Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 1

Chia sẻ: Codon_11 Codon_11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

158
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tìm hiểu phép thử, không gian mẫu và biến số; khái niệm xác suất; tính chất của xác suất; xác suất điều kiện biến cố độc lập;... được trình bày cụ thể trong "Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 1". Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 1

Phần thứ nhất Lý thuyết xác suất XSTK 2008
2 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông Chương 1 Xác suất Trong cuộc sống, trong nhiều trường hợp, người ta không thể ñoán chắc rằng một sự kiện nào ñó có xảy ra hay không, mặc dù ñã nắm ñược những thông tin về sự kiện ñó. Để giải quyết những tình huống không chắc chắn ñó, người ta ñã nghiên cứu và ñưa vào sử dụng lý thuyết xác suất 1. PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ Lý thuyết xác suất, hiện nay, là một lý thuyết toán học ñược xây dựng chặt chẽ trên một hệ tiên ñề. Tuy nhiên, ñể xây dựng ñược một hệ tiên ñề chặt chẽ về mặt toán học cho lý thuyết xác suất, người ta ñã dựa vào các khái niệm cơ bản mang tính chất kinh nghiệm, trực quan. 1.1. Phép thử, không gian mẫu. Bộ môn Xác suất nghiên cứu về các loại thí nghiệm có ñặc trưng là: Trước khi thực hiện, chúng ta không ñoán trước ñược kết quả nào sẽ xảy ra, nhưng chúng ta có thể mô tả ñược tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Loại thí nghiệm như vậy có thể ñược lặp lại nhiều lần trong cùng một ñiều kiện; nó ñược gọi là một Thí nghiệm ngẫu nhiên hay một Phép thử. Khi một phép thử ñược thực hiên, một và chỉ một kết quả trong trong tập hợp nói trên xuất hiện, và ñược gọi là một kết quả sơ cấp. Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp ñược gọi là Không gian các kết quả sơ cấp. Để tiện lợi, chúng ta xem những kết quả sơ cấp như các ñiểm và gọi là các Điểm mẫu (hay ñiểm cho gọn). Như vậy, mỗi kết quả sơ cấp ñược biểu diễn bởi một và chỉ một ñiểm mẫu; không gian các kết quả sơ cấp ñược biểu diễn bởi một tập hợp mà các phần tử là các ñiểm mẫu; do ñó còn ñược gọi là Không gian mẫu và thường ñược ký hiệu là M. Không gian mẫu M ñược gọi là rời rạc nếu nó là một tập hợp không hơn ñếm ñược (hữu hạn hoặc ñếm ñược). Thí dụ: Gieo một con xúc xắc và quan sát số xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc. Khi ñó, không gian mẫu có 6 ñiểm mẫu: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Chưng 1 XÁC SUT 3 Quan sát xem một xạ thủ bắn một viên ñạn vào bia có trúng bia hay không. Có hai kết quả sơ cấp là: “trúng bia”, ký hiệu là T, và “không trúng bia”, ký hiệu là B. Không gian mẫu là: M = {T, B}. 1.2. Biến cố. Một sự kiện A ñược gọi là liên kết với một phép thử (hay với không gian mẫu M tương ứng) nếu, khi phép thử ñược thực hiện, căn cứ vào kết quả sơ cấp m xuất hiện, người ta biết ñược A có xảy ra hay không. Như vậy, người ta có thể ñồng nhất A với một tập con của không gian mẫu M, với ñặc ñiểm: "A xảy ra nếu và chỉ nếu m ∈ A", và gọi A là một biến cố trong M. Biến cố không thể xảy ra, ñồng nhất với tập hợp ∅, còn ñược gọi là biến cố rỗng. Biến cố chắc chắn xảy ra, ñồng nhất với cả không gian mẫu M, còn ñược gọi là biến cố chắc chắn. Người ta nói rằng một biến cố A kéo theo một biến cố B nếu khi A xảy ra thì nhất ñịnh B xảy ra, và ñược viết là A ⊂ B (tập con). Biến cố {m} chứa một ñiểm mẫu m ∈ M duy nhất ñược gọi là một biến cố sơ cấp. Có những biến cố ñược xây dựng từ các biến cố cho trước. 1.3. Định nghĩa. Giả sử A và B là hai biến cố trong không gian mẫu M cho trước. (i) Biến cố "A không xảy ra" ñược gọi là biến cố ñối của biến cố A, và ñược ñồng nhất với A , phần bù của A trong M. (ii) Biến cố "A và B cùng xảy ra" ñược ñồng nhất với tập A ∩ B, và ñược gọi là Biến cố giao của A và B. A ∩ B còn ñược ký hiệu là AB. Nếu AB = ∅, i.e. A và B không thể xảy ra ñồng thời, người ta nói rằng A và B xung khắc. Tương tự, chúng ta có thể ñịnh nghĩa giao của một họ các biến cố (Ai)i∈I , ký hiệu: ∩ Ai i∈ I (iii) Biến cố " có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra" ñược ñồng nhất với tập A ∪ B và ñược gọi là Biến cố hợp của A và B. Trong trường hợp A và B xung khắc, A ∪ B ñược viết là A + B. Tương tự, chúng ta có thể ñịnh nghĩa hợp của một họ các biến cố (Ai)i∈I ; ký hiệu: ∪ Ai hoặc ( ∑ Ai nếu các Ai xung khắc từng ñôi ) i∈ I i∈ I Thuật ngữ viết tắt: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí dụ (iv) Biến cố "A xảy ra nhưng B không xảy ra" ñược ñồng nhất với tập hợp A − B, và ñược gọi là Biến cố hiệu của A với B. Rõ ràng, A− B = AB .
4 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông 1.4. Thí dụ.. 1.4.1. Phép thử: Gieo hai con xúc xắc khác màu và quan sát các số xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc. Không gian mẫu gồm 36 cặp thứ tự (a,b), với a và b thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6}: M = {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}. Gọi A là biến cố “xuất hiện hai số có tổng bằng 8 ”. Từ nay, ñể cho tiện, chúng ta có thể viết biến cố như sau: A: “xuất hiện hai số có tổng bằng 8”; tương tự, ñặt B: “xuất hiện hai số bằng nhau” và C: “xuất hiện hai số chẵn”; chúng ta có: A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)}; B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)} Khi ñó, AB: “xuất hiện hai số bằng nhau và có tổng bằng 8”; AB = {(4,4)}. A − B: “xuất hiện hai số khác nhau và có tổng bằng 8”; A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)}; Bạn ñọc hãy xác ñịnh các ñiểm mẫu của C; mô tả và xác ñịnh các ñiểm mẫu của các biến cố: B − A, AC, BC và A C . 1.4.2. Phép thử: Gieo 3 ñồng tiền khác màu và quan sát dãy mặt sấp và mặt ngửa xuất hiện. Ký hiệu S và N lần lượt chỉ mặt sấp và mặt ngửa xuất hiện, không gian mẫu M gồm 8 phần tử, biểu diễn bởi: {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} Xét các biến cố: A: “ xuất hiện ít nhất hai mặt sấp” và B: “xuất hiện 3 mặt giống nhau”, chúng ta có: A = {SSS, SSN, SNS, NSS} và B = {SSS, NNN}. Khi ñó, AB = {SSS}. Biến cố “xuất hiện 4 mặt sấp” là biến cố ∅.
Chưng 1 XÁC SUT 5 1.4.3. Phép thử: Gieo một con xúc xắc cho ñến khi mặt 6 xuất hiện thì dừng và ñếm số lần gieo con xúc xắc. Không gian mẫu là M = *. (tập hợp ñếm ñược). 1.4.4. Phép thử: Quan sát thời gian sống τ của một linh kiện ñiện tử. Không gian mẫu của phép thử là M = + Kết quả sơ cấp " τ = to" có nghĩa là linh kiện làm việc ñến ñúng thời ñiểm to thì bị hỏng. Biến cố " τ ≥ to" biểu thị thời gian làm việc của sản phẩm không nhỏ hơn to. Trong trường hợp này, không gian mẫu là một tập hợp không ñếm ñược. 1.5. Chú ý. Nếu không gian mẫu M là một tập hợp không hơn ñếm ñược (gọi là không gian mẫu rời rạc ) thì mọi tập con của M ñều là một biến cố. Nhưng nếu M là một tập hợp không ñếm ñược thì có thể có một số tập con của M không phải là các biến cố. Tổng quát, trong lý thuyết xác suất, một không gian mẫu M luôn ñi ñôi với một họ các biến cố, gồm một lớp các tập con của M, ñược gọi là một σ − trường các tập con của M. Lớp này thoả mãn một số tính chất, nhằm bảo ñảm ∅ và M là các biến cố, và nó ñóng kín ñối với mọi phép toán hữu hạn hoặc ñếm ñược về tập hợp. Lớp này ñược xác ñịnh bởi một hệ tiên ñề. Tuy nhiên, vì giáo trình này không ñi sâu vào lĩnh vực thuần tuý toán học của lý thuyết xác suất, nên chúng ta sẽ không ñề cập ñến hệ tiên ñề về xác suất. 2. KHÁI NIỆM XÁC SUẤT Nói chung, khái niệm xác suất dùng ñể chỉ “ khả năng “ (hay cơ may) ñể một cái gì ñó xảy ra. Khái niệm xác suất bắt ñầu hình thành từ việc nghiên cứu các trò chơi may rủi, e.g. trò roulette và ñánh bài. Sau ñó, các nhà toán học và các nhà khoa học ñã góp phần xây dựng thành lý thuyết xác suất. Trong thực tiễn, giáo trình này giới thiệu vài phương pháp khác nhau ñể tiếp cận khái niệm xác suất. Trước hết, chúng ta xét trường hợp: Do những ñặc ñiểm vật lý của một phép thử, mỗi ñiểm của không gian mẫu hữu hạn M tương ứng có “ cùng khả năng xảy ra “; trong trường hợp ñó, M ñược gọi là một Không gian hữu hạn ñẳng xác suất hay Không gian hữu hạn ñều . 2.1. Định nghĩa. (theo phương pháp cổ ñiển) Giả sử A là một biến cố có k ñiểm trong một không gian mẫu hữu hạn ñều gồm n ñiểm. Người ta gọi số k là xác suất của biến cố A, ký hiệu: P(A). n P( A) = k n
6 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông Theo cách hiểu cổ ñiển, những ñiểm của không gian mẫu ñược gọi là các “trường hợp” và những ñiểm của A là các “ trường hợp thuận lợi cho A ”, thì Soá caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A P(A) = Toång soá caùc tröôøng hôïp cuûa pheùp thöû Chúng ta sẽ dùng cụm từ “chọn ngẫu nhiên“ hay “vô tư” trong các phát biểu ñể chỉ trường hợp này. Thí dụ. Giả sử một tập hợp gồm N phần tử, trong ñó có T phần tử "ñược ñánh dấu". Từ tập hợp trên, chọn ngẫu nhiên ra n phần tử không hoàn lại, gọi là một mẫu kích thước n (hay cỡ n). Tính xác suất của biến cố: Ak : “có k phần tử ñược ñánh dấu trong mẫu”, với k là một số tự nhiên không lớn hơn min(T, n). Chọn không hoàn lại n phần tử từ tập gồm N phần tử: Có C nN cách. Để tính P(Ak) , chúng ta lưu ý rằng không gian mẫu hữu hạn và ñều. k n−k Số trường hợp thuận lợi cho Ak là CT .C N − T . Vậy, với mọi k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}, n−k CT . C N − T k P( Ak ) = n , (1) CN Xác suất cho bởi công thức (1) ñược gọi là Phân phối xác suất siêu hình học (hay còn gọi là Phân phối xác suất siêu bội). • Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ ñiển dựa trên ñiều kiện “ lý tưởng ” của phép thử nên cũng có những hạn chế. Nếu số kết quả sơ cấp của phép thử là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không ñồng khả năng thì ñịnh nghĩa cổ ñiển của xác suất không còn dùng ñược. Chẳng hạn, khi một xạ thủ bắn một phát súng vào bia và quan sát xem ñạn có trúng bia không. Có hai kết quả sơ cấp, nhưng chúng ta không thể nói rằng xác suất cho mỗi trường hợp là 0,5. Như vậy, làm thế nào ñể xác ñịnh xác suất bắn trúng bia của xạ thủ này? Ngay cả việc gieo một ñồng tiền, dựa vào ñâu ñể khẳng ñịnh rằng khả năng xuất hiện của hai “mặt sấp” và “mặt ngửa” là như nhau?. Suy nghĩ về vấn ñề này, các nhà toán học ñã khám phá ra ñiều thú vị sau: Giả sử khi thực hiện một phép thử, người ta quan tâm ñến sự xuất hiện một biến cố A. Bây giờ nếu chúng ta lặp lại phép thử trên N lần trong các ñiều kiện như nhau, và thấy A xuất hiện nA lần thì nA ñược gọi là Tần số xuất hiện của nA biến cố A, và tỉ số ñược gọi là Tần suất (hay Tần số tương ñối ) xuất hiện N của biến cố A trong một dãy N phép thử.
Chưng 1 XÁC SUT 7 Bằng thực nghiệm, người ta nhận thấy rằng: Qua nhiều dãy phép thử, có nhiều dãy tần suất khác nhau xuất hiện. Quan sát dãy tần suất này, người ta nhận thấy có một ñặc ñiểm, mang tính qui luật. Đó là sự ổn ñịnh khi số phép thử N khá lớn. Chúng có khuynh hướng tiến ñến một giá trị nào ñó khi N tăng lên vô hạn. Các số liệu sau ñây minh họa ñiều trên: Các kết quả gieo ñồng tiền của Buffon và Pearson. Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Từ sự ổn ñịnh của tần suất, người ta ñưa ra: 2.2. Định nghĩa. (theo tần suất) Giả sử một biến cố A xuất hiện nA lần trong một dãy phép thử ñược lặp lại n N lần. Khi ñó, xác suất ñể A xảy ra, ký hiệu P(A), là giới hạn của tỉ số A khi N số phép thử tăng lên vô hạn: nA P ( A) = lim N →∞ N nA Trong thực tế, người ta dùng , với N ñủ lớn, ñể chỉ P(A). N Thí dụ. Để kết luận rằng một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 80%, người ta ñã ghi tần suất bắn trúng bia của xạ thủ này trong một loạt bắn với khá nhiều viên ñạn. Cho xạ thủ này thực hiện nhiều loạt bắn trong cùng một ñiều kiện như trên, người ta có một dãy tần suất Giá trị trung bình của dãy tần suất này là 0,8. Định nghĩa xác suất bằng tần suất có một số nhược ñiểm như: Chỉ áp dụng ñược cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại rất nhiều lần trong cùng một ñiều kiện. Điều này không dễ thực hiện trong thực tế. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, chúng ta cũng không thể ñánh giá số phép thử “ ñủ lớn” ñể tạo ra xác suất theo tần suất. Hai ñịnh nghĩa trên của xác suất cho chúng ta giá trị xác suất khách quan. Khi các ñiều kiện khách quan không cho phép dùng chúng thì người ta dựa trên tính chủ quan ñể xác ñịnh xác suất. 2.3. Định nghĩa. (theo chủ quan) Xác suất chủ quan của một biến cố là mức ñộ tin tưởng của một cá nhân vào khả năng xảy ra của biến cố ñó. Xác suất chủ quan của một biến cố ñược dùng khi biến cố ñó chỉ có một cơ hội xảy ra, và nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra ở một thời ñiểm khác.
8 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông Thí dụ. Một nhà ñầu tư xác ñịnh rằng sẽ mua một số lô ñất nếu có xác suất ít nhất 0,90 rằng giá ñất sẽ tăng 50% hay nhiều hơn trong vòng 4 năm tới. Dựa trên sự nghiên cứu các dự án phát triển kinh tế và vị trí ñịa lý của vùng, ông ta cho rằng xác suất nói trên khoảng 0,75. Do ñó, ông ta quyết dịnh không ñầu tư vào các lô ñất nói trên. ( Vẫn với dữ kiện trên, một nhà ñầu tư khác, có thể ñưa ra xác suất khác 0,75, theo chủ quan của ông ta). Sau ñây, chúng ta trừu tượng hoá một chút khái niệm xác suất cho không gian mẫu rời rạc. 2.4. Định nghĩa. Giả sử M = {m1, m2, . . .} là một không gian mẫu rời rạc. Người ta gán cho mỗi ñiểm mi ∈ M một số thực ký hiệu P({mi}), gọi là xác suất của biến cố {mi}. Đó là các một số không âm và sao cho ∞ P({m1}) + P({m2}) + . . .= ∑ P ({m i}) = 1 (3) i =1 Xác suất P(A) của một biến cố A bất kỳ trong M ñược ñịnh nghĩa là tổng các xác suất của tất cả các {mi} với mi ∈ A. Để tiện việc ký hiệu, chúng ta viết P(mi) thay cho P({mi}). Rõ ràng Định nghĩa 2.1. là một trường hợp ñăc biệt của Định nghĩa 2.4.; ñó là trường hợp M = {m1, m2, . . ., mn} là hữu hạn và mỗi ñiểm trong M có cùng một xác suất (bằng 1/n). • Cho không gian mẫu M, trên ñó có xác ñịnh hàm xác suất P: A ֏ P(A) cho mọi biến cố A trong M. Cặp (M, P) ñược gọi là một Không gian xác suất. Thông thường, nếu không có sự lầm lẫn, người ta cũng viết M là một không gian xác suất. 3. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Giả sử M là một không gian xác suất cho trước; từ (3), chúng ta có ngay: P(M) = 1 và Nếu A1, A2, … An là các biến cố từng ñôi xung khắc trong M thì  n  n P  ∑ Ak  = ∑ P ( Ak )  k =1  k =1   Ngoài ra, chúng ta cũng có: 3.1. Định lý. Với mọi biến cố A và B trong không gian xác suất M, (i) P(∅) = 0; (ii) P( A) = 1 − P( A) ;
Chưng 1 XÁC SUT 9 (iii) P( A − B ) = P( A) − P( AB ) ; (iv) P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) ; (v) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B); (vi) P(A) ≤ 1. Chứng minh. (i) Vì A = A + ∅ nên P(A) = P(A) + P(∅). Do ñó, P(∅ ) = 0 (ii) Vì M = A + A nên 1 = P(M) = P( A ) + P(A). Vậy, P( A ) = 1 − P(A) (iii) Vì A = ( A − B ) + AB nên P ( A) = P ( A − B ) + P ( AB ) Vậy, P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) (iv) Vì A ∪ B = A + ( B − A) nên P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) (v) Nếu A ⊂ B thì B = A + ( AB ) . Do ñó: P ( B ) = P ( A) + P( AB) ≥ P ( A) (vi) Do A ⊂ M và (v).■ Bằng phương pháp qui nạp toán học, chúng ta chứng minh ñược công thức mở rộng của công thức cộng xác suất: 3.2. Hệ quả. Cho n biến cố A1, A2, ... , An (n > 1) trên cùng một không gian xác suất; ký hiệu: S1 = ∑ P( Ai ); S2 = ∑ P ( Ai A j ); S3 = ∑ P( Ai A j Ak );...; , i i, j i, j ,k trong ñó, 1 ≤ i < j < k ≤ n và trong mỗi tổng, mỗi nhóm chỉ số ( i, j, k, ...) chỉ xuất hiện một lần (Sr có C rn số hạng). Khi ñó: n P ( ∪ Ak ) = S1 − S2 + S3 − S4 + ... + ( −1) n −1 S n . (4) k =1 Đặc biệt, với 3 biến cố A, B và C, chúng ta có: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 3.3. Thí dụ. Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên ñể lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất ñể
10 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông (i) BCB gồm 3 nữ và 2 nam, (ii) BCB có ít nhất một nữ, (iii) BCB có ít nhất hai nam và hai nữ. Giải. Đặt Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ), chúng ta có: k .C 5−k C12 8 P ( Ak ) = C520 (i) BCB gồm 3 nữ và 2 nam. Xác suất phải tính: 2 .C 3 C12 P( A2 ) = 8 = 77 C 520 323 (ii) Đặt N: “BCB có ít nhất một nữ”, thì N = A5 . Do ñó, P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 ) 5 .C 0 C12 =− 8 = 1 − 33 = 613 C 520 646 646 (iii) Đặt H: “BCB có ít nhất hai nam và hai nữ”, thì H = A 2 + A 3 Do ñó, P(H) = P(A2) + P(A3) 3 . C2 77 C 12 8 = 616 = + 323 5 969 C 20 4. XÁC SUẤT ĐIÊU KIỆN - BIẾN CỐ ĐỘC LẬP Khi quan sát các hiện tượng trong ñời sống, chúng ta thường gặp câu hỏi: Việc xảy ra một biến cố H có ảnh hưởng gì ñến khả năng xảy ra của một biến cố A hay không? Thí dụ ñơn giản nhất về mối quan hệ này là: “ Việc xảy ra biến cố H làm cho biến cố A nhất ñịnh phải xảy ra hay ngược lại, loại trừ khả năng khả năng xảy ra biến cố A “. Để trả lời câu hỏi này, người ta ñưa vào lý thuyết xác suất khái niệm “ xác suất ñiều kiện và sự ñộc lập giữa các biến cố “. 4.1. Định nghĩa. Trong một không gian xác suất M, cho biến cố H với xác suất dương. Với mọi biến cố A trong M, người ta viết:
Chưng 1 XÁC SUT 11 P( A H ) P( A / H ) = (5) P( H ) và gọi ñại lượng ñó là xác suất ñiều kiện của biến cố A với giả thiết H (hoặc khi H ñã xảy ra). Tính xác suất có ñiều kiện của những biến cố khác nhau trên cùng một giả thiết H chẳng khác gì chọn H làm không gian mẫu mới. Do ñó các công thức về xác suất ở các phần trên vẫn ñúng cho xác suất có ñiều kiện. Chẳng hạn: * P (A / H) = 1 − P (A/ H) , * P ( A ∪ B / H ) = P ( A / H ) + P ( B / H ) − P ( AB / H ) . Từ công thức (5), chúng ta có 4.2. Định lý. Với mọi biến cố A và B trong một không gian xác suất, chúng ta có: P( AB ) = P( B ).P( A / B ) neáu P(B ) > 0; (6) P( AB ) = P( A).P( B / A) neáu P(A) > 0 Người ta gọi (6) là Công thức nhân xác suất. Công thức (6) có thể ñược mở rộng bằng phép qui nạp như sau: 4.3. Hệ quả. Trong một không gian xác suất, cho các biến cố A1, A2, . . . , An (n ≥ 2) thỏa mãn ñiều kiện P(A1A2 … An - 1) > 0. Khi ñó, P(A1A2... An) = P(A1). P(A2 /A1). P(A3 /A1A2) . . . P(An /A1A2 ... An1). (7) Với hai biến cố A và B, thường thì P(A/B) không bằng P(A). Trường hợp P(A / B) = P(A) , nghĩa là thông tin về sự xảy ra của biến cố B không làm thay ñổi xác suất của biến cố A . Khi ñó, người ta nói biến cố A ñộc lập với biến cố B. Với công thức (6), ñiều kiện P(A/B) = P(A) có thể viết dưới dạng P(AB) = P(A).P(B). Dạng này ñối xứng ñối với A và B, nghĩa là nếu A ñộc lập với B thì B cũng ñộc lập với A. 4.4. Định nghĩa. Hai biến cố A và B trong một không gian xác suất ñược gọi là ñộc lập nếu P(AB) = P(A).P(B) (8) Khái niệm ñộc lập cũng ñược mở rộng cho n (n > 2) biến cố. 4.5. Định nghĩa. Các biến cố A1, A2, ..., An ñược gọi là ñộc lập nếu với mọi số nguyên m từ 2 ñến n và với mọi nhóm biến cố Ak , Ak ,..., Ak ( 1 ≤ 1 2 m k1 < k2 < ...< km ≤ n), chúng ta có: P( Ak . Ak ... Ak ) = P( Ak ). P( Ak )... P( Ak ) . 1 2 m 1 2 m Thông thường, dựa vào bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công nhận rằng các biến cố ñộc lập mà không phải chứng minh.
12 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông 4.6. Định lý. Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C. (i) Nếu A và B ñộc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau ñây ñều ñộc lập ( A và B), (A và B ) và ( A và B ) cũng ñộc lập. (ii) Nếu A, B và C ñộc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau ñây ñều ñộc lập: ( A , B và C); (A, B và C); (A, B và C ); ( A , B và C); ( A , B và C ); ( A , B và C ) và ( A , B và C ) Chứng minh. (i) P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = P ( B ) − P ( A).P ( B ) = (1 − P ( A)).P ( B ) = P( A)P( B ) Vậy, ( A và B) ñộc lập. Từ kết quả trên, dễ dàng suy ra ( A và B ) và (A và B ) ñộc lập. (ii) Dùng (i), ñể chứng minh ( A , B và C) ñộc lập, chúng ta chỉ cần chứng minh P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ). Tương tự cho các nhóm 3 biến cố khác. (Dành cho bạn ñọc).■ 4.7. Thí dụ. 4.7.1. Từ một hộp chứa 8 viên bi ñỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất ñể lấy ñược (a) 2 viên bi ñỏ; (b) hai viên bi khác màu; (c) viên bi thứ hai là bi trắng. Giải. Với i ∈ {1, 2}, ñăt: Ti : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi trắng”, Di : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi ñỏ”. (a) Đặt A: “lấy ñược 2 viên bi ñỏ”, chúng ta có: P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2/D1) = 8 . 7 = 14 13 12 39 (b) Đặt B: “lấy ñược hai viên bi khác màu”, chúng ta có: P(B) = P(T1D2 + D1T2) = P(T1D2) + P(D1T2) = P(T1).P(D2/T1) + P(D1).P(T2/D1)
Chưng 1 XÁC SUT 13 P(B) = 5 8 + 8 5 = 20 13 12 13 12 39 (c) T2 = T1T2 + D1T2, nên xác suất phải tính là: P(T2) = P(T1T2) + P(D1T2) = P(T1).P(T2/T1) + P(D1).P(D2/T1) P(T2) = 5 4 + 8 5 = 5 13 12 13 12 13 4.7.2 Giải lại Thí dụ 1.4.7.1, nhưng thay cụm từ “không hoàn lại” thành “có hoàn lại”. Giải. Với giả thiết này, các cặp biến cố (T1, T2); (T1, D2); (D1, T2) và (D1, D2) ñộc lập. Do ñó, (a) P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2) = 8 . 8 = 64 13 13 169 Tương tự cho các câu sau. Bạn ñọc tự giải. 5. SỰ PHÂN HOẠCH KHÔNG GIAN MẪU - CÔNG THỨC BAYES Các biến cố H1, H2, . . ., Hn trong một không gian mẫu M ñược gọi là tạo thành một phân hoạch của M nếu: ( ñặt I = {1,2, …, n} )  ∀( i, j ) ∈ I 2 , ( i ≠ j ⇒ H H = ∅ )  i j  n  ∪ Hi = M  i = 1 Có tài liệu gọi chúng là một Nhóm ñầy ñủ các biến cố. Với biến cố A bất kỳ trong M: A = MA = (H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn)A = (H1A) + (H2A) + . . . + (HnA) Vậy, n P ( A) = ∑ P ( H i ). P ( A / H i ) (9) i =1 (9) ñược gọi là công thức xác suất theo giả thiết. Các xác suất P(Hi) và P(A/ Hi) thường ñược biết trước khi thực hiện phép thử và ñược gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất P ( H i / A ) , cho biết khả năng tham gia của Hi
14 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông vào việc xảy ra biến cố A, ñược gọi là xác suất hậu nghiệm. Chúng ta có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các xác suất tiền nghiệm : P( Hi A) P( Hi ). P( A / Hi ) P( Hi / A) = = P( A) P( A) Dùng (9), chúng ta có 5.1. Định lý BAYES. Giả sử H1, H2, . . ., Hn là một phân hoạch của không gian xác suất M và A là một biến cố bất kỳ trong M. Khi ñó, với mọi i ∈ {1, 2, ..., n }: P ( H i ). P ( A / H i ) P ( H i / A) = n (10) ∑ P ( H i ). P ( A / H i ) i =1 5.2. Thí dụ. 5.2.1. Ba người cùng vào một cửa hàng. Mỗi người muốn mua một cái Tivi, nhưng cửa hàng chỉ còn hai cái Tivi. Người bán hàng làm 3 lá thăm, trong ñó có hai lá ñược ñánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một lá thăm. Nếu ai rút ñược lá có ñánh dấu thì ñược mua Tivi. Chứng minh rằng cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua hàng. Giải. Đặt Ai : “người thứ i rút ñược lá thăm có ñánh dấu” ( i ∈ {1,2,3} ), chúng ta có: • P(A1) = 2 , 3 • Vì A2 = A1 A2 + A1 A2 nên P ( A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P ( A1 ).P ( A2 / A1 ) = 2. 1 + 1.1 = 2 3 2 3 3 • Vì A3 = ( A1 A2 ) + A11 , nên P( A3 ) = P( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P( A1 ) = 2.1 + 1 = 2 3 2 3 3 Vì P(A1) = P(A2) = P(A3) = 2 nên cách làm trên là công bằng cho cả 3 3 người mua hàng. Thí dụ 5.2.1 có thể ñược mở rộng như sau: Trong một ñợt xổ số, công ty phát hành N vé số, trong ñó có k vé trúng thưởng (1 ≤ k ≤ N). n người (1 ≤ n ≤ N) lần lượt mua mỗi người một vé số.
Chưng 1 XÁC SUT 15 Chứng minh rằng n người ñó ñều có cơ hội trúng thưởng như nhau. ( xem như bài tập) 5.2.2. Một lô hạt giống gồm làm 3 loại ñể lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt, loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nẩy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3, theo thứ tự, là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lô hạt giống . (a) Tính xác suất ñể hạt giống lấy ra là nẩy mầm ñược. Ý nghĩa của xác suất này ñối với lô hạt giống là gì? (b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm ñược. Tính xác suất ñể hạt giống ñó thuộc loại 2. (c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm ñược. Nhiều khả năng nhất là hạt giống ñó thuộc loại nào? Tại sao? Giải. (a) Gọi A: “hạt giống lấy ra là hạt nẩy mầm ñược” và Hi là biến cố " hạt giống lấy ra thuộc loại i" (i = 1, 2, 3), chúng ta có: P(H1) = 2/3, P (H2) = 1/4, P(H3) = 1/12, P(A/H1) = 0,8; P (A/H2) = 0,7 và P(A/H3) = 0,5. 3 P ( A) = ∑ P ( H i ). P( A / H i ) i =1 = 2 .0,8 + 1 .0,7 + 1 .0, 5 = 0,75. 3 4 12 Xác suất P(A) chính là tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống. (b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm ñược. Xác suất phải tính là P(H2 /A). Theo Định lý Bayes, P ( H 2 ). P( A / H 2 ) 0,25 × 0,7 P( H 2 / A) = = = 7 P( A) 0,75 30 (c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm ñược. So sánh giá trị các xác suất: P ( H1 / A) , P ( H 2 / A) và P ( H 3 / A) ; sẽ thấy nhiều khả năng nhất là hạt giống ñó thuộc loại 1. ( P ( H1 / A) lớn nhất). Bạn ñọc tự giải. 5.2.3. Có hai hộp ñựng bi. Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi ñỏ; hộp thứ hai có 3 bi trắng và 5 bi ñỏ.
16 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất ñể lấy ñược 3 bi ñỏ; lấy ñược 4 bi cùng màu. (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 4 bi thì ñược 2 bi trắng. Tính xác suất ñể 4 bi ñó thuôc hộp thứ nhất. Giải. (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai viên bi: Với i ∈ {0,1, 2} và j ∈ {0,1, 2}, ñăt tên các biến cố: Ai : “lấy ñược i bi ñỏ từ hộp 1”, Bj : “lấy ñược j bi ñỏ từ hộp 2”; K: “lấy ñược 3 bi ñỏ và 1 bi trắng”; và M: “lấy ñược 4 bi cùng màu”. Các cặp biến cố (Ai, Bj) ñộc lập. K = A1B2 + A2B1 nên P(K) = P(A1).P(B2) + P(A2).P( B1); C18 .C12 C 25 C 2 C1 C1 P(K) = . + 8 . 5 3 = 29 . C102 C 82 2 C10 C82 63 M = A 2 B2 + A 2 B2 nên P(M) = P(A 2 ).P(B2 ) + P(A 2 ).P(B2 ) ; C 82 C 25 C2 C2 P(M) = . + 2 . 3 2 C2 C10 2 C2 C10 8 8 (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 4 bi: Đặt Hi : “lấy ñược hộp thứ i” ( i = 1, 2 ) và T : “lấy ñược 2 bi trắng”, chúng ta có: P(H1) = P(H2) = 1 ; 2 C2 .C2 P(T/H1) = 2 8 = 2 C4 15 10 C2 .C52 và P(T/H2) = 3 =3 C4 7 8
Chưng 1 XÁC SUT 17 Xác suất phải tính là P(H1 / T). Vì T = H1T + H2T nên P(T) = P(H1).P(T/H1) + P(H2).P(T/H2) = 1 . 2 + 1 . 3 = 59 2 15 2 7 210 Vậy, P ( H1 ). P (T / H1 ) P( H1 / T ) = P (T ) = 1 . 210 = 14 . 15 59 59 6. QUÁ TRÌNH BERNOULLI 6.1. Định nghĩa. (a) Giả sử một phép thử chỉ có hai kết quả sơ cấp; một ñược gọi là "Thành công" ký hiệu là T, và kết quả kia ñược gọi là "Thất bại", ký hiệu là B. Nếu xác suất cho thành công là p thì xác suất cho thất bại là q = 1 − p. Một phép thử như thế ñược gọi là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho thành công là p, ký hiệu là B(p). (b) Lặp lại phép thử B(p) n lần ñộc lập nhau, chúng ta có một phép thử ñược gọi là một Quá trình Bernoulli (n,p), ký hiệu là B(n,p). Không gian mẫu của B(n,p) chứa 2n ñiểm, mỗi ñiểm ñược biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm các chữ T và B. Theo ñịnh nghĩa, P(TTBT...BT) = ppqp...qp. Số lần thành công trong một quá trình B(n,p) có thể là 0, 1, 2, ..., n và bài toán ñặt ra là: Tính xác suất ñể có x thành công trong quá trình (0 ≤ x ≤ n). Số trường hợp biến cố " có x thành công trong quá trình" có thể xảy ra bằng với số trường hợp phân phối x chữ T trong n vị trí; số ñó là Cnx . Nói cách khác, biến cố trên chứa Cnx ñiểm, mỗi ñiểm có xác suất pxq n − x. Vậy, với mọi x ∈ {0,1,…, n}, biến cố Tx : “có x thành công trong B(n, p)” có xác suất là P(Tx ) = Cnx p x ( 1 − p) n − x (11) Đặc biệt, xác suất ñể không có lần thành công nào là qn và xác suất ñể có ít nhất một lần thành công là 1 − qn. ( với q = 1 − p) (11) ñược gọi là công thức Bernoulli.
18 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông • Nếu giữ n và p cố ñịnh thì xác suất P(Tx), ký hiệu là Pn(x), là một hàm theo x. Chúng ta khảo sát sự biến thiên của Pn(x) khi x tăng từ 0 ñến n. Với mọi x {1, 2, . . . , n }, Pn ( x) (n − x + 1) p (n + 1) p − x = = 1+ Pn ( x − 1) xq xq Do ñó, Pn(x) > Pn(x −1) ⇔ x < (n + 1)p. Ký hiệu [(n + 1)p] là phần nguyên của (n + 1)p, chúng ta có 6.2. Định lý. Trong quá trình B(n,p), xác suất ñể có x thành công, x ∈ {0, 1,…, n}, là: Pn x ) = Cnx p x ( 1 − p) n − x (14) Ngoài ra, khi x tăng dần từ 0 ñến n thì Pn(x) tăng dần và ñạt giá trị lớn nhất khi x = [(n + 1)p], sau ñó Pn(x) giảm dần. Người ta gọi xo = [(n + 1)p] là Số thành công có xác suất lớn nhất hay còn gọi là Số thành công có khả năng nhất. Thực ra, khi n có giá trị lớn, tất cả các số hạng Pn(x) ñều bé. 6.3. Thí dụ. 6.3.1. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 75 sản phẩm do máy ñó sản xuất ra. (a) Tính xác suất ñể trong lô hàng, có 10 phế phẩm (b) Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng. Giải. Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy ñó sản xuất 75 sản phẩm, nó ñã thực hiện quá trình B(75; 0,08). (a) Xác suất phải tính: P75(10) = C10 10 75 (0, 08) .(0, 92) 65 = 0, 03941 (b) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là: [(75 + 1). 0,08] = 6, với xác suất tương ứng:
Chưng 1 XÁC SUT 19 P75(6) = C675 (0, 08)6 .(0, 92)69 = 0,16745 6.3.2. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% ñể nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất ñể có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?. Giải. Gọi n là số hạt phải lấy, chúng ta có B(n; 0,03). Xác suất ñể có ít nhất một hạt lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n . Theo giả thiết, chúng ta có: 1 − (0,97)n ≥ 0,95 ⇔ (0,97)n ≤ 0,05 ln 0, 05 ⇔ n≥ = 98,3523 ln 0, 97 Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống. 7. NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM Chúng ta ñã biết, một trong những cơ sở của khái niệm xác suất của một biến cố là tính ổn ñịnh tần suất của biến cố ñó. Như vậy quy luật xác suất sẽ xuất hiện khi có một số lớn các phép thử. Tuy nhiên, trong thực tế, khi chỉ tiến hành một phép thử, nguyên lý sau ñây, gọi là Nguyên lý biến cố hiếm, sẽ ñược áp dụng. Một biến cố có xác suất rất bé là biến cố rất khó xảy ra. Khi chỉ tiến hành một phép thử về biến cố ñó, trong thực hành, biến cố ñó chắc chắn sẽ không xảy ra. Tùy theo mỗi lĩnh vực ứng dụng, người ta qui ñịnh một mức α khác nhau; xác suất dưới mức α ñó ñược coi là rất bé. Mức α có thể là 5%, 1%, có khi là vài phần nghìn, e.g. trong sinh học, một biến cố có xác suất không quỏ 5% thường ñược xem là hiếm, gần như không thể có. Nếu chỉ thực hiện một phép thử ñã thấy một biến cố A xảy ra thì xác suất của biến cố A phải lớn hơn α. Nguyên lý biến cố hiếm ñược dùng làm cơ sở lôgic cho nhiều phán ñoán thống kê mà chúng ta sẽ gặp ở phần thứ hai của giáo trình. Thí dụ. Một lớp có mặt 50 học sinh. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 học sinh lên bảng, thấy cả hai ñều không thuộc bài. Hãy dự ñoán xem, hôm nay, lớp có bao nhiêu học sinh không thuộc bài? Giải. Giả sử trong lớp có x học sinh không thuộc bài, xác suất ñể hai học sinh, ñược gọi ngẫu nhiên, ñều không thuộc bài là:
20 Xác sut − Thng kê Phm Đc Thông C2x x ( x −1) = 2 C50 50. 49 Biến cố “hai học sinh ñược gọi lên ñều không thuộc bài” xảy ra ngay phép thử ñầu tiên, nên không phải là một biến cố hiếm. Theo nguyên lý biến cố hỉếm, nếu lấy mức α = 5% thì chúng ta có: x ( x −1) > 5 50. 49 100 ⇔ 2x2 − 2x − 245 > 0 Vậy, hôm nay, lớp có ít nhất 12 học sinh không thuộc bài. TK XS 2008 BÀI TẬP 1.1. Cho ba biến cố A, B và C. Hãy viết thành biểu thức theo A, B và C các biến cố sau: (a) cả A, B và C ñều xảy ra; (b) ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra; (c) chỉ có A xảy ra;