intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - TS. Hồ Vũ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST
Báo xấu
3
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" Chương 3 - Biến ngẫu nhiên, được biên soạn với mục tiêu nhằm giúp các bạn sinh viên có thể hiểu và mô tả khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục; Hiểu và tính toán được các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên; Hiểu các quy luật phân phối xác suất của từng loại biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - TS. Hồ Vũ

  1. Chương 3 24 20 – bộ BIẾN NGẪU NHIÊN i nộ nh Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein hà u 3.1 Lư Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 – Vũ 3.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Các quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ồ .H 3.2.1 Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 TS 3.2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.3 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 57
  2. BIẾN NGẪU NHIÊN 3.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.1 Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 24 3.3.2 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 20 3.3.3 Trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 – bộ 3.3.4 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3.5 Giá trị tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 i nộ 3.4 Các luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 nh 3.4.1 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 hà 3.4.2 Phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 u 3.4.3 3.4.4 Lư Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 – Vũ 3.4.5 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.6 Phân phối Chi bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ồ .H 3.4.7 Phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 TS 3.4.8 Phân phối Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5 Mối quan hệ giữa các phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Trang 58
  3. BIẾN NGẪU NHIÊN 3.6 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 24 20 Mục tiêu: Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng giải quyết các vấn đề sau: – 1) Hiểu và mô tả khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. bộ 2) Hiểu và tính toán được các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. i nộ 3) Hiểu các quy luật phân phối xác suất của từng loại biến ngẫu nhiên. nh hà 4) Tính xác suất từ hàm khối lượng xác suất và hàm mật độ xác suất. u 5) Hiểu và vận dụng được mối liên hệ giữa các loại biến ngẫu nhiên. Lư – 3.1 Biến ngẫu nhiên Vũ 3.1.1 Định nghĩa ồ .H Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên (BNN) là một biến mà giá trị của nó được xác định bởi kết TS quả của một phép thử ngẫu nhiên hay một sự kiện không thể dự đoán trước được. Ta thường dùng các kí hiệu X, Y, Z, . . . để biểu thị cho BNN. Trang 59
  4. BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 3.1. Tung một con xúc sắc cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc sắc. Ta thấy rằng X là BNN vì trong các kết quả của phép thử, X chỉ có thể nhận các giá trị 24 sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 20 Ví dụ 3.2. Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm. Gọi Y là khoảng – bộ cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia. Ta cũng dễ thấy rằng Y là BNN. i nộ Chú ý 3.1. Mỗi giá trị của BNN có một xác suất tương ứng, và việc xác định xác suất này là một phần quan trọng của mô tả biến ngẫu nhiên, kí hiệu P (X = x) = p. nh hà 3.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên u ◆ Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu các giá trị của BNN có thể lập thành một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Lư – Vũ Ví dụ 3.3. Trong một lớp 40 sinh viên, trong đó có 30 nam và 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên để lập thành ban cán sự lớp. Gọi X là số sinh viên nữ được chọn. X là BNN rời rạc với ồ .H các giá trị có thể nhận được hữu hạn là: 0, 1, 2, 3. TS ◆ Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu các giá trị của BNN có thể lấp đầy một khoảng hay nhiều khoảng trên trục số thực. Trang 60
  5. BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 3.4. Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm. Gọi Y là khoảng cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia. Ta cũng dễ thấy rằng Y là BNN liên tục vì không 24 thể liệt kê tất cả các giá trị của nó, mà ta chỉ có thể nói rằng giá trị của nó nằm trong khoảng 20 (0; 20) trong trường hợp xạ thủ không bắn trượt tấm bia trên. – bộ 3.2 Các quy luật phân phối xác suất i nộ ◆ Quy luật phân phối xác suất là hình thức biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của nh BNN và xác suất tương ứng để BNN nhận các giá trị đó. hà ◆ Một số phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất của BNN: u Lư 1) Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc). – 2) Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả BNN rời rạc và BNN liên tục). Vũ 3) Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) ồ .H 3.2.1 Bảng phân phối xác suất TS Xét BNN rời rạc X nhận các giá trị có thể là x1 , x2 , . . . , xn (n ≥ 2) với xác suất tương ứng pi = P (X = xi ). Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc X có dạng như sau: Trang 61
  6. BIẾN NGẪU NHIÊN X x1 x2 . . . xi . . . xn 24 P p1 p2 . . . pi . . . pn 20 – Trong đó, 0 < pi < 1, ∀i và p1 + p2 + . . . + pn = 1. bộ Ví dụ 3.5. Tung một con xúc sắc cân đối. Gọi X là số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc i nộ sắc. Ta thấy X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6. nh hà Bảng phân phối xác suất của BNN X như sau: u Lư – X 1 2 3 4 5 6 Vũ 1 1 1 1 1 1 P ồ 6 6 6 6 6 6 .H TS Ví dụ 3.6. Một hộp có 10 viên bi, trong đó có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Lập bảng phân phối xác suất của số viên bi đỏ lấy được? Trang 62
  7. BIẾN NGẪU NHIÊN Giải. Gọi X là số viên bi đỏ lấy được. X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 0, 1, 2. Ta có 24 C60 C42 2 P (X = 0) = = ; 20 C102 15 C61 C41 8 – P (X = 1) = = ; bộ C102 15 C 2C 0 1 i P (X = 2) = 6 2 4 = . nộ C10 3 nh hà Bảng phân phối xác suất của BNN X như sau: u LưX 0 1 2 – 2 8 1 Vũ P 15 15 3 ồ .H Ví dụ 3.7. Một xạ thủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng TS mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Tìm bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn, biết rằng xác suất bắn trúng đích của xạ thủ ở mỗi lần bắn là 0,85 Trang 63
  8. BIẾN NGẪU NHIÊN Giải. Gọi X là số viên đạn đã bắn. X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1, 2, 3. Ta có 24 P (X = 1) = 0, 85; 20 P (X = 2) = (1 − 0, 85) × 0, 85 = 0, 1275; – P (X = 3) = 1 − 0, 85 − 0, 1275 = 0, 0225. i bộ Bảng phân phối xác suất của BNN X như sau: nộ X 1 2 3 nh hà P 0,85 0,1275 0,0225 u Lư 3.2.2 Hàm phân phối xác suất – Định nghĩa 3.2. Hàm phân phối xác suất của BNN X, ký hiệu là F (x), là xác suất để BNN X Vũ nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x, với x là giá trị bất kỳ. ồ .H F (x) = P (X ≤ x), ∀x. TS Chú ý 3.2. ◗ Từ định nghĩa, ta thấy rằng hàm phân phối xác suất phản ánh mức tập trung xác suất từ số thực x bất kỳ về bên trái nó. Trang 64
  9. BIẾN NGẪU NHIÊN ◗ Trong trường hợp X là BNN rời rạc thì hàm phân phối xác suất còn được gọi làm hàm phân phối tích luỹ. 24 20 Tính chất 3.1. Hàm phân phối xác suất F (x) có tính chất sau: – 1) Hàm không giảm; i bộ 2) Liên tục bên phải và có giới hạn tại mọi điểm; nộ nh 3) F (−∞) = lim P (X < x) = 0 và F (+∞) = lim P (X < x) = 1; x→−∞ x→+∞ hà 4) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) với mọi a, b ∈ R, a < b. u Lư Chú ý 3.3. ◗ Nếu X là BNN liên tục thì P (X = a) = 0 và – Vũ P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a). ồ .H ◗ BNN rời rạc có tập giá trị là {x1 , . . . , xn }, thì ta có hàm phân phối xác suất TS X X F (x) = P (X ≤ x) = P (X = xi ) = p(xi ) xi ≤x xi ≤x Trang 65
  10. BIẾN NGẪU NHIÊN hay  0 nếu x < x1    24       p1 nếu x1 ≤ x < x2 20         F (x) = p1 + p2 – nếu x2 ≤ x < x3 bộ    .........     i   nộ    1 nếu xn ≤ x.   nh Ví dụ 3.8. Túi hạt giống có 13 hạt trong đó có 10 hạt giống tốt. Lấy ngẫu nhiên từ túi ra 4 hạt hà giống đem kiểm nghiệm. Gọi X là số hạt giống tốt có trong 4 hạt đã lấy ra. Lập bảng phân u Lư phối xác suất của X và hàm phân phối xác suất của X. – Giải. Ta thấy X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 1; 2; 3; 4. Vũ 1 C10 .C33 10 2 C10 .C32 135 P (X = 1) = = ; P (X = 2) = = ; ồ C134 715 C134 715 .H 3 C10 .C31 360 4 C10 .C30 210 P (X = 3) = = ; P (X = 4) = = . TS C134 715 C134 715 Bảng phân phối xác suất của BNN X: Trang 66
  11. BIẾN NGẪU NHIÊN X 1 2 3 4 10 135 360 210 24 P 715 715 715 715 20 Hàm phân phối xác suất của X là: – bộ  0 khi x < 1,      i   nộ  10  khi 1 ≤ x < 2,       715 nh   F (x) =  145 715 khi 2 ≤ x < 3, hà    505  khi 3 ≤ x < 4,    715 u    Lư    1 khi 4 ≤ x. –   Vũ 3.2.3 Hàm mật độ xác suất ồ Định nghĩa 3.3. Hàm f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN liên tục X nếu: .H i) f (x) ≥ 0, ∀x; TS Z +∞ ii) f (x)dx = 1; −∞ Trang 67
  12. BIẾN NGẪU NHIÊN Z b iii) P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx. a 24 Nếu hàm phân phối xác suất F (x) khả vi thì f (x) được xác định như sau: 20 f (x) = F ′ (x). – bộ Từ định nghĩa trên, ta có Z x i nộ F (x) = f (t)dt. −∞ nh Ví dụ 3.9. Cho X là BNN có hàm mật độ xác suất như sau: hà  kx3 nếu 0 ≤ x ≤ 1    u f (x) =  Lư 0   còn lại – 1) Tìm k để f (x) là hàm mật độ xác suất của BNN X. Vũ 2) Tìm hàm phân phối xác suất F (x). ồ .H Giải. 1) f (x) là hàm mật độ xác suất của BNN X khi TS Z +∞ Z 1 f (x)dx = 1 ⇐⇒ k x3 dx = 1 ⇐⇒ k = 4. −∞ 0 Trang 68
  13. BIẾN NGẪU NHIÊN 2) Ta chia bài toán này làm 3 trường hợp: ✳ TH1: Nếu x < 0 thì 24 Z x F (x) = f (t)dt = 0. 20 −∞ ✳ TH2: Nếu x ∈ [0, 1] thì – bộ Z x Z 0 Z x Z x F (x) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = 4t3 dt = x4 . i −∞ −∞ 0 0 nộ ✳ TH3: Nếu x > 1 thì nh Z x Z 0 Z 1 Z x hà F (x) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt −∞ −∞ 0 1 u Z 1 4t3 dt = 1. Lư = 0 – Hàm phân phối xác suất của BNN X là Vũ  0 nếu x < 0,   ồ    .H    F (x) = x4 nếu 0 ≤ x ≤ 1, TS     1 nếu x > 1.   Trang 69
  14. BIẾN NGẪU NHIÊN Chú ý 3.4. Nếu BNN X có hàm mật độ xác suất  24 nếu x ∈  0 / [a; b],   f (x) =  20 ϕ(x)   nếu x ∈ [a; b], – bộ thì  i nộ 0 nếu x < a,        Z x nh F (x) =  ϕ(t)dt nếu a ≤ x ≤ b,  a hà    1 nếu x > b.   u Lư Ví dụ 3.10. Cho a > 0 và X là BNN có hàm mật độ xác suất như sau: – −π π    nếu x ∈ Vũ 0 / ; ,    f (x) =   2 2 −π π  nếu x ∈ ồ a cos x ; .   .H 2 2 1) Tìm a để f (x) thỏa mãn các điều kiện của một hàm mật độ xác suất của BNN. TS 2) Tính P (0, 25π < X < π). Trang 70
  15. BIẾN NGẪU NHIÊN Giải. 1) f (x) là hàm mật độ xác suất của BNN X khi Z π Z +∞ 2 1 f (x)dx = 1 ⇐⇒ a cos xdx = 1 ⇐⇒ a = 24 −π −∞ 2 2 20 2) Ta có – −π  0 bộ nếu x < ,    2    −π π  Z x  i F (x) =  π a cos tdt nếu ≤x≤ , nộ   −2 2 2   π nh  1 nếu x > .   2 hà −π  0 nếu x < ,    u     2 −π Lư 1  π =  (1 + sin x) nếu ≤x≤ ,  2 2 2 – π    1 nếu x > .   Vũ  2 Khi đó, áp dụng tính chất của hàm phân phối xác suất dành cho BNN liên tục, ta được ồ .H 1 P (0, 25π < X < π) = F (π) − F (0, 25π) = 1 − (1 + sin(0, 25π)) TS √ 2 1 2 = − . 2 4 Trang 71
  16. BIẾN NGẪU NHIÊN Chú ý 3.5. Ngoài ra, nếu đã biết hàm mật độ xác suất của BNN X liên tục, ta có thể sử dụng tính chất 24 Z b P (a ≤ X ≤ b) = 20 f (x)dx a – để tính P (0, 25π < X < π). Khi đó, ta có bộ Z π √ 1 2 i Z π nộ 2 P (0, 25π < X < π) = f (x)dx = a cos xdx = − . 0,25π 0,25π 2 4 nh hà 3.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên u Lư Như đã biết, quy luật phân phối xác suất cho ta biết đầy đủ thông tin về BNN, nhưng trong thực – tế ta rất khó xác định được nó. Từ đó dẫn đến việc cần xác định các đặc trưng quan trọng của Vũ BNN như: Kỳ vọng, phương sai, trung vị, mốt, giá trị tới hạn, . . .. ồ .H 3.3.1 Kỳ vọng TS Định nghĩa 3.4. Kỳ vọng của BNN X, được ký hiệu là E(X), là một số được xác định như sau: Trang 72
  17. BIẾN NGẪU NHIÊN 1) Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên thì n X E(X) = xi p i . 24 i=1 20 2) Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f (x) thì – Z +∞ bộ E(X) = xf (x)dx. −∞ i nộ Tính chất 3.2. 1) E(C) = C, với C là hằng số; nh 2) E(CX) = CE(X); hà 3) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ); u Lư 4) Nếu X, Y độc lập thì E(XY ) = E(X)E(Y ); – Vũ 5) Cho Y = g(X). Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như trên thì n X ồ E(Y ) = g(xi )pi ; .H i=1 Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f (x) thì TS Z +∞ E(Y ) = g(x)f (x)dx. −∞ Trang 73
  18. BIẾN NGẪU NHIÊN ◗ Kỳ vọng của một BNN chính là trị trung bình của BNN đó về mặt xác suất. Trong thực tế, nếu quan sát các giá trị của BNN X nhiều lần và lấy trung bình cộng của các giá trị thu được, 24 thì khi số quan sát càng lớn - số trung bình đó càng tiến gần tới E(X), nghĩa là E(X) ≈ X khi 20 n đủ lớn. – bộ Ví dụ 3.11. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất sau: i nộ X 1 2 3 4 5 nh P 0,5 0,1 0,2 0,1 0,1 hà u Tính E(X), E(X 2 ) và E(2X − 3). Lư – Giải. Ta có Vũ E(X) = 1 × 0, 5 + 2 × 0, 1 + 3 × 0, 2 + 4 × 0, 1 + 5 × 0, 1 = 2, 2; ồ .H E(X 2 ) = 12 × 0, 5 + 22 × 0, 1 + 32 × 0, 2 + 42 × 0, 1 + 52 × 0, 1 = 6, 8 TS E(2X − 3) = 2E(X) − 3 = 1, 4. Trang 74
  19. BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 3.12. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau: 3  (4x − x2 ) nếu x ∈ [0; 4],  24    f (x) =  32 20 0 nếu x ∈/ [0; 4].   – Tính E(X), E(X 2 ) và E(3X + 10). bộ Giải. Ta có i nộ Z −∞ 3  Z 4 x 4x − x2 dx = 2;  E(X) = xf (x)dx = nh −∞ 0 32 Z −∞ Z 4 3 2 24 E(X 2 ) = x2 f (x)dx = x 4x − x2 dx = ;  hà −∞ 0 32 5 u E(3X + 10) = 3E(X) + 10 = 16. Lư Ví dụ 3.13. Một công ty bảo hiểm, thống kê rằng một người Châu Âu 25 tuổi ở một khu vực A – Vũ sẽ sống thêm trên một năm với xác suất là 0,992; còn xác suất để người đó chết trong vòng một năm là 0,008. Công ty đưa ra một chương trình bảo hiểm như sau: một người mua bảo hiểm ồ .H sinh mạng cho 1 năm với giá là 100$, nếu chết thì công ty bảo hiểm chi trả là 10000$. Hỏi lợi TS nhuận trung bình của công ty bảo hiểm nhận được là bao nhiêu, biết rằng chi phí cho một hợp đồng bảo hiểm loại này là 5$? Trang 75
  20. BIẾN NGẪU NHIÊN Giải. Gọi X là lợi nhuận ($) công ty bảo hiểm nhận được khi bán bảo hiểm sinh mạng 1 năm cho một người Châu Âu 25 tuổi ở khu vực A (tính sau 1 năm từ khi bán). 24 Bảng phân phối xác suất của BNN X: 20 X −9905 95 – bộ P 0, 008 0, 992 i nộ Lợi nhuận trung bình của công ty bảo hiểm nhận được là: nh E(X) = −9905 × 0, 008 + 95 × 0, 992 = 15$. hà Ví dụ 3.14. Một lô hàng có 10 sản phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng u Lư đó, gọi X là số chính phẩm có trong 4 sản phẩm lấy ra. Tính giá trị kỳ vọng của số chính phẩm lấy được. – Vũ Giải. Do chỉ có 2 phế phẩm, nên X chỉ có thể nhận các giá trị sau: 2, 3, 4. ồ Bảng phân phối xác suất của BNN X là: .H X 2 3 4 TS C22 C82 C21 C83 C20 C84 P 4 4 4 C10 C10 C10 Trang 76
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
28=>1