Matlab trong Giải tích số 1/57
Chương 4: Ứng dụng Matlab trong Giải tích
số
Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Matlab trong Giải tích số 2/57
Đa thức nội suy
Nội dung
1Đa thức nội suy
Nội suy Lagrange
Nội suy Newton
Nội suy bằng đa thức Chebyshev
Nội suy bằng đa thức Hermit (đọc thêm)
2Giải gần đúng phương trình
Phương pháp chia đôi
Phương pháp dây cung
Phương pháp Newton - Raphson
3Giải gần đúng hệ phương trình
Phương pháp lặp đơn
Phương pháp Jacobi
Phương pháp Gauss-Seidel
Phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến
4Giải gần đúng phương trình vi phân thường
Phương pháp Euler
Phương pháp Euler cải tiến (Modified Euler hay RK-2)
Phương pháp Runge-Kutta
Hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân cấp cao
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Matlab trong Giải tích số 3/57
Đa thức nội suy
Đa thức nội suy
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y=f(x)mà chỉ biết giá trị yitại
các điểm xi∈[a, b] (i= 0,1,...,n). Hoặc trong nhiều trường hợp biểu diễn
giải tích của f(x)đã cho nhưng quá cồng kềnh. Khi dùng phép nội suy ta có
thể dễ dàng tính được ftại bất kỳ điểm x∈[a, b]mà độ chính xác không kém
bao nhiêu.
Bài toán đặt ra:
Cho các mốc nội suy a≤x0< x1<· · · < xn≤b. Hãy tìm đa thức (bậc n)
Pn(x) =
n
P
i=0
cixisao cho:
Pn(xi) = yi=f(xi) (i= 0 ÷n)(1.1)
Đa thức Pn(x)gọi là đa thức nội suy của hàm y=f(x). Ta chọn đa thức để
nội suy hàm vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm.
Việc tính giá trị của nó theo thuật toán Horner cũng đơn giản.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Matlab trong Giải tích số 4/57
Đa thức nội suy
Đa thức nội suy
Cách tiếp cận Vandermond
Các hệ số c0, c1, . . . , cncủa đa thức nội suy bậc ncó thể được tính bằng cách
giải hệ
xn
0xn−1
0· · · x2
0x01
xn
1xn−1
1· · · x2
1x11
xn
2xn−1
2· · · x2
2x21
.
.
..
.
.
xn
nxn−1
n· · · x2
nxn1
c0
c1
c2
.
.
.
cn
=
y0
y1
y2
.
.
.
yn
hay
Ac =y
Hệ trên có định thức Vandermond |A|=
n
Q
1≤i<j
(xj−xi)6= 0 nên có nghiệm
duy nhất.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Matlab trong Giải tích số 5/57
Đa thức nội suy
Nội suy Lagrange
Nội suy Lagrange
Trước hết tìm đa thức Li(x)có bậc nsao cho:
Li(xj) = (1nếu i=j
0nếu i6=j,(∀i, j = 0 ÷n)
Dễ thấy Li(x)có dạng:
Li(x) = Q
j=i
(x−xj)
Q
j=i
(xi−xj)
Đặt P(x) =
n
P
i=0
yi.Li(x) =
n
P
i=1
yiQ
j=i
(x−xj)
Q
j=i
(xi−xj)ta có ngay:
P(xj) =
n
X
i=1
yi.Li(xj) = yj(j= 0 ÷n)(1.2)
Vậy P(x)là đa thức nội suy duy nhất cần tìm.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt