Bài giảng Toán 1: Bài 7 - Kỹ năng khai triển Taylor

Chia sẻ: Thị Huyền | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

265
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán 1: Bài 7 - Kỹ năng khai triển Taylor với các nội dung nghiên cứu chính như: Khai triển cơ bản: mũ, lgiác, hyperbolic; luỹ thừa, 1/(1 ± x), ln(1 + x); triển khai các hàm cơ bản;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1: Bài 7 - Kỹ năng khai triển Taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN • BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)
KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC Từ khai triển hàm y = ex Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx Muõ chaün n x2 x4 1 x 2n cos x 1 ... o x 2n 1 , x 0 x2 2! 4! (2n)! ex 1 x ... 2! n x3 1 x 2n 1 sin x x ... o x 2n 2 ,x 0 Muõ leû 3! (2n 1)! Töôngtöïnhösin x, cos x nhöngkhoâng ñandaáu shx, chx x3 x 2n 1 x2 x 2n shx x ... o x 2n 2 , chx 1 ... o x 2n 1 3! 2n 1 ! 2! (2n)! x3 Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: tgx x o x4 , x 0 3 o nhỏ của số hạng bị triệt tiêu!
KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1 x), LN(1 + x) Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân): 1 n n 1 2 n 1 x  x ox , 1 x x  1 xn o xn 1 x 1 x Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x) Nhị thức Newton (1 + x)n 1  n 1 1 x 1 x x2  xn o xn 2! n! VD: Khai triển MacLaurint hàm f x 3 1 x ñeáncaáp 3 1 x 1 1 x2 1 1 1 x3 Giải: 1 x 3 1 1 1 2 o x3 , x 0 3 3 3 2! 3 3 3 3! ln(1 + x): 1/(1+x) x2 x3 ( 1) n 1 n ln 1 x x  x o xn xn/n, đan dấu 2 3 n
BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM Ha ø m Kh a i t rie å n P h a à n d ö x3 xnx2 La g rae c n g ne 1 ex 1 x  x 3! 2! n! n 1! x2 x4 n x 2n cos sin c 2 n 2 cos x 1  1 x 2n x 2! 4! 2n ! 2n 2 ! x3 x5 n x 2n 1 cos sin c 2 n 3 sin x x  1 x 2n 1 x 3! 5! 2n 1 ! 2n 3 ! 1 n 1 1 n 1 1 x x 2 x 3  1 xn n 1 n 2 x 1 x 1 c 1 1 x x2 x3  x n 1 x 1 2  n 1 1 x 1 x x  xn 2! n! x2 x3 x4 n 1 xn ln 1 x x  1 2 3 4 n
PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) các hàm cơ bản. Aùp dụng kh/tr MacLaurint cơ bản x 2 VD: Khai triển ML đến cấp 3: f x e 5 ln 1 x 1 x x2 x2 Giải: f x 1 x ... 2 1 x x 2 ... 5 x ... o x3 2 2 VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: f x cos x cosh x x2 x2 Giải: f x 1 o x3 1 o x3 1 o x3 , x 0 2! 2! Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!) VD: Khai triển ML đến cấp 2: f x ln x 1 x2 1
KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1 x) 1 Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: 1 x Dùng Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1! ex 1 VD: Khai triển MacLaurint a / , caáp 2 b/ , caáp3 2 x cos x 2 2 x 1 1 1 x x x Giải: a / e 1 x o x2 1 o x2 2 1 x2 2 2! 2 4 2 2 2 1 1 x 3 x 3 b/ 2 3 1 o x o x ... cos x 1 x 2! o x 2 2 1 VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2 f x x2 4x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Giải: f x x 1 x 3 2 x 1 x 3 2 3 1 x3 1 x
KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HỢP Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự). Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0! 2 VD: Khai triển MacLaurint a / sin x b / cos x ñeán caáp 4 3 2 u Giải: a / u x & u 0 0 sin u u ... x 2 o x 4 3! 12 x2 x4 x2 x4 1 b/ 1 o x4 1 o x4 1 u ... 2 24 2 24 2         u VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2
KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 và sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t) Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất hiện trực tiếp trong hàm số! 1 VD: Khai triển Taylor hàm f x quanh x0 2 ñeáncaáp3 x 1 1 1 1 1 t Giải: Cách 1: t = x – 2 f x 1  x t 2 2 1 t 2 2 2 1 1 1 Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm f x x 2 2 2 1 x 2 2 VD: Khai triển Taylor hàm f x 3 x quanh x0 8 ñeán caáp 2 13 x 2 1 x 2 Giải: 3 x 2 8 21 21 ... 8 3 8
ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB x3 x3 x x o x4 o x4 x sin x 6 VD: Tính lim lim lim 6 x 0 x3 x 0 x3 x 0 x3 sin 3x 4 sin 3 x 3 ln 1 x sin 3 x 3 ln 1 x VD: Tìm lim lim x 0 e x 1 sin x x 0 x2 1 ln 1 x x 1 x ln 1 x VD: Tìm lim lim x 0 x1 x x2 x 0 x2 1 x x ln 1 x x ln 1 x lim 1 x 0 x2 1 x x2 1 x 2 (SGK/80) lim x x ln 1 x x
ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange n 1 n f k x0 k f c n 1 f ( x) x x0 , Rn x x0 ,c x0 , x k 0 k! (n 1)! VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ chính xác 104 (SGK/79) 1 1 1 ec 3 Giải: e 1  , c 0,1 e S,  1!  2!   n! n 1 ! n 1! S Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển hàm y = ex để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 104 VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx x với độ chính xác 104
VI PHÂN Hàm khả vi tại x0 y = A x + o( x), x 0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo x và vô cùng bé bậc cao của x y C :y f x Vi phân: dy = A x = f’(x)dx f x0 x Nhận xét: Hàm có đạo hàm y Có vi phân: Hàm khả vi f x0 x 1/ C: hằng số dC = 0 f ' x0 x & d(Cy) = Cdy x0 x0 x x O 2/ Vi phân tổng, d u v du dv u vdu udv hiệu, tích, d d uv vdu udv v v2 thương:
VI PHÂN HÀM HỢP y f x , x : bieán ñoäc laäp Vi phân cấp 1: dy y ' dx y f x , x x t : haøm hôïp Vi phân cấp 1: bất biến! VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost Giải: b / dy cos xdx cos x sin tdt hoaëc y sin cos t dy  Vi phân cấp cao: x : Bieán laäp d 2 y ñoäc f ' ' dx 2 , d 3 y  y f x ,x xt d2y f ' ' dx 2 f 'd 2x d 2x x' ' dt 2 VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint 2 2x 2 2 2 sin t 2 ĐS: a / d y 2 2 dx b / d y y ' ' dx 2 dt 1 x 1 x