Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê - ThS. Phan Trọng Tiến

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

2
989
lượt xem
275
download

Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê - ThS. Phan Trọng Tiến

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê gồm 4 chương. Chương 1: Phần đầu để cập các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp. Phần sau trình bày khái niệm xác suất và các tính chất của xác suất. Chương 2: Trình bày biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối thường gặp. Chương 3 và 4 trình bày bài toán ước lượng và kiểm định các tham số của biến ngẫu nhiên.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê - ThS. Phan Trọng Tiến

  1. UBND T NH QU NG BÌNH TRƯ NG Đ I H C QU NG BÌNH NH P MÔN LÝ THUY T XÁC SU T TH NG KÊ Th.s PHAN TR NG TI N Biên so n: Qu ng Bình, tháng 4 năm 2009
  2. M cl c M cl c 1 L i nói đ u 2 Chương 1 Các khái ni m cơ b n v xác su t 3 §1 B sung v gi i tích t h p . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2 Phép th ng u nhiên . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §3 Xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §4 Cách tính xác su t . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §5 Quy t c c ng và nhân xác su t . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §6 H bi n c đ y đ và xác su t toàn ph n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §7 Công th c Bayes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Bi n ng u nhiên 19 §1 Bi n ng u nhiên r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §2 B ng phân ph i và hàm phân ph i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §3 Các s Đ c trƯng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §4 Bi n ng u nhiên r i r c có vô s giá tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §5 M t s phân ph i r i r c thư ng g p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3 M u quan sát và bài toán ư c lư ng 31 §1 T ng th và m u quan sát . . . . . . . .. ................... 31 §2 Ư c lư ng tham s c a t ng th . . . . .. ................... 33 §3 Xác đ nh kích thư c m u . . . . . . . . .. ................... 36 Chương 4 Ki m đ nh gi thi t 41 §1 Gi thi t và đ i thi t . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 41 N (µ, σ 2 ) §2 Ki m đ nh giá tr trung bình µ c a bi n phân ph i chu n . . . . . . 42 §3 Ki m đ nh xác su t . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 44 4 Xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 46 5 Bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 49 6 Bài toán ư c lư ng, ki m đ nh . . . . ........... ..... . . . . . . 50 Tài li u tham kh o 55 1
  3. L I NÓI Đ U Lý thuy t Xác su t và th ng kê toán h c là m t ngành toán h c ra đ i vào kho ng th k XVII. Đ i tư ng nghiên c u c a Xác su t - Th ng kê là các hi n tư ng ng u nhiên, các quy lu t ng u nhiên mà chúng ta thư ng g p trong th c t . Khác v i m t s môn Toán h c tr u tư ng, lý thuy t Xác su t - Th ng kê đư c xây d ng d a trên các công c toán h c hi n đ i như Gi i tích hàm, Lý thuy t đ đo, ... nhưng l i g n li n v i các bài toán th c t cu c s ng, trong t nhiên và xã h i. Ngày nay, lý thuy t Xác su t - Th ng kê Toán h c đã đư c đưa vào gi ng d y h u h t các ngành đào t o trong các trư ng Đ i h c và Cao đ ng trên th gi i và trong nư c. Nó đang là m t trong nh ng ngành khoa h c phát tri n c v lý thuy t cũng như ng d ng. Nó đư c ng d ng r ng rãi trong h u h t các lĩnh v c khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i, trong kinh t , k thu t, y h c, ... Bài gi ng Xác su t - Th ng kê này đư c biên so n cho sinh viên Đ i h c không chuyên ngành Toán v i th i lư ng 30 ti t. Chính vì v y, chúng tôi không đi sâu vào vi c ch ng minh nh ng lý thuy t toán h c ph c t p mà trình bày các ki n th c cơ b n như là công c và t p trung đưa ra các ví d minh h a. Bài gi ng g m có 4 chương: Chương 1: Ph n đ u đ c p các khái ni m cơ b n trong gi i tích t h p. Ph n sau trình bày khái ni m xác su t và các tính ch t c a xác su t. Chương 2: Trình bày bi n ng u nhiên, b ng phân ph i, hàm phân ph i và các s đ c trưng. M t s phân ph i thư ng g p cũng đư c gi i thi u trong chương này. Chương 3 và Chương 4 trình bày bài toán ư c lư ng và ki m đ nh cho các tham s c a bi n ng u nhiên. Tác gi r t m ng nh n đư c s góp ý t phía Th y Cô và các b n sinh viên đ bài gi ng đư c hoàn thi n hơn. Tác gi 2
  4. Chương 1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N V XÁC SU T §1 B SUNG V GI I TÍCH T HP Ph n này không n m trong n i dung môn Xác su t th ng kê mà thu c v các ki n th c chung đã đư c h c Ph thông, tuy nhiên đ hi u đư c các phép tính xác su t, th ng kê các chương sau thì c n ph i h c, ho c ph i ôn l i các khái ni m cơ b n như: ch nh h p, hoán v , t h p, ch nh h p l p. 1.1 Quy t c nhân Gi s m t công vi c nào đó đư c th c hi n qua n bư c. Bư c th i có xi cách sau khi các bư c 1, 2, ..., i − 1 đã làm, khi đó đ th c hi n công vi c đó có x1 .x2 ...xn cách. Ví d 1.1. M t bé có th mang h cha là Lê hay h m là Đ , ch lót có th là Văn, Đ ng, Bích ho c Đình tên có th là Nhân, Nghĩa, Trí, Đ c. H i có bao nhiêu cách đ đ t tên đ y đ cho bé? Gi i. Xem vi c đ t tên cho bé đư c th c hi n qua 3 bư c. Bư c 1 đ t h : có 2 cách đ đ t h . Sau khi đ t h thì th c hi n bư c 2 đ t ch lót: có 4 cách đ đ t ch lót. Đ t xong h và ch lót ti p t c th c hi n bư c 3 đ t tên: có 4 cách đ t tên. Tên đ y đ c a bé s có đư c khi th c hi n xong c ba bư c trên. S cách th c hi n là 2.4.4=32 cách. 1.2 Hoán v Đ nh nghĩa 1.2. Cho t p A có n (n ≥ 1) ph n t . M t cách s p x p có th t n ph n t này đư c g i là m t hoán v các ph n t c a t p A. Ký hi u Pn là s các hoán v c a t p h p có n ph n t . Ta có Đ nh lý 1.3. S các hoán v c a m t t p h p có n ph n t là Pn = n! = n(n − 1)(n − 2)...1. Ví d 1.4. Có bao nhiêu s có 4 ch s khác nhau đư c thi t l p t các ch s 1, 2, 3, 4? Gi i. M i cách s p x p 4 ch s 1, 2, 3, 4 theo m t th t nào đó ta đư c m t s g m 4 ch s khác nhau. Nó chính là m t hoán v c a 4 ch s đó. V y s các s khác nhau g m 4 ch s là 4!=24. Ví d 1.5. C a hàng có 3 cái mũ màu xanh, đ , tím. Có 3 khách đ n mua mũ m i ngư i mua m t chi c. H i cô bán hàng có m y cách đ bán mũ? Gi i. M i cách bán ba chi c mũ cho ba khách là m t hoán v c a ba ph n t . V y s cách đ cô bán hàng bán mũ là P3 = 3! = 6. 3
  5. Ví d 1.6. Có 6 c ông s p hàng ngang đ t p th d c bu i sáng, sau bu i t p đ y ph n khích các c quy t đ nh t ngày hôm sau s ra t p ti p và m i ngày s s p hàng theo m t tr t t khác nh ng l n t p trư c. H i sau nhi u nh t bao nhiêu ngày các c m i quay l i cách x p hàng đ u tiên? Gi i. Coi m i cách s p hàng là m t cách s p x p 6 c vào 6 ch , t c là m t hoán v c a 6 c , có th tìm đư c t t c có 6! = 720 cách x p hàng. Như v y ph i 720 ngày sau, t c là g n 2 năm sau 6 c m i x p hàng l i theo đúng cách s p hàng đ u tiên. 1.3 Ch nh h p không l p Cho t p h p A = {1, 2, 3}. L p các b có th t g m hai ph n t trong ba ph n t đã cho: Gi i. Các b có th t g m hai ph n t trong ba ph n t c a A là {1, 2}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 2}, {1, 3}, {3, 1}. M i b có th t g m hai ph n t trên đư c g i là m t ch nh h p không l p ch p 2 c a 3 ph n t đã cho. Đ nh nghĩa 1.7. Cho t p A có n ph n t . M t ch nh h p không l p ch p k (1 ≤ k ≤ n) c a n ph n t đã cho là m t b có th t g m k ph n t trong n ph n t . Ký hi u s các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là Ak . n Đ nh lý 1.8. S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t b ng n! Ak = = n(n − 1)...(n − k + 1) (1 ≤ k ≤ n). n (n − k )! Ví d 1.9. Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, 5. H i có bao nhiêu s khác nhau g m 3 ch s l y t 5 ch s trên Gi i. S các s khác nhau g m 3 ch s l y t 5 ch s b ng s các ch nh h p không l p 5! ch p c a 5 ph n t , t c là: A3 = = 60. 5 (5 − 3)! Ví d 1.10. Có 8 đ i bóng chuy n thi đ u đ tranh ba huy chương vàng, b c, đ ng. N u 8 đ i th c l c như nhau thì có th có bao nhiêu d báo v danh sách b ba đư c huy chương? Gi i. Vì th c l c như nhau nên có th có 8 cách d báo đ i đư c huy chương vàng, sau đó còn 7 cách d báo đ i đư c huy chương b c, cu i cùng có 6 cách d báo đ i đư c huy chương đ ng, như v y t t c có 8.7.6 = 336 chính là s ch nh h p không l p ch p 3 c a 8 đ i. Hai d báo khác nhau n u trong danh sách 3 đ i đư c huy chương có ít nh t tên m t đ i khác nhau ho c v n cùng tên 3 đ i nhưng th t khác nhau do đó có s thay đ i tên đ i tương ng v i lo i huy chương. Ví d 1.11. M t t có 10 ngư i, ch n l n lư t 3 ngư i đi làm vi c, ngư i th nh t là nhóm trư ng. Ngư i th hai theo dõi các ch tiêu kinh t . Ngư i th ba theo dõi các ch tiêu k thu t. Gi s 10 ngư i trong t có kh năng làm vi c như nhau thì có bao nhiêu cách phân công vi c trong nhóm Gi i. Có A3 = 720 cách. 10 4
  6. 1.4 Ch nh h p l p Đ nh nghĩa 1.12. Cho t p A có n (n ≥ 1) ph n t . Ta g i ch nh h p l p ch p k (k ≥ 1) c a n ph n t c a A là m t t p có th t g m k ph n t l y t n ph n t c a A, mà ph n t c a t p đó có th có m t nhi u nh t k l n. Ký hi u s các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t c a A là Ak . n Đ nh lý 1.13. S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t đư c tính theo công th c: Ak = nk (1.1) n T nay v sau khi nói đ n "ch nh h p" thì ta hi u đó là ch nh h p không l p. Còn "ch nh h p l p" s đư c hi u là ch nh h p có l p. Ví d 1.14. Có bao nhiêu cách phân ng u nhiên 12 khách lên 3 toa tàu? Gi i. S cách đ 12 khách lên 3 toa tàu là s ch nh h p l p ch p 12 c a 3 ph n t đã cho. B i vì m i hành khách có th có 3 cách đ lên tàu, nên có 312 cách. Ví d 1.15. S máy đi n tho i c a m t t nh g m b y ch s . M i ch s đư c ch n trong mư i s 0, 1, ... , 9 như v y có th t o ra 10.10.10.10.10.10.10 = 107 s máy đi n tho i. Ví d 1.16. Vé x s có b n ch s , như v y có t t c 104 vé x s có b n ch s . có bao nhiêu cách trao 15 ph n thư ng cho 5 ngư i d thi. M i cách phân 15 s n ph m cho 5 ngư i là m t ch nh h p ch p 15 c a 5. V y s cách đ phân ng u nhiên 15 ph n thư ng cho 5 ngư i là: 515 . 1.5 T hp Cho t p h p A = {1, 2, 3}. L p các t p con g m hai ph n t (không k th t ) c a t p M . Ta có {1, 2}, {1, 3}, {3, 2} t p h p con khác nhau. M i t p con g m 2 ph n t trên đư c g i là 1 t h p ch p 2 c a 3 ph n t . Đ nh nghĩa 1.17. Cho t p A g m n (n ∈ N) ph n t . M t t h p ch p k (0 ≤ k ≤ n) c a n ph n t đã cho c a A là m t t p con c a A g m k ph n t không k th t . Ký hi u s k các t h p ch p k c a n ph n t là Cn . Đ nh lý 1.18. S các t h p ch p k c a n ph n t đã cho là n! k Cn = . (1.2) k !(n − k )! Chú ý: Ngư i ta ch ng minh đư c các công th c sau Cn = Cn − k k n k−1 k k Cn = Cn−1 + Cn−1 . 5
  7. Ví d 1.19. Có m y cách c 3 ngư i trong m t t g m 12 ngư i đi lao đ ng? Gi i. S cách phân công 3 ngư i trong 12 ngư i đi lao đ ng b ng s các t h p ch p 3 c a 3 12 ph n t . V y có C12 = 220 cách. Bài T p ph n gi i tích t h p 1.1. Có th t o ra bao nhiêu vectơ có g c và đ nh t i 2 trong 4 đi m đã cho? 1.2. Gi i các phưng trình a) A3 = 20n; b) A2 − A1 = 3; c)3A2 + 42 = A2n . (n là n). n n n n 2 1.3. Có bao nhiêu s g m ba ch s khác nhau l y t năm ch s 0, 2, 4, 6, 8? 1.4. M t l p có 50 h c viên. C n ch n ra l p trư ng, l p phó h c t p và l p phó đ i s ng. N u ai cũng có kh năng đư c ch n vào các ch c v trên thì có bao nhiêu cách ch n? 1.5. Có th l p đư c bao nhiêu s ch n g m năm ch s khác nhau l y t sáu ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5? 1.6. Có 24 đ i bóng tham gia thi đ u, hai đ i ph i đ u v i nhau m t lư t đi, m t lư t v . Ban t ch c ph i t ch c bao nhiêu tr n đ u? 1.7. Có 3 c ông, 2 c bà và 5 em bé ng i quanh m t bàn tròn. H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i sao cho các c ông ng i c nh nhau, các c bà ng i c nh nhau và các em bé cũng ng i c nh nhau? 1.8. Có 3 c p v ch ng đi xem văn ngh và ng i vào 6 gh trên m t hàng ngang có bao nhiêu cách s p x p sao cho v ch ng luôn ng i c nh nhau? 1.9. Có 3 quy n sách Toán, 4 quy n sách Lí, 2 quy n sách Hoá và 5 quy n sách Sinh. a) Có bao nhiêu cách x p 14 quy n sách lên giá sách? b) Có bao nhiêu cách x p sao cho sách cùng môn h c c nh nhau? 1.10. Có bao nhiêu s có năm ch s l y t năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 trong đó hai ch s 1 và 2 không đ ng c nh nhau? 1.11. Trong m t ph ng có n đi m trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng. H i có th k đư c bao nhiêu đư ng th ng, m i đư ng th ng đi qua 2 đi m trong s n đi m đã cho? 1.12. Cho đa giác l i n (n ≥ 4) đ nh D1 , D2 , ..., Dn . Có t t c bao nhiêu đư ng chéo? 1.13. Có 12 đi m n m trên m t đư ng tròn . a) H i có bao nhiêu tam giác n i ti p đư ng tròn có đ nh n m trong s các đi m đã cho? b) H i có bao nhiêu t giác n i ti p đư ng tròn có đ nh n m trong s các đi m đã cho? 1.14. M t h p đ ng 6 bi tr ng và 4 bi đen. a) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi. b) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó có 2 bi tr ng. c) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó ít nh t có 2 bi tr ng. d) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó có nhi u nh t 2 bi tr ng. 6
  8. 1.15. Có 10 ngư i g m 7 nam và 3 n . a) Có bao nhiêu cách ch n m t u ban g m 3 ngư i. b) Có bao nhiêu cách ch n đ trong u ban nói trên có m t n . c) Có bao nhiêu cách ch n đ trong u ban nói trên có ít nh t m t n . §2 PHÉP TH NG U NHIÊN Trong nghiên c u t nhiên và xã h i ta ph i theo dõi các hi n tư ng, ph i cân, đong, đo, đ m, làm thí nghi m ... nh ng vi c này, trong đi u ki n cho phép, ph i l p l i nhi u l n. Ta g i chung các công vi c này là phép th . Khi l p l i phép th ta th y có phép th luôn cho cùng m t k t qu , ví d đun nư c đi u ki n cao đ và áp su t bình thư ng thì đ n 1000 C nư c s sôi, tr ng gà trong đàn gà không có tr ng khi p s không n , h t gi ng n u x lý nhi t đ quá cao ho c n ng đ hoá ch t quá cao s không n y m m, ... Ta g i đó là các k t qu t t y u. Ngoài lo i phép th cho k t qu t t y u ra còn có r t nhi u phép th khi l p l i s cho các k t qu khác nhau. S k t qu đó có th h u h n, có th vô h n, có th là các giá tr r i r c hay liên t c, ví d sinh con có th trai hay gái, p tr ng có th n ho c không, tr ng 10 cây thì s cây s ng có th là 0, 1, ... , 10, làm thí nghi m có th thành công ho c th t b i. M t hành đ ng mà k t qu c a nó không th d báo trư c đư c g i là m t phép th ng u nhiên. Ký hi u phép th ng u nhiên là T . Các k t qu c a T không th nói trư c đư c m t cách ch c ch n, nhưng ta có th li t kê ra t t c các k t qu có th có c a T . T p t t c các k t qu c a T đư c g i là không gian m u và thư ng ký hi u nó b ng ch Ω. Khi th c hi n phép th , k t qu c a phép th g i là bi n c sơ c p (s ki n sơ c p) ký hi u là ω , như v y ω ∈ Ω. M i t p con A c a Ω đư c g i là m t bi n c . M i k t qu ω ∈ A đư c g i là m t k t qu thu n l i cho A. Khi k t qu c a T là m t ph n t c a A thì có nghĩa là A x y ra. Bi n c không th là bi n c không bao gi x y ra. Nó tương ng v i t p con ∅ c a Ω. Bi n c ch c ch n là bi n c luôn x y ra. Nó tương ng v i toàn b t p Ω. Ví d 2.1. Gieo m t con xúc x c, bi n c sơ c p là ra m t 1, 2, 3, 4, 5, 6. bi n c ra m t ch n A bao g m ba bi n c sơ c p (2, 4, 6). Bi n c ra m t l B bao g m ba bi n c sơ c p (1, 3, 5). N u gieo hai con xúc x c thì các bi n c sơ c p là 36 c p s (1, 2), ( 1, 3), ..., (6, 6). bi n c "Có m t 6" bao g m 11 bi n c sơ c p: (1, 6), (2, 6), ... , (6, 1), ..., (6, 6). bi n c "T ng s đi m trên hai con xúc x c là 10" g m ba bi n c sơ c p (4, 6), (5, 5), (6, 4). Bi n c "Đi m trên hai con xúc x c b ng nhau" bao g m 6 bi n c sơ c p ( 1, 1 ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Ki m tra 3 s n ph m. Bi n c "không có quá 3 s n ph m t t có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ch c ch n. Bi n c "có 4 ph ph m có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c 7
  9. không th . Bi n c "có 2 s n ph m t t trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ng u nhiên. §3 XÁC SU T Theo dõi nhi u l n m t phép th và các bi n c liên quan đ n phép th ta th y có bi n c hay xu t hi n, hay x y ra, có bi n c ít xu t hi n, ít x y ra, bi n c t t y u luôn x y ra còn bi n c không th không bao gi x y ra. Ví d gieo m t con xúc x c, bi n c ra m t ch n và bi n c ra m t l có m c đ xu t hi n như nhau, bi n c "ra s chia đư c cho 3" ít xu t hi n hơn. Bi n c ra m t 6 l i còn ít xu t hi n hơn n a. Bi n c "ra m t s ít hơn 7" là bi n c t t y u. Còn bi n c "ra m t s l n hơn 6" là bi n c không th . Như v y trong m t phép th m i bi n c có m t m c đ (hay kh năng) xu t hi n mà chúng ta mu n đánh giá (thay nó) b ng m t con s . Gi s A là bi n c c a phép th nào đó. M c dù khi ti n hành phép th ta không th nói trư c bi n c A x y ra hay không nhưng ta th a nh n r ng: có m t s đo kh năng x y ra c a bi n c A, ký hi u p(A). Khi đó p(A) = 1 n u A là bi n c ch c ch n và p(A) = 0 n u A là bi n c không th . Đ nh nghĩa 3.1. Xác su t c a m t bi n c là m t s đo lư ng kh năng xu t hi n c a bi n c đó. S đó luôn n m gi a 0 và 1. Xác su t c a m t bi n c càng nh (càng g n 0) thì bi n c đó càng ít kh năng x y ra. Xác su t c a m t bi n c càng l n (càng g n 1) thì bi n c có nhi u kh năng x y ra. Tính ch t N u A là bi n c ng u nhiên thì: 0 < p(A) < 1 N u A là bi n c ch c ch n thì: p(A) = 1 N u A là bi n c không th thì: p(A) = 0 Như v y n u A là bi n c b t kỳ thì 0 ≤ p(A) ≤ 1. §4 CÁCH TÍNH XÁC SU T Có nhi u cách tính xác su t, có cách tính ch t ch theo h liên đ giúp xây d ng xác su t thành m t ngành toán h c v i lý thuy t và ng d ng phong phú, có cách tính tr c quan hơn và d a vào các môn h c khác như tính xác su t theo Cơ h c, theo Hình h c, theo Đ i s ... trong tài li u này chúng ta dùng hai cách tính xác su t: cách tính th ng kê và cách tính đ ng kh năng. 4.1 Cách tính th ng kê Xác đ nh đi u ki n đ u xong ta l p l i phép th nhi u l n, càng nhi u càng t t gi l i s l n th n và s l n có bi n c A, g i là t n s n(A). T n su t c a bi n c A, ký hi u là f (A) đư c tính theo công th c n(A) f (A) = . (4.1) n 8
  10. T n su t không ph i là xác su t nhưng n u không có cách nào khác đ tính xác su t l i l y t n su t f (A) làm xác su t p(A). N u có đi u ki n làm hàng lo t phép th và tính t n su t c a bi n c A trong các lo t đó ngư i ta th y t n su t khá n đ nh (khác nhau r t ít) và thư ng dao đ ng quanh m t s xác đ nh. Khi s phép th tăng lên (và khá l n) thì biên đ (sai khác gi a t n su t và s nói trên) có khuynh hư ng nh d n đi càng ngày càng ít xu t hi n các biên đ l n. S xác đ nh nói trên đư c l y làm xác su t. Ví d 4.1. Đ tính xác su t ra m t s p khi gieo m t đ ng ti n, ta có các k t qu sau, dao đ ng quanh 0,5 Ngư i th c hi n S l n gieo S l n ra m t s p T n su t Buýt phông 4040 2048 0,5080 Pi c sơn 12000 6019 0,5016 Pi c sơn 24000 12012 0,5005 Ví d 4.2. Trung Qu c, t năm 228 trư c Công nguyên, đã tìm th y t n su t sinh con 1 trai là 2 . Laplaxơ theo dõi các thành ph Luân Đôn, Pê-téc-bua và Bec-lin và công b t n su t sinh con trai là 22 . Cramơ cho t n su t sinh con trai Thu Đi n là 0,508. Vi t Nam 43 năm 1961 t n su t sinh con trai là 0,51. Cách tính th ng kê đơn gi n, cho k t qu d hi u, d gi i thích, phù h p v i th c t nhưng không chính xác và không th dùng đ tính xác su t trong nh ng trư ng h p ph c t p ho c các trư ng h p không th tr c ti p l p l i phép th . Trong th c t , khi xem xét m t s lư ng l n s n ph m, chúng ta thư ng dùng ph n trăm (%). Ví d s h c sinh thi đ là 90%, s s n ph m đ t tiêu chu n là 80%, s ngư i b b nh trong m t đ t d ch là 30% ... Theo cách tính th ng kê có th đ i % sang xác su t như sau: n u s đ t tiêu chu n là P % thì khi ch n ng u nhiên m t s n ph m xác su t đ s n ph m P đó đ t tiêu chu n là 100 . Cách tính th ng kê đã đư c dùng t xa xưa đ tính xác su t sinh con trai, con gái. Xác su t xu t hi n các hi n tư ng l trong t nhiên như lũ l t, sóng th n, nh t th c, nguy t th c, ... 4.2 Cách tính c đi n hay cách tính đ ng kh năng Ti n hành m t phép th và gi s n k t qu (bi n c sơ c p) c a phép th có kh năng xu t hi n như nhau, g i đó là phép th có n k t qu đ ng kh năng. Khi đó ngư i ta l y 1 xác su t c a m i k t qu là n . T ch p nh n này có th tính đư c xác su t p(A) c a m t bi n c b t kì A như sau: Xác su t c a bi n c A là t s gi a n(A) s k t qu thu n l i cho A và s k t qu đ ng kh năng n n(A) p(A) = (4.2) n Cách tính đ ng kh năng đơn gi n, cho k t qu d hi u, d gi i thích, phù h p v i th c t , nhưng không ch t ch và không th dùng đ tính xác su t trong nh ng trư ng h p ph c t p, ho c các trư ng h p không th ch p nh n gi thi t đ ng kh năng. Trong nhi u ví d , 9
  11. các ph n sau chúng ta tính xác su t theo cách đ ng kh năng và trong các bài t p cũng có r t nhi u bài tính xác su t theo cách đ ng kh năng. 4.3. Gieo m t đ ng ti n có th coi hai k t qu s p (S ), ng a (N ), là 2 bi n c sơ Ví d 1 c p đ ng kh năng, m i bi n c có xác su t . N u gieo m t lúc hai đ ng ti n thì có th 2 coi 4 k t qu sau là đ ng kh năng: (S, S ), (S, N ), (N, S ), (N, N ), m t bi n c sơ c p có xác 2 1 1 su t 4 . N u g i A là bi n c "hai đ ng ti n cùng m t" thì xác su t p(A) = = vì A g m 4 2 2 bi n c sơ c p (S, S ) và (N, N ). Ví d 4.4. Vé x s có b n ch s , khi quay s trúng thư ng có 1 vé trúng gi i nh t. Tính xác su t đ mua 1 vé thì vé đó s trúng gi i nh t. Có t t c 104 = 10000 vé b n ch s , có th coi đó là 10000 k t qu đ ng kh năng khi quay s trúng thư ng. Như v y m i vé có xác 1 su t trúng gi i nh t như nhau và b ng 10000 . Tính xác su t đ vé trúng gi i nh t là vé có b n ch s khác nhau? Trong 10000 vé có 4 A10 = 5040 vé có b n ch s khác nhau (vé x s có th b t đ u b ng s 0) như v y xác 5040 su t đ vé trúng gi i nh t có b n ch s khác nhau là 10000 = 0, 504. Ví d 4.5. Gieo đ ng th i hai con xúc x c cân đ i và đ ng ch t. Tìm xác su t đ : a) T ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8. b) Hi u các s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 2. c) S ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau. Gi i. S k t qu đ ng kh năng là n = 6.6 = 36. a) G i A là bi n c "t ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8", khi đó A = {(2, 6), (6, 2), (4, 4), (5, 3), (3, 5)} 5 xác su t ph i tìm p(A) = . 36 b) G i B là bi n c "hi u các s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 8 2 2", khi đó B = {(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3)} và p(B ) = =. 36 9 c) G i C là bi n c "s ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau", khi đó C = 6 1 {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} và p(C ) = =. 36 6 Ví d 4.6. M t công ty c n tuy n hai nhân viên. Có 6 ngư i n p đơn trong đó có 4 nam và 2 n . Gi thi t r ng kh năng trúng tuy n c a 6 ngư i là như nhau. a) Tính xác su t đ 2 ngư i trúng tuy n đ u là nam. b) Tính xác su t đ 2 ngư i trúng tuy n đ u là n . c) Tính xác su t đ có ít nh t 1 n trúng tuy n. 2 Gi i. S k t qu đ ng kh năng C6 = 15. 1 a) Ch có m t trư ng h p là 2 nam trúng tuy n nên xác su t c n tìm là p = . 15 6 2 2 b) S cách ch n 2 n trúng tuy n trong s 4 n là C4 = 6. Xác su t c n tìm p = =. 15 5 c) Ch có 1 trư ng h p 2 nam trúng tuy n nên trong 14 trư ng h p còn l i ta đ u có ít nh t 14 1 n trúng tuy n. Xác su t c n tìm p = . 15 10
  12. Ví d 4.7. Gieo đ ng th i 3 con xúc x c đư c ch t o cân đ i, đ ng ch t. Tính xác su t đ t ng s n t xu t hi n c a 3 con là 9. Gi i. M i k t qu c a phép th là m t b ba (a, b, c), trong đó a, b, c là các s nguyên dương t 1 đ n 6. V y s k t qu đ ng kh năng là63 = 216. Các b ba có t ng b ng 9 là: (1,2,6) và 5 hoán v c a nó; (1,3,5) và 5 hoán v c a nó (1,4,4) và 2 hoán v c a nó; (2,2,5) và 2 hoán v c a nó (2,3,4) và 5 hoán v c a nó; (3,3,3). Suy ra s trư ng h p thu n l i là 25 6+6+3+6+3+1=25. V y p(A) = . 216 §5 QUY T C C NG VÀ NHÂN XÁC SU T Sau khi tính xác su t c a các bi n c tương đ i đơn gi n, chúng ta xem xét các bi n c ph c t p hơn. Đ làm đư c vi c này, ta xét m t s phép tính trên các bi n c . G i A và B là hai bi n c xác đ nh trên t p h p các bi n c sơ c p Ω. H i c a hai bi n c A và B ký hi u A ∩ B là bi n c bao g m các bi n c sơ c p v a c a bi n c A, v a c a bi n c B . (H i A ∩ B còn đư c g i là bi n c "A và B " ho c giao c a A và B ). Như v y h i c a hai bi n c A, B là bi n c "c A và B đ u x y ra". Ví d 5.1. Gieo m t xúc x c, bi n c A "ra s ch n" và bi n c B "ra m t s chia đư c cho 3" có h i là bi n c sơ c p "ra m t 6", nói cách khác n u k t qu v a là s ch n (có bi n c A) v a là s chia đư c cho 3 (có bi n c B ) thì h i A ∩ B là bi n c "ra m t 6". Ví d 5.2. G i A là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i đư c x p lo i gi i v h c t p, B là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i bi t chơi bóng chuy n thì A ∩ B là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i v a h c gi i v a bi t chơi bóng chuy n. Bi n c đ i l p c a bi n c A, ký hi u A, là bi n c bao g m các bi n c sơ c p trong Ω nhưng không thu c A. Như v y A = Ω\A. T đ nh nghĩa trên ta th y bi n c A là bi n c đ i l p c a bi n c A thì A cũng là bi n c đ i l p c a A. Ta nói A và A là hai bi n c đ i l p c a nhau. Ví d 5.3. Gieo m t xúc x c n u g i A là bi n c "ra m t ch n thì bi n c đ i l p A c a A là bi n c "ra m t l ". Ví d 5.4. Khi thi thì bi n c A "thi đ " có bi n c đ i l p A là "thi trư t". Hai bi n c A và B đư c g i là xung kh c n u h i c a chúng là r ng A ∩ B = ∅. Khi ti n hành phép th hai bi n c xung kh c không có bi n c sơ c p chung nào nên không th xu t hi n đ ng th i. Ví d 5.5. Bi n c A "ra m t ch n" và bi n c C "ra m t l " là 2 bi n c xung kh c khi gieo m t con xúc x c. Ví d 5.6. Bi n c A "ra m t ch n" và bi n c B "ra m t s chia đư c cho 3" không xung kh c. Ví d 5.7. N u trong h p có 3 lo i bi màu tr ng, màu xanh, màu đ thì bi n c rút đư c bi xanh và bi n c rút đư c bi đ là 2 bi n c xung kh c nhưng không đ i l p. 11
  13. Ví d 5.8. Khi thi thì bi n c A "đ t đi m gi i" và bi n c B "đ t đi m khá" là hai bi n c xung kh c, nhưng không đ i l p, vì còn nhi u đi m khác. bi n c A và bi n c C "trên trung bình" không xung kh c. Qua các ví d trên ta th y đ i l p là trư ng h p riêng c a xung kh c. Đ i l p thì xung kh c nhưng xung kh c chưa ch c đã đ i l p. H p c a hai bi n c A và B , ký hi u A ∪ B , là bi n c bao g m t t c các bi n c sơ c p c a bi n c A và bi n c B . Khi ti n hành phép th thì bi n c A ∪ B xu t hi n khi có ít nh t m t trong hai bi n c A và B xu t hi n. N u phân tích k có th th y có ba trư ng h p: A xu t hi n nhưng B không xu t hi n A ∩ B , B xu t hi n nhưng A không xu t hi n A ∩ B , c A và B đ u xu t hi n A ∩ B . H p A ∪ B còn đư c g i là bi n c "A ho c B ". Ví d 5.9. Khi gieo xúc x c n u g i A là bi n c "ra m t ch n", B là bi n c "ra m t s chia h t cho 3" thì bi n c A ∪ B g m b n bi n c sơ c p (2, 3, 4, 6). Ví d 5.10. Trong Ví d 5.7, khi rút bi trong h p n u g i A là bi n c rút đư c bi tr ng thì bi n c đ i l p A là bi n c rút đư c bi xanh ho c bi đ A = B ∪ C . Quy t c c ng đơn gi n Ta th a nh n quy t c c ng đơn gi n sau đây: p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) n u A và B xung kh c. (5.1) H qu 5.10.1. G i A là bi n c đ i l p c a bi n c A, ta có p(A) = 1 − p(A). (5.2) Th t v y, t A ∪ A = Ω, A và A đ i l p ta có 1 = p(Ω) = p(A ∪ A) = p(A) + p(A) ⇒ p(A) = 1 − p(A). Ví d 5.11. Trong h p có 3 bi tr ng, 4 bi xanh và 5 bi đ , g i A là bi n c rút đư c bi tr ng, B là bi n c rút đư c bi xanh, C là bi n c rút đư c bi đ . A là bi n c "bi rút ra không ph i bi tr ng", B ∪ C là bi n c "rút đư c bi xanh ho c bi đ ". 3 4 5 3 9 Ta có p(A) = , p(B ) = , p(C ) = , p(A) = 1 − =. 12 12 12 12 12 9 Vì A = B ∪ C nên p(B ∪ C ) = . 12 4 5 9 Cũng có th tính theo quy t c c ng đơn gi n: p(B ∪ C ) = p(B ) + p(C ) = + =. 12 12 12 Ví d 5.12. Trong kỳ thi quy đ nh "đi m gi i" là đi m trên 8 (không cho đi m l ). M t h c sinh vào thi, A là bi n c "đ t đi m 10", B là bi n c "đ t đi m 9". Gi s v i em đó xác su t p(A) = 0, 3, p(B ) = 0, 4. G i C là bi n c "đ t đi m gi i", C là h p c a A và B p(C ) = p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7 12
  14. Ví d 5.13. 70% s n ph m c a xí nghi p thu c lo i I, 20% thu c lo i II. s còn l i thu c lo i III. Khi ki m tra đ xu t kh u thì ch ch p nh n s n ph m lo i I ho c II. G i A là bi n c khi ki m tra thì s n ph m thu c lo i I, B là bi n c khi ki m tra thì s n ph m thu c lo i II, C là bi n c khi ki m tra thì s n ph m đư c ch p nh n cho xu t kh u. p(C ) = p(A ∪ B ) = 0, 7 + 0, 2 = 0, 9. Xác su t có đi u ki n Xét m t phép th đư c ti n hành trong m t đi u ki n đ u nào đó và hai bi n c A, B. Xác su t có đi u ki n p(B/A) là xác su t c a B khi đã x y ra bi n c A. Có th coi như B đư c tính khi phép th đư c ti n hành trong đi u ki n đ u m i g m đi u ki n đ u cũ c ng thêm s xu t hi n (có m t) bi n c A. 3 4 5.14. L y l i Ví d 5.11 p(A) = ; p(B ) = Ví d . N u bây gi bi t bi l y ra không 12 12 4 ph i bi tr ng (bi n c A ) thì p(B/A) = . Trong ví d này p(B/A) = p(B ). 9 Ví d 5.15. G i A là bi n c rút đư c con pích, B là bi n c rút đư c con át trong c bài 13 4 1 tu lơ khơ 52 quân v i 4 lo i: cơ, rô, nhép, pích. p(A) = ; p(B ) = =. 52 52 13 1 N u bi t con bài rút ra là con pích (bi n c A) thì xác su t rút đư c con át p(B/A) = . 13 Trong ví d này p(B ) = p(B/A). M t túi đ ng 5 qu c u, (trong đó có 2 qu màu tr ng). L y ng u nhiên (không hoàn l i) l n lư t t túi ra 2 qu c u. Tính xác su t đ l n th hai đư c qu c u tr ng bi t r ng l n th nh t l y đư c qu c u tr ng. Gi i. G i A là bi n c "l n th hai l y đư c qu c u tr ng" và g i B là bi n c "l n th hai nh t l y đư c qu c u tr ng". Ta c n tìm p(A/B ). Ta th y l n th nh t đã l y đư c qu c u tr ng (B đã xãy ra) nên trong túi còn 4 qu c u, trong đó có 1 qu tr ng. V y p(A/B ) = 1 = 0.25 4 Quy t c nhân xác su t N u A và B là hai bi n c trong m t phép th ta th a nh n quy t c nhân sau: p(A ∩ B ) = p(A).p(B/A) = p(B ).p(A/B ). (5.3) Ví d 5.16. Trong h p có 10 phi u, 2 phi u ghi "trúng thư ng". M t ngư i rút l n lư t 2 phi u, tính xác su t đ c 2 phi u đ u trúng thư ng. Gi i. G i A là bi n c phi u đ u trúng thư ng, B là bi n c phi u th hai trúng thư ng, C là bi n c 2 phi u đ u trúng thư ng. Có th tính như sau: 2 Khi rút phi u đ u có 10 phi u trong đó có 2 phi u trúng p(A) = . Khi đã x y ra A 10 1 thì còn l i 9 phi u trong đó có 1 phi u trúng do đó p(B/A) = . T đó suy ra: 9 21 1 p(C ) = p(A ∩ B ) = .= . 10 9 45 13
  15. Ví d 5.17. S n ph m trư c khi xu t kh u ph i qua hai l n ki m tra. Bình quân 80% s n ph m làm ra qua đư c l n ki m tra I, 90% s n ph m đã qua l n ki m tra I và thì s qua đư c ki m tra II. Tính xác su t đ s n ph m đư c xu t kh u. Gi i. G i A là bi n c qua đư c ki m tra I, B là bi n c qua đư c ki m tra II, C là bi n c đ t tiêu chu n xu t kh u. p(A) = 0, 8; p(B/A) = 0, 9. p(C ) = p(A).p(B/A) = 0, 8.0, 9 = 0, 72. Bi n c đ c l p N u bi n c B có xác su t có đi u ki n p(B/A) b ng xác su t p(B ) thì B đư c g i là bi n c không ph thu c bi n c A. Có th ch ng minh ngay n u B không ph thu c A thì A không ph thu c B , th c v y theo quy t c nhân t ng quát: p(A ∩ B ) = p(A).p(B/A) = p(B ).p(A/B ). N u p(B/A) = p(B ) thì thay vào h th c trên suy ra p(A/B ) = p(A), t c là A không ph thu c B. Qua ch ng minh này chúng ta th y tính ph thu c là tương h nên s thay thu t ng "không ph thu c" b ng thu t ng "đ c l p". Hai bi n c A, B trong cùng m t phép th g i là đ c l p khi p(A/B ) = p(A) (ho c p(B/A) = p(B )). N u A và B đ c l p thì có th ch ng minh A và B đ c l p, A và B đ c l p, A và B đ c l p. Trong th c t n u hai bi n c A và B trong cùng m t phép th không nh hư ng đ n nhau thì thư ng th a nh n tính đ c l p. Quy t c nhân đơn gi n. N u A và B đ c l p thì t quy t c nhân (5.3) suy ra quy t c nhân đơn gi n sau: p(A ∩ B ) = p(A).p(B ) (5.4) Ví d 5.18. Hai ngư i đi b n, xác su t đ ngư i th nh t b n trúng đích là p(A) = 0, 7, xác su t đ ngư i th hai b n trúng đích là p(B ) = 0, 8. Xác su t đ c hai ngư i b n trúng p(A ∩ B ) = 0, 7.0, 6 = 0, 56. Ví d 5.19. S n ph m m i làm ra ph i g i đi ki m nghi m hai phòng thí nghi m đ c l p. N u c hai phòng ch p nh n thì s n ph m đư c s n xu t đ i trà. Xác su t đ s n ph m đư c phòng thí nghi m A ch p nh n l i 0,8. Xác su t đ đư c phòng thí nghi m B ch p nh n là 0,9. V y xác su t đ s n ph m đư c đem ra s n xu t đ i trà là 0,8 . 0,9 = 0,72. Quy t c c ng t ng quát N u A và B là hai bi n c trong m t phép th thì có th ch ng minh quy t c c ng t ng quát sau: p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∩ B ). (5.5) N u A và B xung kh c thì p(A ∩ B ) = 0 nên (5.5) trùng v i quy t c c ng đơn gi n (5.1). Ví d 5.20. Trong Ví d 5.18 n u g i C là bi n c đích b b n trúng thì C = A ∪ B , p(C ) = p(A ∪ B ) = 0, 7 + 0, 8 − 0, 56 = 0, 94. Có th tính cách khác: p(C ) = p(A ∩ B ) + p(A ∩ B ) + p(A ∩ B ) 14
  16. Ví d 5.21. Trong Ví d 5.19, g i C là bi n c "có phòng thí nghi m ch p nh n s n ph m m i" C = A ∪ B , p(C ) = 0, 8 + 0, 9 − 0, 8.0, 9 = 0, 98 Có th l p lu n như sau: C là bi n c đ i l p c a bi n c "c hai phòng thí nghi m đ u không ch p nh n s n ph m m i": p(C ) = 1 − p(A ∩ B ) = 1 − 0, 2.0, 1 = 0, 98 §6 H BI N C Đ YĐ VÀ XÁC SU T TOÀN PH N Cho m t h các bi n c A1 , A2 , ..., An trong m t phép th . N u h tho mãn hai đi u ki n: a) T ng đôi m t xung kh c, t c là Ai ∩ Aj = ∅ v i i = j (i, j = 1, n); b) h p c a t t c các bi n c là bi n c t t y u, t c là A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω thì h đư c g i là h đ y đ hay h toàn ph n. Có th trình bày l i hai đi u ki n trên dư i d ng: Có m t và ch m t trong các bi n c Ai x y ra khi ti n hành phép th . (Có m t là đi u ki n b), còn ch có m t là đi u ki n a)). Khi có m t h bi n c đ y đ thì có th tính xác su t c a m t bi n c b t kì B trong phép th đó theo công th c: p(B ) = p(A1 )p(B/A1 ) + p(A2 )p(B/A2 ) + ... + p(An )p(B/An ) (6.1) n p(B ) = p(Ai )p(B/Ai ). i=1 (6.1) còn g i là Công th c xác su t toàn ph n. Ví d 6.1. C a hàng nh n tr ng c a 3 cơ s nuôi gà theo t l : 25%, 35%, và 40%. N u t l tr ng h ng c a 3 cơ s là 5%, 4% và 2% thì xác su t đ m t qu tr ng mua t i c a hàng b h ng là bao nhiêu? Gi i. Khi mua m t qu tr ng c a c a hàng thì có m t và ch m t trong 3 bi n c x y ra: bi n c A1 "tr ng c a cơ s I", bi n c A2 "tr ng c a cơ s II", bi n c A3 "tr ng c a cơ s III". Xác su t c a ba bi n c trên l n lư t là: 0,25; 0,35; 0,40. G i B là bi n c tr ng mua c a hàng b h ng. Xác su t tr ng h ng t i ba cơ s l n lư t là p(B/A1 ) = 0, 05; p(B/A2 ) = 0, 04; p(B/A3 ) = 0, 02; p(B ) = 0, 25.0, 05 + 0, 35.0, 04 + 0, 40.0, 02 = 0, 0345. Ví d 6.2. Có 2 h p bên ngoài gi ng nhau, h p th nh t ch a 1 s n ph m h ng và 9 s n ph m t t, h p th hai ch a 2 s n ph m h ng và 8 s n ph m t t. L y ng u nhiên m t h p, sau đó l y ng u nhiên m t s n ph m. Tính xác su t đ đư c s n ph m t t. G i A1 là bi n c l y đư c h p th nh t, A2 là bi n c l y đư c h p th hai, vì ch n 1 1 ng u nhiên nên p(A1 ) = ; p(A2 ) = . G i B là bi n c "s n ph m t t" ta có: 2 2 19 18 17 p( B ) = . + . = = 0, 85. 2 10 2 10 20 15
  17. §7 CÔNG TH C BAYES Cho m t h bi n c đ y đ A1 , A2 , ..., An . Xác su t c a bi n c B tính theo công th c 6.1. Vi t l i công th c nhân t ng quát p(Ai ∩ B ) = p(Ai ).p(B/Ai ) = p(B ).p(Ai /B ), (i = 1, n) suy ra: p(Ai ).p(B/Ai ) p(Ai /B ) = , (i = 1, n) (7.1) p(B ) Công th c 7.1 có tên là công th c Bayes, công th c này cho phép tính p(Ai /B ) là g i là xác su t h u nghi m, còn xác su t p(Ai ) đư c g i là xác su t ti n nghi m. Trong Ví d 6.1 0, 25.0, 05 p(A1 /B ) = = 0, 3623. 0, 0345 Có th hi u xác su t h u nghi m p(Ai /B ) như sau: Vào c a hàng mua m t qu tr ng, xác su t mua ph i qu tr ng h ng b ng 0,0345, nói cách khác s tr ng h ng c a c a hàng là 3, 45%. Bây gi n u qu tr ng ta mua đúng là qu tr ng h ng thì xác su t đ qu đó là qu tr ng nh p c a cơ s I b ng 0,3623. Trong Ví d 6.2 1/2.8/10 8 p(A2 /B ) = = ≈ 0, 47. 17/20 17 Có th hi u xác su t h u nghi m p(A2 /B ) là như sau: L y ng u nhiên m t h p, sau t h p nó l y ng u nhiên ra m t s n ph m và đư c s n ph m t t, th thì xác su t đ h p mà ta l y ra là h p th hai b ng 0,47. Bài T p 1.16. Có 10 vé đánh s t 1 đ n 10. Rút ng u nhiên 6 vé, tính xác su t đ trong đó: a) Có vé s 1. b) Có vé s 1 và s 2. 1.17. S đi n tho i m t vùng có 5 ch s , quay ng u nhiên m t s , tính xác su t đ : a) Đư c s có 5 ch s khác nhau; b) S mà các ch s đ u l . 1.18. Có 20 câu h i thi, m i h c sinh ch n m t đ g m 3 câu. H c sinh ch h c 12 câu, tính xác su t đ ít nh t làm đư c m t câu. 1.19. Trong bình có 2 bi tr ng, 4 bi đen. L y l n lư t các bi ra kh i bình. Tính xác su t đ bi cu i cùng là bi đen. 1.20. Có 2 h p, h p th nh t đ ng 3 bi tr ng, 7 bi đ , 15 bi xanh, h p th hai đ ng 10 bi tr ng, 6 bi đ , 9 bi xanh. T m i h p ta l y ng u nhiên ra m t bi, tính xác su t đ đư c hai bi cùng màu. 16
  18. 1.21. Trong m t vùng t l ngư i m c b nh tim là 9% m c b nh huy t áp là 12%, m c c hai b nh là 7%. G p ng u nhiên m t ngư i trong vùng, tính xác su t đ ngư i đó không m c c hai b nh nói trên. 1.22. M t l p h c có 30 h c sinh trong đó có 4 gi i, 8 khá và 10 trung bình s còn l i lo i y u. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh, tính xác su t: a) C 3 đ u y u; b) Có ít nh t m t h c sinh gi i; c) Có đúng m t h c sinh khá. 1.23. M t lô hàng có 6 chính ph m và 4 ph ph m đư c chia thành hai ph n b ng nhau. Tính xác su t đ m i ph n đ u có s chính ph m như nhau. 1.24. H p có 10 s n ph m trong đó có 2 ph ph m. L y ng u nhiên 2 s n ph m, tính xác su t đ c hai đ u là ph ph m trong 3 trư ng h p: a) L y l n lư t hai s n ph m; b) L y m t lúc hai s n ph m; c) L y có hoàn l i (t c là l y s n ph m th nh t ra xem sau đó hoàn l i, tr n đ u r i m i l y s n ph m th hai). 1.25. Ph i gieo hai đ ng ti n bao nhi u l n đ bi n c "ít nh t m t l n ra hai m t s p" có xác su t không nh hơn 0,99. 1.26. Có 18 x th trong đó có 5 ngư i b n trúng đích v i xác su t 0,8 (gi i), 7 ngư i b n trúng v i xác su t 0,7 (khá), 4 ngư i b n trúng v i xác su t 0,6 (trung bình), 2 ngư i b n trúng v i xác su t 0,5 (đ t). Ch n ng u nhiên m t ngư i vào b n. a) Tính xác su t đ ngư i đó bán trư t. b) N u ngư i đó b n trư t thì nhi u kh năng ngư i đó thu c nhóm nào? 1.27. Hai máy cùng s n xu t 1 lo i s n ph m, t l ph ph m c a máy I là 0,03, c a máy II là 0,02. Kho ch a 3 s n ph m c a máy I, 1 s n ph m c a máy II. L y ng u nhiên m t s n 2 3 ph m. a) Tính xác su t đ đư c s n ph m t t. b) N u đư c s n ph m t t thì nhi u kh năng s n ph m đó là c a máy nào? 1.28. T l ngư i nghi n thu c lá m t vùng là 30%. Bi t t l viêm h ng trong s ngư i nghi n thu c lá là 60% còn trong ngư i không nghi n là 40%. G p ng u nhiên m t ngư i. a) Tính xác su t đ đó là ngư i viêm h ng. b) N u ngư i đó viêm h ng thì tính xác su t đ đó là ngư i nghi n thu c lá. 1.29. Trong m t b nh vi n t l b nh nhân c a các t nh như sau: 25% c a t nh A, 35% c a t nh B, 40% c a t nh C . T l k sư trong s b nh nhân c a t nh A là 2%, c a t nh B là 3%, c a t nh C là 3, 5%. G p ng u nhiên m t b nh nhân, tính xác su t đ : a) B nh nhân đó là m t k sư ; b) Nhi u kh năng k sư đó là ngư i t nh nào? 17
  19. 1.30. Lô hàng xu t kh u có 100 ki n hàng, trong đó 60 ki n c a xí nghi p I và 40 ki n c a xí nghi p II. T l ph ph m c a hai xí nghi p là 30% và 10% L y ng u nhiên m t ki n r i l y ra m t s n ph m. a) Tính xác su t đ đư c m t ph ph m. b) N u s n ph m l y ra là m t ph ph m thì nhi u kh năng ki n hàng l y ra là c a xí nghi p nào? 1.31. Có 2 h p đ ng cam, h p I có 9 qu t t, 1 qu h ng, h p II có 6 qu t t, 2 qu h ng. L y ng u nhiên m t qu t h p I b sang h p II. sau đó l y ng u nhiên h p II ra hai qu . Tính xác su t đ c hai qu đ u h ng. 1.32. M t c máy có 3 b ph n, xác su t h ng trong ngày l n lư t là 0,2; 0,4; 0,3. Trong ngày có hai b ph n h ng, tính xác su t đ đó là b ph n 1 và 2. 1.33. M t ngư i có 3 ch ưa thích như nhau đ câu cá. Xác su t đ câu đư c cá c a m t l n th câu nh ng ch đó l n lư t là 0,6; 0,7; 0,8. Ngư i đó ch n ng u nhiên m t ch và th câu 3 l n thì câu đư c m t con cá. Tính xác su t đ ch câu đó là ch 1. 1.34. T l thu c h ng lô A là 0,10, lô B là 0,08 và lô C là 0,15. Ch n ng u nhiên m t lô sau đó l y ra 3 l . Tính xác su t đ ít nh t có m t l h ng. 1.35. H p A có 15 l thu c t t, 5 l h ng. H p B có 17 l t t, 3 l h ng. H p C có 10 l t t 10 l h ng. a) L y m i h p m t l , tính xác su t đư c 2 l t t, 1 l h ng. b) Ch n ng u nhiên m t h p sau đó l y t đó ra 3 l , tính xác su t đư c 2 l t t và 1 l h ng. c ) Tr n chung 3 h p r i t đó l y ra 3 l , tính xác su t đư c 2 l t t, 1 l h ng. d) Ki m tra t ng h p cho đ n khi phát hi n đ 3 l h ng. Tính xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 5. 18
  20. Chương 2 BI N NG U NHIÊN §1 BI N NG U NHIÊN R I R C Ví d 1.1. Gieo m t đ ng ti n. G i X là k t qu v i quy ư c n u ra m t ng a thì ghi 0, ra 1 1 m t s p thì ghi 1. Xác su t ra 0 là . Xác su t ra 1 là . Ghi l i k t qu dư i d ng b ng: 2 2 X 0 1 1 1 p 2 2 Cũng gieo đ ng ti n nhưng quy ư c n u ng a thì coi như thua và ph i n p 10 đ, s p coi như th ng và nh n đư c 10 đ. S ti n thu dư c Y s là -10 đ ho c 10 đ v i xác su t b ng 1 nhau và b ng . 2 Y -10 10 1 1 p 2 2 Ví d 1.2. Tung m t con xúc x c, g i X là k t qu v i quy ư c n u ra m t 1 thì ghi s 1 ra m t 2 thì ghi s 2, ... ra m t 6 thì ghi s 6. Như v y X có th l y các giá tr 1, 2, 3, 4, 5, 1 6 v i xác su t b ng nhau và b ng . 6 X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 p 6 6 6 6 6 6 N u ch quan tâm đ n s ch n hay l thì quy ư c ghi k t qu Y như sau: n u ra m t l thì ghi 0, n u ra m t ch n thì ghi 1. Như v y bi n Y có th l y các giá tr 0 và 1 v i xác su t 1 b ng nhau và b ng . 2 Y 0 1 1 1 p 2 2 N u quan tâm đ n vi c ra m t 6 thì quy ư c ghi k t qu Z như sau: 0 n u ra m t nh 5 hơn 6, 1 n u ra m t 6. Như v y Z s l y giá tr 0 v i xác su t và l y giá tr 1 v i xác su t 6 1 6 Z 0 1 5 1 p 6 6 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản