Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 3 - Nguyễn Minh Hải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng, cung cấp những kiến thức như Quy luật 0-1: A(p); Quy luật nhị thức: B(n,p); Quy luật Poisson; Quy luật đều; Quy luật chuẩn; Quy luật khi bình phương; Quy luật Student; Quy luật Fisher-Snedeco. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 3 - Nguyễn Minh Hải

Chương 3.Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng  Quy luật 0-1: A(p)  Quy luật nhị thức: B(n,p)  Quy luật Poisson  Quy luật đều  Quy luật chuẩn  Quy luật khi bình phương  Quy luật Student  Quy luật Fisher-Snedeco 1
Bài toán gốc. Giả sử trong bình có N quả cầu trong đó có M quả cầu trắng và (N-M) quả cầu đen. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên từ bình ra một quả cầu. 2
3.1.Quy luật không-một: A(P)  Giả sử từ bình lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Gọi X là biến cố lấy được quả cầu trắng. X 0 1 M p 1-p p N  X~A(p)  E(X) =p; V(X) = pq (q= 1-p)  Ý nghĩa 3
3.2.Quy luật nhị thức~B(n,p)  Giả sử, từ lô cầu gồm M- cầu trắng, (N-M) cầu đen, lấy lần lượt ra n quả theo phương thức hoàn lại. Gọi X biến cố lấy được quả cầu trắng. Tìm quy luật phân phối xác suất của X.  X ~ B(n,p), nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…, n với xác suất tương ứng được xác định theo công thức Bernoulli: P(X x) Cn pxq n x , x x 0,1,2,..., n, q 1 p  Tính chất: E(X)= np; V(X) = npq; np-q ≤ m0 ≤ np+p; P( x ≤ X ≤ x+h ) = px + px+1 +…+ px+h 4
Bài mẫu Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1.  a. Tìm quy luật phân phối của số máy hỏng trong một ngày?  b. Tìm xác suất để trong một ngày có hai máy hỏng?  c.Tìm xác suất để trong một ngày có không quá 2 máy hỏng ? 5
3.3.Quy luật Poisson ~P(λ) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ~ P(λ), nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1,2,…, n với xác suất tương ứng cho bởi công thức: x P(X x) e ; x 0,1,2,...,n, np 0 x! Các tham số đặc trưng: E(X) = V(X) = λ Tính chất: P(x X x h) Px Px 1 ... Px h Px Px 1 x 6
Bài mẫu. Một máy dệt có 5000 ống sợi, xác suất để trong một phút một ống sợi bị đứt bằng 0,002. a. Tìm quy luật phân phối của số ống sợi bị đứt trong một phút b. Tìm xác suất để trong một phút có không quá 2 ống sợi bị đứt. 7
3.4.Quy luật Siêu bội ~M(N,n)  Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra n quả theo phương thức không hoàn lại. Gọi X là số quả cầu trắng trong n quả cầu lấy ra.  X ~ M(N, n) nếu X nhận một trong các giá trị có thể X = 0,1,2,…,n với các xác suất tương ứng cho bởi công thức: x n x C M .C N M Px ; x 0,1,..., n Cn N Tính chất. M E(X) n. np N M N M N n N n V(X) n. . . npq. N N N 1 N 1 8
3.3.Quy luật chuẩn X N ( ,  2 ) (x m )2 1  Hàm mật độ: f (x ) e 2s2 s 2p 9
Nếu X ~ N(μ, σ2 ) thì hàm phân phối của X có dạng: x (u )2 1 2 2 F(x) e du 2 Công thức xác suất: P(a X b) F(b) F(a) Để tính xác suất P(a
Nếu biến ngẫu nhiên liên tục U~ N(0, 1). Ta có các công thức tính xác suất cho U~ N(0, 1 ) như sau: P(a U b) 0 (b) 0 (a) 1 . P(U a) 0 (a) 2 1 P(a U) 0 (a) 2 Trong đó: u z2 1 2 0 (u) e dz 2 0 Giá trị hàm Φ0(u) được tính sẳn thành bảng. 11
Cho X~ N(μ,σ2). X Đặt U thì U có phân phối chuẩn: U~ N(0,1). Ta có công thức tính xác suất cho X~ N(μ,σ2) như sau: a X b b a P(a X b) P 0 ( ) 0 ( ) . u z2 Trong đó: 1 2 0 (u) e dz 2 0 Tính chất. Hàm Φ0 (u) đối xứng qua gốc tọa độ, do đó: 0 ( u) 0 (u) u 5 0 (u) 0 (5) 0,5 12
Công thức tính xác suất cho biến X ~ N ( μ; σ2 ) là: X b b 1 b P(X b) P P(U ) 0 ( ) 2 X a a 1 a P(X a) P P U ( 0 ) 2  Đặc biệt, ta có: P(| X   |  )  P(     X     )      0 ( )   0 ( )  2 0 ( )     Quy tắc 2 sigma, 3 sigma ??? 13
Ví dụ. Năng suất của một loại cây ăn quả là một biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với năng suất trung bình là 20kg/cây và độ lệch chuẩn là 2,5 kg. a. Các giá trị 20 và 2,5 là giá trị của tham số nào trong phân phối chuẩn? b. Cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá là cây có năng suất tối thiểu là 15 kg. Tính tỷ lệ cây đạt tiêu chuẩn? c. Nếu cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá sẽ lãi 500 ngàn đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ làm lỗ 1 triệu đồng. Người ta thu hoạch ngẫu nhiên một lô gồm 100 cây, hãy tính tiền lãi trung bình cho lô cây đó. 14
Giá trị tới hạn chuẩn Giá trị uα được gọi là giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ α ≤ 1) của biến ngẫu nhiên U nếu: P(U u ) Tính chất: u u1 Một số giá trị đặc biệt u0,025 1,96 P(U 1,96) 0,025 u0,05 1,645 P(U 1,645) 0,05 15
Sự hội tụ về phân phối chuẩn  Đồ thị hàm mật độ f(x) của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 16
4.5.Sự hội tụ P(λ),B(n,p) về phân phối chuẩn Khi số phép thử n khá lớn:  Nếu p quá nhỏ thì dùng P(λ) thay cho B(n, p).  Nếu p không nhỏ (p > 0,1) thì không thể dùng P(λ) để thay cho B(n, p) được. Quy luật phân phối chuẩn sẽ được sử dụng để thay thế cho quy luật B(n, p) nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: n 5 p 1 p 1 0,3 1 p p n Khi đó, biến ngẫu nhiên X~ B(n,p) có thể coi như phân phối xấp xỉ chuẩn: X~ N(μ = np; σ2 = npq). 17
 Công thức Laplace để tính các xác suất: x x n x 1 x np P(X x) C n p q ( ) npq npq P(x X x h) Px Px 1 ... Px h x h np x np 0 0 npq npq Ví dụ 1. Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất không được kiểm tra chất lượng bằng 0,2. Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm được sản xuất ra có: 1. Có 80 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng 2. Có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng. 18
Ví dụ 2. Tiến hành thực hiện 10 quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn X ~ N(5; 0,16) 1. Tìm xác suất P (4 ≤ X≤ 5,5). 2. Tìm xác suất sao cho trong 10 quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X có 6 lần X nhận giá trị trong [4; 5,5]. Câu hỏi: Quá trính hội tụ của quy luật Poisson về quy luật chuẩn sẽ diễn ra khi nào ??? 19
3.6. Định lý giới hạn trung tâm  Định lý Liapunốp Nếu X1, X2,…, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó, với các kỳ vọng: E(X1),…, E(Xn) và phương sai: V(X1), V(X2),…, V(Xn) đã biết thì biến ngẫu nhiên: n X Xi i 1 có phân phối xấp xỉ chuẩn: X ~ N(μ, σ2), trong đó μ, σ2 được tính bằng công thức: n 30 n 30 2 E(X i ), V(X i ) i 1 i 1 20