zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 - TS. Lê Minh Hiếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

15
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 Phương trình sai phân, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: một số khái niệm; phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (ôtônôm); phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát; phương trình sai phân tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 - TS. Lê Minh Hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 8: Phương trình sai phân TS. Lê Minh Hiếu Năm 2021
Nội dung 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG (ÔTÔNÔM) 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 TỔNG QUÁT 4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 4.1 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất 4.2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất 4.3 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 2 / 16
Một số khái niệm 1. Một số khái niệm Cho hàm số yn = f (n), n ∈ N hay n ∈ N ∗ . Hiệu số yn+1 − yn = f (n + 1) − f (n) gọi là sai phân cấp 1 của hàm số yn . Kí hiệu: ∆yn = yn+1 − yn ; Sai phân của sai phân cấp 1 gọi là sai phân cấp 2 của hàm số yn . Kí hiệu là ∆2 yn : ∆2 yn = ∆(∆yn ) = ∆yn+1 − ∆yn = yn+2 − 2yn+1 + yn ; Phương trình sai phân cấp 1 có dạng: (a) Φ (n, yn , yn+1 ) = 0, Phương trình sai phân cấp 2 có dạng: (b) Φ (n, yn , yn+1 , yn+2 ) = 0, Nghiệm của phương trình sai phân là hàm số có dạng yn = ϕ(n) sao cho nó thỏa mãn phương trình (a) hoặc (b). TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 3 / 16
Một số khái niệm Khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng; nghiệm riêng được xác định khi cho điều kiện đầu; Phương trình sai phân ôtônôm là phương trình không chứa biến n; Giải phương trình: yn+1 = yn + 5 Đặt y0 = C, C là hằng số bất kỳ; Sử dụng phương pháp lặp: y1 = y0 + 5 = C + 5, y2 = y1 + 5 = C + 2 × 5, y3 = y2 + 5 = C + 3 × 5, ... Nghiệm tổng quát là: yn = 5n + C Nếu cho điều kiện đầu thì có thể xác định được hằng số C. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 4 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm) 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm) Dạng: yn+1 + pyn = q, p, q = const, Nếu q = 0 thì gọi là phương trình thuần nhất; Nếu q , 0 thì gọi là phương trình không thuần nhất; Phương trình thuần nhất: Chọn y0 = C, C = const yn = C (−p)n Phương trình không thuần nhất: TH p = −1: yn = C + qn, q TH p , −1: yn = + C (−p)n . 1+p TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 5 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát 3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát Dạng: yn+1 + pn yn = qn , trong đó, pn và qn là các hàm số với biến rời rạc n = 0, 1, 2, ... Nghiệm tổng quát: n−1 n−1 qk n−1 ! Y X Y yn = y0 bk + bi , k=0 k=0 bk i=k trong đó: bn = −pn . TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 6 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất 4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 4.1. Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0, trong đó, p và q là các hằng số. Phương trình đặc trưng: k 2 + pk + q = 0, (1) - TH1: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt k1 , k2 yn = C1 k1n + C2 k2n , C1 , C2 = const, p - TH2: phương trình (1) có nghiệm kép k1 = k2 = − 2 n p yn = (C1 n + C2 ) − , 2 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 7 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất - TH3: phương trình đặc trưng (1) có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 = α ± βi Nghiệm tổng quát có dạng: yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) , C1 , C2 = const, trong đó: q α r= α2 + β 2 , cot θ = . β Ví dụ 4.1 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sai phân sau: a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0, b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0, c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 8 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0 HD: Phương trình đặc trưng k 2 + 4k + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt: k1 = −1, k2 = −3. Vậy nghiệm tổng quát là: yn = C1 (−1)n + C2 (−3)n , C1 , C2 = const. b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0 HD: Phương trình đặc trưng k 2 − 6k + 9 = 0 có nghiệm kép k1 = k2 = 3. Vậy nghiệm tổng quát là: yn = (C1 n + C2 )3n , C1 , C2 = const. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 9 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0 HD: √ - Phương trình đặc trưng√k 2 − 2k + 4 = 0 có 2 nghiệm phức liên hợp: k1,2 = 1 ± 3i - Suy ra: α = 1 và β = 3 - Tính được: q √ α 1 π r= α2 + β 2 = 1 + 3 = 2, cot θ = = √ ⇒θ= β 3 3 - Nghiệm tổng quát có dạng: π π yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) = 2n C1 sin n + C2 cos n , C1 , C2 = const. 3 3 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 10 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất 4.2. Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = r, p, q, r = const. (2) Nghiệm tổng quát: Gọi yn∗ là một nghiệm riêng của phương trình KHÔNG thuần nhất (2); y¯n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) là: yn = yn∗ + y¯n . y¯n đã biết cách tìm (xem lại phần 4.1); Cách tìm nghiệm riêng yn∗ của phương trình (2) như thế nào? TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 11 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất Công thức nghiệm riêng yn∗ Trường hợp 1: Nếu p + q , −1 r yn∗ = , 1+p+q Trường hợp 2: Nếu p + q = −1 và p , −2 r yn∗ = n, p+2 Trường hợp 3: Nếu p = −2 và q = 1 r yn∗ = n2 . 2 1 Ứng dụng: Giải phương trình yn+2 − yn+1 + yn = 2 với y0 = 4 và y1 = 7. 4 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 12 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng 4.3. Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = rn , p, q = const, rn = r(n), n ∈ N. (3) Nghiệm tổng quát: Gọi yn∗ là một nghiệm riêng của phương trình (3); y¯n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (yn+2 + pyn+1 + qyn = 0); khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3) là: yn = yn∗ + y¯n . - Xét hàm số rn có dạng: rn = Pm (n)β n , β , 0, trong đó, Pm (n) là đa thức bậc m theo biến n. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 13 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng - Xét phương trình đặc trưng: k 2 + pk + q = 0. (4) Cách tìm nghiệm riêng yn∗ : có 2 trường hợp Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực khác β thì yn∗ = Qm (n)β n , trong đó, Qm (n) là đa thức bậc m theo biến n (tức là cùng bậc với đa thức Pm (n)), và được xác định bằng phương pháp hệ số bất định; Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực bằng β thì yn∗ = ns Qm (n)β n , trong đó, s = 1 nếu β là nghiệm đơn, s = 2 nếu β là nghiệm kép. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 14 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng Ví dụ 4.2 (a) yn+2 − 3yn+1 − 4yn = 5 × 4n Hướng dẫn: - Phương trình đặc trưng k 2 − 3k − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt k1 = 4, k2 = −1; - Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: y¯n = C1 4n + C2 (−1)n , C1 , C2 = const; - Nghiệm riêng của phương trình (a) có dạng: yn∗ = nA4n ; 1 - Thay nghiệm riêng vào phương trình (a), tìm được A = , nên yn∗ = n4n−1 ; 4 - Nghiệm tổng quát của phương trình (a) là: yn = n4n−1 + C1 4n + C2 (−1)n , C1 , C2 = const. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 15 / 16
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng Ví dụ 4.3 (b) yn+2 − yn+1 − 6yn = 5n (4n − 3) Hướng dẫn: - Phương trình đặc trưng k 2 − k − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt k1 = 3, k2 = −2; - Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: y¯n = C1 3n + C2 (−2)n , C1 , C2 = const; - Nghiệm riêng của phương trình (b) có dạng: yn∗ = (An + B)5n ; 2 111 - Thay nghiệm riêng vào phương trình (b), tìm được A = , B = − , nên 7 98 2 111 n yn∗ = n− 5 ; 7 98 - Nghiệm tổng quát của phương trình (b) là: 2 111 n yn = n− 5 + C1 3n + C2 (−2)n , C1 , C2 = const. 7 98 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 16 / 16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.