B MÔN TOÁN NG D NG - ĐHBKỘ Ứ Ụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1
GI I TÍCH HÀM M T BI NẢ Ộ Ế
•BÀI 7: K NĂNG KHAI TRI N TAYLORỸ Ể
•TS. NGUY N QU C LÂN (12/2007)Ễ Ố
KHAI TRI N CỂ Ơ B N: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC Ả
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T khai tri n hàm y = eừ ể x Khai tri n sinx, cosx, sinhx, coshx ể
0,
3
tg 4
3 xxo
x
xx Chú ý ph n dầ ư cosx, sinx, chx, shx:
o nh c a s h ng b tri t tiêu! ỏ ủ ố ạ ị ệ
0,
)!2(
1
...
!4!2
1cos 12
242
xxo
n
xxx
xn
n
n
0,
)!12(
1
...
!3
sin 22
123
xxo
n
xx
xx n
n
n
...
!2
1
2 x
xex
chaü Muõ
leû Muõ
12
22
22
123
)!2(
...
!2
1ch,
!12
...
!3
sh
n
n
n
n
xo
n
xx
xxo
n
xx
xx
xxxx ch,shcos,sin daáu ñan khoângnhöng nhötöï Töông
KHAI TRI N CỂ Ơ B N: LU TH A, 1/(1 Ả Ỹ Ừ x), LN(1 + x)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm ngh ch ịđo – inverse function (T ng c p s nhân): ả ổ ấ ố
nn
n
nn xoxxx
x
xoxx
x
11
1
1
,1
1
12
T ng quát: Hàm lu th a (1 + x)ổ ỹ ừ Nh th c Newton (1 + x)ị ứ n
nn xox
n
n
xxx
!
1
!2
1
11 2
VD: Khai tri n MacLaurint hàmể
3 caáp ñeán
31xxf
Gi i: ả
0,
!3
2
3
1
1
3
1
3
1
!2
1
3
1
3
1
3
11 3
32
3
1
xxo
xxx
x
nn
n
xox
n
xx
xx
132 )1(
32
1ln
ln(1 + x): 1/(1+x)
xn/n, đan d u ấ
B NG KHAI TRI N CÁC HÀM CẢ Ể Ơ B N: 7 HÀMẢ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ha ø m Kh a i t rie ån P h a àn d ö
La g ra n g e
x1
1
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n
1
!1
n
c
x
n
e
n
n
nx
n
xxx 2
242
!2
1
!4!2
1
22
!22
sincos
n
x
n
c
12
1253
!12
1
!5!3
n
n
nx
n
xxx
x
32
!32
sincos
n
x
n
c
n
nxxxx 11 32
x1
1
x
e
xcos
xsin
x1
x1ln
1
2
1
1
1
1
n
n
nx
c
n
xxxx
32
1
n
x
n
n
xx !
1
!2
1
12
n
xxxx
x
n
n1
432
1
432
PPHÁP KHTRI N MACLAURINT: T NG, HI U, TÍCH Ể Ổ Ệ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai tri n ML ểđn c p 3: ế ấ
x
x
exf x
1ln5
1
2
Gi i: ả
3
2
2
2
...
2
5...12...
2
1xo
x
xxx
x
xxf
VD: Khai tri n MacLaurint ểđn c p 3: ế ấ
xxxf coshcos
Đưa hàm c n khai tri n v d ng t ng, hi u, tích (ầ ể ề ạ ổ ệ đhàm,
tphân) các hàm cơ b n. Aùp d ng kh/tr MacLaurint cả ụ ơ b nả
Gi i: ả
0,1
!2
1
!2
133
2
3
2
xxoxo
x
xo
x
xf
Chú ý: Có th s d ng c ể ử ụ ả đo hàm, tích phân (coi ch ng C!) ạ ừ
VD: Khai tri n ML ểđn c p 2: ế ấ
11ln 2 xxxf