intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 10

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
89
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 10', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 10

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) i v i h t a IXY là : Phương trình c a C Y − 1 = ( X + 1) − 3 ( X + 1) + 1 ⇔ Y = X − 3X . 3 2 3 th (C ) c a nó nh n g c to I làm tâm i x ng . Vì ây là m t hàm s l nên 3. f ' ( x ) = 3x − 6x ⇒ f ' (1) = −3 . Phương trình ti p tuy n c a ư ng cong (C ) t i i m I i v i h t a 2 Oxy : y = f ' (1) ( x − 1) + f (1) = −3 ( x − 1) − 1 ⇔ y = g ( x ) = −3x + 2 . Xét hàm h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 3x + 1) − ( −3x + 2 ) = ( x − 1) trên » 3 3 2 h ( x ) < 0, x < 1  . i u này ch ng t trên kho ng ( −∞;1) ư ng cong (C ) n m phía dư i ti p tuy n D th y  h ( x ) > 0, x > 1   t i i m I c a (C ) và trên kho ng (1; +∞ ) ư ng cong (C ) n m phía trên ti p tuy n ó. Ví d 3 : Cho hàm s y = x − (m + 3 ) x + ( 2 + 3m ) x − 2m có 3 2 th là (C ) , m là tham s th c. G i I là i m có hoành là nghi m úng m phương trình f '' ( x ) = 0 .Tìm tham s m th c a hàm s có c c tr và i m I n m trên tr c Ox . Gi i: Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( ) ( ) Ta có : y ' = 3x 2 − 2 m + 3 x + 2 + 3m và y '' = 6x − 2 m + 3 th c a hàm s có c c tr và i m I n m trên tr c Ox  m + 3 2 − 3 2 + 3m > 0 ( ) ( )   ∆ , > 0 '  ⇔ y ⇔  m + 3 3 2 m + 3   + ) .  m 3 3  − 2m = 0 ( ) ( y(x ) = 0  − m + 3 .  + 2 + 3m u    3  3    m 2 − 3m + 3 > 0  3 ⇔ 3 ⇔m = 0∨m = 3∨m = . 2m − 9m + 9 = 0 2 2  BÀI T P T LUY N x + 1 khi x < −1   () () th C c a hàm s f x =  x 2− 1 a) V .  x + x khi x ≥ −1 2 2  () o hàm cu hàm s f x t i i m x = −1 . b) Tìm ( ) () c) Ch ng minh r ng I −1; 0 là i m u n c a ư ng cong y = f x .  x +1 − khi x < −1  x −1 () () th c a hàm s y = − f x =  2 d) T th C suy ra cách v − x − x khi x ≥ −1 2 2  Hư ng d n :
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu () ( ) = −1  f x − f −1  lim () ( ) = − 1 . Hàm s f x − f −1 x +1 x → −1 − 2 b)  ( ) () ⇒ lim f x t i i m x = −1 và () ( ) = −1 f x − f −1 x +1 2 x →−1  lim x → −1 + x +1 2  () 1 () f −1 = − . 2  2 − khi x < −1 ( ) 2  x −1 4 1 khi x < −1    () () ( ) 3 c) f ' x = − khi x = −1 ⇒ f '' x =  x − 1 2 1 khi x > −1 x + 1 khi   x > −1  2   ()  f '' x < 0 khi x < −1  ( ) () () ⇒ I −1; 0 là i m u n c a D th y f ' x liên t c trên » và  th c a C . ()  f '' x > 0 khi x > −1  D ng 2 : Tâm i x ng c a th . Ví d 1 :Cho hàm s y = x 4 − mx 3 + 4x + m + 2 . Tìm t t c tham s th c m ã cho có 3 c c tr hàm s A, B,C 4x th hàm s y = và tr ng tâm G c a tam giác ABC trùng v i tâm i x ng c a . 4x − m Gi i : 4x m th c a hàm s y = có tâm i x ng là I ( ; 1) 4x − m 4 Hàm s : y = x − mx + 4x + m + 2 , liên t c trên R . 4 3 Ta có : y ' = 4x 3 − 3mx 2 + 4 Hàm s ã cho có 3 c c tr khi và ch khi phương trình y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t , nghĩa là phương trình 4x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 có 3 nghi m phân bi t. () Xét hàm s g x = 4x 3 − 3mx 2 + 4 liên t c trên R và lim g(x ) = +∞ , lim g(x ) = −∞ x →+∞ x →−∞ x = 0, g (0) = 4 > 0 Ta có : g ′(x ) = 12x − 6mx ⇒ g ′(x ) = 0 ⇔  2 x = m , g (m ) = 16 − m 3   2 2 4
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu m  >0  () () i d u 2 l n qua nghi m , và g x = 0 có 3 nghi m phân bi t khi  2 ⇔m >232 g' x 16 − m 3 
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 − x + 1 () () () Ví d 2 : Cho hàm s : y = th là C . G i C ' là i x ng v i C qua i m có th x −1 () () A 3; 4 . Tìm phương trình th C ' . Gi i : ( )() ( )() () () G i M x , y ∈ C và M ' x ', y ' ∈ C ' th C qua i m A 3; 4 . i x ng qua x +x' =3   x = 6 − x '  2 ⇔ Ta có  +y' y = 4 − y ' y  =4   2 ( 6 − x ' ) − ( 6 − x ' ) + 1 = x ' − 11x '+ 31 2 2 () :8 −y' = th C Thay vào 6 − x '− 1 5−x' x '2 − 11x '+ 31 9 + 3x '− x '2 Hay y ' = 8 − = . 5−x' 5−x' −x 2 + 3x + 9 x 2 − 3x − 9 () th C ' : y = = V y phương trình . −x + 5 x −5 Bài 6: KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V TH HÀM S 6.1 TÓM T T LÝ THUY T () (a ≠ 0 ) Hàm s b c ba f x = ax 3 + bx 2 + cx + d () (a ≠ 0 ) th c a hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d Dáng i u y y 8 5 6 4 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 2 x -6 -4 -2 2 4 -5 -2 -4 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s b c ba  f ′(x ) =0 :có 2 nghiem phan biet x 1, x 2  th c t Ox t i 3 i m phân bi t ⇔  1.  f (x ).f (x 2 ) < 0 1 2. Gi s a > 0 ta có :
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu >α th c t Ox t i 3 i m phân bi t có hoành a)  f ′(x ) = 0 có 2 nghiem phan biet α < x < x  1 2 ⇔  f (α ) < 0  f (x ).f (x ) < 0 1 2 0  f (x ).f (x ) < 0 1 2 Tương t cho trư ng h p a < 0 . () th c a hàm s f x = x 3 + 3x 2 + 1 . Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v Gi i: • Hàm s ã cho xác nh trên » • Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ () • o hàm : f ' x = 3x + 6x 2 () x = −2, f −2 = 5 () f' x =0⇔ () x = 0, f 0 = 1  ( ) ( ) ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −2 và 0; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng −2; 0 Hàm s () () i t i x = −2, f −2 = 5 và có i m c c ti u t i x = 0, f 0 = 1 Hàm s có i m c c • B ng bi n thiên : −∞ +∞ −2 0 x () + + − 0 0 f' x f (x ) +∞ 5 −∞ 1 () • f '' x = 6x + 6 () () () ( ) i d u m t l n qua nghi m x = −1 nên I −1; 3 là i m u n c a f '' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = 3 , f '' x th . • th :
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu th hàm s i qua các i m y ( )( )( )( )( ) −3;1 , −2;5 , −1; 3 , 0;1 , 1;5 và 5 i m I ( −1; 3 ) là i m u n c a nh n th . 3 -3 -2 -1 0 1 x Ví d 2: Cho hàm s y = −x 3 − 3x 2 + mx + 4 , trong ó m là tham s th c. th c a hàm s ã cho, v i m = 0 1. Kh o sát s bi n thiên và v 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s ã cho ngh ch bi n trên ( ) kho ng 0; +∞ . Gi i : 1. V i m = 0 , ta có hàm s y = −x − 3x + 4 3 2 • Hàm s ã cho xác nh trên » • Gi i h n : lim y = −∞ lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ • o hàm : y ' = −3x − 6x 2 () x = −2, y −2 = 0 y' = 0 ⇔  () x = 0, y 0 = 4  ( ) ( ) ( 0; +∞ ) ng bi n trên kho ng −2; 0 , ngh ch bi n trên các kho ng −∞;2 và Hàm s () c ti u t i x = −2, y ( −2 ) = 0 i t i x = 0, y 0 = 4 và có i m c Hàm s có i m c c • B ng bi n thiên : −∞ +∞ −2 0 x () 0+ − − 0 f' x f ( x ) +∞ 4 −∞ 0 • th : () y th v i tr c Oy A 0; 4 Giao i m c a 4 B ( −2; 0 ) ,C (1; 0 ) th v i tr c Ox Giao i m c a −3 −2 1 O x ( ) ã cho ngh ch bi n trên kho ng 0; +∞ . 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ã cho ngh ch bi n trên kho ng 0; +∞ khi và ch khi Hàm s () y ' = −3x 2 − 6x + m ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≤ 3x 2 + 6x = f x () () Hàm s f x = 3x 2 + 6x liên t c trên 0; +∞ Ta có f ' ( x ) = 6x + 6 > 0, ∀x > 0 và f ( 0 ) = 0 . B ng bi n thiên +∞ 0 x () + f' x f (x ) +∞ 0 ó ta ư c : m ≤ 0 . T BÀI T P T LUY N 32 () () th C c a hàm s f x = −x 3 + x + 6x − 3 .Ch ng minh r ng 1. a ) Kh o sát s bi n thiên và v 2 3 1 phương trình −x 3 + x 2 + 6x − 3 = 0 có ba nghi m phân bi t , trong ó có m t nghi m dương nh hơn . 2 2 1 17 () () th C c a hàm s f x = x 3 − 2x 2 + b) Kh o sát s bi n thiên và v .Ch ng minh r ng phương 3 3 () trình f x = 0 có 3 nghi m phân bi t. () () th C c a hàm s f x = −x 3 + 3x 2 + 9x + 2 . Vi t phương trình ti p c) Kh o sát s bi n thiên và v () , bi t r ng f '' ( x ) = −6 . Gi i b t phương trình f ' ( x − 1) > 0 x0 th C t i i m có hoành tuy n c a 0 f (x ) = x − 6x 2 + 9x .Tìm t t c các ư ng th ng i qua 3 d ) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s () () th C t i 3 i m phân bi t. i m M 4; 4 và c t () th c a hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c c t tr c tung t i i m có tung 2. Tìm h s a, b, c sao cho b ng 2 và ti p xúc v i ư ng th ng y = 1 t i i m có hoành là −1 . Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s v i giá tr a, b, c v a tìm ư c 1 () 3. Tìm các h s m, n, p sao cho hàm s f x = − x 3 + mx 2 + nx + p t c c i t i i m x = 3 và th 3 1 () () () C ti p xúc v i ư ng th ng d : y = 3x − t i giao i m c a C v i tr c tung . 3 Hư ng d n :
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1. a ) T b ng bi n thiên ta th y phương trình cho có ba nghi m phân bi t x 1 < −1 < x 2 < 2 < x 3 và ( 0 ) = −3 < 0 f 1  1  () ⇒ f 0 .f   < 0 ⇒ x ∈  0;  . 1 1   = >0 2  2 f 2 4  ( ) () f −2 f 0 < 0 .Hàm s f liên t c trên o n 0;2  và theo b) nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên  ( ) () () t c , t n t i m t s th c α ∈ −2; 0 sao cho f α = 0 . S α là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t ( ) ( ) ng bi n trên kho ng 0; +∞ nên phương trình có nghi m duy nh t α ∈ −2; 0 . khác hàm s f () () f 0 f 4 < 0 . Hàm s f liên t c trên o n 0; 4  và theo nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c ,  () () () t n t i m t s th c β ∈ 0; 4 sao cho f β = 0 . S β là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t khác () () ng bi n trên kho ng 0; 4 nên phương trình có nghi m duy nh t β ∈ 0; 4 . hàm s f ( ) Tương t phương trình có nghi m duy nh t thu c kho ng 4; +∞ . ó phương trình f ( x ) = 0 th c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t , do có 3 nghi m phân bi t. () () () c) f '' x = −6x + 6 ⇒ x 0 = 2, f 2 = 24 ⇒ t : y = 9x + 6 f ' ( x − 1) = −3 ( x − 1) + 6 ( x − 1) + 9 = −3x + 12x 2 2 ⇒ f ' (x ) > 0 ⇔ 0 < x < 4 2. 2 = c a = 3    ()  f −1 = −1 + a − b + c = 1 ⇔ b = 3  c = 2 ()  f ' −1 = 3 − 2a + b = 0   3.   1    ()  d ∩ Oy = A  0; −    1 3    p = −   3   1 () ⇔ n = 3 f 0 =p=−  3  m = 1 () f' 0 =n =3    ()  f ' 3 = 6m − 6 = 0  () (a ≠ 0 ) Hàm s trùng phương f x = ax 4 + bx 2 + c () (a ≠ 0 ) th c a hàm s f x = ax 4 + bx 2 + c Dáng i u
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y y x x2 x1 x O x1 O x2 M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s trùng phương () th c a hàm s f x = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) c t tr c hoành t i 4 1. i m phân bi t l p thành c p s ( ) c ng khi phương trình: aX 2 + bX + c = 0, X = x 2 ≥ 0 có 2 nghi m dương phân bi t th a X1 = 9X 2 . ( 1) 2. Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 () () t t = x 2 ≥ 0 ⇔ x = ± t , ta có phương trình: at 2 + bt + c = 0 2 M t nghi m dương c a 2 ng v i 2 () nghi m c a 1 . () () phương trình 1 có nghi m là phương trình 1 có ít nh t m t nghi m không âm. V y i u ki n c n và  ∆ > 0  () () 1 có 4 nghi m ⇔ 2 có 2 nghi m dương ⇔ P > 0 S  >0 2 P = 0  () () 1 có 3 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương và 1 nghi m b ng 0 ⇔  S  >0 2 P < 0    ∆ = 0 () () 1 có 2 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương ⇔ S  > 0  2  P = 0  S < 0  t1 < 0 = t2 () () ⇔  2 1 có 1 nghi m ⇔ 2 có nghi m th a  t1 = t2 = 0 ∆ = 0   S  2 = 0 
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ∆ < 0    ∆ ≥ 0 () () 1 vô nghi m ⇔ 2 vô nghi m ho c có 2 nghi m âm ⇔   P >0  S   2 < 0  t = 9t 0 < t1 < t2 2 1  () 1 có 4 nghi m t o thành c p s c ng ⇔  . Ta gi i h pt: S = t1 + t2  t2 = 3 t1 P = t t   12 (1 ) i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 3. Phương trình b c 4 có tính • N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx + b) = 0 • N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:  1  1 a x 2 + 2  + b x +  + c = 0 x  x  1 tt =x + , phương trình ư c vi t thành: x () a(t 2 − 2) + bt + c = 0, t ≥ 2 2 Chú ý: 1 Khi kh o sát hàm s t = x + , ta có: x () () * M t nghi m l n hơn 2 c a phương trình 2 tương ng v i 2 nghi m dương c a phương trình 1 . * M t nghi m nh hơn 2 c a phương trình ( 2 ) tương ng v i 2 nghi m âm c a phương trình (1) . * M t nghi m t = −2 c a phương trình ( 2 ) tương ng v i nghi m x = −1 c a phương trình (1) . * M t nghi m t = 2 c a phương trình ( 2 ) tương ng v i nghi m x = 1 c a phương trình (1) . 1 * Phương trình t = x + vô nghi m khi t < 2 x ( 1) 4. Phương trình b c 4 có tính i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0 • N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx − b ) = 0 • N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:  1  1 a x 2 + 2  + b x −  + c = 0 x  x  1 tt =x− , phương trình ư c vi t thành: x () a(t 2 + 2) + bt + c = 0, t ∈ » 2 1 Chú ý: Phương trình t = x − có 2 nghi m trái d u v i m i t x 5. (x + a )(x + b)(x + c)(x + d ) = e , v i a + b = c + d .
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu t t = x 2 + (a + b )x . a −b a +b 6. (x + a )4 + (x + b)4 = c ,v i α = tt =x+ , t∈» . 2 2 () th c a hàm s f x = x 4 − 2x 2 − 3 . Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v Gi i: • Hàm s ã cho xác nh trên » • Gi i h n : lim y = lim y = +∞ hàm s không có ti m c n. x →−∞ x →+∞ ( ) () • o hàm : f ' x = 4x 3 − 4x = 4x x 2 − 1 () x = 0, f 0 = −3  () () f ' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = −4 x = 1, f −1 = −4 ()   • B ng bi n thiên : −∞ +∞ −1 0 1 x () 0+0− + − 0 f' x f ( x ) +∞ +∞ −3 −4 −4 ()() ( ) () ng bi n trên các kho ng −1; 0 và 1; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng −∞; −1 và 0;1 Hàm s i t i x = 0, f ( 0 ) = −3 và có i m c () c ti u t i x = −1, f −1 = −4 Hàm s có i m c c () và x = 1, f 1 = −4 () • f '' x = 12x 2 − 4  3 3 5 x 1 = − ,f −  = −3  3  3 9 3 () ()   i d u hai l n qua nghi m x = x 1 = − f '' x = 0 ⇔  , f '' x x = 3 , f  3  = −3 5 3    3 2 3 9     5 3 5 3 3 nên U 1  − ; −3  và U 2  ; −3  là hai i m u n c a và x = x 2 = th . 3  3  3 9 9   • th :
  12. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y Giao i m c a th v i f (x)=x^4-2x^2-3 ( ) tr c Oy A 0; −3 5 Giao i m c a th v i tr c )( ) ( x Ox B − 3; 0 ,C 3; 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 th là hàm s ch n nên nh n tr c Oy làm tr c -5 i x ng Ví d 2: ( ) Ch ng minh r ng phương trình: x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0 luôn có 4 nghi m phân bi t 4 2 2 4 x 1, x 2 , x 3 , x 4 v i m i giá tr c a m . Tìm giá tr m sao cho x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 . 2 2 2 2 Gi i: ( ) x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0 ( 1) 4 2 2 4 ( ) ( ) (t ≥ 0 ) t : t = x 2 , ta có : t 2 − 2 m 2 + 2 t + m 4 + 3 = 0 2 (2 ) luôn có hai nghi m : 0 < t < t2 . Ta ch ng t 1 ( ) − (m ) 2 ∆ ' = m2 + 2 + 3 = 4m 2 + 1 > 0 v i m i m . 4 ( ) () V y 2 luôn có hai nghi m phân bi t t1, t2 và t1 ⋅ t2 = m 4 + 3 > 0 t1 + t2 = 2 m 2 + 2 > 0 () Do ó phương trình 1 có 4 nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 2 2 2 2 ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = 2 (t + t ) + t ⋅ t 2 2 2 2 = − t1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 4 (m + 2 ) + m + 3 = m + 4m + 11 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x + x + x + x + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 + 11 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 = 0 ⇔ m = 0 2 2 2 2 1 2 3 4 ax + b y= Hàm s h u t cx + d ax + b ad − bc () ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) ⇒ f ' (x ) = fx= (cx + d ) cx + d 2 ax + b () ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) th c a hàm s f x = Dáng i u cx + d
  13. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y y x d − c O I x a a I c c d − c 2x − 1 () th c a hàm s f x = Ví d : Kh o sát s bi n thiên và v x −1 Gi i : {} • Hàm s nh D = » \ 1 ã cho xác • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng x →1 x →1 lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang. x →−∞ x →+∞ −1 () • o hàm : f ' x = < 0, x ≠ 1 . (x − 1)2 ( ) ( ) th c a hàm s ngh ch bi n trên các kho ng −∞;1 và 1; +∞ . • B ng bi n thiên : −∞ +∞ 1 x () − − f' x +∞ 2 () fx −∞ 2 • th : Giao i m c a th v i tr c () Oy A 0;1 Giao i m c a th v i tr c 1  Ox B  ; 0  2  th c a hàm s nh n () I 1;2 giao i m hai ư ng ti m c n làm tâm i x ng.
  14. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ax 2 + bx + c aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− ca ' y= ⇒y' = Hàm s h u t ( ) a 'x + b ' 2 a 'x + b ' ax 2 + bx + c th c a hàm s y = Dáng i u a 'x + b ' y y 15 10 I x I 5 x -10 -5 5 10 -5 Dáng i u hàm s ch a giá tr tuy t i x2 x2 () () () () fx= fx= C C1 x −1 x −1 y y 6 6 5 5 4 4 y=x+1 y=x+1 3 3 2 2 y=-x-1 1 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 x=1 -1 -2 x=1 -2 -3 -3 x2 () () x2 () () fx= C2 fx= C3 x −1 x −1 y y 6 6 4 y=x+1 y=-x+1 4 y=x+1 2 y=-x+1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x x=-1 x=1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 x=1 x=-1 -2
  15. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 x2 () () () () fx = fx= C5 C4 x −1 x −1 y y 8 6 6 4 y=x+1 4 y=x+1 y=-x-1 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 y=-x-1 2 x=1 -2 -4 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 x=-1 x=1 -8 -2 -10 x 2 − 3x + 6 () th c a hàm s f x = Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên và v x −1 Gi i : {} • Hàm s nh D = » \ 1 ã cho xác • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ lim y = −∞ lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng x →−∞ x →+∞ x →1 x →1 4 4 ( ) ( ) lim y − x − 2  = lim = 0, lim y − x − 2  = lim = 0 là ⇒ y = x − 2 ti m c n xiên.   x →−∞ x − 1   x →+∞ x − 1 x →−∞ x →+∞ x 2 − 2x − 3 () • o hàm : f ' x = ,x ≠ 1. (x − 1)2 ( −1) = −5 x = −1, f () f' x =0⇔ (3) = 3  x = 3, f  • B ng bi n thiên : x −∞ −1 1 +∞ 3 ()+0− + − 0 f' x +∞ +∞ −5 () fx −∞ −∞ 3 ( ) () ( ) ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −1 và 3; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng −1;1 và 1; 3 Hàm s () () i t i x = −1, f −1 = −5 và có i m c c ti u t i x = 3, f 3 = 3 Hàm s có i m c c • th : Dành cho b n c mx 2 + (2m − 1)x − 1 () Ví d 2: Cho hàm s y = th là C m , m là tham có x +2
  16. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu s. 1.Ch ng minh r ng v i m i m > 0 hàm s luôn có c c i , c c ti u . () th C c a hàm s v i m = 1 . 2.Kh o sát s bi n thiên và v () th C c a hàm s bi t ti p tuy n i 3.Vi t phương trình ti p tuy n v i () qua A 1; 0 . Gi i : 1 {} y = mx − 1 + nh D = » \ −2 . Hàm s cho xác x +2 ( ) −1. 2 m x +2 1 1. y ' = m − = (x + 2 ) (x + 2 ) 2 2 V i m > 0 thì phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 . V y hàm s luôn có c c i và c c ti u khi m > 0 . 1 2.V i m = 1, y = x − 1 + x +2 {} *) Hàm s cho xác nh D = » \ −2 *) lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ lim − y = −∞ và lim + y = +∞ nên ư ng th ng x = −2 là ti m c n ng c a Vì th hàm s . () x → ( −2 ) x → −2 1 1 ( ) ( ) Vì lim y − x − 1  = lim = 0 và lim y − x − 1  = lim = 0 nên ư ng y = x − 1 là ti m x →+∞   x →+∞ x + 2 x →−∞   x →−∞ x + 2 c n xiên c a th hàm s . ( x + 2 ) − 1 , x ≠ −2 2 1 *) y ' = 1 − = (x + 2 ) ( x + 2 ) 2 2  x = −1, y ( −1) = −1 y ' = 0 ⇔ (x + 2) − 1 = 0 ⇔  2 x = −3, y ( −3 ) = −5  B ng bi n thiên −∞ +∞ −3 −2 −1 x y' + 0 - - 0 + +∞ +∞ −5 y −∞ −1 −∞
  17. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( )( ) ng bi n trên các kho ng : −∞; −3 , −1; +∞ và ngh ch bi n trên các kho ng th c a hàm s ( −3; −2 ) , ( −2; −1) () () i t i x = −3, y −3 = −5 và t i m c c ti u t i x = −1, y −1 = −1 . th c a hàm s t i mc c th : H c sinh t v () () () ( ) 3.Xét d i qua A 1; 0 và có h s góc k . Nên d : y = k x − 1 (d ) ti p xúc v i th (C ) c a hàm s khi h sau có nghi m:  1 x − 1 + = k (x − 1) x +2  5 () 5 ⇒ k = .V y ti p tuy n là: d : y = (x − 1)  1  1− =k 9 9 ( ) 2 x +2   x2 + 3 (1 ) y= Ví d 3: Cho hàm s x −1 ( 1) 1. Kh o sát và v th c a hàm s 2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t ư c úng 2 ti p tuy n ók n th hàm s . Gi i : x2 + 3 (1 ) th c a hàm s y = 1. Kh o sát và v x −1 {} •D = » \ 1 ()x = −1, y −1 = −2 x 2 − 2x − 3 , x ≠ 1 ⇒ y, = 0 ⇔  •y , = () ( x − 1) x = 3, y 3 = 6 2  Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ( −1;1) , (1; 3 ) ( ) ng bi n trên các kho ng −∞; −1 ,(3; +∞) . t i m c c i t i ( −1; −2 ) và t () i m c c ti u t i 3; 6 . th c a hàm s • lim y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng. − + x →1 x →1 ( ) ( ) • lim y − x + 1  = 0, lim y − x + 1  = 0 ⇒ y = x + 1 là ti m c n xiên. x →−∞   x →+∞   • B ng bi n thiên th y −∞ +∞ −1 1 3 x 6 + + 0− −0 y' +∞ −2 −1 0 13 +∞ −3 y −∞ −∞ 6
  18. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu () th : Nh n I 1;2 làm tâm i x ng. 2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t ư c úng 2 ti p tuy n ók n th hàm s . ( ) () G i M a; 4 ∈ d : y = 4 là i m c n tìm . () () ( ) Khi ó ti p tuy n v i C k t M có phương trình : ∆ : y = k x − a + 4 . x 2 + 3 ( ) (1 ) = k x −a + 4   x2 − 1 () () ∆ ti p xúc v i C ⇔  x − 2x − 3 có nghi m x ≠ 1 (2 ) =k  ( ) 2  x −1  (1 ) , ( 2 ) ⇒ ( 3 − a ) x ( ) () + 2 a − 7 x + 3a + 7 = 0 3 2 T () ư c úng 2 ti p tuy n th hàm s . Khi phương trình 3 có 2 nghi m phân bi t t Mk n x ≠1 3 − a ≠ 0 a ≠ 3   a ≠ 3   ( )( )( ) 2 ⇔ ∆ = a − 7 − 3a + 7 . 3 − a > 0 ⇔ a 2 − 4a + 7 > 0 ⇔  a ≠ 1 3 − a + 2 a − 7 + 3a + 7 ≠ 0 a ≠ 1 ()     () ( )( ) V y t p h p các i m c n tìm là ư ng th ng d : y = 4 b i các i m 1; 4 , 3; 4 . Bài 7: GIAO I M C A HAI TH x −3 () Ví d 1 : Cho hàm s y = th là C . Tìm t t c tham s th c có x −2 () ư ng th ng d : y = mx + 1 c t th c a hàm s t i 2 i m phân m bi t. Gi i : x −3 () () = mx + 1 có 2 nghi m th là C c t d t i 2 i m phân bi t khi và ch khi phương trình : x −2 phân bi t khi ó phương trình g(x ) = mx 2 − 2mx + 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t x ≠ 1 hay m ≠ 0 m ≠ 0  m < 0   ∆′ = m − m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 1 ⇔ m > 1 2  g(1) ≠ 0 m − 2m + 1 ≠ 0    2x − 1 () () Ví d 2 :Cho hàm s f x = th C có x +1 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s . () ( ) 2. V i giá tr nào c a m ư ng th ng dm i qua i m A −2;2 và có h s góc m c t th ã cho • T i hai i m phân bi t?. • T i hai i m thu c hai nhánh c a th ?.
  19. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Gi i : (d ) : y = mx + 2 (m + 1) 2. m (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1 (*) 2 m (d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t khi phương trình (*) có hai nghi m phân bi t khác −1 . Khi • ó ta m m ≠ 0 m < 0   có h : ∆ > 0 ⇔ m > 12 g −1 ≠ 0 ()    (d ) ∩ (C ) t i hai i m thu () • c hai nhánh khi phương trình * có hai nghi m phân bi t x 1 < −1 < x 2 m ⇔ mg ( −1) < 0 ⇔ m < 0 . (d ) ∩ (C ) t i hai () i m thu c hai nhánh khi phương trình * có hai nghi m phân bi t Cách khác : m () t x = t − 1 khi ó phương trình * tr thành mt 2 + mt + 3 = 0 có hai nghi m trái d u. x 1 < −1 < x 2 . ax + b Ví d 3 :Cho hàm s y = x −1 ( ) th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 và ti p tuy n c a 1. Tìm a, b () th t i A có h s góc b ng −3 . Kh o sát s bi n thiên và v th C c a hàm s v i a, b v a tìm ư c . () ( ) 2. Cho ư ng th ng d có h s góc m và i qua i m B −2;2 . Tìm m (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M 1, M 2 . Các ư ng th ng i qua M 1, M 2 song song v i các tr c to t o thành hình ch nh t . Tính các c nh c a hình ch nh t ó theo m , khi nào hình ch nh t này tr thành hình vuông. Gi i :  ax + b ( ) A 0; −1 ∈ y =  a = 2 x −1 2x + 1  ⇔ ⇒y = 1.  −a − 1 b = 1 x −1 y ' = = −3  ( ) 2 x −1   (d ) ( ) ( ) i qua i m B −2;2 có phương trình y = m x + 2 + 2 2. 2x + 1 ( ) (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M 1, M 2 khi phương trình m x + 2 + 2 = có hai nghi m khác x −1 1 , hay phương trình mx 2 + mx − 2m − 3 = 0 có hai nghi m phân bi t khác 1 , t c là m ≠ 0 m ≠ 0   4  4 ⇔ m < −  ( ) () ∆ = m + 4m 2m + 3 > 0 ⇔  m < − 2  * 3  3 m12 + m1 − 2m − 3 ≠ 0  m > 0   m > 0  
  20. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ( ) Gi s M 1 x 1; y1 , M 2 x 2 ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có dài là 9m 2 + 12m M 1P = x 2 − x 1 = , M 1Q = y2 − y1 = 9m 2 + 12m m Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vuông khi và ch khi 9m 2 + 12m ( ( )) M 1P = M 1Q ⇔ = 9m 2 + 12m ⇔ m = 1 ⇔ m = 1 do * m BÀI T P T LUY N () () ( ) () 1. Cho hàm s f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 có th C và parabol P : g x = 2x 2 + 1 a) th c a hàm s . Tùy theo giá tr c a m , gi i và bi n lu n phương trình Kh o sát s bi n thiên và v 2x + 3x − m = 0 3 2 () b) Ch ng t r ng trong s ti p tuy n c a th C thì thi p tuy n t i i m u n I có h s góc nh nh t . () Vi t phương trình ti p tuy n ó. Ch ng t I là tâm th C . i x ng c a () () () c) G i A, B là giao i m c a th C và parabol P . Vi t phương trình ti p tuy n c a C và parabol (P ) t i các giao i m c a chúng . () () d ) Xác nh trên kho ng ó C n m phía trên ho c phía dư i P . Hư ng d n :  1 3 3 3 () () () c) A  − ;  , B 0;1 . Ti p tuy n C t i A, B là y = − x + , y = 1 .Ti p tuy n P t i A, B là 2 4  2 2 1 y = −2x + , y = 1 . 2  1 () () () () () d ) Xét h x = f x − g x = 2x 3 + x 2 . L p b ng xét d u : h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C n m phía dư i 2  1 ( ) () ) () () ( P . h x > 0, x ∈  − ; 0  , 0; +∞ ⇒ C n m phía trên P . 2 () 2. Cho hàm s f x = x 3 − 3x + 1 a ) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s . Vi t phương trình ti p tuy n c a th t i i m u n I c a nó . Ch ng minh r ng trong s ti p tuy n c a th thì ti p tuy n t i I có h s góc nh nh t . () () b) G i dm là ư ng th ng i qua i m I có h s góc m . Tìm các giá tr m sao cho ư ng th ng dm ct th ã cho t i ba i m phân bi t. Hư ng d n : a ) y = −3x + 1 b) m > −3 () ( ) 3. Cho hàm s f x = x − m + 1 x + m4 2 th c a hàm s v i m = 2 . Vi t phương trình ti p tuy n t i i m u n a ) Kh o sát s bi n thiên và v c a th .
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
925 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2