Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 6 - GV. Lê Đức Thanh

GV: Leâ ñöùc Thanh

Chöông 6

ÑAËC TRÖNG HÌNH HOÏC CUÛA MAËT CAÉT NGANG

6.1 KHAÙI NIEÄM

ÔÛ chöông 3, khi tính ñoä beàn cuûa thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm, ta thaáy

öùng suaát trong thanh chæ phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa dieän tích maët caét ngang

F (maët caét F, dieän tích F). Trong nhöõng tröôøng hôïp khaùc, nhö thanh chòu

uoán, xoaén… thì öùng suaát trong thanh khoâng chæ phuï thuoäc vaøo dieän tích F maø

coøn phuï thuoäc vaøo hình daùng, caùch boá trí maët caét… nghóa coøn nhöõng yeáu toá

P

P

z

b)

a)

x

y

y

khaùc maø ngöôøi ta goïi chung laø ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang.

H.6.1. Daàm chòu uoán a) Tieát dieän ñöùng; b) Tieát dieän naèm ngang

Xeùt thanh chòu uoán trong hai tröôøng hôïp maët caét ñaët khaùc nhau nhö treân

H.6.1. Baèng tröïc giaùc, deã daøng nhaän thaáy tröôøng hôïp a), thanh chòu löïc toát

hôn tröôøng hôïp b), tuy raèng trong trong hai tröôøng hôïp dieän tích cuûa maët caét

ngang thanh vaãn nhö nhau. Nhö vaäy, khaû naêng chòu löïc cuûa thanh coøn phuï

thuoäc vaøo caùch saép ñaët vaø vò trí maët caét ngang ñoái vôùi phöông taùc duïng cuûa

löïc.(ÖÙng suaát nhoû 04 laàn ñoä voõng nhoû 16 laàn ). Cho neân söï chòu löïc khoâng

nhöõng phuï thuoäc F, maø caàn phaûi nghieân cöùu caùc ñaëc tröng hình hoïc khaùc

cuûa maët caét ngang ñeå tính toaùn ñoä beàn, ñoä cöùng, ñoä oån ñònh vaø thieát keá maët

caét cuûa thanh cho hôïp lyù.

_________________________________________________________________ Chöông 6: Ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang 1

6.2 MOÂMEN TÓNH - TROÏNG TAÂM

GV: Leâ ñöùc Thanh

y

y o

F

M •

dF

yo

C

xo

y

yC

x C

x o

Xeùt moät hình phaúng bieåu dieãn maët

x

caét ngang F ( maët caét F ) nhö treân H.6.2. Laäp moät heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxy trong maët phaúng cuûa maët caét. M(x,y) laø moät ñieåm baát kyø treân hình. Laáy chung quanh M moät dieän tích vi phaân dF.

O

x

♦ Moâmen tónh cuûa maët caét F ñoái vôùi

H.6.2 Maët caét F vaø troïng taâm C

xdF

ydF

S

,

=

y

x

truïc x (hay y) laø tích phaân: S = (6.1)

∫

∫

F

F

vì x, y coù theå aâm hoaëc döông neân

moâmen tónh coù theå coù trò soá aâm hoaëc döông.

Thöù nguyeân cuûa moâmen tónh laø [(chieàu daøi)3].

♦ Truïc trung taâm laø truïc coù moâmen tónh cuûa maët caét F ñoái vôùi truïc ñoù baèng khoâng.

♦ Troïng taâm laø giao ñieåm cuûa hai truïc trung taâm.

⇒ Moâmen tónh ñoái vôùi moät truïc ñi qua troïng taâm baèng khoâng.

x

♦ Caùch xaùc ñònh troïng taâm C cuûa maët caét F:

o

=

=

+

x

x

y

;

oCy + x C

o

y C

y o

Döïng heä truïc song song vôùi heä truïc xOy ban ñaàu (H.6.2). Ta coù

(

)

dF

dF

=

=

+

=

+

, vôùi C(x c ,y c )

y C

x

o

y C

dFy o

SFy C

xo

Thay vaøo (6.1), ⇒ S y +

∫

∫

∫

F

F

F

0=xoS

S

S

, ⇒ vì truïc ox laø truïc trung taâm neân

x =

Fy C

y =

Fx C

, vaø : (6.2)

S

;

x

=

=

Töø (6.2) ⇒

C

y C

y F

S x F

xC (

)

(6.3)

C y , C

ñöôïc xaùc ñònh trong heä truïc xOy ban Keát luaän: Toïa ñoä troïng taâm

Ngöôïc laïi, neáu bieát tröôùc toïa ñoä troïng taâm, coù theå söû duïng (6.2), (6.3)

ñaàu theo moâmen tónh Sx , Sy vaø dieäân tích F theo (6.4). ñeå xaùc ñònh caùc moâmen tónh.

_________________________________________________________________ Chöông 6: Ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang 2

Nhaän xeùt 1:

GV: Leâ ñöùc Thanh

Maët caét coù truïc ñoái xöùng, troïng taâm naèm treân truïc naøy vì moâmen tónh ñoái vôùi truïc ñoái xöùng baèng khoâng (H.6.3a,b).

Maët caét coù hai truïc ñoái xöùng, troïng taâm naèm ôû giao ñieåm hai truïc ñoái

y

y

y y

x

C

C C

C

x x

x

a)

b) b)

c)

xöùng (H.6.3c).

H.6.3 Maët caét coù truïc ñoái xöùng

Thöïc teá, coù theå gaëp nhöõng maët caét ngang coù hình daùng phöùc taïp ñöôïc

gheùp töø nhieàu hình ñôn giaûn.

Tính chaát: moâmen tónh cuûa hình phöùc taïp baèng toång moâmen tónh cuûa

caùc hình ñôn giaûn.

n

S

=

+

... ++

=

x

yF n

n

yF i i

yF 11

yF 2

2

∑

1

Vôùi nhöõng hình ñôn giaûn nhö chöõ nhaät, troøn, tam giaùc hoaëc maët caét caùc loaïi theùp ñònh hình I, U, V, L… ta ñaõ bieát tröôùc (hoaëc coù theå tra theo caùc baûng trong phaàn phuï luïc ) dieän tích, vò trí troïng taâm, töø ñoù deã daøng tính ñöôïc moâmen tónh cuûa hình phöùùc taïp goàm n hình ñôn giaûn:

n

S

=

+

... ++

=

y

xF nn

xF i i

xF 11

xF 22

∑

1

,

(6.4)

yxF , i i

i

- dieän tích vaø toïa ñoä troïng taâm cuûa hình ñôn giaûn thöù i, trong ñoù:

n - soá hình ñôn giaûn.

n

n

xF i

i

yF i

i

S

y

x

⇒ Toaï ñoä troïng taâm cuûa moät hình phöùc taïp trong heä toïa ñoä xy.

∑ i ==

=

=

C

C

1 n

; (6.5)

∑ 1 i == n

S x F

y F

F i

F i

∑

∑

1

i

i

=

1 =

_________________________________________________________________ Chöông 6: Ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang 3

GV: Leâ ñöùc Thanh

y

x C

F 1

x 1

Thí duï 6-1 Xaùc ñònh troïng taâm maët caét chöõ L chæ goàm hai hình chöõ nhaät nhö treân H.6.4. Toïa ñoä

C 1

S

x

F 2

;

=

=

x C

C

x

y 1

=

=

y C

y C

y F S x F

FxFx + 11 2 2 FF + 2 1 Fy Fy + 2 11 2 FF + 2 1

x

y 2

C 2

x

x 2

O

troïng taâm C cuûa hình treân laø:

H . 6 . 4 T r o ïn g t a âm h ì n h p h ö ùc t a ïp

y ≡ Y

I

150 × 12 mm

C1

x

Thí duï 6.2 Moät maët caét thanh gheùp, goàm theùp chöõ Ι soá hieäu No55, theùp chöõ [ soá hieäu No27, vaø theùp chöõ nhaät 15 × 1,2 cm (H.6.5). Xaùc ñònh troïng taâm C cuûa maët caét.

IoN55

y1

II

C2

x

x

yC

x

X

C

y3

[ No27

z3

x

C3

III

Giaûi. Tra baûng (ΓOCT 8239-89) ⇒ soá lieäu sau:

- Ñoái vôùi theùp chöõ Ι No55: h2 = 55 cm t = 1,65 cm F2 = 118 cm2 - Ñoái vôùi theùp chöõ [ No27: h3 = 27 cm F3 = 35,2 cm2 z3 = 2,47 cm - Hình chöõ nhaät:

H.6.5. Trong taâm C cuûa hình gheùp

F1 = 15 cm x 1,2 cm = 18 cm2

0

cm 1,28

47,2

cm 97,29

=

+

=

+

Choïn heä truïc toïa ñoä xy qua goác C2 ⇒ toïa ñoä troïng taâm cuûa ba hình treân laø:

2 =y

=y 1

3 =y

55 2

2,1 2

55 2

; ;

3

144,549

0 −+

−=

=

+

=

Dieän tích vaø moâmen tónh cuûa toaøn maët caét laø:

( 97,29

)( 2,35

)

FyFy + 11 2

Fy 3 3

2

S x

F = F1 + F2 + F3 = 18 + 118 + 35,2 = 171,2 cm2 ( ) )( cm 181,28

−

;0

y

c 32

m

=

=

=

−≈

vì y laø truïc ñoái xöùng, troïng taâm C seõ naèm treân truïc naøy.

x C

C

S x F

144,549 2,171

⇒ Toïa ñoä ñieåm C laø:

Daáu (–) cho thaáy troïng taâm C naèm phía döôùi truïc x.

Chuù yù raèng, truïc x coù theå choïn tuøy yù song ôû thí duï naøy ta ñaët truïc x ñi

_________________________________________________________________ Chöông 6: Ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang 4

qua troïng taâm C2 cuûa maët caét chöõ Ι cho tieän tính toaùn.

GV: Leâ ñöùc Thanh

Y

24

y

y

6 cm

=

=

=

C

S x F

+

12 ×

4224 +×× × ( 42 4 24 × ( ) (

10 × ) 12 )

4cm

4cm

16cm

2

Thí duï 6.3. Cho maët caét hình chöõ U .Tìm troïng taâm C Choïn heä truïc x,y nhö hình veõ, truïc x qua ñaùy maët caét (truïc y laø truïc ñoái xöùng, C naèm treân truïc y)

S

_

24

10

(

)

2

12cm

y

6 cm

=

=

=

C

C

X

16 8 × × _() 24 16 × _() (

12 16 × × 12 16 × )

x x 1 FF _ 1 2

4cm

x

1

Hay : S

H. 6.12

6.3 MOÂMEN QUAÙN TÍNH- HEÄ TRUÏC QUAÙN TÍNH CHÍNH TRUNG TAÂM

1- Moâmen quaùn tính (MMQT)

y

y

M •

dF

♦Moâmen quaùn tính ñoäc cöïc

F

ρ

J

dF

( MMQT ñoái vôùi ñieåm) cuûa maët caét F ñoái vôùi ñieåm O ñöôïc ñònh nghóa laø bieåu thöùc tích phaân:

2ρρ ∫=

F

x

(6.6)

x

O

vôùi ù: ρ- khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán

goác toïa ñoä O,

H. 6.6 Hình phaúng F

♦Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc

J

2 dFx

;

J

2 dFy

=

=

y vaø x cuûa maët caét F ñöôïc ñònh nghóa:

y

x

∫

∫

F

F

(6.7)

♦Moâmen quaùn tính ly taâm cuûa maët caét F ñoái vôùi heä truïc x,y ñöôïc ñònh

J

xydF

nghóa:

xy

(6.8)

∫=

F

2

2 =ρ

2 x +

y

J

J

J

+

Töø ñònh nghóa caùc moâmen quaùn tính, ta nhaän thaáy: - MMQT coù thöù nguyeân laø [chieàu daøi]4 - Jx , Jy , Jp > 0 - MMQT ly taâm Jxy coùù theå döông, aâm hoaëc baèng khoâng.

x

y

=ρ

_________________________________________________________________ Chöông 6: Ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét ngang 5

- Vì neân (6.9)