Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê - ThS. Phan Trọng Tiến

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

1.272
lượt xem 278
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê gồm 4 chương. Chương 1: Phần đầu để cập các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp. Phần sau trình bày khái niệm xác suất và các tính chất của xác suất. Chương 2: Trình bày biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối thường gặp. Chương 3 và 4 trình bày bài toán ước lượng và kiểm định các tham số của biến ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Nhập môn lý thuyết xác suất thống kê - ThS. Phan Trọng Tiến

UBND T NH QU NG BÌNH TRƯ NG Đ I H C QU NG BÌNH NH P MÔN LÝ THUY T XÁC SU T TH NG KÊ Th.s PHAN TR NG TI N Biên so n: Qu ng Bình, tháng 4 năm 2009
M cl c M cl c 1 L i nói đ u 2 Chương 1 Các khái ni m cơ b n v xác su t 3 §1 B sung v gi i tích t h p . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2 Phép th ng u nhiên . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §3 Xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §4 Cách tính xác su t . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §5 Quy t c c ng và nhân xác su t . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §6 H bi n c đ y đ và xác su t toàn ph n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §7 Công th c Bayes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Bi n ng u nhiên 19 §1 Bi n ng u nhiên r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §2 B ng phân ph i và hàm phân ph i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §3 Các s Đ c trƯng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §4 Bi n ng u nhiên r i r c có vô s giá tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §5 M t s phân ph i r i r c thư ng g p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3 M u quan sát và bài toán ư c lư ng 31 §1 T ng th và m u quan sát . . . . . . . .. ................... 31 §2 Ư c lư ng tham s c a t ng th . . . . .. ................... 33 §3 Xác đ nh kích thư c m u . . . . . . . . .. ................... 36 Chương 4 Ki m đ nh gi thi t 41 §1 Gi thi t và đ i thi t . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 41 N (µ, σ 2 ) §2 Ki m đ nh giá tr trung bình µ c a bi n phân ph i chu n . . . . . . 42 §3 Ki m đ nh xác su t . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 44 4 Xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 46 5 Bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . ........... ..... . . . . . . 49 6 Bài toán ư c lư ng, ki m đ nh . . . . ........... ..... . . . . . . 50 Tài li u tham kh o 55 1
L I NÓI Đ U Lý thuy t Xác su t và th ng kê toán h c là m t ngành toán h c ra đ i vào kho ng th k XVII. Đ i tư ng nghiên c u c a Xác su t - Th ng kê là các hi n tư ng ng u nhiên, các quy lu t ng u nhiên mà chúng ta thư ng g p trong th c t . Khác v i m t s môn Toán h c tr u tư ng, lý thuy t Xác su t - Th ng kê đư c xây d ng d a trên các công c toán h c hi n đ i như Gi i tích hàm, Lý thuy t đ đo, ... nhưng l i g n li n v i các bài toán th c t cu c s ng, trong t nhiên và xã h i. Ngày nay, lý thuy t Xác su t - Th ng kê Toán h c đã đư c đưa vào gi ng d y h u h t các ngành đào t o trong các trư ng Đ i h c và Cao đ ng trên th gi i và trong nư c. Nó đang là m t trong nh ng ngành khoa h c phát tri n c v lý thuy t cũng như ng d ng. Nó đư c ng d ng r ng rãi trong h u h t các lĩnh v c khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i, trong kinh t , k thu t, y h c, ... Bài gi ng Xác su t - Th ng kê này đư c biên so n cho sinh viên Đ i h c không chuyên ngành Toán v i th i lư ng 30 ti t. Chính vì v y, chúng tôi không đi sâu vào vi c ch ng minh nh ng lý thuy t toán h c ph c t p mà trình bày các ki n th c cơ b n như là công c và t p trung đưa ra các ví d minh h a. Bài gi ng g m có 4 chương: Chương 1: Ph n đ u đ c p các khái ni m cơ b n trong gi i tích t h p. Ph n sau trình bày khái ni m xác su t và các tính ch t c a xác su t. Chương 2: Trình bày bi n ng u nhiên, b ng phân ph i, hàm phân ph i và các s đ c trưng. M t s phân ph i thư ng g p cũng đư c gi i thi u trong chương này. Chương 3 và Chương 4 trình bày bài toán ư c lư ng và ki m đ nh cho các tham s c a bi n ng u nhiên. Tác gi r t m ng nh n đư c s góp ý t phía Th y Cô và các b n sinh viên đ bài gi ng đư c hoàn thi n hơn. Tác gi 2
Chương 1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N V XÁC SU T §1 B SUNG V GI I TÍCH T HP Ph n này không n m trong n i dung môn Xác su t th ng kê mà thu c v các ki n th c chung đã đư c h c Ph thông, tuy nhiên đ hi u đư c các phép tính xác su t, th ng kê các chương sau thì c n ph i h c, ho c ph i ôn l i các khái ni m cơ b n như: ch nh h p, hoán v , t h p, ch nh h p l p. 1.1 Quy t c nhân Gi s m t công vi c nào đó đư c th c hi n qua n bư c. Bư c th i có xi cách sau khi các bư c 1, 2, ..., i − 1 đã làm, khi đó đ th c hi n công vi c đó có x1 .x2 ...xn cách. Ví d 1.1. M t bé có th mang h cha là Lê hay h m là Đ , ch lót có th là Văn, Đ ng, Bích ho c Đình tên có th là Nhân, Nghĩa, Trí, Đ c. H i có bao nhiêu cách đ đ t tên đ y đ cho bé? Gi i. Xem vi c đ t tên cho bé đư c th c hi n qua 3 bư c. Bư c 1 đ t h : có 2 cách đ đ t h . Sau khi đ t h thì th c hi n bư c 2 đ t ch lót: có 4 cách đ đ t ch lót. Đ t xong h và ch lót ti p t c th c hi n bư c 3 đ t tên: có 4 cách đ t tên. Tên đ y đ c a bé s có đư c khi th c hi n xong c ba bư c trên. S cách th c hi n là 2.4.4=32 cách. 1.2 Hoán v Đ nh nghĩa 1.2. Cho t p A có n (n ≥ 1) ph n t . M t cách s p x p có th t n ph n t này đư c g i là m t hoán v các ph n t c a t p A. Ký hi u Pn là s các hoán v c a t p h p có n ph n t . Ta có Đ nh lý 1.3. S các hoán v c a m t t p h p có n ph n t là Pn = n! = n(n − 1)(n − 2)...1. Ví d 1.4. Có bao nhiêu s có 4 ch s khác nhau đư c thi t l p t các ch s 1, 2, 3, 4? Gi i. M i cách s p x p 4 ch s 1, 2, 3, 4 theo m t th t nào đó ta đư c m t s g m 4 ch s khác nhau. Nó chính là m t hoán v c a 4 ch s đó. V y s các s khác nhau g m 4 ch s là 4!=24. Ví d 1.5. C a hàng có 3 cái mũ màu xanh, đ , tím. Có 3 khách đ n mua mũ m i ngư i mua m t chi c. H i cô bán hàng có m y cách đ bán mũ? Gi i. M i cách bán ba chi c mũ cho ba khách là m t hoán v c a ba ph n t . V y s cách đ cô bán hàng bán mũ là P3 = 3! = 6. 3
Ví d 1.6. Có 6 c ông s p hàng ngang đ t p th d c bu i sáng, sau bu i t p đ y ph n khích các c quy t đ nh t ngày hôm sau s ra t p ti p và m i ngày s s p hàng theo m t tr t t khác nh ng l n t p trư c. H i sau nhi u nh t bao nhiêu ngày các c m i quay l i cách x p hàng đ u tiên? Gi i. Coi m i cách s p hàng là m t cách s p x p 6 c vào 6 ch , t c là m t hoán v c a 6 c , có th tìm đư c t t c có 6! = 720 cách x p hàng. Như v y ph i 720 ngày sau, t c là g n 2 năm sau 6 c m i x p hàng l i theo đúng cách s p hàng đ u tiên. 1.3 Ch nh h p không l p Cho t p h p A = {1, 2, 3}. L p các b có th t g m hai ph n t trong ba ph n t đã cho: Gi i. Các b có th t g m hai ph n t trong ba ph n t c a A là {1, 2}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 2}, {1, 3}, {3, 1}. M i b có th t g m hai ph n t trên đư c g i là m t ch nh h p không l p ch p 2 c a 3 ph n t đã cho. Đ nh nghĩa 1.7. Cho t p A có n ph n t . M t ch nh h p không l p ch p k (1 ≤ k ≤ n) c a n ph n t đã cho là m t b có th t g m k ph n t trong n ph n t . Ký hi u s các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là Ak . n Đ nh lý 1.8. S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t b ng n! Ak = = n(n − 1)...(n − k + 1) (1 ≤ k ≤ n). n (n − k )! Ví d 1.9. Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, 5. H i có bao nhiêu s khác nhau g m 3 ch s l y t 5 ch s trên Gi i. S các s khác nhau g m 3 ch s l y t 5 ch s b ng s các ch nh h p không l p 5! ch p c a 5 ph n t , t c là: A3 = = 60. 5 (5 − 3)! Ví d 1.10. Có 8 đ i bóng chuy n thi đ u đ tranh ba huy chương vàng, b c, đ ng. N u 8 đ i th c l c như nhau thì có th có bao nhiêu d báo v danh sách b ba đư c huy chương? Gi i. Vì th c l c như nhau nên có th có 8 cách d báo đ i đư c huy chương vàng, sau đó còn 7 cách d báo đ i đư c huy chương b c, cu i cùng có 6 cách d báo đ i đư c huy chương đ ng, như v y t t c có 8.7.6 = 336 chính là s ch nh h p không l p ch p 3 c a 8 đ i. Hai d báo khác nhau n u trong danh sách 3 đ i đư c huy chương có ít nh t tên m t đ i khác nhau ho c v n cùng tên 3 đ i nhưng th t khác nhau do đó có s thay đ i tên đ i tương ng v i lo i huy chương. Ví d 1.11. M t t có 10 ngư i, ch n l n lư t 3 ngư i đi làm vi c, ngư i th nh t là nhóm trư ng. Ngư i th hai theo dõi các ch tiêu kinh t . Ngư i th ba theo dõi các ch tiêu k thu t. Gi s 10 ngư i trong t có kh năng làm vi c như nhau thì có bao nhiêu cách phân công vi c trong nhóm Gi i. Có A3 = 720 cách. 10 4
1.4 Ch nh h p l p Đ nh nghĩa 1.12. Cho t p A có n (n ≥ 1) ph n t . Ta g i ch nh h p l p ch p k (k ≥ 1) c a n ph n t c a A là m t t p có th t g m k ph n t l y t n ph n t c a A, mà ph n t c a t p đó có th có m t nhi u nh t k l n. Ký hi u s các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t c a A là Ak . n Đ nh lý 1.13. S ch nh h p l p ch p k c a n ph n t đư c tính theo công th c: Ak = nk (1.1) n T nay v sau khi nói đ n "ch nh h p" thì ta hi u đó là ch nh h p không l p. Còn "ch nh h p l p" s đư c hi u là ch nh h p có l p. Ví d 1.14. Có bao nhiêu cách phân ng u nhiên 12 khách lên 3 toa tàu? Gi i. S cách đ 12 khách lên 3 toa tàu là s ch nh h p l p ch p 12 c a 3 ph n t đã cho. B i vì m i hành khách có th có 3 cách đ lên tàu, nên có 312 cách. Ví d 1.15. S máy đi n tho i c a m t t nh g m b y ch s . M i ch s đư c ch n trong mư i s 0, 1, ... , 9 như v y có th t o ra 10.10.10.10.10.10.10 = 107 s máy đi n tho i. Ví d 1.16. Vé x s có b n ch s , như v y có t t c 104 vé x s có b n ch s . có bao nhiêu cách trao 15 ph n thư ng cho 5 ngư i d thi. M i cách phân 15 s n ph m cho 5 ngư i là m t ch nh h p ch p 15 c a 5. V y s cách đ phân ng u nhiên 15 ph n thư ng cho 5 ngư i là: 515 . 1.5 T hp Cho t p h p A = {1, 2, 3}. L p các t p con g m hai ph n t (không k th t ) c a t p M . Ta có {1, 2}, {1, 3}, {3, 2} t p h p con khác nhau. M i t p con g m 2 ph n t trên đư c g i là 1 t h p ch p 2 c a 3 ph n t . Đ nh nghĩa 1.17. Cho t p A g m n (n ∈ N) ph n t . M t t h p ch p k (0 ≤ k ≤ n) c a n ph n t đã cho c a A là m t t p con c a A g m k ph n t không k th t . Ký hi u s k các t h p ch p k c a n ph n t là Cn . Đ nh lý 1.18. S các t h p ch p k c a n ph n t đã cho là n! k Cn = . (1.2) k !(n − k )! Chú ý: Ngư i ta ch ng minh đư c các công th c sau Cn = Cn − k k n k−1 k k Cn = Cn−1 + Cn−1 . 5
Ví d 1.19. Có m y cách c 3 ngư i trong m t t g m 12 ngư i đi lao đ ng? Gi i. S cách phân công 3 ngư i trong 12 ngư i đi lao đ ng b ng s các t h p ch p 3 c a 3 12 ph n t . V y có C12 = 220 cách. Bài T p ph n gi i tích t h p 1.1. Có th t o ra bao nhiêu vectơ có g c và đ nh t i 2 trong 4 đi m đã cho? 1.2. Gi i các phưng trình a) A3 = 20n; b) A2 − A1 = 3; c)3A2 + 42 = A2n . (n là n). n n n n 2 1.3. Có bao nhiêu s g m ba ch s khác nhau l y t năm ch s 0, 2, 4, 6, 8? 1.4. M t l p có 50 h c viên. C n ch n ra l p trư ng, l p phó h c t p và l p phó đ i s ng. N u ai cũng có kh năng đư c ch n vào các ch c v trên thì có bao nhiêu cách ch n? 1.5. Có th l p đư c bao nhiêu s ch n g m năm ch s khác nhau l y t sáu ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5? 1.6. Có 24 đ i bóng tham gia thi đ u, hai đ i ph i đ u v i nhau m t lư t đi, m t lư t v . Ban t ch c ph i t ch c bao nhiêu tr n đ u? 1.7. Có 3 c ông, 2 c bà và 5 em bé ng i quanh m t bàn tròn. H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i sao cho các c ông ng i c nh nhau, các c bà ng i c nh nhau và các em bé cũng ng i c nh nhau? 1.8. Có 3 c p v ch ng đi xem văn ngh và ng i vào 6 gh trên m t hàng ngang có bao nhiêu cách s p x p sao cho v ch ng luôn ng i c nh nhau? 1.9. Có 3 quy n sách Toán, 4 quy n sách Lí, 2 quy n sách Hoá và 5 quy n sách Sinh. a) Có bao nhiêu cách x p 14 quy n sách lên giá sách? b) Có bao nhiêu cách x p sao cho sách cùng môn h c c nh nhau? 1.10. Có bao nhiêu s có năm ch s l y t năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 trong đó hai ch s 1 và 2 không đ ng c nh nhau? 1.11. Trong m t ph ng có n đi m trong đó không có 3 đi m nào th ng hàng. H i có th k đư c bao nhiêu đư ng th ng, m i đư ng th ng đi qua 2 đi m trong s n đi m đã cho? 1.12. Cho đa giác l i n (n ≥ 4) đ nh D1 , D2 , ..., Dn . Có t t c bao nhiêu đư ng chéo? 1.13. Có 12 đi m n m trên m t đư ng tròn . a) H i có bao nhiêu tam giác n i ti p đư ng tròn có đ nh n m trong s các đi m đã cho? b) H i có bao nhiêu t giác n i ti p đư ng tròn có đ nh n m trong s các đi m đã cho? 1.14. M t h p đ ng 6 bi tr ng và 4 bi đen. a) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi. b) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó có 2 bi tr ng. c) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó ít nh t có 2 bi tr ng. d) Có bao nhiêu cách l y ra 5 bi trong đó có nhi u nh t 2 bi tr ng. 6
1.15. Có 10 ngư i g m 7 nam và 3 n . a) Có bao nhiêu cách ch n m t u ban g m 3 ngư i. b) Có bao nhiêu cách ch n đ trong u ban nói trên có m t n . c) Có bao nhiêu cách ch n đ trong u ban nói trên có ít nh t m t n . §2 PHÉP TH NG U NHIÊN Trong nghiên c u t nhiên và xã h i ta ph i theo dõi các hi n tư ng, ph i cân, đong, đo, đ m, làm thí nghi m ... nh ng vi c này, trong đi u ki n cho phép, ph i l p l i nhi u l n. Ta g i chung các công vi c này là phép th . Khi l p l i phép th ta th y có phép th luôn cho cùng m t k t qu , ví d đun nư c đi u ki n cao đ và áp su t bình thư ng thì đ n 1000 C nư c s sôi, tr ng gà trong đàn gà không có tr ng khi p s không n , h t gi ng n u x lý nhi t đ quá cao ho c n ng đ hoá ch t quá cao s không n y m m, ... Ta g i đó là các k t qu t t y u. Ngoài lo i phép th cho k t qu t t y u ra còn có r t nhi u phép th khi l p l i s cho các k t qu khác nhau. S k t qu đó có th h u h n, có th vô h n, có th là các giá tr r i r c hay liên t c, ví d sinh con có th trai hay gái, p tr ng có th n ho c không, tr ng 10 cây thì s cây s ng có th là 0, 1, ... , 10, làm thí nghi m có th thành công ho c th t b i. M t hành đ ng mà k t qu c a nó không th d báo trư c đư c g i là m t phép th ng u nhiên. Ký hi u phép th ng u nhiên là T . Các k t qu c a T không th nói trư c đư c m t cách ch c ch n, nhưng ta có th li t kê ra t t c các k t qu có th có c a T . T p t t c các k t qu c a T đư c g i là không gian m u và thư ng ký hi u nó b ng ch Ω. Khi th c hi n phép th , k t qu c a phép th g i là bi n c sơ c p (s ki n sơ c p) ký hi u là ω , như v y ω ∈ Ω. M i t p con A c a Ω đư c g i là m t bi n c . M i k t qu ω ∈ A đư c g i là m t k t qu thu n l i cho A. Khi k t qu c a T là m t ph n t c a A thì có nghĩa là A x y ra. Bi n c không th là bi n c không bao gi x y ra. Nó tương ng v i t p con ∅ c a Ω. Bi n c ch c ch n là bi n c luôn x y ra. Nó tương ng v i toàn b t p Ω. Ví d 2.1. Gieo m t con xúc x c, bi n c sơ c p là ra m t 1, 2, 3, 4, 5, 6. bi n c ra m t ch n A bao g m ba bi n c sơ c p (2, 4, 6). Bi n c ra m t l B bao g m ba bi n c sơ c p (1, 3, 5). N u gieo hai con xúc x c thì các bi n c sơ c p là 36 c p s (1, 2), ( 1, 3), ..., (6, 6). bi n c "Có m t 6" bao g m 11 bi n c sơ c p: (1, 6), (2, 6), ... , (6, 1), ..., (6, 6). bi n c "T ng s đi m trên hai con xúc x c là 10" g m ba bi n c sơ c p (4, 6), (5, 5), (6, 4). Bi n c "Đi m trên hai con xúc x c b ng nhau" bao g m 6 bi n c sơ c p ( 1, 1 ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Ki m tra 3 s n ph m. Bi n c "không có quá 3 s n ph m t t có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ch c ch n. Bi n c "có 4 ph ph m có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c 7
không th . Bi n c "có 2 s n ph m t t trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ng u nhiên. §3 XÁC SU T Theo dõi nhi u l n m t phép th và các bi n c liên quan đ n phép th ta th y có bi n c hay xu t hi n, hay x y ra, có bi n c ít xu t hi n, ít x y ra, bi n c t t y u luôn x y ra còn bi n c không th không bao gi x y ra. Ví d gieo m t con xúc x c, bi n c ra m t ch n và bi n c ra m t l có m c đ xu t hi n như nhau, bi n c "ra s chia đư c cho 3" ít xu t hi n hơn. Bi n c ra m t 6 l i còn ít xu t hi n hơn n a. Bi n c "ra m t s ít hơn 7" là bi n c t t y u. Còn bi n c "ra m t s l n hơn 6" là bi n c không th . Như v y trong m t phép th m i bi n c có m t m c đ (hay kh năng) xu t hi n mà chúng ta mu n đánh giá (thay nó) b ng m t con s . Gi s A là bi n c c a phép th nào đó. M c dù khi ti n hành phép th ta không th nói trư c bi n c A x y ra hay không nhưng ta th a nh n r ng: có m t s đo kh năng x y ra c a bi n c A, ký hi u p(A). Khi đó p(A) = 1 n u A là bi n c ch c ch n và p(A) = 0 n u A là bi n c không th . Đ nh nghĩa 3.1. Xác su t c a m t bi n c là m t s đo lư ng kh năng xu t hi n c a bi n c đó. S đó luôn n m gi a 0 và 1. Xác su t c a m t bi n c càng nh (càng g n 0) thì bi n c đó càng ít kh năng x y ra. Xác su t c a m t bi n c càng l n (càng g n 1) thì bi n c có nhi u kh năng x y ra. Tính ch t N u A là bi n c ng u nhiên thì: 0 < p(A) < 1 N u A là bi n c ch c ch n thì: p(A) = 1 N u A là bi n c không th thì: p(A) = 0 Như v y n u A là bi n c b t kỳ thì 0 ≤ p(A) ≤ 1. §4 CÁCH TÍNH XÁC SU T Có nhi u cách tính xác su t, có cách tính ch t ch theo h liên đ giúp xây d ng xác su t thành m t ngành toán h c v i lý thuy t và ng d ng phong phú, có cách tính tr c quan hơn và d a vào các môn h c khác như tính xác su t theo Cơ h c, theo Hình h c, theo Đ i s ... trong tài li u này chúng ta dùng hai cách tính xác su t: cách tính th ng kê và cách tính đ ng kh năng. 4.1 Cách tính th ng kê Xác đ nh đi u ki n đ u xong ta l p l i phép th nhi u l n, càng nhi u càng t t gi l i s l n th n và s l n có bi n c A, g i là t n s n(A). T n su t c a bi n c A, ký hi u là f (A) đư c tính theo công th c n(A) f (A) = . (4.1) n 8
T n su t không ph i là xác su t nhưng n u không có cách nào khác đ tính xác su t l i l y t n su t f (A) làm xác su t p(A). N u có đi u ki n làm hàng lo t phép th và tính t n su t c a bi n c A trong các lo t đó ngư i ta th y t n su t khá n đ nh (khác nhau r t ít) và thư ng dao đ ng quanh m t s xác đ nh. Khi s phép th tăng lên (và khá l n) thì biên đ (sai khác gi a t n su t và s nói trên) có khuynh hư ng nh d n đi càng ngày càng ít xu t hi n các biên đ l n. S xác đ nh nói trên đư c l y làm xác su t. Ví d 4.1. Đ tính xác su t ra m t s p khi gieo m t đ ng ti n, ta có các k t qu sau, dao đ ng quanh 0,5 Ngư i th c hi n S l n gieo S l n ra m t s p T n su t Buýt phông 4040 2048 0,5080 Pi c sơn 12000 6019 0,5016 Pi c sơn 24000 12012 0,5005 Ví d 4.2. Trung Qu c, t năm 228 trư c Công nguyên, đã tìm th y t n su t sinh con 1 trai là 2 . Laplaxơ theo dõi các thành ph Luân Đôn, Pê-téc-bua và Bec-lin và công b t n su t sinh con trai là 22 . Cramơ cho t n su t sinh con trai Thu Đi n là 0,508. Vi t Nam 43 năm 1961 t n su t sinh con trai là 0,51. Cách tính th ng kê đơn gi n, cho k t qu d hi u, d gi i thích, phù h p v i th c t nhưng không chính xác và không th dùng đ tính xác su t trong nh ng trư ng h p ph c t p ho c các trư ng h p không th tr c ti p l p l i phép th . Trong th c t , khi xem xét m t s lư ng l n s n ph m, chúng ta thư ng dùng ph n trăm (%). Ví d s h c sinh thi đ là 90%, s s n ph m đ t tiêu chu n là 80%, s ngư i b b nh trong m t đ t d ch là 30% ... Theo cách tính th ng kê có th đ i % sang xác su t như sau: n u s đ t tiêu chu n là P % thì khi ch n ng u nhiên m t s n ph m xác su t đ s n ph m P đó đ t tiêu chu n là 100 . Cách tính th ng kê đã đư c dùng t xa xưa đ tính xác su t sinh con trai, con gái. Xác su t xu t hi n các hi n tư ng l trong t nhiên như lũ l t, sóng th n, nh t th c, nguy t th c, ... 4.2 Cách tính c đi n hay cách tính đ ng kh năng Ti n hành m t phép th và gi s n k t qu (bi n c sơ c p) c a phép th có kh năng xu t hi n như nhau, g i đó là phép th có n k t qu đ ng kh năng. Khi đó ngư i ta l y 1 xác su t c a m i k t qu là n . T ch p nh n này có th tính đư c xác su t p(A) c a m t bi n c b t kì A như sau: Xác su t c a bi n c A là t s gi a n(A) s k t qu thu n l i cho A và s k t qu đ ng kh năng n n(A) p(A) = (4.2) n Cách tính đ ng kh năng đơn gi n, cho k t qu d hi u, d gi i thích, phù h p v i th c t , nhưng không ch t ch và không th dùng đ tính xác su t trong nh ng trư ng h p ph c t p, ho c các trư ng h p không th ch p nh n gi thi t đ ng kh năng. Trong nhi u ví d , 9
các ph n sau chúng ta tính xác su t theo cách đ ng kh năng và trong các bài t p cũng có r t nhi u bài tính xác su t theo cách đ ng kh năng. 4.3. Gieo m t đ ng ti n có th coi hai k t qu s p (S ), ng a (N ), là 2 bi n c sơ Ví d 1 c p đ ng kh năng, m i bi n c có xác su t . N u gieo m t lúc hai đ ng ti n thì có th 2 coi 4 k t qu sau là đ ng kh năng: (S, S ), (S, N ), (N, S ), (N, N ), m t bi n c sơ c p có xác 2 1 1 su t 4 . N u g i A là bi n c "hai đ ng ti n cùng m t" thì xác su t p(A) = = vì A g m 4 2 2 bi n c sơ c p (S, S ) và (N, N ). Ví d 4.4. Vé x s có b n ch s , khi quay s trúng thư ng có 1 vé trúng gi i nh t. Tính xác su t đ mua 1 vé thì vé đó s trúng gi i nh t. Có t t c 104 = 10000 vé b n ch s , có th coi đó là 10000 k t qu đ ng kh năng khi quay s trúng thư ng. Như v y m i vé có xác 1 su t trúng gi i nh t như nhau và b ng 10000 . Tính xác su t đ vé trúng gi i nh t là vé có b n ch s khác nhau? Trong 10000 vé có 4 A10 = 5040 vé có b n ch s khác nhau (vé x s có th b t đ u b ng s 0) như v y xác 5040 su t đ vé trúng gi i nh t có b n ch s khác nhau là 10000 = 0, 504. Ví d 4.5. Gieo đ ng th i hai con xúc x c cân đ i và đ ng ch t. Tìm xác su t đ : a) T ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8. b) Hi u các s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 2. c) S ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau. Gi i. S k t qu đ ng kh năng là n = 6.6 = 36. a) G i A là bi n c "t ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8", khi đó A = {(2, 6), (6, 2), (4, 4), (5, 3), (3, 5)} 5 xác su t ph i tìm p(A) = . 36 b) G i B là bi n c "hi u các s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 8 2 2", khi đó B = {(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3)} và p(B ) = =. 36 9 c) G i C là bi n c "s ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau", khi đó C = 6 1 {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} và p(C ) = =. 36 6 Ví d 4.6. M t công ty c n tuy n hai nhân viên. Có 6 ngư i n p đơn trong đó có 4 nam và 2 n . Gi thi t r ng kh năng trúng tuy n c a 6 ngư i là như nhau. a) Tính xác su t đ 2 ngư i trúng tuy n đ u là nam. b) Tính xác su t đ 2 ngư i trúng tuy n đ u là n . c) Tính xác su t đ có ít nh t 1 n trúng tuy n. 2 Gi i. S k t qu đ ng kh năng C6 = 15. 1 a) Ch có m t trư ng h p là 2 nam trúng tuy n nên xác su t c n tìm là p = . 15 6 2 2 b) S cách ch n 2 n trúng tuy n trong s 4 n là C4 = 6. Xác su t c n tìm p = =. 15 5 c) Ch có 1 trư ng h p 2 nam trúng tuy n nên trong 14 trư ng h p còn l i ta đ u có ít nh t 14 1 n trúng tuy n. Xác su t c n tìm p = . 15 10
Ví d 4.7. Gieo đ ng th i 3 con xúc x c đư c ch t o cân đ i, đ ng ch t. Tính xác su t đ t ng s n t xu t hi n c a 3 con là 9. Gi i. M i k t qu c a phép th là m t b ba (a, b, c), trong đó a, b, c là các s nguyên dương t 1 đ n 6. V y s k t qu đ ng kh năng là63 = 216. Các b ba có t ng b ng 9 là: (1,2,6) và 5 hoán v c a nó; (1,3,5) và 5 hoán v c a nó (1,4,4) và 2 hoán v c a nó; (2,2,5) và 2 hoán v c a nó (2,3,4) và 5 hoán v c a nó; (3,3,3). Suy ra s trư ng h p thu n l i là 25 6+6+3+6+3+1=25. V y p(A) = . 216 §5 QUY T C C NG VÀ NHÂN XÁC SU T Sau khi tính xác su t c a các bi n c tương đ i đơn gi n, chúng ta xem xét các bi n c ph c t p hơn. Đ làm đư c vi c này, ta xét m t s phép tính trên các bi n c . G i A và B là hai bi n c xác đ nh trên t p h p các bi n c sơ c p Ω. H i c a hai bi n c A và B ký hi u A ∩ B là bi n c bao g m các bi n c sơ c p v a c a bi n c A, v a c a bi n c B . (H i A ∩ B còn đư c g i là bi n c "A và B " ho c giao c a A và B ). Như v y h i c a hai bi n c A, B là bi n c "c A và B đ u x y ra". Ví d 5.1. Gieo m t xúc x c, bi n c A "ra s ch n" và bi n c B "ra m t s chia đư c cho 3" có h i là bi n c sơ c p "ra m t 6", nói cách khác n u k t qu v a là s ch n (có bi n c A) v a là s chia đư c cho 3 (có bi n c B ) thì h i A ∩ B là bi n c "ra m t 6". Ví d 5.2. G i A là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i đư c x p lo i gi i v h c t p, B là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i bi t chơi bóng chuy n thì A ∩ B là bi n c ngư i đ i di n c a t là ngư i v a h c gi i v a bi t chơi bóng chuy n. Bi n c đ i l p c a bi n c A, ký hi u A, là bi n c bao g m các bi n c sơ c p trong Ω nhưng không thu c A. Như v y A = Ω\A. T đ nh nghĩa trên ta th y bi n c A là bi n c đ i l p c a bi n c A thì A cũng là bi n c đ i l p c a A. Ta nói A và A là hai bi n c đ i l p c a nhau. Ví d 5.3. Gieo m t xúc x c n u g i A là bi n c "ra m t ch n thì bi n c đ i l p A c a A là bi n c "ra m t l ". Ví d 5.4. Khi thi thì bi n c A "thi đ " có bi n c đ i l p A là "thi trư t". Hai bi n c A và B đư c g i là xung kh c n u h i c a chúng là r ng A ∩ B = ∅. Khi ti n hành phép th hai bi n c xung kh c không có bi n c sơ c p chung nào nên không th xu t hi n đ ng th i. Ví d 5.5. Bi n c A "ra m t ch n" và bi n c C "ra m t l " là 2 bi n c xung kh c khi gieo m t con xúc x c. Ví d 5.6. Bi n c A "ra m t ch n" và bi n c B "ra m t s chia đư c cho 3" không xung kh c. Ví d 5.7. N u trong h p có 3 lo i bi màu tr ng, màu xanh, màu đ thì bi n c rút đư c bi xanh và bi n c rút đư c bi đ là 2 bi n c xung kh c nhưng không đ i l p. 11
Ví d 5.8. Khi thi thì bi n c A "đ t đi m gi i" và bi n c B "đ t đi m khá" là hai bi n c xung kh c, nhưng không đ i l p, vì còn nhi u đi m khác. bi n c A và bi n c C "trên trung bình" không xung kh c. Qua các ví d trên ta th y đ i l p là trư ng h p riêng c a xung kh c. Đ i l p thì xung kh c nhưng xung kh c chưa ch c đã đ i l p. H p c a hai bi n c A và B , ký hi u A ∪ B , là bi n c bao g m t t c các bi n c sơ c p c a bi n c A và bi n c B . Khi ti n hành phép th thì bi n c A ∪ B xu t hi n khi có ít nh t m t trong hai bi n c A và B xu t hi n. N u phân tích k có th th y có ba trư ng h p: A xu t hi n nhưng B không xu t hi n A ∩ B , B xu t hi n nhưng A không xu t hi n A ∩ B , c A và B đ u xu t hi n A ∩ B . H p A ∪ B còn đư c g i là bi n c "A ho c B ". Ví d 5.9. Khi gieo xúc x c n u g i A là bi n c "ra m t ch n", B là bi n c "ra m t s chia h t cho 3" thì bi n c A ∪ B g m b n bi n c sơ c p (2, 3, 4, 6). Ví d 5.10. Trong Ví d 5.7, khi rút bi trong h p n u g i A là bi n c rút đư c bi tr ng thì bi n c đ i l p A là bi n c rút đư c bi xanh ho c bi đ A = B ∪ C . Quy t c c ng đơn gi n Ta th a nh n quy t c c ng đơn gi n sau đây: p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) n u A và B xung kh c. (5.1) H qu 5.10.1. G i A là bi n c đ i l p c a bi n c A, ta có p(A) = 1 − p(A). (5.2) Th t v y, t A ∪ A = Ω, A và A đ i l p ta có 1 = p(Ω) = p(A ∪ A) = p(A) + p(A) ⇒ p(A) = 1 − p(A). Ví d 5.11. Trong h p có 3 bi tr ng, 4 bi xanh và 5 bi đ , g i A là bi n c rút đư c bi tr ng, B là bi n c rút đư c bi xanh, C là bi n c rút đư c bi đ . A là bi n c "bi rút ra không ph i bi tr ng", B ∪ C là bi n c "rút đư c bi xanh ho c bi đ ". 3 4 5 3 9 Ta có p(A) = , p(B ) = , p(C ) = , p(A) = 1 − =. 12 12 12 12 12 9 Vì A = B ∪ C nên p(B ∪ C ) = . 12 4 5 9 Cũng có th tính theo quy t c c ng đơn gi n: p(B ∪ C ) = p(B ) + p(C ) = + =. 12 12 12 Ví d 5.12. Trong kỳ thi quy đ nh "đi m gi i" là đi m trên 8 (không cho đi m l ). M t h c sinh vào thi, A là bi n c "đ t đi m 10", B là bi n c "đ t đi m 9". Gi s v i em đó xác su t p(A) = 0, 3, p(B ) = 0, 4. G i C là bi n c "đ t đi m gi i", C là h p c a A và B p(C ) = p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7 12
Ví d 5.13. 70% s n ph m c a xí nghi p thu c lo i I, 20% thu c lo i II. s còn l i thu c lo i III. Khi ki m tra đ xu t kh u thì ch ch p nh n s n ph m lo i I ho c II. G i A là bi n c khi ki m tra thì s n ph m thu c lo i I, B là bi n c khi ki m tra thì s n ph m thu c lo i II, C là bi n c khi ki m tra thì s n ph m đư c ch p nh n cho xu t kh u. p(C ) = p(A ∪ B ) = 0, 7 + 0, 2 = 0, 9. Xác su t có đi u ki n Xét m t phép th đư c ti n hành trong m t đi u ki n đ u nào đó và hai bi n c A, B. Xác su t có đi u ki n p(B/A) là xác su t c a B khi đã x y ra bi n c A. Có th coi như B đư c tính khi phép th đư c ti n hành trong đi u ki n đ u m i g m đi u ki n đ u cũ c ng thêm s xu t hi n (có m t) bi n c A. 3 4 5.14. L y l i Ví d 5.11 p(A) = ; p(B ) = Ví d . N u bây gi bi t bi l y ra không 12 12 4 ph i bi tr ng (bi n c A ) thì p(B/A) = . Trong ví d này p(B/A) = p(B ). 9 Ví d 5.15. G i A là bi n c rút đư c con pích, B là bi n c rút đư c con át trong c bài 13 4 1 tu lơ khơ 52 quân v i 4 lo i: cơ, rô, nhép, pích. p(A) = ; p(B ) = =. 52 52 13 1 N u bi t con bài rút ra là con pích (bi n c A) thì xác su t rút đư c con át p(B/A) = . 13 Trong ví d này p(B ) = p(B/A). M t túi đ ng 5 qu c u, (trong đó có 2 qu màu tr ng). L y ng u nhiên (không hoàn l i) l n lư t t túi ra 2 qu c u. Tính xác su t đ l n th hai đư c qu c u tr ng bi t r ng l n th nh t l y đư c qu c u tr ng. Gi i. G i A là bi n c "l n th hai l y đư c qu c u tr ng" và g i B là bi n c "l n th hai nh t l y đư c qu c u tr ng". Ta c n tìm p(A/B ). Ta th y l n th nh t đã l y đư c qu c u tr ng (B đã xãy ra) nên trong túi còn 4 qu c u, trong đó có 1 qu tr ng. V y p(A/B ) = 1 = 0.25 4 Quy t c nhân xác su t N u A và B là hai bi n c trong m t phép th ta th a nh n quy t c nhân sau: p(A ∩ B ) = p(A).p(B/A) = p(B ).p(A/B ). (5.3) Ví d 5.16. Trong h p có 10 phi u, 2 phi u ghi "trúng thư ng". M t ngư i rút l n lư t 2 phi u, tính xác su t đ c 2 phi u đ u trúng thư ng. Gi i. G i A là bi n c phi u đ u trúng thư ng, B là bi n c phi u th hai trúng thư ng, C là bi n c 2 phi u đ u trúng thư ng. Có th tính như sau: 2 Khi rút phi u đ u có 10 phi u trong đó có 2 phi u trúng p(A) = . Khi đã x y ra A 10 1 thì còn l i 9 phi u trong đó có 1 phi u trúng do đó p(B/A) = . T đó suy ra: 9 21 1 p(C ) = p(A ∩ B ) = .= . 10 9 45 13
Ví d 5.17. S n ph m trư c khi xu t kh u ph i qua hai l n ki m tra. Bình quân 80% s n ph m làm ra qua đư c l n ki m tra I, 90% s n ph m đã qua l n ki m tra I và thì s qua đư c ki m tra II. Tính xác su t đ s n ph m đư c xu t kh u. Gi i. G i A là bi n c qua đư c ki m tra I, B là bi n c qua đư c ki m tra II, C là bi n c đ t tiêu chu n xu t kh u. p(A) = 0, 8; p(B/A) = 0, 9. p(C ) = p(A).p(B/A) = 0, 8.0, 9 = 0, 72. Bi n c đ c l p N u bi n c B có xác su t có đi u ki n p(B/A) b ng xác su t p(B ) thì B đư c g i là bi n c không ph thu c bi n c A. Có th ch ng minh ngay n u B không ph thu c A thì A không ph thu c B , th c v y theo quy t c nhân t ng quát: p(A ∩ B ) = p(A).p(B/A) = p(B ).p(A/B ). N u p(B/A) = p(B ) thì thay vào h th c trên suy ra p(A/B ) = p(A), t c là A không ph thu c B. Qua ch ng minh này chúng ta th y tính ph thu c là tương h nên s thay thu t ng "không ph thu c" b ng thu t ng "đ c l p". Hai bi n c A, B trong cùng m t phép th g i là đ c l p khi p(A/B ) = p(A) (ho c p(B/A) = p(B )). N u A và B đ c l p thì có th ch ng minh A và B đ c l p, A và B đ c l p, A và B đ c l p. Trong th c t n u hai bi n c A và B trong cùng m t phép th không nh hư ng đ n nhau thì thư ng th a nh n tính đ c l p. Quy t c nhân đơn gi n. N u A và B đ c l p thì t quy t c nhân (5.3) suy ra quy t c nhân đơn gi n sau: p(A ∩ B ) = p(A).p(B ) (5.4) Ví d 5.18. Hai ngư i đi b n, xác su t đ ngư i th nh t b n trúng đích là p(A) = 0, 7, xác su t đ ngư i th hai b n trúng đích là p(B ) = 0, 8. Xác su t đ c hai ngư i b n trúng p(A ∩ B ) = 0, 7.0, 6 = 0, 56. Ví d 5.19. S n ph m m i làm ra ph i g i đi ki m nghi m hai phòng thí nghi m đ c l p. N u c hai phòng ch p nh n thì s n ph m đư c s n xu t đ i trà. Xác su t đ s n ph m đư c phòng thí nghi m A ch p nh n l i 0,8. Xác su t đ đư c phòng thí nghi m B ch p nh n là 0,9. V y xác su t đ s n ph m đư c đem ra s n xu t đ i trà là 0,8 . 0,9 = 0,72. Quy t c c ng t ng quát N u A và B là hai bi n c trong m t phép th thì có th ch ng minh quy t c c ng t ng quát sau: p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∩ B ). (5.5) N u A và B xung kh c thì p(A ∩ B ) = 0 nên (5.5) trùng v i quy t c c ng đơn gi n (5.1). Ví d 5.20. Trong Ví d 5.18 n u g i C là bi n c đích b b n trúng thì C = A ∪ B , p(C ) = p(A ∪ B ) = 0, 7 + 0, 8 − 0, 56 = 0, 94. Có th tính cách khác: p(C ) = p(A ∩ B ) + p(A ∩ B ) + p(A ∩ B ) 14
Ví d 5.21. Trong Ví d 5.19, g i C là bi n c "có phòng thí nghi m ch p nh n s n ph m m i" C = A ∪ B , p(C ) = 0, 8 + 0, 9 − 0, 8.0, 9 = 0, 98 Có th l p lu n như sau: C là bi n c đ i l p c a bi n c "c hai phòng thí nghi m đ u không ch p nh n s n ph m m i": p(C ) = 1 − p(A ∩ B ) = 1 − 0, 2.0, 1 = 0, 98 §6 H BI N C Đ YĐ VÀ XÁC SU T TOÀN PH N Cho m t h các bi n c A1 , A2 , ..., An trong m t phép th . N u h tho mãn hai đi u ki n: a) T ng đôi m t xung kh c, t c là Ai ∩ Aj = ∅ v i i = j (i, j = 1, n); b) h p c a t t c các bi n c là bi n c t t y u, t c là A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω thì h đư c g i là h đ y đ hay h toàn ph n. Có th trình bày l i hai đi u ki n trên dư i d ng: Có m t và ch m t trong các bi n c Ai x y ra khi ti n hành phép th . (Có m t là đi u ki n b), còn ch có m t là đi u ki n a)). Khi có m t h bi n c đ y đ thì có th tính xác su t c a m t bi n c b t kì B trong phép th đó theo công th c: p(B ) = p(A1 )p(B/A1 ) + p(A2 )p(B/A2 ) + ... + p(An )p(B/An ) (6.1) n p(B ) = p(Ai )p(B/Ai ). i=1 (6.1) còn g i là Công th c xác su t toàn ph n. Ví d 6.1. C a hàng nh n tr ng c a 3 cơ s nuôi gà theo t l : 25%, 35%, và 40%. N u t l tr ng h ng c a 3 cơ s là 5%, 4% và 2% thì xác su t đ m t qu tr ng mua t i c a hàng b h ng là bao nhiêu? Gi i. Khi mua m t qu tr ng c a c a hàng thì có m t và ch m t trong 3 bi n c x y ra: bi n c A1 "tr ng c a cơ s I", bi n c A2 "tr ng c a cơ s II", bi n c A3 "tr ng c a cơ s III". Xác su t c a ba bi n c trên l n lư t là: 0,25; 0,35; 0,40. G i B là bi n c tr ng mua c a hàng b h ng. Xác su t tr ng h ng t i ba cơ s l n lư t là p(B/A1 ) = 0, 05; p(B/A2 ) = 0, 04; p(B/A3 ) = 0, 02; p(B ) = 0, 25.0, 05 + 0, 35.0, 04 + 0, 40.0, 02 = 0, 0345. Ví d 6.2. Có 2 h p bên ngoài gi ng nhau, h p th nh t ch a 1 s n ph m h ng và 9 s n ph m t t, h p th hai ch a 2 s n ph m h ng và 8 s n ph m t t. L y ng u nhiên m t h p, sau đó l y ng u nhiên m t s n ph m. Tính xác su t đ đư c s n ph m t t. G i A1 là bi n c l y đư c h p th nh t, A2 là bi n c l y đư c h p th hai, vì ch n 1 1 ng u nhiên nên p(A1 ) = ; p(A2 ) = . G i B là bi n c "s n ph m t t" ta có: 2 2 19 18 17 p( B ) = . + . = = 0, 85. 2 10 2 10 20 15
§7 CÔNG TH C BAYES Cho m t h bi n c đ y đ A1 , A2 , ..., An . Xác su t c a bi n c B tính theo công th c 6.1. Vi t l i công th c nhân t ng quát p(Ai ∩ B ) = p(Ai ).p(B/Ai ) = p(B ).p(Ai /B ), (i = 1, n) suy ra: p(Ai ).p(B/Ai ) p(Ai /B ) = , (i = 1, n) (7.1) p(B ) Công th c 7.1 có tên là công th c Bayes, công th c này cho phép tính p(Ai /B ) là g i là xác su t h u nghi m, còn xác su t p(Ai ) đư c g i là xác su t ti n nghi m. Trong Ví d 6.1 0, 25.0, 05 p(A1 /B ) = = 0, 3623. 0, 0345 Có th hi u xác su t h u nghi m p(Ai /B ) như sau: Vào c a hàng mua m t qu tr ng, xác su t mua ph i qu tr ng h ng b ng 0,0345, nói cách khác s tr ng h ng c a c a hàng là 3, 45%. Bây gi n u qu tr ng ta mua đúng là qu tr ng h ng thì xác su t đ qu đó là qu tr ng nh p c a cơ s I b ng 0,3623. Trong Ví d 6.2 1/2.8/10 8 p(A2 /B ) = = ≈ 0, 47. 17/20 17 Có th hi u xác su t h u nghi m p(A2 /B ) là như sau: L y ng u nhiên m t h p, sau t h p nó l y ng u nhiên ra m t s n ph m và đư c s n ph m t t, th thì xác su t đ h p mà ta l y ra là h p th hai b ng 0,47. Bài T p 1.16. Có 10 vé đánh s t 1 đ n 10. Rút ng u nhiên 6 vé, tính xác su t đ trong đó: a) Có vé s 1. b) Có vé s 1 và s 2. 1.17. S đi n tho i m t vùng có 5 ch s , quay ng u nhiên m t s , tính xác su t đ : a) Đư c s có 5 ch s khác nhau; b) S mà các ch s đ u l . 1.18. Có 20 câu h i thi, m i h c sinh ch n m t đ g m 3 câu. H c sinh ch h c 12 câu, tính xác su t đ ít nh t làm đư c m t câu. 1.19. Trong bình có 2 bi tr ng, 4 bi đen. L y l n lư t các bi ra kh i bình. Tính xác su t đ bi cu i cùng là bi đen. 1.20. Có 2 h p, h p th nh t đ ng 3 bi tr ng, 7 bi đ , 15 bi xanh, h p th hai đ ng 10 bi tr ng, 6 bi đ , 9 bi xanh. T m i h p ta l y ng u nhiên ra m t bi, tính xác su t đ đư c hai bi cùng màu. 16
1.21. Trong m t vùng t l ngư i m c b nh tim là 9% m c b nh huy t áp là 12%, m c c hai b nh là 7%. G p ng u nhiên m t ngư i trong vùng, tính xác su t đ ngư i đó không m c c hai b nh nói trên. 1.22. M t l p h c có 30 h c sinh trong đó có 4 gi i, 8 khá và 10 trung bình s còn l i lo i y u. Ch n ng u nhiên 3 h c sinh, tính xác su t: a) C 3 đ u y u; b) Có ít nh t m t h c sinh gi i; c) Có đúng m t h c sinh khá. 1.23. M t lô hàng có 6 chính ph m và 4 ph ph m đư c chia thành hai ph n b ng nhau. Tính xác su t đ m i ph n đ u có s chính ph m như nhau. 1.24. H p có 10 s n ph m trong đó có 2 ph ph m. L y ng u nhiên 2 s n ph m, tính xác su t đ c hai đ u là ph ph m trong 3 trư ng h p: a) L y l n lư t hai s n ph m; b) L y m t lúc hai s n ph m; c) L y có hoàn l i (t c là l y s n ph m th nh t ra xem sau đó hoàn l i, tr n đ u r i m i l y s n ph m th hai). 1.25. Ph i gieo hai đ ng ti n bao nhi u l n đ bi n c "ít nh t m t l n ra hai m t s p" có xác su t không nh hơn 0,99. 1.26. Có 18 x th trong đó có 5 ngư i b n trúng đích v i xác su t 0,8 (gi i), 7 ngư i b n trúng v i xác su t 0,7 (khá), 4 ngư i b n trúng v i xác su t 0,6 (trung bình), 2 ngư i b n trúng v i xác su t 0,5 (đ t). Ch n ng u nhiên m t ngư i vào b n. a) Tính xác su t đ ngư i đó bán trư t. b) N u ngư i đó b n trư t thì nhi u kh năng ngư i đó thu c nhóm nào? 1.27. Hai máy cùng s n xu t 1 lo i s n ph m, t l ph ph m c a máy I là 0,03, c a máy II là 0,02. Kho ch a 3 s n ph m c a máy I, 1 s n ph m c a máy II. L y ng u nhiên m t s n 2 3 ph m. a) Tính xác su t đ đư c s n ph m t t. b) N u đư c s n ph m t t thì nhi u kh năng s n ph m đó là c a máy nào? 1.28. T l ngư i nghi n thu c lá m t vùng là 30%. Bi t t l viêm h ng trong s ngư i nghi n thu c lá là 60% còn trong ngư i không nghi n là 40%. G p ng u nhiên m t ngư i. a) Tính xác su t đ đó là ngư i viêm h ng. b) N u ngư i đó viêm h ng thì tính xác su t đ đó là ngư i nghi n thu c lá. 1.29. Trong m t b nh vi n t l b nh nhân c a các t nh như sau: 25% c a t nh A, 35% c a t nh B, 40% c a t nh C . T l k sư trong s b nh nhân c a t nh A là 2%, c a t nh B là 3%, c a t nh C là 3, 5%. G p ng u nhiên m t b nh nhân, tính xác su t đ : a) B nh nhân đó là m t k sư ; b) Nhi u kh năng k sư đó là ngư i t nh nào? 17
1.30. Lô hàng xu t kh u có 100 ki n hàng, trong đó 60 ki n c a xí nghi p I và 40 ki n c a xí nghi p II. T l ph ph m c a hai xí nghi p là 30% và 10% L y ng u nhiên m t ki n r i l y ra m t s n ph m. a) Tính xác su t đ đư c m t ph ph m. b) N u s n ph m l y ra là m t ph ph m thì nhi u kh năng ki n hàng l y ra là c a xí nghi p nào? 1.31. Có 2 h p đ ng cam, h p I có 9 qu t t, 1 qu h ng, h p II có 6 qu t t, 2 qu h ng. L y ng u nhiên m t qu t h p I b sang h p II. sau đó l y ng u nhiên h p II ra hai qu . Tính xác su t đ c hai qu đ u h ng. 1.32. M t c máy có 3 b ph n, xác su t h ng trong ngày l n lư t là 0,2; 0,4; 0,3. Trong ngày có hai b ph n h ng, tính xác su t đ đó là b ph n 1 và 2. 1.33. M t ngư i có 3 ch ưa thích như nhau đ câu cá. Xác su t đ câu đư c cá c a m t l n th câu nh ng ch đó l n lư t là 0,6; 0,7; 0,8. Ngư i đó ch n ng u nhiên m t ch và th câu 3 l n thì câu đư c m t con cá. Tính xác su t đ ch câu đó là ch 1. 1.34. T l thu c h ng lô A là 0,10, lô B là 0,08 và lô C là 0,15. Ch n ng u nhiên m t lô sau đó l y ra 3 l . Tính xác su t đ ít nh t có m t l h ng. 1.35. H p A có 15 l thu c t t, 5 l h ng. H p B có 17 l t t, 3 l h ng. H p C có 10 l t t 10 l h ng. a) L y m i h p m t l , tính xác su t đư c 2 l t t, 1 l h ng. b) Ch n ng u nhiên m t h p sau đó l y t đó ra 3 l , tính xác su t đư c 2 l t t và 1 l h ng. c ) Tr n chung 3 h p r i t đó l y ra 3 l , tính xác su t đư c 2 l t t, 1 l h ng. d) Ki m tra t ng h p cho đ n khi phát hi n đ 3 l h ng. Tính xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 5. 18
Chương 2 BI N NG U NHIÊN §1 BI N NG U NHIÊN R I R C Ví d 1.1. Gieo m t đ ng ti n. G i X là k t qu v i quy ư c n u ra m t ng a thì ghi 0, ra 1 1 m t s p thì ghi 1. Xác su t ra 0 là . Xác su t ra 1 là . Ghi l i k t qu dư i d ng b ng: 2 2 X 0 1 1 1 p 2 2 Cũng gieo đ ng ti n nhưng quy ư c n u ng a thì coi như thua và ph i n p 10 đ, s p coi như th ng và nh n đư c 10 đ. S ti n thu dư c Y s là -10 đ ho c 10 đ v i xác su t b ng 1 nhau và b ng . 2 Y -10 10 1 1 p 2 2 Ví d 1.2. Tung m t con xúc x c, g i X là k t qu v i quy ư c n u ra m t 1 thì ghi s 1 ra m t 2 thì ghi s 2, ... ra m t 6 thì ghi s 6. Như v y X có th l y các giá tr 1, 2, 3, 4, 5, 1 6 v i xác su t b ng nhau và b ng . 6 X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 p 6 6 6 6 6 6 N u ch quan tâm đ n s ch n hay l thì quy ư c ghi k t qu Y như sau: n u ra m t l thì ghi 0, n u ra m t ch n thì ghi 1. Như v y bi n Y có th l y các giá tr 0 và 1 v i xác su t 1 b ng nhau và b ng . 2 Y 0 1 1 1 p 2 2 N u quan tâm đ n vi c ra m t 6 thì quy ư c ghi k t qu Z như sau: 0 n u ra m t nh 5 hơn 6, 1 n u ra m t 6. Như v y Z s l y giá tr 0 v i xác su t và l y giá tr 1 v i xác su t 6 1 6 Z 0 1 5 1 p 6 6 19