Chương III: Những khái niệm cơ bản về Quang phi tuyến - SHG

3.1 Sự phân cực điện môi trong trường Điện từ • 3.1.1 Hệ phương trình Maxwell trong môi trường

 Erot



 B   t

 0Bdiv  Ddiv

  jHrot 

 D   t

phi tuyến

)

 D  B  j

  PE   0   (0    MH   E

• Hệ phương trình vật chất

0 (0

 P  D

  E

1[0

 ) EE   (  )] EE  E

)]

 1[0 (

• Độ phân cực vĩ mô của môi trường

3.1.2 Mẫu dao động điện tử phi tuyến

• Pt chuyển động của e trong nguyên tử dưới tác

2

x

E

2  0

x 2

  t

e m

dụng của điện trường

xm 2

0

• eE là lực do điện trường của á.s t/d lên e • là lực do các hạt nhân t/d lên e, tương

2x2)

đương lực đàn hồi, liên kết thế năng:

V(x) = ½(m0

Đối với tinh thể bất đối xứng, thế năng của e trong

2

3

4

xV )(

Ax

Bx

...

2  xm 0

1 2

tinh thể có dạng

2

3

xV )(

V

)0(

x

x

x

...

dV dx

1 !2

1 !3

2 Vd 2 dx

3 Vd 3 dx

  

  

x

0

  

  

  

  

x

0

x

0

• Khai triển thế năng V(x) theo chuỗi Taylor:

2

3

F





3

Ax

4

Bx

...

2  xm 0

dV dx

• Lực thế F tương ứng có dạng:

2

3

x

x

x

...

tE )(

2  x 0

A 3 m

B 4 m

e m

• Phương trình chuyển động của e:

Lời giải nhiễu loạn của pt dao động

phi tuyến

x2

0

• Thông thường 3(A/m)x2 << • Số hạng phi tuyến chỉ đáng kể khi x (độ dịch

chuyển của điện tử) đủ lớn, tức là cường độ điện trường áp vào đủ lớn.

2

 x

x

ax

E

cos

 t

2  0

0

e m

)( tE

cos t

• Khảo sát pt dđ đt phi tuyến

/3

a

0 E

• Trong đó và mA

2ax

)()1( t

x

)1(

)1(  x

x

E

cos

 t

2  0

0

e m

• Số hạng là nhỏ, có thể xem là nhiễu loạn nhỏ của pt tuyến tính. Gọi là gần đúng bậc nhất của x, ta có:

)1(

x

)( t

E

cos

 t

0

2

/ me 2   0

x

)()2( t

• Lời giải có dạng

• Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là

x

)()2( t

• Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là

  2

  2

  1

 x

t )(

x

t )(

E

cos

 t

t )(

 xa

2

2  0

0

e m

nhận được từ pt

2

2

2

  1

)( t

E

cos

 t

 x

2 0

me / 2 2   0

   

• Ta có

cos

2

     12/1

x

pt trên trở thành • Từ cos 2 x

cos 2

2

 12/1

2

2

  2

2cos

 t

  2  x

)( t

x

)( t

cos

 t

2 E 0

2 E 0

2  0

E 0

a 2

a 2

e m

x cos  me /   2 2    0

   

 me /   2 2    0

   

pt trên trở thành • Từ  x

2

2

  2

x

)( t

cos

 t

2cos

 t

E 0

2 E 0

2 E 0

a 2

1  4

/ me 2 2   0

/ me a 2 2  2  0

2 0

2 0

  

  

 / me  2 2 2    0

  

• Lời giải của pt là

 t i

 t i

 i

)( tE

Re(

2/1)

t

eE 

 eE 

 eE 

• Nếu viết điện trường dưới dạng phức:

• Pt có dạng

2

 i t

 i

 x

x

ax

t

2  0

 eE 

 eE 

e 2 m

• Tương tự, ta có lời giải:

 i  t

 2 ti 

2 i 

  2

x

)( t

t

0

  t i  e 

  e 2 

  e  2

1    e  2

1 2

2

2



E

 0

a me / 2 2   2 0

2 0

  

  

E

 

/ me 2 2   0

2



E

 2 

2 

a 2

1  4

2 0

 me /   2 2 2    0

   

• Trong đó:

3.1.3. Độ phân cực phi tuyến

• Độ phân cực P của moment lưỡng cực trên một

đơn vị thể tích:

P = Nex

x 

)2(x

)2(

)2(

P

Nex

Với độ phân cực tương ứng là

z 

E

ikezE )(

2

2

• So sánh với (2.2.9), ta có:  (2.3.3)



zE )( 

 0

a me / 2 2   2 0

2 0

 • Do đó (2.2.12) có dạng: •   

  

z 

(2.3.4a)

ikezE )(

 

/ me 2 2 0  

2

z 

• (2.3.4b)



 2 

2 

a 2

1  4

2 0

 / me  2 2 2    0

  

• (2.3.4c) ikezE 2 )(

i

 (

)

i

 (

)2(

NL

)

)

 zkt 

 zkt 

P

tz ),(

e

)

( P 0

( L P 

i (2

)

i (2

 zkt 

 zkt 

e

)

 ) ( NL P  2

1  ( L ) eP  2 1  ( NL ) eP  22

• Do đó độ phân cực trở thành:

3

2

)

zE )(

P NL ( 0

2

2

)

   2 0

Nae 2 ( 0

3

)

P L ( 

zE )( 

m 2 Nae 2 2   0

3

)

E

z )(

( P NL  2

2  2

2

Nae 2  ( )(

 4 

22 )

2

m

2 0

2 0

• Trong đó:

3.2. Sự tương tác phi tuyến của trường điện từ

2

2

2  E

 0

 0

E 2

P 2

  t

  t

• Từ pt Maxwell:

 i

2(

 kt

)

i

2(

 kt

z  2

z  2

E

ez )(

 E  2

• Trong đó, độ phân cực P có số hạng phi tuyến bậc hai tác động như một nguồn phát xạ sóng có tần số 2 . Điện trường của sóng này có thể viết dưới dạng:

 ezE )(  2

)

2/1

n

)2(

/

)

2(

n

c

1 2 k

 ( 0

 2

2

• Với và    /2).

• Giả sử E2(z) biến đổi chậm theo trục z, ta có thể bỏ qua đạo hàm bậc

2

•

2(

t

z

)

2

  k

2

E

2(

ik

)

 ie

2

2 Ek  2

2

E 2

hai của E2 (z), khi đó:  

z

2(

)

 kt  z

2

 2(

ik

ie

)

 2

2 Ek  2

 2

1 2 1 2

dE 2 dz  dE 2  dz

i

2(

 t

k

z

)

i

2(

 t

k

z

2

2



ez )(

E

ez )(

 0

2

0

2

 2  2 E

)

E 2

• Mặt khác: 2  

t

• • Thay vào pt Maxwell, rút gọn và tách thành các pt riêng cho mỗi tần

số ta được hệ 2 pt

dE

kz

0

i

Ed

iez )

(2 

2 dz

 

2

• Pt đối với tần số 2 có dạng:

d

 k

n

n

k

  2

  2 0

0

k 2 2 • Và  giả sử E giảm không đáng kể (=hằng), tích phân * ta có:

z

i

kz

'

i

kz

0

0

E

(

z

)

i

Ed

)0(

e

dz

'

i

Ed

)0(

1

 e

2

2 

2 

 

1 

i

k

 

  

  

2

2

• Với là hệ số phi tuyến bậc hai

 i

kz

2/

e

i

kz

 i

kz

2/

 i

kz

e

 e

  1

 e

2/

1  ki

 ki

2/

e kz  i 2

sin

kz

1 2

sin

kz

2/

1 2

i ze kz 

kz

1 ki       

1 2

• Trong đó

sin

kz

i

kz

2/

0

1 2

E

(

z

)

i

Ed

)0(

ze

2

2 

 

2

kz

           

1 2

     

• Nên

3.3 Phát sóng hài bậc hai - SHG (Second harmonic gernegation )

• Thực nghiệm SHG được Franken và cộng sự

công bố lần đầu tiên vào năm 1961: dùng bức xạ laser Ruby ( = 6943 Ao) chiếu vào tinh thể quartz, chùm tia ra có bức xạ  = 3471 Ao

2

2

2

sin

kL

4

2

d

2

1 2

)0(

E

E

L

L

(

)

2

 0 

2

kL

1 2

      Cường độ của sóng  và 2 là:

2

2

I

E

(

z

)

I

E

(

z

)

2

2

1 2

 2 

1 2

 

0

0

• Nếu chiều dài tinh thể là L (z=L), ta có:      

2

2

2/3

sin

kL

sin

kL

2

1 2

1 2

I

2 

2 Id

)0(

2 L

I

)0(

2 L

 2

2 

2 

2

2  d (  )2() n

n

 0  0

2/3  2 0   2 

  2 

  

kL

kL

1 2

1 2

     

     

     

     

• Do đó:

2

2/3

sin

kL

2

1 2

)0(

2 L

eSHG

I 

2

n

 0  0

  2 

  

kL

     

1 2

     

2

)0(

2 L

eSHG

I 

2  d 3 n

 0  0

2

  2  

sin

kL

2

• Hiệu suất biến đổi SHG: 2 I L )(  d •  2 I )0( )2()(  n 

x

1 2

lim

1

0

x

2

sin x

kL

• • Khi

     

1 2

• Hiệu suất đạt cực đại và có giá trị: 2/3         

• Ví dụ L=1cm; d=4.10-24; n=1,5; I(0)=108W/cm2; eSHG=37%

3.4 Điều kiện đồng bộ không gian (Sự hợp pha)

2

x

0

2

d dx

sin x

  

  



kL

0

k

• Điều kiện cực đại của hàm sin2x/x2:



 n

L c

 n k 

kL Chọn n=1

Zn 

Lc

 k 

Là nghiệm của của phương trình siêu việt x = tgx 0 và

x

4,49

7,73

10,10

0

2

0,047

0,016

0,008

1

x

2

sin x

• Bảng giá trị và vị trí các cực đại của hàm

sin2x/x2.

k 

k

2

)2(

n   )

(

 0 

 n

k 

 2

 4 

• Xét điều kiện:

k

k 

n   )

)2(

0

2

k

(

 n

 2

 4   Do đó điều kiện trên không thỏa mãn trong môi trường tán

sắc bình thường (có chiết suất n() tăng khi  tăng)  Trong môi trường tinh thể lưỡng chiết, điều kiện trên có

thể thỏa mãn

n

 ( )

e

  o n ) (

• Xét tinh thể đơn trục âm KDP:

• Trong đó ne() và no() là chiết suất của tinh thể ứng với tia bất thường và tia thường đối với sóng có tần số .

• Dựa vào ellipsoid chiết suất ta tìm được hướng

truyền của tia tới lập với trục quang học một góc θ thỏa mãn công thức:

• Gọi θ là góc của hướng truyền hợp với quang trục, ta có

2

2

n

cos n

sin n

1 2  )( e

2 o

2 e

công thức:

 2

 2

2

 0

sin

 d

2

 n  n

 

  2 n 0  n

 2 E

 2 0

2 sin

kL

1 2

P

  2 )(

2



 2 P max

 2

  2  2 Pc  2 P max

2 sin 

1 2

  

 kL  

• Góc thỏa mãn điều kiện hợp pha θd, ta có:

3.5. SHG với chùm Gauss

2 / 2 wr 0

rE )( 

oeE

• Trong thực tế, chùm laser có dạng chùm Gauss:

2

P

E

dxdy

E

2 0

1 2

2  w 0 4

  0

  0

S

  

  

• Công suất của chùm tia:

2

2/3

sin

)

)

 ( 3

 ( 1

2  3

)

2

 ( 1

2 2 Ld 3 n

P P

 0  0

P 2  w 0

  2 

  

   

   

kL  2   

kL    2 

• Thay vào trên, ta có:

• Trong đó 3 = 2 1