Bài giảng Tin học (Phần 1: Tin học ứng dụng)(cao học Vật lý): Chương 2 - TS. Ngô Văn Thanh

Ngo Van Thanh, IOP 11/2011

 Phần II. Tin học ứng dụng

Chương 2: Sử dụng phần mềm Mathematica (LT: 10, TH:10)  Cấu trúc lệnh cơ bản  Xử lý đồ họa  Các phương pháp tính số  Lập trình trên Mathematica  Các gói chương trình chuyên dụng

 Website:

http://www.iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/comp/math/ Wolfram website

http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica.html

The University of North Carolina

http://facstaff.unca.edu/mcmcclur/Mathematica/

Salisbury University

http://facultyfp.salisbury.edu/despickler/personal/ClassroomResourcesMath.asp



2.1 Cấu trúc lệnh cơ bản File văn bản : được chia thành các cell







Kiểu của cell : Title, subtitle, …, text, Input (ngầm định) … Nhiều câu lệnh trên cùng một cell; gộp các cell thành một nhóm Double-Click trên nhóm celll để mở rộng hoặc đóng nhóm.











Có thể chọn nhiều Cell để chạy đồng thời. Kết quả thực hiện cho mỗi câu lệnh được ghi ra trong cell Output : Out[n], số thứ tự n trong Out[…] tương ứng với cell Input In[n]. Tất cả kết quả tính toán được ghi lại trên bộ nhớ của máy tính cho đến khi tắt chương trình Mathematica, hoặc sử dụng lệnh Clear[…] Sau khi sửa câu lệnh, phải chạy lại câu lệnh đó bằng “SHIFT+ Enter”



Thực hiện các câu lệnh trong cell : SHIFT+ Enter



Phân biệt chữ hoa và chữ thường, không được dùng ký tự gạch dưới : “_” Tên Hàm được ghép nhiều từ với nhau, chữ cái đầu tiên của mỗi từ được viết hoa

Vd:



Quy tắc tên biến, hàm…:

ListPlot[…], Solve[…], FindRoot[…]



(…) : nhóm biểu thức – tương tự như các ngôn ngữ lập trình khác



a*(b+c)



[…] : đối số của hàm số :

Sin[x]; Plot[5 x – 2,{x,1,2}] {…} : tập hợp các phần tử; nhóm các câu lệnh; mảng/ma trận…



{1,2,3}; {a1 x+b1 y==0, a2 x+b2 y==0}



[[…]] : chỉ số mảng :

a[[1]]; b[[1]][[2]]

Quy tắc móc, ngoặc (…) , […], {…}, [[…]]



Ký hiệu TT. Quan hệ Ký hiệu TT. Logic Ký hiệu

EQ NOT + == !

NEQ AND != &&

GT OR > ||

GEQ - * or “space” / >=

LT ^ <



LEQ >=









Pi hoặc π ~ 3.14159 E : cơ số e ~ 2.71828 EulerGamma : hằng số Euler γ ~ 0.577216 Degree : radian của 1 độ = π/180

Toán tử: Phép toán Cộng Trừ Nhân Chia Luỹ thừa Hằng số:



Sin[x]

Exp[x]

KroneckerDelta[a,b]

Cos[x]

Log[x]

Tan[x]

Log[x,b]

Cot[x]

Log10[x]

Hàm số cơ bản:

DiracDelta[a,b] HeavisideTheta[a,b] Gamma

Erf

Sinh[x]

Abs[x] Min[x] Max[x] Im[z] Re[z]

BesselJ Prime[n] Factorial[N] ~ N! RandomInteger[imin,imax]

Cosh[x]

Conjugate[z]

RandomReal[x

min,x

max]

Tanh[x]

Coth[x]

ArcSinh[x]

Arg[z] Abs[z] Plus[a,b,…]

NormalDistribution [ µ,σ] Mean[list] Variance[dist]

ArcCosh[x]

Times[a,b,…]

ArcTanh[x]

Power[a,b,…]

ArcCoth[x]

Mod[a,b]

ArcSin[x] ArcCos[x] ArcTan[x] ArcCot[x]



Palettes:

Vd:



InputForm : {{1, 2}, {3, 4}}

Palettes



2.2 Xử lý đồ họa Vẽ đồ thị theo hàm số



min, x

max},

Đồ thị hàm 1 biến : Plot[{expr1, expr1, … }, {x, x Opt1->{Values of Opt1}] exprN : các biểu thức toán học là một hàm theo x {x, x

max} : khoảng giá trị của biến số x

min, x

20

10

4

3

2

1

1

2

3

10

20

30

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}]



Export đồ thị ra file



Nên chọn EPS hoặc WMF

Chọn hình vẽ Click chuột phải -> “Save Graphics As” Chọn EPS -> Save



Export đồ thị ra file



Copy trực tiếp sang Winword hoặc PowerPoint

Chọn hình vẽ Vào menu “Edit” -> “Copy As” -> Chọn “Metafile”



Trên Winword hoặc PowerPoint nhấn Ctrl + v



1.0

 

 













 





0.5



















2

10

4

6

8 









0.5







 









 





1.0

 Options :

AxesLabel -> {“x_label”, “y_label”}

y

20

10

x

4

3

2

1

1

2

3

10

20

30

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, AxesLabel -> {“x”, “y”}]

PlotLabel -> {“plot label”}

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, PlotLabel -> f[x]]

LabelStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 18}

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, PlotLabel -> f[x], AxesLabel -> {Style[“x”,Italic], “y”} LabelStyle -> {FontFamily -> "Times", FontSize -> 16}]

AxesOrigin -> {xO, yO}

20

20

10

10

4

3

2

1

1

2

3

0

10

20

10

30

20

3

2

1

0

1

2

3

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3}, AxesOrigin -> {-4, -30}]

Mesh -> 30; MeshStyle -> {Red,PointSize[Medium]}

Plot[x^3 + 3 x^2 + x - 9, {x, -4, 3},

20

10

4

3

2

1

1

2

3

10

20

30

Mesh -> 20, MeshStyle -> {Red, PointSize[Medium]]

max},{y

min, y

min, x

max}}

50

25

40

20

15

30

10

5

20

0.5

1.0

1.5

2.0

10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

PlotRange -> {Full, Automatic} hoặc {{x Plot[Exp[x^2] + x -4, {x, 0, 2}, PlotRange -> {0, 50}]

,Ticks -> None]

Ticks -> None / {t1, t2, t3, …} Plot[Sin[x], {x, 0, 10}

1



2 

3 

1

Plot[Sin[x], {x,0,10}, Ticks -> {{0,Pi,2 Pi,3 Pi},{-1,1}}]

1.0

1.0

0.5

0.5

10

4

2

6

8

0.5

2

4

6

8

10

1.0

0.5

AspectRatio -> 1/2]

1.0

AspectRatio -> Automatic hoặc y/x Plot[Sin[x], {x, 0, 10}, Plot[Sin[x], {x, 0, 10}, AspectRatio -> 2/1]

Epilog -> {obj1, obj2,… } : phía trước hình Prolog -> {obj1, obj2,… } : phía sau hình Plot[Sin[x],{x, 0, 10}, Epilog -> { {Dashed, Blue, Line[{{Pi/2,Sin[Pi/2]}, {Pi/2,0}}]}, Text[Sin[x], {Pi,0.5}]}]

Drawing Tools

Drawing Tools : chỉ dùng cho đồ thị 2 chiều

Vẽ nhiều hàm trên một đồ thị

1.0

PlotStyle -> {Red,{Blue, Dashed}}]

0.5

8

2

4

6

10

0.5

1.0

Plot[{Sin[x], Sin[2 x]},{x, 0, 10},

1.0

0.5

1

2

3

4

5

6

0.5

1.0

Show[graph1,graph2, … , Options -> Values] vd. Hàm



min, x

max}, {y, y

min, y

max},

Đồ thị 3 chiều

Plot3D[{exprs.}, {x, x Opt1 -> {Values of Opt1}]

Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]

BoxRatios -> {x, y, z}

Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, BoxRatios -> {1, 1, 1/2}]

ColorFunction -> (White &)

Plot3D[Sin[2 x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, ColorFunction -> (White)]

MeshShading -> {{None, None}} MeshStyle -> Thick

1.0

0.5

2

0.0

1

0.5

1.0

0

2

1

0

2

2

Plot3D[Sin[x + y], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}, MeshShading -> {{None, None}}, MeshStyle -> Thick]





Vẽ đồ thị các điểm từ bảng dữ liệu

ListPlot[{list1, list2}, Opts -> Options] List : {{x1, y1}, {x2, y2}, … } ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}]]

Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}]

1.0

0.5

2

4

6

8

10

0.5

1.0

{{0.,0.}, {0.5, 0.479426}, {1., 0.841471}, {1.5, 0.997495}, {2., 0.909297}, {2.5, 0.598472}, {3., 0.14112}, {3.5, -0.350783}, {4., -0.756802}, {4.5, -0.97753}, {5., -0.958924}, {5.5, -0.70554}, {6., -0.279415}, {6.5, 0.21512}, {7., 0.656987}, {7.5, 0.938}, {8.,0.989358}, {8.5, 0.798487}, {9., 0.412118}, {9.5, -0.0751511}, {10., -0.544021}}

1.0

0.5

2

4

6

8

10

0.5

1.0

Joined -> True ; Mesh -> Full; ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full]

MeshStyle -> {PointSize[Large], Red} PlotStyle -> {Thick, Green}

1.0

0.5

2

4

6

8

10

0.5

1.0

ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full, PlotStyle -> {Thick, Green}, MeshStyle -> {PointSize[Large], Red}]

1.0

0.5

2

4

6

8

10

0.5

1.0

InterpolationOrder -> 3 ListPlot[Table[{n, Sin[n]},{n, 0, 10, 0.5}], Joined -> True, Mesh -> Full, InterpolationOrder -> 3]

Đọc từ file dữ liệu

Import[“file","Table"]

li1 = Import[“D:/math/data.dat","Table"]

{{0.,0.},{0.5,0.479426},{1.,0.841471},{1.5,0.997495}, {2.,0.909297},{2.5,0.598472},{3.,0.14112}, {3.5,-0.350783},{4.,-0.756802},{4.5,-0.97753}, {5.,-0.958924},{5.5,-0.70554},{6.,-0.279415}, {6.5,0.21512},{7.,0.656987},{7.5,0.938},{8.,0.989358}, {8.5,0.798487},{9.,0.412118},{9.5,-0.0751511}, {10.,-0.544021}}

ListLinePlot[{list1, list2}, Opts -> Options]





 

 











 























1.0

 

















10

6

4

2

8 





 









0.5





















 















 

2

4

6

10





8 









0.5







 









 





1.0

PlotMarkers -> Automatic, InterpolationOrder -> 2]

 Vẽ đồ thị các đoạn thẳng từ bảng dữ liệu ListLinePlot[{l1,l2}, Mesh -> Full, 1.0 0.5 0.5 1.0 ListPlot[{l1,l2}, Mesh -> Full, PlotMarkers -> Automatic,

Joined -> True, InterpolationOrder -> 2]

Các loại đồ thị khác:

 ListPlot3D[{list1, list2}, Opts -> Options]



List : {{x1, y1, z1}, {x2, y2, z2}, … }

data = Table[Sin[j^2+i],{i,0,Pi,Pi/5},{j,0,Pi,Pi/5}]; ListPlot3D[data, InterpolationOrder -> 3]

 ListPointPlot3D[{list1, list2}, Opts -> Options]



List : {{x1, y1, z1}, {x2, y2, z2}, … }

1.0

0.5

30

0.0 0.5 1.0

20

10

10

20

30

data = Table[Sin[j^2+i],{i,0,Pi,0.1},{j,0,Pi,0.1}]; ListPointPlot3D[data]

min, x

max},{y, y

min, y

max}]

 DensityPlot[f, {x, x

1},{x2, y

2}, …}]

1, f

2, f

 Giá trị càng lớn thì có màu càng sáng  ListDensityPlot[{{x1, y  DensityPlot3D[…] và ListDensityPlot3D[…] DensityPlot[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}]

Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}]

min, x

max},{y, y

min, y

max}]

 ContourPlot[f, {x, x

min,x

max},{y,y

min,y

max}]

1},{x2, y

2}, …}]

2, f

1, f

 ContourPlot[{{f1 == g1},{f2 == g2}},{x,x  Giá trị càng lớn thì có màu càng sáng  ListContourPlot[{{x1, y ContourPlot[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3}]

 ContourPlot[Sin[x]Sin[y]==0.5,{x,-4,4},{y,-3,3}]

3

2

1

0

1

2

3

4

2

2

4

0

Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,-4,4},{y,-3,3},PlotRange->{0,0.5}, ClippingStyle->None, BoundaryStyle->{Thick,Blue}]

min, x

 VectorPlot[{vx, vy}, {x, x

max},{y, y max},{y,y

max}] max},{z,z

min,x

min,z

max}]

min, y  VectorPlot3D[{vx,vy,vz},{x,x min,y  ListVectorPlot[{{{x1, y1},{vx1, vy1}},… }]  ListVectorPlot3D[{{{x1, y1, z1},{vx1, vy1, vz1}},… }]

3

2

1

0

1

2

3

3

2

1

0

1

2

3

VectorPlot[{x,-y},{x,-3,3}, {y,-3,3}]

min, x

max},{y, y

min, y

max}]

 StreamPlot[{vx, vy}, {x, x

 ListStreamPlot[{{{x1, y1},{vx1, vy1}},… }]

3

2

1

0

1

2

3

3

2

1

0

1

2

3

StreamPlot[{x,-y},{x,-3,3},{y,-3,3}]



2.3 Các phương pháp tính số Tính toán trên các biểu thức





--> kết quả :

Phép gán f = a x^2 + b x + c hoặc f = a x2 + b x + c f (x + d) --> kết quả : (d + x) (c + b x + a x2) Tính số (1/2) Sin[20] x

--> kết quả : 0.456473 x --> kết quả : 0.45647263 x



(1/2) Sin[20] x//N N[(1/2) Sin[20] x, 8] Các số hạng trong biểu thức

--> kết quả : y --> kết quả : z --> kết quả : g[a]

(x+y+z)[[2]] (x+y+z)[[-1]] f[g[a],g[b]][[1]] f[g[a],g[b]][[1,1]] --> kết quả : a

 ReplacePart[a+b+c+d , 3 -> x^2] --> kết quả : a+b+x2+d



Khai triển biểu thức : Expand/ExpandAll

f = (1+x)^3 + Sin[(1+x)^3]

Expand[f]

TrigExpand[Sin[x+y]]

ExpandAll[f]  Biểu thức lượng giác: --> Sin[x] Cos[y] + Cos[x] Sin[y]

 Số phức : ComplexExpand[Sin[x],x]

--> Cosh[Im[x]] Sin[Re[x]] + i Cos[Re[x]] Sinh[Im[x]]

 Đơn giản hoá : Simplify/FullSimplify

f = 1 + 3 x + 3 x^2 + x^3 + Sin[1 + 3 x + 3 x^2 + x^3]

-->

--> (1 + x)2

Simplify[f]  Phân tích thừa số : Factor[] Factor[1 + 2x + x^2] Extension

Factor[2+2Sqrt[2]x+x^2] --> Factor[2+2Sqrt[2]x+x^2, Extension -> Sqrt[2]]

 Biểu thức lượng giác:

Factor[Sin[x]^2+Tan[x]^2, Trig -> True] TrigFactor[Sin[x]^2+Tan[x]^2]

 Đạo hàm riêng

n là bậc của đạo hàm

D[f, {x, n}] : D[f, {x, nx},{y, ny},…] : đạo hàm nhiều biến

D[Sin[x]/(a + x^2),x] D[Sin[x]/(a + x^2),{x,2}] NonConstants D[ a x^2, x, NonConstants -> {a}]

--> 2 a x + x2 D[a, x, NonConstants -> {a}]

 Đạo hàm toàn phần

Dt[f, {x, n}] : n là bậc của đạo hàm Dt[f, {x, nx},{y, ny},…] : đạo hàm nhiều biến

--> a + x Dt[a,x] + Dt[b,x]

Dt[ a x + b,x] Dt[x^2 y, x, y] --> 2 x + 2y Dt[x,y] + 2x Dt[x,y] Dt[y,x] Constants Dt[ a x + b, x, Constants -> {b}]

--> a + x Dt[a, x, Constants ->{b}]

 Derivative

--> Cos[x]

Sin’[x] : Derivative[1][Sin][x]

--> -Sin[x]

Sin’’[x] : Derivative[2][Sin][x]

f[x_, y_] := Sin[x] Cos[y];

Derivative[n1, n2,…][f] --> -Cos[x] Cos[y] Derivative[1, 2][f][x, y]

 Giới hạn (Limit)

0] 0, Direction -> 1] 0, Direction -> -1]

Limit[expr., x -> x Limit[expr., x -> x Limit[expr., x -> x

--> ex

Limit[(1 + x/n)^n, n -> Infinity]

--> ∞ --> − ∞ Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> 1] Limit[Tan[x], x -> Pi/2, Direction -> -1]

Direction

Assumptions Limit[ x^a,x ->Infinity, Assumptions -> a < 0] --> 0 Limit[ x^a,x ->Infinity, Assumptions -> a > 0] --> ∞



Tích Phân (Integrate) Integrate[f, x] Integrate[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax},…]

Integrate[1/(x^3+1),x] -->

Integrate[1/(x^3+1),{x,0,1}] PrincipalValue

Phương pháp Riemann Integrate[Tan[x],{x,0,Pi}] --> Không hội tụ Phương pháp Cauchy Integrate[Tan[x],{x,0,Pi}, PrincipalValue -> True]



Tích Phân số (NIntegrate)

NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] NIntegrate[f, {x, xmin, xmax},{y, ymin, ymax},…]

--> 0.835649 NIntegrate[1/(x^3+1), {x, 0, 1}]

Integrate[1/(x^3 + 1), {x, 0, 1}] //Timing --> ??s NIntegrate[1/(x^3 + 1),{x, 0, 1}] //Timing --> ??s

Cận tích phân không phải là hằng số

NIntegrate[Sin[5x y+y^2] + 1,{x, -1, 1}, {y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]}]

NIntegrate[Sin[5x y+y^2] + 1,{y,-Sqrt[1-x^2], Sqrt[1-x^2]} ,{x, -1, 1}]

Exclusions

NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4}] NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4}, Exclusions -> (x2 + y == 0)]

--> 0.0

Số vòng lặp đệ quy (Recursive) • MinRecursion -> 0 • MaxRecursion -> Automatic NIntegrate[Exp[-100(x2+y2)],{x,-50,60},{y,-50,60}] NIntegrate[Exp[-100(x2+y2)],{x,-50,60},{y,-50,60}, MinRecursion -> 4] --> 0.0314159

Method -> "MonteCarlo"] Method NIntegrate[1/Sqrt[x2+y],{x,-2,4},{y,-2,4},



Tổng (Tích) Sum/NSum (Product/NProduct)

Sum[f, {i, imax}] Sum[f, {i, imin, imax},{j, jmin, jmax ,dj},…]

--> Sum[i^2,{i,1,n}]

--> Sum[i^3,i]

--> 3.09286 NSum[1/((k-20)^2+1),{k,0,∞}]

NSum[f, {i, imax, imax}] NSum[f, {i, imin, imax,di}] NSumTerms (NProductFactors) -> 15 NSum[1/((k-20)^2+1),{k,0,∞}, NSumTerms -> 30] --> 3.10462



Khai triển chuỗi luỹ thừa

Series[f, {x, x0, n}] Series[f, {x, x0, nx},{y, y0, ny},…]

--> Series[ Cos[x]/x,{x,0,10}]

--> Normal[%]

Series[ArcCos[x],{x,1,1},Assumptions->(x > 1)]

Assumptions Series[ArcCos[x],{x,1,1}]

 Hệ số của số hạng bậc n trong chuỗi luỹ thừa

Series[ Cos[x]/x,{x,0,10}]

SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}] SeriesCoefficient[f, {x, x0, nx},{y, y0, ny},…] SeriesCoefficient[ Cos[x]/x,{x,0,9}] -->

SeriesCoefficient[Cos[x]/x,{x,0,8}] --> ???

SeriesCoefficient[ Exp[-x],{x, 0, n}] -->

Assumptions

SeriesCoefficient[ Exp[-x],{x, 0, n}, Assumptions -> (n ≥ 0)]



Khai triển chuỗi Fourier FourierSeries[f, x, n}] FourierSeries[f, {x1, x2 , …},{n1, n2, …}]

với

FourierSeries[t/2, t, 3]

FourierParameters

{1,1}

{1,-2π}

{a, b}

 Hệ số của số hạng bậc n trong chuỗi Fourier

FourierCoefficient[f, x, n}] FourierCoefficient[f, {x1, x2 , …},{n1, n2, …}]

FourierSeries[t/2, t, 3]

FourierCoefficient[t/2, t, 2] -->

FourierCoefficient[t/2, t, 3] --> ???

FourierParameters

--> {1,1}

{1,-2π} -->

--> {a, b}

 Giải phương trình /hệ phương trình - (bất phương trình)

Solve[expr., vars, domain] domain : Reals, Integers, Complexes

sol = Solve[a x2 + b x + c == 0, x]

--> sol[[2]]

 Hệ phương trình

x/.sol[[2]] -->

Solve[{expr1., expr1.,…}, {var1, var2, …}] Solve[{3x + 8y == 5, 5x + 2y == 7},{x,y}]

sol2 = Solve[{x2 + y2 == 1, x + y == a}, {x, y}]

sol2[[1]] x/.sol2[[2]] x/.sol2[[2, 1]] --> ??? --> ??? --> ???

Cách viết khác khi expr. có nhiều biểu thức logic

Solve[x2 + y2 == 1 && x + y == a, {x, y}] sol3 = Solve[{2x+3y == 4,3x-4y ≤ 5,x-2y > -21} ,{x,y},Integers]

x/.sol3 --> ???

 Giải số các phương trình

 NSolve[expr., vars, domain]

domain : Reals sol = NSolve[x^3 - 2x + 3 == 0,x]

--> x : Reals ; y : Complex

0},{y,y

0}}]

1

, f

2}, {{x,x 0}] 0, x 0, x

1}] min, x

max}]

Phương pháp Newton Phương pháp Secant --> -->

sol = NSolve[x^3 - 2x + 3 == 0,x,Reals] --> ??? NSolve[x^2+y^2==1 && x^4+y^4==2 && Element[x,Reals],{x,y}]  FindRoot[{f  FindRoot[f, {x, x  FindRoot[f, {x, x  FindRoot[f, {x, x

Kết thúc tính toán khi giá trị x vượt ra ngoài khoảng

Plot[Sin[x]+Exp[x],{x,-10,1}]

3

2

1

10 8 6 4 2

1

--> {x -> -0.588533}

FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,10}] FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,-10}] --> {x -> -9.4247}

FindRoot[Sin[x]+Exp[x]==0, {x,-3,-4,-2}] --> {x -> -3.09636}

ContourPlot[{x == 2y + 3Cos[x],y == x-4}, {x,0,15},{y,-5,15}, Frame -> False, Axes -> True,

15

10

5

2

4

6

8 10 12 14

5

LabelStyle -> Large, ContourStyle -> Thick]

FindRoot[{x == 2y + 3 Cos[x],y == x-4},{x,6},{y,2}] --> {x -> 5.6256, y -> 1.6256}

 Giải phương trình (hệ pt) vi phân

 DSolve[eqn., y, x]  DSolve[{eqn1.,eqn2,…}, {y1,y2,…}, x]  DSolve[eqn., y, {x1,x2,…}]

DSolve[y'[x] + y[x] == a Sin[x], y[x], x]

 Phương trình vi phân có điều kiện biên

 Phương trình vi phân bậc 2

DSolve[{y'[x] + y[x] == a Sin[x], y[0]==0}, y[x], x]

DSolve[y''[x] + 4y'[x] + 5y[x] == 0, y[x],x]

 Phương trình vi phân phi tuyến

 Hệ phương trình vi phân

DSolve[ y'[x] + x y'[x]^2 == 1, y[x], x]

 Hệ phương trình vi phân có điều kiện biên

DSolve[{y'[x]== x^2y[x],z'[x]==5z[x]}, {y[x],z[x]},x]

DSolve[{y'[x]-4z[x]==Cos[x], y[x]+z[x]==1/2, y[Pi/2]==1/2},{y[x],z[x]},x]

 Đạo hàm riêng

DSolve[3D[y[x1,x2],x1]+5D[y[x1,x2],x2]==x1 , y[x1,x2],{x1,x2}]

 Đạo hàm riêng bậc 2

 Đạo hàm riêng có điều kiện đầu

DSolve[3D[y[x1,x2],{x1,2}]-12D[y[x1,x2],{x2,2}]==1, y[x1,x2],{x1,x2}]

DSolve[{2D[y[x1,x2],x1] + 7D[y[x1,x2],x2]==3, y[x1,0]==x1},y[x1,x2],{x1, x2}]

 Giải số phương trình (hệ pt) vi phân  NDSolve[eqns., y, {x,xmin,xmax}]  NDSolve[eqns., y, {x,xmin,xmax},{t,tmin,tmax}]  NDSolve[eqns., {y1,y2}, {x,xmin,xmax}]

Bắt buộc phải có điều kiện đầu hoặc điều kiện biên

nsol = NDSolve[{y'[x]-y[x]Cos[x+y[x]]==0,y[0]==1} ,y,{x,0,30}] y -> InterpolatingFunction[{{0.,30.}},<>]

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

5

10 15 20 25 30

Plot[y[x]/.nsol,{x,0,30}, PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick] Plot[y[x]/.nsol,{x,-10,10}] --> ???

 Phương trình vi phân bậc 2

NDSolve[{y''[x]+y[x]==0,y[0]==1,y'[0]==0},y,{x,10}]

 Hệ phương trình vi phân

{x, y},{t,0,10}]

NDSolve[{x'[t]==y[t], y'[t]==-x[t], x[0]==1,y[0]==0}, x -> InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>] y -> InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>]

Plot[???] Plot[???]

 Phương trình đạo hàm riêng

điều kiện biên:

dsol = NDSolve[{D[u[t,x], t] == 0.5 D[u[t,x],x,x]+ u[t,x]D[u[t,x],x], u[t,-Pi] == u[t, Pi]==0, u[0,x] == Sin[x]}, u, {t,0,2},{x,-Pi, Pi}]

u -> InterpolatingFunction[{{0.,2.},{-3.14,3.14}},<>]

Plot3D[???]



v = {x, y, z}

v[[2]] = ??? ; v + a = ???

Vector – Ma trận  Vector/mảng 1 chiều : v2={x2,y2,z2};

--> {x1 x2,y1 y2,z1 z2} v1={x1,y1,z1}; v1*v2

m = {{x1, y1},{x2,y2}}

m//MatrixForm

m[[2,1]] = ???

 Tích vector

 Mảng 2 chiều/Ma trận :  MatrixForm  Tích vô hướng a*b -->

a.b -->



Table

Table[i^2, {i,10}] --> {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} Table[i+2 j,{i,4},{j,3}]//MatrixForm

 Table[expr., {i,imax}]  Table[expr., {i,imin,imax}]  Table[expr., {i,imin,imax, di}]  Table[expr., {i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]

Table[ai,j,{i,2},{j,2}]//MatrixForm



Array

--> f[i] --> f[i,j]

Array[f,{3,2}] {{f[1,1],f[1,2]},{f[2,1],f[2,2]},{f[3,1],f[3,2]}}

 Array[f, n]  Array[f, {n1,n2}]

Table[???] Array[b##&, {3,3}]

Table[???]



Các hàm liên quan đến ma trận

 Dimensions[] --> kích thước của một ma trận

; Dimensions[B] --> {?,?}

Inverse[A] --> A-1 Dimensions[A] --> {3,3}  Inverse --> Nghịch đảo ma trận

 Det --> Định thức

Det[A] --> 21

Tr[A] --> 13

--> Vết của ma trận tác dụng bởi hàm f

--> {1,5,7}

--> Luỹ thừa bậc n của ma trận m

--> MatrixPower[A, 2]

--> Ma trận chuyển vị

 Tr[list] --> Vết của một ma trận  Tr[list, f] Tr[A,Times] --> ??? Tr[A,List]  MatrixPower[m, n]  Transpose[m]

Transpose[A] -->

{0.656382, 0.0181093, 0.000509145}

--> {0.656382, 0.0181093}

Eigenvalues[m, 2] Eigenvalues[m, -2] --> ???

 Eigenvalues[m] --> liệt kê trị riêng của ma trận Eigenvalues[m]  Eigenvalues[m, k] --> chỉ in ra k trị riêng của ma trận  Eigenvectors[m] --> liệt kê vector riêng của ma trận  Eigenvectors[m, k] --> chỉ in ra k vector riêng của ma trận

Eigenvectors[m, 2] -->

Eigensystem[m]

{0.656382, 0.0181093, 0.000509145}

Eigensystem[m, 1]

 Eigensystem[m] --> liệt kê trị riêng và vector riêng của ma trận Trị riêng : Eigensystem[m][[1]] Vector riêng : Eigensystem[m][[2]]  Eigensystem[m, k] --> liệt kê k trị riêng và k vector riêng của ma trận {{0.656382},{{-0.703526,-0.549364,-0.450832}}}

 DiagonalMatrix[list]

Tạo ma trận với các phần tử của list sắp xếp trên đường chéo

 DiagonalMatrix[list,k]

Tạo ma trận với các phần tử của list sắp xếp trên đường chéo thứ k

--> DiagonalMatrix[{a,b,c}]

DiagonalMatrix[{a,b,c},2]

 IdentityMatrix[n]

--> Ma trận đơn vị bậc n

--> IdentityMatrix[4]

2.4 Lập trình trên Mathematica Định nghĩa hàm







x, y : đối số hình thức exprs. : liệt kê các biểu thức, các câu lệnh của Mathematica.

f[x_,y_,…]:=(exprs.)

--> --> ???

f[a] f[Pi] f[x]*Sin[x] -->

f[x_]:= Sin[x] + Cos[x] f[a_,b_]:= x/.Solve[a x^4+ b x == 0,x]

-->

f[1,1] {-1., 0., 0.5+ i 0.866025, 0.5- i 0.866025}

f[a_,b_,c_]:= x/.Solve[a x^2 + b x + c == 0,x] f[0] f[0,1] f[0,1,1] --> --> --> ??? ??? ???



Biến cục bộ





u, v : biến cục bộ exprs. : liệt kê các biểu thức, các câu lệnh của Mathematica.

f[x_,y_,…]:=Module[{u,v,…},expr1;expr2;…]

g[a_]:= Module[{b}, b = Sin[a]*Cos[a]; a2 b] --> --> ??? g[x] g[b]

 SetOptions

SetOptions[function, option->value,…]

Plot[Sin[x],{x,0,30}, PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick]

SetOptions[Plot,PlotRange->All, LabelStyle->Large, PlotStyle->Thick] Plot[Sin[x],{x,0,30}]; Plot[Cos[x],{x,0,30}]…



max] min,i

max,di]



Cấu trúc lặp  Do[expr, {i,i  Do[expr, {i,i





t = 2; Do[t = t^2; Print[t] ,{3}] --> {4, 16, 256} t = 2; Do[Print[t]; t = t^2 ,{3}] --> ??? For[start, test, incr, body] t = 2; For[i=1, i<4, i++, t = t^2; Print[t]] --> {4, 16, 256}

While[test, body] t = 2; i = 1; While[i<4, t = t^2; Print[t];i++] Nest[f, expr, n] Nest[(#^2)&, 2, 3] --> 256 Module[{x = 2}, Nest[(#^2)& , x, 3]]



 If[condition, T, F]  If[condition, Then , Else]

Cấu trúc rẽ nhánh

f[x_]:= If[x > 0, 1, -1]

Điều kiện (Condition)

<==> f[x_]:= 1/;x > 0







f[x_/;x > 0]:= 1 f[x_/;x <= 0]:= -1 <==> f[x_]:= -1/;x <= 0

Switch[expr.,form1, val1, form2, val2,…] f[x_]:= Switch[Mod[x,3], 0, a, 1, b, 2, c] f[4] --> “b” Which[test1, val1, test2, val2,…] f[x_]:= Which[x > 0, 1, x <= 0, -1] Piecewise[val1, cond1, val2, cond2, …] f[x_]:= Piecewise[{{1, x > 0},{-1, x < 0}}, -1] f[x_]:= Piecewise[{1, x > 0}, -1]



 Quy tắc thay thế

Các quy tắc thay thế

->

/.{var1 -> value1, var1 -> value2,…}

--> -->

/.{var1 :> value1, var1 :> value2,…}

{0.262002,0.18452,0.695246,0.302918}

list = {t,t,t,t}/.t :> RandomReal[] Bước 1 : thay thế {t,t,t,t} --> {RandomReal[],RandomReal[],RandomReal[],RandomReal[]} Bước 2 : tính các giá trị list[[1]] = 0.262002 list[[2]] = 0.18452 …

f[x_]:= a Sin[x] + b Cos[a x] f[t] f[t]/.a -> 1  Quy tắc thay thế :>  So sánh hai quy tắc

{t,t,t,t}/.t -> RandomReal[] {0.640703, 0.640703, 0.640703, 0.640703}

2.5 Các gói chương trình chuyên dụng Gọi package để sử dụng



hoặc Get[PackageName`]

<< PackageName` Needs[“PackageName`”,“file”]

 Package :

VectorAnalysis: <



Cartesian : Xx, Yy, Zz Cylindrical: Rr, Ttheta, Zz Spherical : Rr, Ttheta, Pphi -> x, y, z -> r, θ, z -> r, θ, ϕ

SetCoordinates[system[names]] system/names : --> gradient Grad[f, coordsys] --> divergence Div[f, coordsys] --> curl/rot Curl[f, coordsys] Các toán tử dùng trong các hệ toạ độ trụ/cầu

 http://en.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_cylindrical_and_spherical_coordinates

 Phương trình Euler–Lagrange : EulerEquations[f, u[x],x]

Phương pháp biến thiên hằng số: << VariationalMethods`

ele = EulerEquations[Sqrt[1+y'[x]^2],y[x],x]

DSolve[ele,y[x],x] -->

VariationalD[Sqrt[1+y'[x]^2],y[x],x]

VariationalD[f, u[x],x]

Thư viện:



http://library.wolfram.com/ http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/

Physics : http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/Science/Physics/