intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 4 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
8
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 4: Các phân phối xác suất thông dụng" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối chi bình phương, phân phối Student, phân phối Fisher. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 4 - Nguyễn Phương

  1. Chương 4: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 1 tháng 6 năm 2024 1
  2. 1 Phân phối nhị thức Dãy phép thử Bernoulli Định nghĩa Tính chất 2 Phân phối siêu bội Mô hình phân phối siêu bội Định nghĩa Tính chất 3 Phân phối Poisson 4 Phân phối chuẩn Định nghĩa Hàm Laplace − Công thức tính xác suất Giá trị tới hạn Xấp xĩ phân phối nhị thức 5 Phân phối chi bình phương 6 Phân phối Student 7 Phân phối Fisher
  3. Phân phối nhị thức Dãy phép thử Bernoulli Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu: - Các phép thử độc lập với nhau. - Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau, P(A) = p. Công thức Bernoulli Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử, được ký hiệu Pn (k) và xác định bởi công thức Pn (k) = Ck pk qn−k với k = 0, . . . , n n
  4. Phân phối nhị thức Định nghĩa Định nghĩa 1.1 X có phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu là X ∼ B(n, p), nếu tập giá trị của X là X(Ω) = {0, 1, . . . , n} và P(X = k) = Ck pk qn−k n Ví dụ 1.1 Một phân xưởng có 10 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong 1 ngày mỗi máy bị hỏng là 0,1. a) Tính xác suất trong 1 ngày có 2 máy bị hỏng. b) Tính xác suất trong 1 ngày có có ít nhât 1 máy bị hỏng.
  5. Phân phối nhị thức Tính chất Tính chất Nếu X ∼ B(n, p) thì i) E(X) = np; Var(X) = np(1 − p) = npq; ii) np − q ≤ Mod(X) ≤ np + p; Ví dụ 1.2 Một phân xưởng có 270 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ca sản xuất mỗi máy bị hỏng là như nhau và bằng 2%. Gọi X là số máy bị hư trong một ca sản xuất. a) Tính E(X), Var(X). b) Nếu mỗi kỹ sư có thể sửa chữa tối đa được 2 máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất thì nhà máy cần bố trí trực sửa chữa mỗi ca bao nhiêu kỹ sư là hợp lý nhất.
  6. Phân phối siêu bội Mô hình phân phối siêu bội Mô hình tổng quát Hình 2.1: Mô hình phân phối siêu bội Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử được chọn ra. Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị k thoar 0 ≤ k ≤ NA ⇔ max{0, n − (N − NA )} ≤ k ≤ min(n, NA ) n − (N − NA ) ≤ k ≤ n Ck A Cn−k A N N−N P(X = k) = , Cn
  7. Phân phối siêu bội Mô hình phân phối siêu bội Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương từ max{0, n − (N − NA )} đến min(n, NA ) với xác suất tương ứng Ck A Cn−k A N N−N P(X = k) = , Cn N . Khi đó, X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, NA , n, kí hiệu X ∼ H(N, NA , n). Ví dụ 2.1 Một hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả cầu. Gọi X là số quả cầu trắng lấy được. Tính xác suất a) Lấy được ít nhất 1 quả cầu trắng. b) Lấy được 2 quả cầu trắng. 7
  8. Phân phối siêu bội Tính chất Tính chất 2.1 Nếu X ∼ H(N, NA , n)thì NA i) E(X) = np với p = ; N N−n ii) Var(X) = npq với q = 1 − p. N−1 Ví dụ 2.2 Tiếp tục ví dụ 2.1. Tính E(X) và var(X). Ví dụ 2.3 Có 3 quân bài đỏ và 5 quân bài đen, người chơi bốc ngẫu nhiên ra 3 quân bài. Nếu bốc được quân bài đỏ thì được 7$, nếu bốc phải quân bài đen thì mất 5$. Tính số tiền trung bình người chơi có thể thu được trong một lần chơi.
  9. Phân phối siêu bội Tính chất Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức NA Định lí: Nếu X ∼ H(N, NA , n), n cố định, N → ∞ và → p (p 0, p 1) thì N F X → B(n, p) Ý nghĩa trong thực hành 1. Nếu X ∼ H(N, NA , n), nếu N khá lớn; n rất nhỏ so với N thì NA P(X = k) ≈ Ck pk qn−k p = n . N Công thức xấp xỉ khá tốt khi n < 0, 05N. 2. Khi N khá lớn so với n. Việc lấy ra n phần tử từ tổng thể N phân tử theo phương thức: có hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như nhau. Ví dụ 2.4 Một lô hàng có 1000 sản phẩm, có tỷ lệ sản phẩm loại A là 80%. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất có 7 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. 9
  10. Phân phối Poisson Định nghĩa 3.1 Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương k, (k = 0, 1, 2, . . .) với xác suất λk e−λ P(X = k) = , k = 0, 1, 2, 3, . . . k! thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ , ký hiệu X ∼ P(λ). Ví dụ 3.1 Cho X ∼ P(4). Tính a) P(X = 3) b) P(X = 6, 5) c) P(X > 2) 10
  11. Phân phối Poisson Tính chất 3.1 Nếu X ∼ P(λ) thì i) E(X) = Var(X) = λ; ii) λ − 1 ≤ mod(X) ≤ λ. Trong thực tế, phân phối Poisson dùng để chỉ số lần biến cố A xảy ra trong một khoảng thời gian, không gian nhất định, với tham sốλ là số lần biến cố A xảy ra trung bình trong khoảng thời gian đó. Ví dụ 3.2 Ở một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lập và trung bình có 10 cuộc gọi trong 1 phút. Giả sử số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút có phân phối Poisson tìm xác suất để: a) Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút. b) Có ít nhất 2 cuộc gọi trong 1 phút. 11
  12. Phân phối Poisson Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson Định lí: Cho Xn ∼ B(n, p). Nếu số phép thử n → ∞ và xác suất P(A) → 0 sao cho np = λ thì F Xn → P(λ) Ý nghĩa trong thực hành λk e−λ 1. Nếu X ∼ B(n, p), nếu n khá lớn, p khá bé thì P(X = k) = với k! λ = np. Công thức xấp xỉ khá tốt khi n > 50; p < 0, 1. 2. Do n lớn, p rất bé, từ định lí ngày người ta còn nói luật phân phối Poisson là luật phân phối của biến cố hiếm. Ví dụ 3.3 Xác suất để một máy sản xuất ra một phế phẩm là 0,1%. Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất có đúng 2 phế phẩm.
  13. Phân phối chuẩn Định nghĩa Định nghĩa 4.1 Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ2 nếu (x−µ)2 1 − hàm mật độ xác suất có dạng f(x) = √ e σ 2π 2σ2 trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, µ ∈ (−∞, +∞), ký hiệu X ∼ N(µ, σ2 ) Hình 4.1: Hàm mật độ của phân phối chuẩn Tính chất 4.1 Nếu X ∼ N(µ, σ2 ) thì i) E(X) = Mod(X) = Med(X) = µ. ii) Var(X) = σ2 . 13
  14. Phân phối chuẩn Định nghĩa Định nghĩa 4.2 (Phân phối chuẩn tắc) Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn với các tham số µ = 0, σ2 = 1, kí hiệu là X ∼ N(0, 1). Khi đó, X được gọi là có phân phối chuẩn tắc và có hàm mật độ là 1 x2 f(x) = √ e− 2 2π Hình 4.2: Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc Định lý 4.1 i) X ∼ N(µ; σ2 ) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)2 ) (a 0). X−µ ii) X ∼ N(µ; σ2 ) ⇔ Z = ∼ N(0, 1). σ 14
  15. Phân phối chuẩn Hàm Laplace − Công thức tính xác suất Hàm Laplace z 1 x2 φ(z) = √ e− 2 dx 2π 0 Hình 4.3: Giá trị của hàm Laplace là diện tích của miền được đánh dấu Giá trị của hàm Laplace có thể tra ở "Bảng 1" Ví dụ 4.1 φ(1, 96) = 0, 4750
  16. Phân phối chuẩn Hàm Laplace − Công thức tính xác suất Tìm giá trị hàm φ(z) bằng hàm Q(·) trong Casio 570 Plus Shift −→ Mode −→↓−→ 4 −→ 1 −→ Mode −→ 3 −→ 1 −→ AC −→ Shift −→ 1 −→ 5 −→ 2 −→ Q(số cần tính) −→ Kết quả. Tìm giá trị hàm φ(z) bằng hàm Q(·) trong Casio 580 Shift −→ Menu −→↓−→ 3 −→ 1 −→ Menu −→ 6 −→ 1 −→ AC −→ OPTN −→↓−→ 4 −→ Q(số cần tính) −→ Kết quả. Ví dụ 4.2 φ(1, 96) = 0, 475; φ(2, 33) = 0, 4901
  17. Phân phối chuẩn Hàm Laplace − Công thức tính xác suất Tính chất 4.2 (Hàm Laplace) i) φ(−x) = −φ(x) với mọi x, ii) φ(−∞) = −0, 5 và φ(+∞) = 0, 5 Khi x ≥ 3, 90: φ(x) ≈ 0, 5 Định lý 4.2 Nếu X ∼ N(0; 1) thì Nếu X ∼ N(µ; σ2 ) thì b−µ a−µ i) P(a ≤ X ≤ b) = φ(b) − φ(a) i) P(a ≤ X ≤ b) = φ −φ σ σ ϵ ii) P(|X| < ϵ) = 2φ(ϵ) ii) P(|X − µ| < ϵ) = 2φ σ Ví dụ 4.3 Cho X ∼ N(1; 0, 25). Tính các xác suất sau a) P(−5 ≤ X < 1, 23) b) P(|X − 1| < 0, 64) c) P(X < 2, 1)
  18. Phân phối chuẩn Hàm Laplace − Công thức tính xác suất Ví dụ 4.4 Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên An là biến ngẫu nhiên X (đơn vị là phút) có phân phối chuẩn. Biết rằng 65% số ngày An đến trường mất hơn 20 phút và 8% số ngày mất hơn 30 phút. a) Tính thời gian đến trường trung bình của An và độ lệch tiêu chuẩn b) Giả sử An xuất phát từ nhà trước giờ vào học 25 phút. Tính xác suất để An bị muộn học c) An cần phải xuất phát trước giờ học là bao nhiêu phút để xác suất bị muộn học của An bé hơn 0,02 Ví dụ 4.5 Trọng lượng của gói mì ăn liền tuân theo quy luật phân phối chuẩn N(100, 4). Gói mì có trọng lượng 98,28g đến 102,28g là đạt tiêu chuẩn. a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn. b) Chọn ngẫu nhiên 3 gói mì. Tìm xác suất có đúng 1 gói mì phế phẩm. c) Chọn 200 gói mì. Tìm số gói phế phẩm trung bình.
  19. Phân phối chuẩn Giá trị tới hạn Định nghĩa 4.3 Cho biến ngẫu nhiên X và số α ∈ (0, 1). Số gα được gọi là giá trị tới hạn mức α của X nếu P (X > gα ) = α. Giá trị tới hạn mức α của biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu zα là số thỏa điều kiện P(Z > zα ) = α Hình 4.4: Giá trị tới hạn mức α, zα Ví dụ 4.6 z0,025 = 1, 96 19
  20. Phân phối chuẩn Giá trị tới hạn Cách tính giá trị Laplace ngược φ−1 bằng máy tính Casio φ(z) = A =⇒ z = φ−1 (A) =? Ta có z φ(z) = f(x)dx = A 0 ⇐⇒ P(0 < X < z) = P(X < z) − P(X < 0) = A ⇐⇒ P(X < z) = A + 0, 5 mà X ∼ N(0, 1) =⇒ P(X < 0) = 0, 5 Do đó, để tính được z ta chỉ cần nhớ P(X < z) = A + 0, 5 := B và sử dụng hàm Inverse Normal trong máy tính Casio để tính. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
37=>1