zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 1 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 1: biến cố và xác suất của biến cố" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phép thử, biến cố, các loại biến cố; mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố; định nghĩa xác suất; các công thức xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 1 - Nguyễn Phương

Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ NGUYỄN PHƯƠNG Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 19 tháng 5 năm 2024 1
1 Phép thử, biến cố, các loại biến cố 2 Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố Tích hai biến cố Biến cố xung khắc Biến cố đối lập 3 Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa theo thống kê 4 Các công thức xác suất Công thức cộng Xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất Bayes Công thức Bernoulli 2
Phép thử, biến cố, các loại biến cố Phép thử - Phép thử là một thí nghiệm/thực nghiệm để nghiên cứu một đối tượng hay một hiện tượng nào đó. - Một phép thử mà ta chưa biết kết quả nào xảy ta được gọi là phép thử ngẫu nhiên. Hình 1.1: Phép thử ngẫu nhiên 3
Phép thử, biến cố, các loại biến cố Biến cố - Một phép thử có thể có nhiều kết quả có thể xảy ra. - Mỗi kết quả có thể xảy ra hay không xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. - Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố sơ cấp. - Tập hợp tất cả biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu của phép thử. (a) Phép thử ngẫu nhiên (b) Không gian mẫu và biến cố - Biến cố là tập con của không gian mẫu, chứa các biến cố sơ cấp. - Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một biến cố sơ cấp thuộc nó xảy ra. 4
Phép thử, biến cố, các loại biến cố Phân loại biến cố - Biến cố chắc chắn: biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, được ký hiệu là Ω. - Biến cố không thể: biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử, được ký hiệu là ∅. - Biến cố ngẫu nhiên: biến cố có thể xảy ra, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử, thường dùng các chữ in hoa đầu bảng Alphabet, chẳng hạn A, B, . . . , A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn để ký hiệu cho biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ 1.1 Tung một con xúc xắc 6 chấm. - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7. - C là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm. Ví dụ 1.2 Kiện hàng có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ra 5 sản phẩm để kiểm tra. Cho ví dụ biến cố ngẫu nhiên, biến cố không thể, biến cố chắc chắn.
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố Tổng hai biến cố ➤ Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A + B hoặc A ∪ B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra. ➤ A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra. Ví dụ 2.1 Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú. A là biến cố người thứ nhất bắn trúng. B là biến cố người thứ hai bắn trúng. Hãy nêu ý nghĩa của C với C = A + B .
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố Tổng n biến cố ➤ Tổng của n biến cố A1 , A2 , . . . , An là một biến cố, kí hiệu A1 + A2 + . . . + An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố A1 , A2 , . . . , An xảy ra. ➤ A1 + A2 + . . . + An xảy ra ⇔ A1 xảy ra hoặc A2 xảy ra hoặc . . . hoặc An xảy ra. Ví dụ 2.2 Có 3 thợ săn cùng bắn một con thú. - A là biến cố người thứ nhất bắn trúng - B là biến cố người thứ hai bắn trúng - C là biến cố người thứ ba bắn trúng - D là biến cố con thú bị trúng đạn Hãy biểu diễn D theo A, B, C.
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Tích hai biến cố ➤ Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu AB hoặc A ∩ B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A, B xảy ra. ➤ Nhận xét: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra. Ví dụ 2.3 Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú. - A là biến cố người thứ nhất bắn trật. - B là biến cố người thứ hai bắn trật. Hãy nêu ý nghĩa của C với C = AB. 8
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố Tích n biến cố ➤ Tích của n biến cố A1 , A2 , . . . , An là một biến cố, kí hiệu A1 A2 . . . An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố A1 , A2 , . . . , An xảy ra. ➤ A1 A2 . . . An xảy ra ⇔ A1 xảy ra và A2 xảy ra và . . . và An xảy ra. Ví dụ 2.4 Kiểm tra chất lượng n sản phẩm. Ai là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm tốt. Hãy biểu diễn biến cố sau theo các Ai : - C là biến cố tất cả các sản phẩm đều tốt - D là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố xung khắc Biến cố xung khắc ➤ Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu A, B không thể đồng thời xảy ra, tức là AB = ∅. Biến cố xung khắc từng đôi Các biến cố A1 , A2 , . . . , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu không có bất kỳ 2 biến cố nào trong n biến cố A1 , A2 , . . . , An đồng thời xảy ra, tức là bất kỳ 2 trong n biến cố này xung khắc với nhau. Hệ đầy đủ các biến cố Các biến cố A1 , A2 , . . . , An được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử, tức là i) A1 , A2 , . . . , An xung khắc từng đôi ii) A1 + A2 + . . . + An = Ω
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố xung khắc Ví dụ 2.5 Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố "có 1 phế phẩm" và biến cố "có 2 phế phẩm" là hai biến cố xung khắc. Ví dụ 2.6 Hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi. Gọi Ai là biến cố có i bi xanh trong 3 bi lấy ra (i=0,1,2,3). - A0 , A1 , A2 là các biến cố xung khắc từng đôi, nhưng không là hệ đầy đủ. - A0 , A1 , A2 , A3 là hệ đầy đủ.
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập Biến cố đối lập ➤ Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra và A không xảy ra thì B xảy ra. Khi đó, B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A. ➤ Biến cố đối lập của biến cố A kí ¯ hiệu là A. - AA = ∅, tức là hai biến cố đối lập thì xung khắc nhau. - A + A = Ω. Ví dụ 2.7 Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng. Khi ¯ ¯ đó, A là biến cố xạ thủ bắn không trúng, tức là A là biến cố xạ thủ bắn trật. Ví dụ 2.8 ¯ Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia. A là biến cố xạ thủ bắn trật. Khi đó, A là ¯
Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập Ví dụ 2.9 Kiểm tra 3 sản phẩm do một nhà máy sản xuất. Gọi Ai là biến cố sản phẩm thứ i hỏng. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A1 , A2 , A3 : i) A là biến cố cả 3 sản phẩm đều hỏng. ii) B là biến cố cả 3 sp đều không hỏng. iii) C là biến cố có 1 sp bị hỏng. iv) D là biến cố có 1 sp không bị hỏng. v) E là biến cố có ít nhất 1 sp bị hỏng. vi) F là biến cố có ít nhất 2 sp bị hỏng. 13
Định nghĩa xác suất Xác suất của biến cố là con số đo khả năng xảy ra của biến cố đó, nó đo mức độ tin chắc hay mức độ thường xuyên xảy ra của biến cố đó trong phép thử. Ví dụ: Có 2 xạ thủ A và B cùng bắn vào bia. Xác suất trúng bia của xạ thủ A cao hơn xạ thủ B, tức là A thường xuyên bắn trung bia hơn B, nói cách khác A có nhiều khả năng trúng bia hơn B. Xác suất của biến cố A được kí hiệu là P(A). 0 ≤ P(A) ≤ 1 14
Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa 3.1 Xác suất của biến cố A là tỷ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. số trường hợp thuận lợi đối với A nA P(A) = = số trường hợp có thể N Ví dụ 3.1 Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất a) Xuất hiện mặt 6 chấm. b) Xuất hiện mặt có số chấm chia hết 3. Ví dụ 3.2 Từ một hộp chứa 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm. 15
Định nghĩa xác suất Định nghĩa theo thống kê Định nghĩa 3.2 - Tần suất của biến cố: Nếu thực hiện phép thử n lần, trong đó biến cố A nA xuất hiện nA lần thì tần suất của biến cố A, kí hiệu fn (A), là tỉ số . n nA fn (A) = n - Xác suất của biến cố A: P(A) = lim fn (A). n→∞ Trong thực hành, khi n đủ lớn ta lấy P(A) ≈ fn (A). Ví dụ 3.3 Để kiểm tra tỉ lệ phế phẩm của một container, người ta kiểm tra lần lượt 1000 sản phẩm thì thấy có 6 phế phẩm. 6 P(A) ≈ fn (A) = = 0, 6%. 1000
Các công thức xác suất Công thức cộng Công thức cộng i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B) ii) Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An xung khắc từng đôi thì P(A1 + A2 + · · · + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · + P(An ) ¯ ¯ Nhận xét: P(A) + P(A) = 1 −→ P(A) = 1 − P(A) Ví dụ 4.1 Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm. a) Tính xác suất có không quá 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra. b) Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra.
Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B, kí hiệu P(A|B). Ví dụ 4.2 Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 lần, mỗi lần 1 viên bi. Tính xác suất để lần lấy thứ hai được viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng. Ví dụ 4.3 Hộp 1 có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Hộp 2 có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ hộp 1 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp 2, rồi từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ra ngoài. Tính xác suất: a) Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại A. b) Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại B.
Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện P(AB) nAB P(A|B) = = P(B) nB Tính chất i) 0 ≤ P(A|B) ≤ 1. ¯ ii) P(A|B) + P(A|B) = 1. Ví dụ 4.4 Một nhóm 100 người (30 nữ, 70 nam) có 20 người hút thuốc, trong đó có 5 nữ hút thuốc. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác suất: a) Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ. b) Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc. 19
Các công thức xác suất Công thức nhân Công thức nhân i) Nếu A và B là 2 biến cố bất kì thì P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B). ii) Nếu A và B là 2 biến cố độc lập thì P(AB) = P(A)P(B). iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An là n biến cố bất kì thì P(A1 A2 . . . An ) = P(A1 )P(A2 |A1 ) . . . P(An |A1 A2 . . . An−1 ) iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An là n biến cố độc lập thì P(A1 A2 . . . An ) = P(A1 )P(A2 ) . . . P(An ) Ví dụ 4.5 Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả vào rổ. Xác suất ném trúng rổ của từng người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất a) Cả 3 người ném trúng rổ. b) Cả 3 người ném trật rổ. c) Có ít nhất một người ném trúng rổ. d) Có 2 người ném trúng rổ. e) Người thứ ba ném trật, biết rằng có hai người ném trúng rổ.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.