zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 2 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Biến ngẫu nhiên" cung cấp cho người đọc các nội dung: Biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất, các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 2 - Nguyễn Phương

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN NGUYỄN PHƯƠNG Bộ môn Toán kinh tế Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 27 tháng 5 năm 2024 1
1 Biến ngẫu nhiên Giới thiệu Định nghĩa Phân loại biến ngẫu nhiên 2 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối xác suất 3 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất Median - Trung vị Expectation - Kỳ vọng Variance - Phương sai
Biến ngẫu nhiên Giới thiệu Trong nhiều trường hợp, khi quan sát/nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, người quan sát/nhà nghiên cứu quan tâm đến đặc trưng được diễn tả bởi các con số. Chẳng hạn: ➤ Số khách hàng đến mua hàng tại siêu thị A trong ngày hôm nay −−→ gọi X là số khách hàng đó −− ➤ Trò chơi: Có 3 quân bài đỏ và 5 quân bài đen, người chơi bốc ngẫu nhiên ra 3 quân bài. Nếu bốc được quân bài đỏ thì được 7$, nếu bốc phải quân bài đen thì mất 5$. Gọi Y là số tiền nhận được sau một lần chơi. Theo bạn, có nên tham gia trò chơi này không? ➤ Tung một con xúc xắc 6 mặt. Gọi X là số chấm của mặt xuất hiện. Hình 1.1: Mô tả biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực. X : Ω −→ R ω −→ X(ω) Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω). Ví dụ: 1 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc. Ta có X : ω = (ω1 ; ω2 ) −→ ω1 + ω2 2 Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được Ω={"Kém","Bình thường","Tốt"}. Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R X("Kém")= - 1, X("Bình thường")=0, X("Tốt")=1. 4
Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại: Định nghĩa 1.2 (Biến ngẫu nhiên rời rạc) Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. X là bnn rời rạc {x1 , x2 , . . . , xn } , Ω có n phần tử. ⇔ X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} , Ω có vô hạn phần tử đếm được. Định nghĩa 1.3 (Biến ngẫu nhiên liên tục) Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục, tức là tập giá trị chứa một khoảng liên tục. Ví dụ 1.1 1 Tung 3 con xúc xắc cân đối. Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc xắc. 2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X). 3 Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến 3,9m. Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu nhiên.
Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó. Ví dụ 2.1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. a) Xác định tập giá trị của biến ngẫu nhiên X. b) Tính các xác suất P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2). Giả sử biến ngẫu nhiên X có: Bảng phân phối xs của X: ⋆X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn } X x1 x2 ... xn −− − − −→ ⋆P(X = x1 ) = p1 , . . . , P(X = xn ) = pn P p1 p2 ... pn 6
Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Ví dụ 2.2 Tiếp tục ví dụ 2.1 a) Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Tính xác suất P(−1 ≤ X ≤ 1). Tính chất 2.1 i) pi ≥ 0 với mọi i. ii) pi = p1 + · · · + pn = 1. tất cả i iii) P(a ≤ X ≤ b) = pi , xi ∈ X(Ω). a≤xi ≤b Ví dụ 2.3 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì dừng. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần.
Phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Hàm số y = f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu: i) f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R +∞ ii) f(x)dx = 1. −∞ b iii) P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx. a Ví dụ 2.4  cx2  nếu 0 ≤ x ≤ 1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: f(x) =   0  nếu x [0, 1] a) Xác định c. b) Tính P(0, 4 ≤ X ≤ 0, 6).
Phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Tính chất 2.2 Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ f(x). Khi đó, a i) P(X = a) = f(x)dx = 0 a b ii) P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx a Ví dụ 2.5 nếu x < 1   0  Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f(x) =  c    2 nếu x ≥ 1 x a) Xác định c. b) Tìm P(−1 ≤ X < 2).
Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.1 (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX (x), là hàm được xác định bởi: FX (x) = P(X < x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞ đến x. Nếu X là bnnrr thì FX (x) = P(X = xi ) = pi . xi
Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ 2.6 Tiếp tục ví dụ 2.1 a) Tìm hàm phân phối xác suất của X. b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được. Ví dụ 2.7 Tiếp tục ví dụ 2.4. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Ví dụ 2.8 Tiếp tục ví dụ 2.5. Tìm hàm phân phối xác suất của X. 11
Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Tính chất 2.3 i) 0 ≤ F(x) ≤ 1 ii) F(x) là hàm không giảm iii) F(−∞) = 0, F(+∞) = 1. iv) P(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = F(b) − F(a). Tính chất 2.4 Với biến ngẫu nhiên rời rạc: pi = F(xi+1 − F(xi ) Với biến ngẫu nhiên liên tục: i) F(x) là hàm liên tục trên R. ii) F′ (x) = f(x) tại những điểm f(x) liên tục. 12
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất Định nghĩa 3.1 (Mode - Giá trị tin chắc nhất) Mode của bnn X, kí hiệu là Mod(X). Nếu X là bnnrr: ModX là (các) giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong 1 phép thử. ModX = xk ⇔ pk = max pi i∈I Nếu X là bnnlt: ModX là giá trị mà tại đó hàm mật độ xác suất đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 3.1 Tiếp tục ví dụ 2.1. Xác định giá trị tin chắc nhất của X.
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Median - Trung vị Định nghĩa 3.2 (Median - Trung vị) Median của bnn X, kí hiệu là Med(X), là giá trị trung vị của bnn X, là giá trị chia đôi phân phối xác suất của X. Nếu X là bnnlt: MedX = a ⇔ FX (a) = 0, 5. P(X < a) ≤ 0, 5 Nếu X là bnnrr: MedX = a ∈ X(Ω) ⇔ . P(X > a) ≤ 0, 5 Ví dụ 3.2 Tiếp tục ví dụ 2.4. Xác định MedX. 14
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng Định nghĩa 3.3 (Expectation - Kỳ vọng) Kỳ vọng của bnn X, kí hiệu là E(X), là giá trị trung bình theo xác suất của bnn X. Nếu X là bnnrr: E(X) = x1 .p1 + x2 .p2 + . . . + xn .pn = xi .pi tất cả i +∞ Nếu X là bnnlt: E(X) = xf(x)dx −∞ Ví dụ 3.3 Tiếp tục ví dụ 2.1. Xác định E(X). Ví dụ 3.4 Tiếp tục ví dụ 2.4. Xác định E(X). 15
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng Tính chất 3.1 1 E(c) = c với c là hằng số. 2 E(X + c) = E(X) + c 3 E(cX) = cE(X) 4 E(aX + b) = aE(X) + b với a, b là hằng số. Tính chất 3.2 Nếu X là bnnrr thì E(φ(X)) = φ(x1 )p1 + . . . + φ(xn )pn = φ(xi )pi tất cả i Từ đó, ta được E(X2 ) = x2 p1 + x2 p2 + . . . + x2 pn = 1 2 n x2 pi i tất cả i Tính chất 3.3 +∞ Nếu X là bnnlt thì E(φ(X)) = φ(x)f(x)dx −∞ +∞ Từ đó ta được E(X2 ) = x2 f(x)dx −∞
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Variance - Phương sai Định nghĩa 3.4 (Variance - Phương sai) Phương sai của bnn X, kí hiệu là var(X), là giá trị trung bình theo xác suất của bình phương độ lệch của X so với EX var(X) = E(X − EX)2 Phương sai của X cho biết mức độ phân tán các giá trị của X quanh vị trí kỳ vọng của nó. Công thức thu gọn: var(X) = E(X2 ) − (EX)2 Tuy nhiên, do phương sai không cùng thứ nguyên với X nên ta kí hiệu σ(X) = var(X), được gọi là độ lệch chuẩn (standard deviation) của X. Ví dụ 3.5 Tiếp tục ví dụ 2.1. Xác định var(X). Ví dụ 3.6 Tiếp tục ví dụ 2.4. Xác định var(X). 17
Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Variance - Phương sai Tính chất 3.4 1 var(c) = 0 với c là hằng số. 2 var(X + c) = var(X) 3 var(cX) = c2 var(X) 4 var(aX + b) = a2 var(X) với a, b là hằng số. Ví dụ 3.7 Doanh thu trong tháng là biến ngẫu nhiên có trung bình là 25.000$ và độ lệch chuẩn là 4.000$. Lợi nhuận được tính bằng cách nhân doanh thu cho 30% sau đó trừ đi 6.000$ (chi phí cố định). Hãy tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của lợi nhuận trong tháng. 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.