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✣→♣ #$✿ ❛✮ ✶✵✦ ❜✮
C1
6C3
4+C3
6C1
4
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C4
10 −C4
6
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▼!" ❜✐➸♥ +H ①❡ ✤JK❝ ❝➜✉ "↕♦ "S ✺ ❝❤7 +H✳ ❍:✐ ❝% ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❜✐➸♥ +H ❝%✿
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10
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C3
5
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C1
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92
❱➟②✱ /❤❡♦ 3✉② /➢❝ ♥❤➙♥✿
C3
5C1
1029
❝→❝❤✳
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❛✳ ✣@♥❤ ♥❣❤➽❛
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✿ /❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ♠➔ /❛ ❝) /❤➸ ❧➦♣ ❧↕✐ ♥❤✐➲✉ ❧➛♥ /L♦♥❣ ❝M♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
♥❤,♥❣ ❦➳/ ;✉↔ ❦❤!♥❣ /❤➸ ❞0 ✤♦→♥ /L,Q❝✳
✲
❑❤]♥❣ ❣✐❛♥ ♠➝✉
❝R❛ /❤➼ ♥❣❤✐➺♠✿ ❚➟♣ /➜/ ❝↔ ❝→❝ ❦➳/ ;✉↔✱ ❦➼ ❤✐➺✉
Ω
✳
✲
❇✐➳♥ ❝H
✿ ♠W/ /➟♣ ❝♦♥ ❜➜/ ❦➻ ❝R❛ ❦❤!♥❣ ❣✐❛♥ ♠➝✉✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ ❆✱❇✱❈✱ ✳✳✳
❱➲ ♠➦/ /❤0❝ /➳✱ ❜✐➳♥ ❝8 ✲ ❝→❝ ❤✐➺♥ /,:♥❣ ❝) /❤➸ ①↔② L❛ ❤♦➦❝ ❦❤!♥❣ ①↔② L❛ /L♦♥❣ /❤➼
♥❣❤✐➺♠ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳
✲
❇✐➳♥ ❝H +_ ❝➜♣
✿ ❜✐➳♥ ❝8 ❝❤➾ ❣a♠ ✶ ♣❤➛♥ /b✳
✲ ❇✐➳♥ ❝8
A
✤,:❝ ①❡♠ ❧➔
①↔② .❛
♥➳✉ ❝) ➼/ ♥❤➜/ ♠W/ ❦➳/ ;✉↔ /L♦♥❣
A
①✉➜/ ❤✐➺♥✳
❱➼ ❞0 ✸
✲ ●✐❡♦ ✤d♥❣ ①✉ ✈G✐ ✷ ♠➦" +➜♣✱ ♥❣f❛✿
Ω = {S, N}
✳
✲ ❈❤*♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✶ ❝❤7 +H "S ✵ ✤➳♥ ✾✿
Ω = {0,1,2, ..., 8,9}
✳
✲ ●✐❡♦ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✷ ❝♦♥ ①W❝ ①➢❝✿
Ω = {(i, j):i, j = 1,6}
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✻✴✹✽
❱➼ ❞# ✹
❈! ✸ ❤$❝ &✐♥❤ ❆✱ ❇✱ ❈ ✤-.❝ ①➳♣ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ 6❤➔♥❤ ✶ ❤➔♥❣ ❞$❝✳
❑❤✐ ✤!✿
Ω = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
✳ ▲>❝ ✤!✱ 6❛ ❝! ❜✐➳♥ ❝A✿
✲ ❆ ✤C♥❣ ❣✐D❛✿
{BAC, CAB}
✲ ❆ ❦❤F♥❣ ✤C♥❣ ❣✐D❛✿
{ABC, ACB, BCA, CBA}
❱➼ ❞# ✺
▼H6 ①↕ 6❤J ❜➢♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔♦ ✶ 6➜♠ ❜✐❛ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ 6P>♥❣ ✤➼❝❤✳
❑➼ ❤✐➺✉✿ ✶ ✲ 6P>♥❣✱ ✵ ✲6P➟6✳ ❑❤✐ ✤!✿
Ω = {1,01,001,0001,00001, ....}
▲>❝ ✤!✱ 6❛ ❝! ❜✐➳♥ ❝A✿
✲ ❜➢♥ 6P>♥❣ ✤➼❝❤ ❦❤F♥❣ U✉→ ✸ ❧➛♥✿
A={1,01,001}
✲ 6❤Y❝ ❤✐➺♥ ➼6 ♥❤➜6 ✷ ❧➛♥ ❜➢♥✿
B={01,001,0001, ....}
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✼✴✹✽
❈→❝ ❜✐➳♥ ❝- ✤➦❝ ❜✐➺1✿
✲
❇✐➳♥ ❝A ❦❤F♥❣ 6❤➸
✭
∅
✮✿ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝+ ❦❤.♥❣ 0❤➸ ①↔② 5❛
✲
❇✐➳♥ ❝A ❝❤➢❝ ❝❤➢♥
✭
Ω
✮✿ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝+ ❧✉.♥ ①↔② 5❛
❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❣✐❡♦ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✷ ❝♦♥ ①A❝ ①➢❝✳ ▲A❝ ✤F✿
✲ ❜✐➳♥ ❝+ ✧0H♥❣ I+ ❝❤➜♠ ①✉➜0 ❤✐➺♥ ❧M♥ ❤N♥ ✶✷✧ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝+ ❦❤.♥❣ 0❤➸✳
✲ ❜✐➳♥ ❝+ ✧0H♥❣ I+ ❝❤➜♠ ①✉➜0 ❤✐➺♥ ❧M♥ ❤N♥ ✶✧ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝+ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✳
❜✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ 1♦→♥ 18➯♥ ❜✐➳♥ ❝-
❈❤♦ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❝+ ❆ ✈➔ ❇✳ ❑❤✐ ✤F✿
✲
❇✐➳♥ ❝A ✤A✐
❝T❛ ❆✱ ❦➼ ❤✐➺✉
¯
A
❤♦➦❝
Ac
✱ ①→❝ ✤X♥❤✿
¯
A= Ω\A
✭①↔② 5❛ ♥➳✉ ❆ ❦❤.♥❣ ①↔②
5❛✮
✲
●✐❛♦
❝T❛ ❆ ✈➔ ❇✱ ❦➼ ❤✐➺✉
A∩B, AB
✱ ①→❝ ✤X♥❤
AB ={x:x∈A, x ∈B}
✭①↔② 5❛ ♥➳✉
❆ ✈➔ ❇ ✤Y♥❣ 0❤Z✐ ①↔② 5❛✮✳
✲
❍.♣
❝T❛ ❆ ✈➔ ❇✱ ❦➼ ❤✐➺✉
A∪B
✱ ①→❝ ✤X♥❤
A∪B={x:x∈A
❤♦➦❝
x∈B}
✭①↔② 5❛
♥➳✉ ➼0 ♥❤➜0 ❆ ❤♦➦❝ ❇ ①↔② 5❛✮
✲ ❍❛✐ ❜✐➳♥ ❝+ ❆ ✈➔ ❇ ✤\]❝ ❣^✐ ❧➔
①✉♥❣ ❦❤➢❝
♥➳✉ ❝❤A♥❣ ❦❤.♥❣ ✤Y♥❣ 0❤Z✐ ①↔② 5❛✳
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✽✴✹✽
◆❤➟♥ ①➨1
✲ ❍❛✐ ❜✐➳♥ ❝+ ❆ ✈➔ ❇ ①✉♥❣ ❦❤➢❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
AB =∅
✳
✲ ❍❛✐ ❜✐➳♥ ❝+ ✤+✐ ♥❤❛✉ 0❤➻ ①✉♥❣ ❦❤➢❝ ✈M✐ ♥❤❛✉✱ ♥❤\♥❣ ✤✐➲✉ ♥❣\]❝ ❧↕✐ ♥F✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ❦❤.♥❣
✤A♥❣✳
❱➼ ❞# ✻
❈❤$♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♠H6 ❝❤D &A 6^ ✵ ✤➳♥ ✾✳
❚❛ ❝!
Ω = {0,1,2, ..., 9}
✳
❳➨6 ✸ ❜✐➳♥ ❝A
A={0,2,4}
✱
B={4,5,6}
✈➔
C={7,8,9}
✳
▲>❝ ✤!✿
•A∩B={4}, A ∪B={0,2,4,5,6},¯
A={1,3,5,6,7,8,9}
•
❆ ✈➔ ❈ ①✉♥❣ ❦❤➢❝ ✈➻
A∩C=∅
♥❤-♥❣ ❆ ✈➔ ❈ ❦❤F♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❝A ✤A✐ ♥❤❛✉✳
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✾✴✹✽
❱➼ ❞# ✼
❈! ✷ ①↕ %❤'✱ ♠*✐ ♥❣./✐ ❜➢♥ ✶ ✈✐➯♥ ✤↕♥ ✈➔♦ ♠8❝ %✐➯✉✳ ●=✐ ❆ ✈➔ ❇ %.@♥❣ A♥❣ ❧➔ ❝→❝ ❜✐➳♥
❝E✿ ✏♥❣./✐ %❤A ♥❤➜% ✈➔ %❤A ❤❛✐ ❜➢♥ %JK♥❣ ♠8❝ %✐➯✉✑ %.@♥❣ A♥❣✳ ❑❤✐ ✤! %❛ ❝! ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
❝→❝ ❜✐➳♥ ❝E ♥❤. Q❛✉✿
✲ ❈! ✤↕♥ %JK♥❣ ✤➼❝❤✿
A∪B
✲ ❈! ✤K♥❣ ✶ ✈✐➯♥ ✤↕♥ %JK♥❣ ✤➼❝❤✿
A¯
B∪¯
AB
✲ ❈❤➾ ❝! ♥❣./✐ %❤A ♥❤➜% ❜➢♥ %JK♥❣✿
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B
✲ ❈! ♥❤✐➲✉ ♥❤➜% ♠V% ✈✐➯♥ ✤↕♥ %JK♥❣ ✤➼❝❤✿
¯
A¯
B∪A¯
B∪¯
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❤♦➦❝
AB
▲✉➟( ❉❡✲▼♦.❣❛♥ ✈➲ ♣❤6 ✤8♥❤✿
∪Ai=∩¯
Ai
∩Ai=∪¯
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❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✵✴✹✽
✸✳ ✣8♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ (➼♥❤ ❝❤➜( ❝6❛ ①→❝ C✉➜(
✣8♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭(❤❡♦ ❤➺ (✐➯♥ ✤➲✮✿
❈❤♦ #$%&❝ ♠)# #❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ✈&✐ ❦❤1♥❣ ❣✐❛♥ ♠➝✉
Ω
✳ ❑❤✐
✤8✱
①→❝ C✉➜(
❝:❛ ♠)# ❜✐➳♥ ❝= ❆✱ ❦➼ ❤✐➺✉
P(A)
✱ ❧➔ A= ✤♦ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ①↔② $❛ ❜✐➳♥ ❝=
A
✳
F♥❣ ✈&✐ ♠G✐ ❜✐➳♥ ❝= ❆ #❛ ✤➦# #%I♥❣ J♥❣ ✈&✐ ❣✐→ #$L
P(A)
#❤M❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ A❛✉✿
✭✐✮ ❱&✐ ♠S✐ ❜✐➳♥ ❝=
A, P (A)≥0
✭✐✐✮
P(Ω) = 1
✭✐✐✐✮ ◆➳✉
A1, A2, ...
❧➔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❝= ✤1✐ ♠)# ①✉♥❣ ❦❤➢❝ #❤➻
P(∪∞
n=1An) =
+∞
X
n=1
P(An)
▲X❝ ✤8
P(A)
✤%Y❝ ❣S✐ ❧➔
①→❝ Q✉➜%
❝:❛ ❜✐➳♥ ❝= ❆✳
◆❤➟♥ ①➨(✿
❚$♦♥❣ ♠)# A= #$%[♥❣ ❤Y♣✱ #]② ✈➔♦ ❦❤1♥❣ ❣✐❛♥ ♠➝✉ ❝^♥❣ ♥❤% ❝→❝ #❤✐➳# ❧➟♣
✧#%I♥❣ J♥❣✧ a ♠➔ #❛ A➩ #❤✉ ✤%Y❝ ♠)# ✈➔✐ ✤L♥❤ ♥❣❤➽❛ ①→❝ A✉➜# ❦❤→❝✳
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✶✴✹✽
✣8♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭K✉❛♥ ✤✐➸♠ (❤N♥❣ ❦➯✮✿
❳➨# ❜✐➳♥ ❝=
A
✳ ❚❤g❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ #❤h
n
❧➛♥ #❤➻ ❝8
m
❧➛♥ ①✉➜# ❤✐➺♥ ❜✐➳♥ ❝=
A
✳ ❑❤✐ ✤8 #➾ A=
fn=m/n
✤%Y❝ ❣S✐ ❧➔
%➛♥ Q✉➜%
①✉➜# ❤✐➺♥
A
✳
❑❤✐ A= ♣❤➨♣ #❤h #➠♥❣ ❧➯♥ ✈1 ❤↕♥✱ #➛♥ A✉➜#
fn
A➩ #✐➳♥ ✤➳♥ ♠)# ❤➡♥❣ A= ①→❝ ✤L♥❤✳ ❍➡♥❣
A= ♥➔② ✤%Y❝ ❣S✐ ❧➔
①→❝ Q✉➜%
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A
✳
❱➻ #❤➳✱ #$♦♥❣ #❤g❝ #➳ ❦❤✐ A= ♣❤➨♣ #❤h
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❧&♥✱ #❛ ❝8 #❤➸ ①❡♠ #➛♥ A✉➜#
fn
♥❤% ❧➔ ①→❝ A✉➜#
❝:❛ ❤✐➺♥ #%Y♥❣ ❆✳
❱➼ ❞# ✽
❈! ✶✵✵✵ ♥❣./✐ ❝! %J✐➺✉ ❝❤A♥❣ ❆ ✤➳♥ ❝@ Q[ ② %➳ ✤➸ ❦❤→♠ ❜➺♥❤✳ ❑➳% ^✉↔ ❝! %❤➜② ✼✵✵
♠➢❝ ❜➺♥❤ ❳✳ ❚❛ ❝!
f= 700/1000 = 70%
✳ ❉♦ ✤!✱ %❛ ❝! ❝@ Q[ ❞d ✤♦→♥ ♥➳✉ ♠V% ♥❣./✐
❝! %J✐➺✉ ❝❤A♥❣ ❆ %❤➻ ①→❝ Q✉➜% ♠➢❝ ❜➺♥❤ ❳ ①➜♣ ①➾ ✼✵✪✳
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✷✴✹✽
✣!♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭(✉❛♥ ✤✐➸♠ ❝/ ✤✐➸♥✮✿
❈❤♦ #❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ✈+✐
n(Ω)
❦➳# .✉↔ ✤2♥❣ ❦❤↔ ♥➠♥❣✱
#5♦♥❣ ✤6 ❝6 ♥✭❆✮ ❦➳# .✉↔ #❤✉➟♥ ❧=✐ ❝❤♦ ❜✐➳♥ ❝? ❆✳ ❑❤✐ ✤6✱
①→❝ #✉➜&
❝B❛ ❜✐➳♥ ❝? ❆✱ ❦➼
❤✐➺✉ D✭❆✮✱ ✤E=❝ ①→❝ ✤H♥❤✿
P(A) = n(A)
n(Ω)
❱➼ ❞5 ✾
❚(♦♥❣ ♠-& ❤-♣ ❝0 ✻ ❜✐ ✤❡♥ ✈➔ ✹ ❜✐ &(➢♥❣✳ ▲➜② ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✹ ✈✐➯♥✳ ❚➻♠ ①→❝ #✉➜& ❧➜② ✤AB❝
❝↔ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❜✐✳
●✐↔✐✳
●K✐ ❆ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝? ✧❧➜② ✤E=❝ ❝↔ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❜✐✧✳
❙? #5ER♥❣ ❤=♣ ✤2♥❣ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿
n(Ω) = C4
10
✳
❙? #5ER♥❣ ❤=♣ #❤✉➟♥ ❧=✐✿
n(A) = C1
6C3
4+C2
6C2
4+C3
6C1
4
✳
❳→❝ U✉➜# ❝➛♥ #➻♠✿
P(A) = n(A)
n(Ω) =C1
6C3
4+C2
6C2
4+C3
6C1
4
C4
10
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✸✴✹✽
❱➼ ❞5 ✶✵
▼-& ✤♦➔♥ &➔✉ ❝0 ✸ &♦❛✳ ❈0 ✶✺ ❦❤→❝❤ ❧➯♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✸ &♦❛ &➔✉✳ ❇✐➳& ♠N✐ &♦❛ ✤➲✉ ❝❤P❛
✤AB❝ ✶✺ ❦❤→❝❤✳ ❚➼♥❤ ①→❝ #✉➜&✿
❛✳ ❚♦❛ ✶ ❝0 ✹ ❦❤→❝❤✳
❜✳ ❈0 ✷ &♦❛ ♠N✐ &♦❛ ❝0 ✻ ❦❤→❝❤✳
●✐↔✐✳
❛✳ ●K✐ ❆ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝? ✧#♦❛ ✶ ❝6 ✹ ❦❤→❝❤✧✳
❚❛ ❝6✿
n(Ω) = 315
✳
●✐→ #5H
n(A)
✤E=❝ #➼♥❤ #❤[♥❣ .✉❛ ✷ ❣✐❛✐ ✤♦↕♥✿
✲ ●✤ ✶✿ ❈❤K♥ ✹ ❦❤→❝❤✿
C4
15
❝→❝❤
✲ ●✤ ✷✿ ❳➳♣ ✶✶ ❦❤→❝❤ ❝^♥ ❧↕✐✿
211
❝→❝❤✳
❙✉② 5❛✿
n(A) = C4
15211
❳→❝ U✉➜# ❝➛♥ #➻♠✿
P(A) = n(A)
n(Ω) =C4
15211
315
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✹✴✹✽
❜✳ ●K✐ ❇ ❧➔ ❜✐➳♥ ❝? ✧❝6 ✷ #♦❛ ♠`✐ #♦❛ ❝6 ✻ ❦❤→❝❤✧✳
●✐→ #5H
n(B)
✤E=❝ #➼♥❤ #❤[♥❣ .✉❛ ❝→❝ ❣✐❛✐ ✤♦↕♥✿
✲ ●✤ ✶✿ ❈❤K♥ ✷ #♦❛✿
C2
3
❝→❝❤
✲ ●✤ ✷✿ ❈❤K♥ ✻ ❦❤→❝❤ ❝❤♦ ♠`✐ #♦❛✿
C6
15C6
9
❝→❝❤✳
✲ ●✤ ✸✿ ❳➳♣ ✸ ❦❤→❝❤ ❝^♥ ❧↕✐
13= 1
❝→❝❤
❙✉② 5❛✿
n(B) = C2
3C6
15C6
9
❳→❝ U✉➜# ❝➛♥ #➻♠✿
P(B) = n(B)
n(Ω) =C2
3C6
15C6
9
315
❱➼ ❞5 ✶✶
▼-& (T ❝❛♠ ❣U♠ ✶✷ V✉↔✱ &(♦♥❣ ✤0 ❝0 ✸ V✉↔ ❤X♥❣✳ ❈❤✐❛ ✤➲✉ ✶✷ V✉↔ ♥➔② ❝❤♦ ✸ ♥❣AY✐✱
♠N✐ ♥❣AY✐ ✹ V✉↔✳ ❚➼♥❤ ①→❝ #✉➜&✿
❛✳ ◆❣AY✐ &❤P ♥❤➜& ❦❤[♥❣ ❝0 V✉↔ ❤X♥❣✳
❜✳ ▼N✐ ♥❣AY✐ ✤➲✉ ❝0 V✉↔ ❤X♥❣✳
●!✐ #✳
❚❛ ❝#✿
n(Ω) = C4
12C4
8C4
4
❛✳
n(A) = C4
9C4
8C4
4
❜✳
n(B) = 3!C3
9C3
6C3
3
❚!♥ ❚❤➜% ❚& ✶✺✴✹✽
