểm là lực hướng lên có độ Q Q Q ⇒ ɺɺ x= .sin kt + ⇒ ∫ dv = ∫ (sin kt + 1) dt lớn bằng trọng lượng của vật ( N = P). m m v0 m0 Q 1 t Q 1 1 ⇒ v ( t ) − v0 = ( − cos kt + t ) ⇒ v (t ) = ( − cos kt + t + ) + v0 m k 0 m k k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 653 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 655
1. Theo phương trình động lực học Q 1 1  ⇒ dx =  ( − cos kt + t + ) + v0  dt  ∑ Fx = ma x m k k   0 = mxɺɺ(t )  ⇒ x t Q 1 1   ∑ Fy = ma y  − mg = myɺɺ(t ) ⇒ ∫ dx = ∫  ( − cos kt + t + ) + v0  dt x0 0  m k k  x (t ) = 0  ɺɺ ⇒ Q 1 t2 1 t y (t ) = − g  ɺɺ ⇒ x (t ) − x0 =  ( − 2 sin kt + + t) + v0 t  m k 2 k 0 Lấy tích phân, ta có: Q 1 t2 1  v x (t ) = xɺ (t ) = C1 ⇒ x (t ) = ( − 2 sin kt + + t) + v0 t + x0  m k 2 k  v y (t ) = yɺ (t ) = − gt + D1  x (t ) = C1t + C 2   g 2  y (t ) = − 2 t + D1t + D2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 656 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 658 Bài 8.6 Tìm các hằng số tích phân từ điều kiện ban đầu của chuyển động Một vật nhỏ được xem như chất điểm có khối lượng m được ném  v x (0) = v0 C1 = v0 ngang từ độ cao h. Vận tốc ngay khi vật rời tay là v0. Yêu cầu:  v (0) = 0   y  D1 = 0 1. Viết phương trình chuyển động của vật.  ⇒ 2. Mất bao lâu thì vật tiếp đất?  x (0) = 0 C 2 = 0 3. Vật được ném xa bao nhiêu theo phương ngang?  y (0) = h  D2 = h 4. Ngay khi vật tiếp đất thì vật có vận tốc và gia tốc bao nhiêu? Thay tất cả vào phương trình vận tốc và phương trình chuyển động ta có: 5. Nếu vật được ném trong môi trường có cản với hệ số cản là c rất bé thì phương trình chuyển động của vật thế nào? + Phương trình chuyển động: y  x ( t ) = v0 t  g 2 t = 0 v0  1 2 ⇒ y = h − 2 x : phương trình quỹ đạo  y (t ) = h − 2 gt 2 v0 M ( x, y ) + Phương trình vận tốc: h  v x ( t ) = v0 mg  Sv giải tiếp x  v y (t ) = − gt O GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 657 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 659
2. Khối tâm của hệ Ký hiệu khối tâm: C a. Đối với hệ chất điểm (vật rắn) z * Dạng véc tơ: m1 n C ∑ mk .rk m2 rC = k =1 9.2 r1 rC M r2 Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học mn của các vật thể dưới tác dụng của lực. * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rn  1 n O y  xC = M ∑ mk . xk  k =1 x  1 n  yC = M ∑ m .y k k  k =1 9.3  1 n  zC =  M ∑ m .z k =1 k k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 660 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 662 1. Khối lượng của hệ Nói rõ hơn về khối tâm Chuyển động của một cơ hệ ngoài việc phụ thuộc vào lực tác dụng còn n phụ thuộc vào tổng khối lượng và phân bố các khối lượng của hệ đó. Khổi tâm C của hệ chất điểm là điểm thỏa mãn: ∑ mk .CM k = 0 k =1 Xét cơ hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng là m1, m2,..., mn. mk : khối lượng chất điểm thứ k Khối lượng của hệ: bằng tổng khối lượng của tất cả các phần tử hợp Mk : vị trí xác định chất điểm thứ k thành hệ đó. Xác định vị trí khối tâm C theo điểm quy chiếu O: M = ∑ mk ( k = 1, n ) 9.1 Với O là điểm xác định trong không gian thì: CM k = OM k − OC n n Từ ∑ mk .CM k = 0 ⇒ ∑ mk .(OM k − OC ) = 0 m1 m2 k =1 k =1 n n n m3 m4 ⇒ ∑ mk .(OM k − OC ) = 0 ⇒ ∑ mk .OM k − OC .∑ mk = 0 k =1 k =1 k =1 m5 n Đặt rk = OM k , rC = OC , M = ∑ mk , ta có: mn k =1 n n ∑m r k k ∑m r k =1 k k − rC .M = 0 ⇒ rC = k =1 M 9.2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 661 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 663
Chỉ tồn tại một khối tâm ứng với một trạng thái vị trí của hệ chất điểm: Ý nghĩa động học của khối tâm C Với điểm quy chiếu O: n ∑ mk rk Khi hệ chất điểm chuyển động (vật rắn, hệ vật rắn) Khối tâm C được xác định bởi: OC = rC = k =1 M + Quan hệ vận tốc giữa các chất điểm: n ∑ mk rk n n Giả sử tồn tại tâm C* nào đó khác tâm C, thì: OC * = rC * = k =1 M ∑ mk .rɺk ∑ m .v k k i rɺC = k =1 ⇒ vC = k =1 M M Như vậy rC = rC * , điều này chứng tỏ C trùng C* và dẫn đến kết luận tồn tại duy nhất một tâm. + Quan hệ gia tốc giữa các chất điểm: n n ∑ mk .ɺɺrk ∑ m .a k k i ɺɺ rC = k =1 ⇒ aC = k =1 M M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 664 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 666 b. Đối với hệ vật rắn * Trục trung tâm: là trục đi qua khối tâm C. Xét hệ gồm n vật rắn, vật rắn thứ k có khối lượng mk và khối tâm Ck. Gọi C và M lần lượt là khối tâm và tổng khối lượng của hệ vật rắn. * Dạng véc tơ: z n n ∑ mk .rCk ∑ mk .rCk m2 m1 rC = nk =1 = k =1 C1 M C2 z C ∑ k =1 mk 9.4 C C mn * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rC1 rC2 rC  1 n  xC = M ∑ mk . xCk Cn yC y  k =1 rCn  1 n xC O  yC = M ∑ mk . yC k 9.5 rC3 C3  k =1  1 n x z  C  = ∑ M k =1 mk . z Ck m3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 665 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 667
* Khối tâm của vật đồng chất: * Tính chất: - Nếu vật có mặt phẳng đối xứng thì khối tâm thuộc mặt đối xứng đó * Tổng quát: Trong hệ trục Oxyz gắng cố định đối với vật, tọa độ khối - Nếu vật có 3 mặt phẳng đối xứng thì khối tâm C là giao điểm của 3 tâm C:  mặt đối xứng đó.  ∫ (V ) x .dV ∫ (V ) x .dV ∫∫∫ x .dxdydz (V ) - Nếu vật là thanh thẳng mảnh thì khối tâm C là trung điểm của trục  xC = = = thanh.  ∫ dV V ∫∫∫ dxdydz - Nếu vật là dạng tấm phẳng có chiều dày không đổi – mặt trung bình  (V ) (V ) là mặt đối xứng thì khối tâm thuộc mặt trung bình (tấm mảnh là   ∫ (V ) y .dV ∫ (V ) y .dV ∫∫∫ y .dxdydz (V ) trường hợp đặt biệt của dạng tấm này). Khối tâm cần xác định là tâm diện tích hình học phẳng của mặt trung bình đối xứng, tọa độ tâm C  yC = = = được xác định theo công thức sau:  ∫ dV V ∫∫∫ dxdydz  (V ) (V )   ∫ z .dV ∫ z .dV ∫∫∫ z .dxdydz  zC = (V ) = (V ) = (V )   ∫ (V ) dV V ∫∫∫ dxdydz (V ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 668 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 670 Khi vật được tổ hợp cộng từ n khối hình con mà mỗi khối hình con thứ i biết Trong hệ trục phẳng chọn trước chứa y khối tâm Ci và thể tích Vi thì: mặt phẳng trung bình đối xứng của (F)  x C1V1 + x C 2 V 2 + ... + x C n V n vật, tâm C có tọa độ (xC,yC): dF  xC =  V1 + V 2 + ... + V n    yC = y C1V1 + y C 2 V 2 + ... + y C n V n  ∫ (F ) x .dF ∫ (F ) x .dF ∫∫ x .dxdy (F ) C  V1 + V 2 + ... + V n  xC = = =   ∫ dF F ∫∫ dxdy y z C V1 + z C 2 V 2 + ... + z C n V n  zC = 1  (F ) (F )  V1 + V 2 + ... + V n  x Lưu ý: Việc tổ hợp có thể là cộng hình kết hợp trừ hình. Giả sử cộng các hình  ∫ y .dF ∫ y .dF ∫∫ y .dxdy O x y = (F ) = (F ) = (F ) từ 1 đến k, trừ các hình từ k+1 đến n, thì công thức là:  C  ∫ dF F ∫∫ dxdy  ( x C1V1 + x C 2 V 2 + ... + x C k V k ) − ( x C k V k + x C k +1V k +1 + ... + x C n V n )  (F ) (F )  xC =  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n )  ( y C1V1 + y C 2 V 2 + ... + y C k V k ) − ( y C k V k + y C k + 1V k +1 + ... + y C n V n )  yC =  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n ) Lưu ý: Nếu mặt phẳng trung bình đối xứng của vật này có trục  ( z C1V1 + z C 2 V 2 + ... + z C k V k ) − ( z C k V k + z C k + 1V k +1 + ... + z C n V n )  zC = đối xứng thì tâm C thuộc trục đối xứng đó. Nhờ tính chất này ta  (V1 + V 2 + ... + V k ) − (V k +1 + V k + 2 + ... + V n ) biết được tâm của một số hình: tròn, vuông, elip, đa giác đều… GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 669 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 671
Khi mặt phẳng đối xứng này được tổ hợp cộng từ n hình con mà mỗi + Véc tơ mômen chính: hình con thứ i biết tâm Ci và diện tích Fi thì: ∞ ∞ M C = ∑ mC ( mk g ) = ∑ ( rk ∧ mk g )  x C1 F1 + x C 2 F2 + ... + x C n Fn k =1 k =1 x  C = F1 + F2 + ... + Fn ∞ ∞  = ∑ ( mk rk ∧ g ) = ( ∑ mk rk ) ∧ g = MrC ∧ g = 0 ∧ g = 0   y = y C1 F1 + y C 2 F2 + ... + y C n Fn k =1 k =1  C F1 + F2 + ... + Fn MC =0 Lưu ý: Việc tổ hợp có thể là cộng hình kết hợp trừ hình. Giả sử cộng các hình từ 1 đến k, trừ các hình từ k+1 đến n, thì công C C thức là: rk  ( x C1 F1 + x C 2 F2 + ... + x C k Fk ) − ( x C k Fk + x C k +1 Fk +1 + ... + x C n Fn )  xC = mk k  ( F1 + F2 + ... + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + 2 + ... + Fn )   y = ( y C1 F1 + y C 2 F2 + ... + y C k Fk ) − ( y C k Fk + y C k + 1 Fk +1 + ... + y C n Fn )  C ( F1 + F2 + ... + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + 2 + ... + Fn ) ∞  mk g R C = ∑ pk = P k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 672 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 674 * Thu gọn hệ trọng lượng của vật rắn: Khối lượng của vật rắn phân Trong trường trọng lực, khối tâm C trùng với trọng tâm G. bố theo không gian phân bố của vật chất. Ở đâu có khối lượng thì ở đó có trọng lượng. Trọng lượng là hệ lực song song hướng tâm trái đất * Trọng tâm G của vật là điểm đặt hợp trọng lực P của vật phân bố trên từng đơn vị thể tích. Khi tính toán, ta thu gọn về tâm khối lượng thì được một véc tơ chính (khác không) bằng tổng véc tơ trọng lượng thành phần, còn mômen chính bằng không. MC =0 C ≡G Tương đương Tương đương C Tương đương C C P ∞ P = ∑ pk k =1 pk RC = P P pk CM: Khi thu gọn hệ trọng lượng về khối tâm C, ta được: + Véc tơ lực chính: ∞ ∞ ∞ R C = ∑ p k = ∑ mk g = g ∑ mk = M . g = P ≠ 0 k =1 k =1 k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 673 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 675
3. Mômen quán tính của hệ c. Mômen quán tính trong hệ trục tọa độ Descartes a. Mômen quán tính đối với một điểm (mômen quán tính độc cực):  n n  x ∑ k x ∑ mk ( y k + z k ) 2 2 2 J = m d = * Đối với một chất điểm  k =1 k =1 z n n r   y ∑ k y ∑ mk ( xk + z k ) 2 2 2 J O = m.r 2 9.6 O m J = m d = 9.10  k =1 k =1  n n dz  z ∑ k z ∑ mk ( x k + y k ) 2 2 2 J = m d = mk ( xk , y k , z k ) * Đối với hệ chất điểm  k =1 k =1 m1 r1 n r2 n n dx dy J O = ∑ mk rk2 9.7 O m2 J O = ∑ mk rk2 = ∑ mk ( yk2 + xk2 + z k2 ) rk zk k =1 rn mn k =1 k =1 y O xk Jx + Jy + Jz x yk Bán kính quán tính ρΟ đối với điểm Ο: J O = M .ρ 2 JO = 9.11 O 2 Dấu của mômen quán tính đối với một điểm: luôn luôn dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 676 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 678 b. Mômen quán tính đối với một trục ∆: * Trường hợp đặc biệt z + Tấm phẳng mảnh: * Đối với một chất điểm ∆ Trong hệ trục Oxyz, giả sử mặt phẳng vật nằm J ∆ = m.d 2 y 9.8 d trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi đó ta có: m JO = J z O * Đối với hệ chất điểm ∆ x n d1 m1 J ∆ = ∑ mk d k2 9.9 d2 m2 Jx + J y + Jz k =1 mn Mà J O = dn 2 J x + J y + JO Nên J O = ⇒ JO = J x + J y = J z Bán kính quán tính ρ∆ đối với trục ∆: J ∆ = M .ρ 2 2 ∆ Dấu của mômen quán tính đối với một trục: luôn luôn dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 677 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 679
+ Thanh thẳng mảnh: z * Mômen quán tính đối với hệ trục phẳng trong hệ trục Descartes Trong hệ trục Oxyz, giả sử trục thanh trùng (mômen quán tính ly tâm) với trục Oz, với t là trục bất kỳ nằm trong mặt  n Oxy và đi qua O, ta có kết quả sau: y J  xy = J yx = ∑ mk xk y k  k =1 Jz = 0  n  J xz = J zx = ∑ mk xk z k 9.14 J x = J y = Jt = JO O t  k =1  n Dấu: hoặc dương hoặc âm hoặc bằng 0  J yz = J zy = ∑ mk yk z k x  k =1 + Trục quán tính chính Trục x là trục quán tính chính khi J xy = J xz = 0 9.15 Trục y là trục quán tính chính khi J yx = J yz = 0 9.16 Trục z là trục quán tính chính khi J zx = J zy = 0 9.17 + Trục quán tính chính trung tâm: là trục vừa là trục trung tâm vừa là trục quán tính chính. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 680 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 682 * Các bán kính quán tính khối lượng đối với gốc tọa độ và đối với * Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính các trục tọa độ Z Có thể viết lại  JO z  ρO =  M  J O = M .ρ O2 Zk d Zz  Jx  2 ρx = zk  J x = M .ρ x  M mk  2 ⇒ 9.12  J y = M .ρ y  Jy  J = M .ρ 2 ρ y = M c  z z  yk Jz O  Trong đó:  ρ z = M xk d Yy y I x b Yk - Bán kính quán tính khối lượng đối với tâm O: ρ O Y - Các bán kính quán tính khối lượng đối với các trục: ρ x , ρ y , ρ z a d Xx ρ x2 + ρ y2 + ρ z2 Xk 2 ρ =O 9.13 2 X GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 681 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 683
+ Tịnh tiến hệ trục IXYZ theo véc tơ OI được hệ trục Oxyz. Trong hệ - Mômen quán tính đối với trục Z: trục IXYZ, tọa độ của O là (a,b,c). n n J Z = ∑ mk ( X k2 + Yk2 ) = ∑ mk  ( a + xk ) 2 + (b + yk ) 2  - Mômen quán tính đối với trục X: k =1 k =1 n n n J X = ∑ mk (Yk2 + Z k2 ) = ∑ mk  (b + y k ) 2 + (c + z k ) 2  = ∑ mk  ( a 2 + 2 axk + xk2 ) + (b 2 + 2byk + y k2 )  k =1 k =1 k =1 n = ∑ mk  (b 2 + 2byk + yk2 ) + (c 2 + 2cz k + z k2 )  = ( a 2 + b 2 ) M + 2 a.MxC + 2b.MyC + J z k =1 = d Zz2 M + 2 a.MxC + 2b.MyC + J z = (b 2 + c 2 ) M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x 2 = d Xx M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x Nếu trục x là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: yC = 0, zC = 0. Nếu trục z là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: xC = 0, yC = 0. 2 Khi đó:J X = J x + d Xx M Khi đó: J Z = J z + d Zz2 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 684 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 686 - Mômen quán tính đối với trục Y: * Định lý Steiner-Huygens: Mômen quán tính của vật đối với một trục n n Z nào đó bằng mômen quán tính đối với trục z đi qua khối tâm và song J Y = ∑ mk ( X + Z ) = ∑ mk  ( a + xk ) 2 + (c + z k ) 2  2 k 2 k song với Z cộng với tích khối lượng của vật với bình phương khoảng k =1 k =1 cách giữa hai trục. n z = ∑ mk  ( a 2 + 2 axk + xk2 ) + (c 2 + 2cz k + z k2 )  2 J Z = J z + d .M 9.18 Z k =1 = ( a 2 + c 2 ) M + 2 a.MxC + 2c.MzC + J y Trong những trục song song nhau, trục đi qua khối tâm có mômen quán tính bé nhất. = d Yy2 M + 2 a.MxC + 2c.MzC + J y C d Nếu trục y là trục trung tâm (trục đi qua khối tâm C) thì: xC = 0, zC = 0. Khi đó: J Y = J y + d Yy2 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 685 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 687
* Công thức mômen quán tính đối với trục bất kỳ đi qua gốc tọa độ. + Mômen quán tính đối với trục L có công thức sau: J L = J x .cos 2 α + J y .cos 2 β + J z .cos 2 γ z L + Ta có: −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα rk = xk .i + y k . j + z k .k zk dz Có thể viết dưới dạng sau: rk = OH k + H k I k mk  cos 2 α   cos α .cos β  + Chiếu (*) lên trục L: Hk Ik   [ J L ] =  J x Jy J z  .  cos 2 β  − 2  J xy J yz J zx  .  cos β .cos γ  k   xk .c osα + y k .c osβ + z k .c osγ = OH k γ dy  cos 2 γ   cos γ .cos α  dx rk   α β J L = Det [ J L ] j yk y O xk i x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 688 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 690 + Mômen quán tính đối với trục L: 4. Mômen quán tính của vật rắn thường gặp J L = ∑ mk ( I k H k ) 2 = ∑ mk ( I k H k ) 2 = ∑ mk  rk2 − (OH k ) 2  4.1. Thanh mảnh thẳng đồng chất: (M,l) z' z = ∑ mk  xk2 + yk2 + z k2 − ( xk .c osα + yk .c osβ + z k .c osγ ) 2   1  J z ' = J A = M .l 2 C 3 A B = ∑ mk  x (1 − cos α ) + y (1 − cos β ) + z (1 − cos γ )  2 2 2 2 2 2  9.19 l/2 l/2  J = J = 1 M .l 2 k k k −2 ∑ mk ( xk yk .c osα c osβ + xk z k .c osα c osγ + y k z k .c osβ c osγ )  z C 12 Do cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, nên: (Xem phần chứng minh cuối bài ) J L = ∑ mk  xk2 (cos 2 β + cos 2 γ ) + y k2 (cos 2 α + cos 2 γ ) + z k2 (cos 2 α + cos 2 β )  −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα Do xk2 + yk2 = d z2 , xk2 + z k2 = d y2 , yk2 + z k2 = d x2 , nên: J L = ∑ mk  d x2 cos 2 α + d y2 cos 2 β + d z2 cos 2 γ  −2 J xy c osα c osβ − 2 J yz c osβ c osγ − 2 J zx c osγ c osα GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 689 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 691
Thanh mảnh thẳng đồng chất AB có khối lượng M, chiều dài l 4.3. Đĩa mảnh tròn đồng chất : (M,R) B Đĩa mảnh nằm trong mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k bất kỳ thuộc k1 d1 mặt phẳng Cxy, đi qua tâm. z B z'  1 2  J C = J z = 2 M .R 9.21 k2 A d2  C  J = J = 1 M .R 2 = J  x y 4 k z A mp (α ) mp ( β ) (Xem phần chứng minh cuối bài ) AB ⊥ mp (α ) AB ⊥ mp ( β ) C : Khối tâm (trung điểm của AB) y C R (Cz , Ck1 , Ck 2 ) ⊂ mp (α ) ( Az ', Ad1 , Ad 2 ) ⊂ mp ( β ) x 2 2 Ml Ml J C = J Cz = J Ck1 = J Ck2 = J A = J Az ' = J Ad1 = J Ad 2 = k 12 3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 692 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 694 4.2. Vành mảnh tròn đồng chất : (M,R) 4.4. Khối cầu đặc đồng chất: (M, R) – gốc tọa độ của hệ trục Cxyz Vành mảnh nằm trong mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k bất kỳ thuộc là khối tâm C. z mặt phẳng Cxy, đi qua khối tâm. 2 y Jx = Jy = Jz = MR 2 9.22 5  J C = J z = M .R 2 C  3 x  1 9.20 z J C = MR 2 2  J x = J y = M .R = J k 5  2 (Xem phần chứng minh cuối bài ) Với trục k bất kỳ đi qua khối tâm C thì y 2 C R J k = J x = J y = J z = MR 2 5 x k (Xem phần chứng minh cuối bài ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 693 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 695
4.5. Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất: (M,a,b) Sinh viên có thể chứng minh các kết quả trên cách đơn giản như sau O a 1. Thanh mảnh thẳng đồng chất (M, l)  1 2 y  J x = 3 M .a z' z z'  b C y dM  1 2 0 C  J y = M .b 9.23 A B A  3 l/2 l/2 x dx  1 2 2 x x  J O = J z = 3 M .( a + b ) 0 J A = J z' - Cứ chiều dài l thì có khối lượng M   JC = J z - Vậy đoạn dài dx thì có khối lượng dM = Mdx/l  1 O 2 * Xét đoạn dài dx cách A đoạn x có khối lượng dM  J x0 = 12 M .a a  z * Mômen quán tính đối với trục z’ được xác định bởi:  1 b Mx 2 dx M 2 l 1 2 l2 1  J y0 = M .b 2 9.24 C J z ' = ∑ x 2 dM = ∑ = ∫ x dx = Ml ⇒ J = J + M ⇒ J z = Ml 2  12 y l l 0 3 z ' z 4 12 z 1 0  2 2  1 2  J C = J z0 = 12 M .( a + b ) x y 0  J A = J z ' = 3 Ml * Kết quả:  x 0  J = J = 1 Ml 2 (Xem phần chứng minh cuối bài )  C z 12 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 696 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 698 y 2. Vành mảnh tròn đồng chất (M, R): 4.6. Trụ rỗng mỏng đồng chất: (M, R) z y x  1 2 h 2 J x = J y = M (R + ) 9.25 C z dM  2 6  J = MR 2 C x  z R y h/2 C R h x y k 4.7. Trụ đặc đồng chất: (M, R) * Vai trò trục x và y là như nhau nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = 2 J x = 2 J y  2 x 1 2 h * Xét đoạn vành dài dS, bán kính R, khối lượng dM  J x = J y = 4 M ( R + 3 ) C z * Mômen quán tính đối với tâm C của vành tròn xác định bởi:  9.26  J = 1 MR 2 J C = ∑ R 2 dM = MR 2  z 2 h/2 1 * Kết quả: J C = J z = MR 2 , J x = J y = MR 2 = J k (Xem phần chứng minh cuối bài ) h 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 697 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 699
3. Đĩa mảnh tròn đồng chất 5. Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất z y O a * Xét vi phân chữ nhật tấm tại tọa độ z (x,y) có các cạnh dx và dy: dM b + Diện tích dS = dx.dy C x C y + Khối lượng dM = Mdx.dy/(a.b) y x z 0 C R dx x y O x 0 y k - Cứ diện tích πR2 thì có khối lượng M x 0 dM x - Vậy diện tích 2πxdx thì có khối lượng dM = 2Mxdx/R2 dx * Vai trò trục x và y là như nhau nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = 2 J x = 2 J y  J C = J z0 = J x0 + J y0 y dy * Xét vành tròn bán kính x, dày dx, khối lượng dM.  JO = J z = J x + J y x * Mômen quán tính đối với tâm C của đĩa được xác định bởi:  2 Mx 3 dx 2 M 3 1 R  J x = J x + ( a )2 M J C = ∑ x dM = ∑ 2 2 = 2 ∫ x dx = MR 2  0 2 R R 0 2  b 1 1 * Kết quả: J C = J z = MR 2 , J x = J y = MR 2 = J k  J y = J y0 + ( ) 2 M 2 4  2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 700 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 702 4. Khối cầu đặc đồng chất: z + Mômen quán tính đối với trục Ox của tấm được xác định bởi: b a y M M 1 J x = ∑ y 2 dM = ab (∫∫ ∫ * Vai trò trục x, y và z là như nhau nên J x = J y = J z y 2 dxdy = dx ∫ y 2 dy = Ma 2 S) ab 0 0 3 Jx + Jy + Jz + Mômen quán tính đối với trục Oy của tấm được xác định bởi: JC = C 2 x M M 2 b a 1 J y = ∑ x 2 dM = ab (∫∫ ∫ x 2 dxdy = x dx ∫ dy = Mb 2 S) ab 0 0 3 * Xét vỏ cầu có bán kính x, dày dx, khối lượng dM + Mômen quán tính đối với trục Cx0 của tấm được xác định bởi: - Cứ thể tích V =4πR3/3 thì có khối lượng M - Vậy thể tích vỏ cầu dV = 4πx2dx thì có khối lượng dM = 3Mx2dx/R3. a 1 1 1 1 J x = J x0 + ( ) 2 M ⇒ J x0 = J x − Ma 2 = Ma 2 − Ma 2 = Ma 2 2 4 3 4 12 * Mômen quán tính đối với tâm C khối cầu được xác định bởi: + Mômen quán tính đối với trục Cy0 của tấm được xác định bởi: R 3M 4 3M 3 b 1 1 1 1 J C = ∑ x 2 dM = ∑ x dx = ∫ 3 x 4 dx = MR 2 J y = J y0 + ( ) 2 M ⇒ J y0 = J y − Mb 2 = Mb 2 − Mb 2 = Mb 2 R3 0 R 5 2 4 3 4 12 2 Jx = Jy = Jz = MR 2 5 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 701 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 703