intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
17
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phân phối xác suất, hiệp phương sai và hệ số tương quan, tổng của hai biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 3 - Nguyễn Phương

  1. Chương 3: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 1 tháng 6 năm 2024 1
  2. 1 Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất đồng thời Phân phối xác suất biên Phân phối và kỳ vọng có điều kiện 2 Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai Hệ số tương quan 3 Tổng của hai biến ngẫu nhiên 2
  3. Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất đồng thời Ví dụ 1.1 Xavier và Yvette là hai nhà môi giới bất động sản. Gọi X là số căn hộ Xavier bán được trong một tháng và Y là số căn hộ Yvette bán được trong một tháng. Phân tích số liệu quá khứ số căn hộ mà Xavier và Yvette bán được trong một tháng, ta được bảng phân phối xác suất đồng thời: HH Y H 0 1 2 X HH 0 0,12 0,21 0,07 1 0,42 0,06 0,02 2 0,06 0,03 0,01 Xác suất Xavier bán được 0 căn hộ và Yvette bán được 1 căn hộ trong 1 tháng là P(X = 0, Y = 1) = 0, 21. 3
  4. Phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất đồng thời Cho biến ngẫu nhiên rời rạc 2 − chiều Z = (X, Y). Khi đó, bảng phân phối xác xuất đồng thời của Z có dạng: HH Y H y1 y2 ... yn X HH x1 p(x1 , y1 ) p(x1 , y2 ) ... p(x1 , yn ) x2 p(x2 , y1 ) p(x2 , y2 ) ... p(x2 , yn ) . . . ··· ··· ··· ··· xm p(xm , y1 ) p(xm , y2 ) ... p(xm , yn ) trong đó X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xm } , Y(Ω) = {y1 , y2 , . . . , yn } và p(xi , yj ) = P(X = xi , Y = yj ) 4
  5. Phân phối xác suất Phân phối xác suất biên Ví dụ 1.2 Tiếp tục ví dụ 1.1, xác định phân phối xác suất biên của biến ngẫu nhiên X và biến ngẫu nhiên Y. Từ bảng phân phối xác xuất đồng thời của Z, ta xác định được: HH Y H y1 y2 ... yn X HH x1 p(x1 , y1 ) p(x1 , y2 ) ... p(x1 , yn ) p(x1 , .) x2 p(x2 , y1 ) p(x2 , y2 ) ... p(x2 , yn ) p(x2 , .) . . . ··· ··· ··· ··· ··· xm p(xm , y1 ) p(xm , y2 ) ... p(xm , yn ) p(xm , .) p(., y1 ) p(., y2 ) ... p(., y1 ) 1 trong đó p(xi , .) = p(xi , yj ), p(., yj ) = p(xi , yj ) tất cả xi tất cả yj X, Y độc lập ⇔ p(xi , yj ) = p(xi , .).p(., yj ) với mọi i, j.
  6. Phân phối xác suất Phân phối và kỳ vọng có điều kiện Ví dụ 1.3 Tiếp tục ví dụ 1.1, biết rằng Y = 1 lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. Phân phối của X với điều kiện là Y = yj : X x1 x2 ... xm p(xi , yj ) với p(xi |yj ) = P p(x1 |yj ) p(x2 |yj ) ... p(xm |yj ) p(., yj ) Phân phối của Y với điều kiện là X = xi : Y y1 y2 ... yn p(xi , yj ) với p(yj |xi ) = P p(y1 |xi ) p(y2 |xi ) ... p(yn |xi ) p(xi , .) Kỳ vọng có điều kiện E X|Y = yj = xi p(xi |yj ) tất cả xi E (Y|X = xi ) = yj p(yj |xi ) tất cả yj 6
  7. Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai Hiệp phương sai - Covariance cov(X, Y) = E (X − µX )(Y − µY ) cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) với E(XY) = xi yj p(xi , yj ) i j Ví dụ 2.1 Tiếp tục ví dụ 1.1, tính hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X, Y. Tính chất 2.1 1 cov(aX + b, cY + d) = ac.cov(X, Y) 2 X, Y độc lập ⇒ E(XY) = E(X).E(Y) ⇔ cov(X, Y) = 0 Các hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên nhiều chiều có thể được đặt trong một ma trận gọi là ma trận hiệp phương sai. var(X) cov(X, Y) Ma trận hiệp phương sai của Z = (X, Y): cov(Z) = cov(X, Y) var(Y)
  8. Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hệ số tương quan Hệ số tương quan cov(X, Y) ρXY = σX .σY Ví dụ 2.2 Tiếp tục ví dụ 1.1, tính hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y. Tính chất 2.2 1 −1 ≤ ρXY ≤ 1 1 nếu a > 0 2 Nếu Y = aX + b thì ρXY = −1 nếu a < 0 3 Nếu X, Y độc lập thì ρXY = 0. 8
  9. Tổng của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 3.1 Tiếp tục ví dụ 1.1, tính E(X + Y) và var(X + Y). m n Với Z = φ(X, Y) thì E(Z) = E [φ(X, Y)] = φ(xi , yj )pij i=1 j=1 Kỳ vọng và phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên 1 E(X + Y) = E(X) + E(Y) 2 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2cov(X, Y) Trong trường hợp X và Y độc lập thì cov(X, Y) = 0, do đó Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Tổng quát 1 E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c 2 Var(aX + bY + c) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) + 2abcov(X, Y)
  10. Tổng của hai biến ngẫu nhiên Trong trường hợp X và Y độc lập thì cov(X, Y) = 0, do đó Var(aX + bY + c) = a2 Var(X) + b2 Var(Y) Ví dụ 3.2 Một nhà đầu tư có thông tin về lợi tức (return) của hai loại cổ phiếu như sau: Stock 1 2 Mean 0,09 0,13 Standard deviation 0,15 0,21 a) Nếu nhà đầu tư này mong muốn lợi nhuận cực đại thì anh ấy nên chọn đầu tư vào cổ phiếu nào? b) Nếu nhà đầu tư này mong muốn tối thiểu hóa rủi ro thì anh ấy nên chọn đầu tư vào cổ phiếu nào? c) Nhà đầu tư này đầu tư 60% vào cổ phiếu thứ nhất và 40% vào cổ phiếu thứ hai. Biết rằng hệ số tương quan của lợi tức của hai cố phiếu là 0,4. Tính kỳ vọng và phương sai của lợi tức của danh mục này. d) Biết rằng hệ số tương quan của lợi tức của hai cố phiếu là 0,4. Để giảm thiểu rủi ro thì nhà đầu tư này nên đầu tư vào hai cổ phiếu theo tỉ lệ nào?
  11. Tổng của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 3.3 Thống kê về lãi suất cổ phiếu của 2 ngân hàng A và B trong một số năm tương ứng là X (đơn vị %), Y (đơn vị %) được kết quả cho trong bảng: HH Y H −2 5 10 X HH −1 0,10 0,15 0,10 4 0,05 0,20 0,10 8 0,10 0,15 0,05 a) Tính lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro khi đầu tư vào A và B. b) X và Y có độc lập với nhau không? c) Tính lãi suất trung bình của cổ phiếu A khi lãi suất của cổ phiếu B là 5%. d) Cho kết luận về sự phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. e) Lập bảng phân phối xác suất của T = X + Y, tính E(T), var(T). f) Một nhà đầu tư quyết định đầu tư 40% vốn vào cổ phiếu A và 60% vốn vào cổ phiếu B. Tính lãi suất kỳ vọng và mức độ rủi ro của danh mục này. g) Để hạn chế rủi ro về lãi suất đến mức thấp nhất thì nên đầu tư vào hai cổ phiếu này theo tỉ lệ nào?
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2