Đề tham khảo đánh giá tuyển sinh Đại học Công An Nhân Dân năm 2023 môn Toán có đáp án - Bộ Công An

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn giúp các bạn học sinh khối 12 đạt kết quả cao trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chia sẻ đến các bạn "Đề tham khảo đánh giá tuyển sinh Đại học Công An Nhân Dân năm 2023 môn Toán có đáp án - Bộ Công An", mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tham khảo đánh giá tuyển sinh Đại học Công An Nhân Dân năm 2023 môn Toán có đáp án - Bộ Công An

BỘ CÔNG AN BÀI THI ĐÁNH GIÁ MÃ BÀI THI CA1 TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÔNG AN NHÂN DÂN NĂM 2023 ĐỀ THI THAM KHẢO Phần tự luận: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh:…………………………………... Số báo danh:…………………………………….. Câu I. (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x3 − 6 x 2 + 5 trên đoạn [ −1;2]. −4 x + 12 2) Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ) , đường thẳng d : = 2 x + m . Chứng y x +1 minh rằng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m. Câu II. (2 điểm) 1) Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 z = + 15i. 2 3x + 2 2) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 . x + 3x + 2 Câu III. (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I (1;2 ) và đường thẳng d : 3 x − 4 y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C ) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d . x y −1 z − 3 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt cầu 1 1 −2 ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 z − 6 =. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d 0 sao cho giao tuyến của ( P ) và ( S ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Câu IV. (2 điểm) 1) Cho tập hợp A = {1, 2,, 20} gồm 20 số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên 2) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , � = 120o , 𝐵𝐴𝐶 hai số phân biệt từ tập A. Tìm xác suất để tích hai số được chọn là một số chia hết cho 6. = = AB AC a. Tam giác SAB vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) bằng 60o . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ). Chứng minh rằng HB vuông góc AB và tính thể tích khối chóp S . ABC theo a. Câu V. (2 điểm) π 2 x 2 sin x 1) Tính tích phân I = ∫ dx. 0 x sin x + cos x x x2 y 2) Cho các số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn: log 2 ( x + y ) + = log 2 + x2. y 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 + 2 . P x y --------------------------HẾT-------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Trang 1
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAND NĂM 2023 GIÁO VIÊN: TRƯƠNG VĂN TÂM Câu I. ( 2 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  6 x 2  5 trên đoạn 1;2 . Lời giải Ta có y   3 x 2 12 x .  x  0  1;2 Khi đó y   0  3 x 2 12 x  0   .  x  4  1;2 Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 1;2 và y 1  2, y 0  5 , y 2  11 nên suy ra min y  y 2  11 . 1;2 4 x  12 2. Cho hàm số y  có đồ thị C  và đường thẳng d : y  2 x  m . Chứng minh rằng d cắt x 1 C  tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m . Lời giải 4 x  12 Phương trình hoành độ giao điểm của d và C  là  2 x  m .  x  1 1 x 1  4 x  12  2 x  m x  1  2 x 2  m  6 x  m 12  0 .  2 Xét phương trình 2 ta có   m  6  4.2.m 12  m 2  4m  132   m  2  128  0 , m   2 2 Suy ra phương trình 2 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m   . Lại có 2 1   m  61  m 12  16  0 , m   nên phương trình 2 có hai nghiệm 2 phân biệt, khác 1 với mọi m   . Do đó phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m , tức là đường thẳng d luôn cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt với mọi m   . Câu II. ( 2 điểm) 1. Tìm số phức z thoả mãn z  2 z  2  15i . Lời giải Giả sử số phức cần tìm là z  a  bi , với a , b   . Suy ra z  a  bi . Theo đề ta có z  2 z  2  15i  a  bi  2 a  bi   2  15i  a  3bi  2  15i Trang 2
a  2 a  2       . 3b  15 b  5     Vậy số phức cần tìm là z  2  5i . 3x  2 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   . x  3x  2 2 Lời giải 3x  2 4  x  1   x  2 4 1 Ta có f  x     .  x  1 x  2  x  1 x  2 x  2 x 1  4 1   4 1 Suy ra  f  xdx    x  2  x 1dx        x2 dx   x 1 dx  4ln x  2  ln x  1  C . Lưu ý: Ta có thể dùng “đồng nhất thức” như sau: 3x  2 A B A x  2  B  x 1  A  B  x   2 A  B  Giả sử f  x        x  1 x  2 x 1 x  2  x  1 x  2  x 1 x  2 A  B  3   A  1  1 4 Khi đó ta có     . Suy ra f  x   . 2 A  B  2  B  4     x 1 x  2 Câu III. ( 2 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm I 1;2 và đường thẳng d : 3x  4 y  10  0 . Viết phương trình đường tròn C  có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d . Lời giải 3.1 4.2  10 Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là d  I , d   1. 32  4 2 Đường tròn C  tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính R  d  I , d   1 nên có phương trình là  x 1   y  2  1 . 2 2 x y 1 z  3 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt cầu 1 1 2 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  6  0 . Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d sao cho giao tuyến của  P  và  S  là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Lời giải Ta có x 2  y 2  z 2  2 x  6 z  6  0   x 1  y 2   z  3  16 , suy ra mặt cầu  S  có tâm 2 2 I 1;0; 3 và bán kính R  16  4 . Trang 3
  Đường thẳng d đi qua điểm A0;1;3 và nhận ud  1;1;  2 làm vectơ chỉ phương nên có x  t    phương trình tham số là  y  1  t .   z  3  2t    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d  H  d  H t ; 1  t ; 3  2t    IH  t 1;1  t ;6  2t  .       Ta có IH  ud  IH . ud  0  1t 1  11  t   26  2t   0  t  2 . Suy ra H  2;3;1 . Ta tính được IH  12  32  22  14  R nên H nằm trong mặt cầu  S  . Do đó d cắt  S  tại hai điểm phân biệt (xem hình vẽ minh hoạ). (S ) I R d r H K P Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên  P  . Khi đó ta có IK  IH  14 . Do đó, bán kính đường tròn giao tuyến của  P  và  S  là r  R 2  IK 2  4 2  IK 2  4 2  IH 2  2 Dấu "  " xảy ra  K  H .  Khi đó, mặt phẳng  P  đi qua điểm H  2;3;1 và nhận IH  1;3;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 1 x  2  3 y  3  2  z  1  0  x  3 y  2 z  9  0 . Câu IV. (2 điểm) 1. Cho tập hợp A  1;2;3;...;20 gồm 20 số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập hợp A . Tính xác suất để tích 2 số được chọn là một số chia hết cho 6 . Lời giải Chọn hai số phân biệt từ tập hợp A có C20  190 cách. 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n   190 . Gọi X là biến cố: " Tích 2 số được chọn là một số chia hết cho 6 " . Trang 4
Nhận thấy rằng trong tập hợp A có + 3 số chia hết cho 6 là 6 ; 12; 18 và 17 số không chia hết cho 6 là các số còn lại. + 7 số chia hết cho 2 và không chia hết cho 6 là 2;4;8;10;14;16;20 . + 3 số chia hết cho 3 và không chia hết cho 6 là 3;9;15 . TH1: Chọn cả hai số đều chia hết cho 6 có C32  3 cách. TH2: Chọn một số chia hết cho 6 và một số không chia hết cho 6 có C3 .C17  51 cách. 1 1 TH3: Chọn hai số không chia hết cho 6, trong đó có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 có C7 .C3  21 . 1 1 Suy ra n  A  3  51  21  75 . 75 15 Vậy ta có P  A   . 190 38  2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABC là tam giác cân tại A , BAC  120 và AB  AC  a . Tam giác SAB vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C , góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên  ABC  . Chứng minh rằng HB vuông góc với AB và tính thể tích khối chóp S . ABC theo a . Lời giải S H H C K B C K a a 60° a A A a B Ta có H là hình chiếu của S lên  ABC  nên SH   ABC   SH  AB .  AB  SB  gt   Lúc đó ta có    AB   SHB  , mà HB   SHB  nên AB  HB . (đpcm)  AB  SH cmt    Chứng minh tương tự ta có AC  HC . (xem hình vẽ minh hoạ)  SAB    ABCD  AB     SHB   AB     Ta có     SAB ,  ABCD   SB , HB   SBH  60 .  SHB    SAB   SB     SHB    ABC   HB   Trang 5
1  1 a2 3 Diện tích tam giác ABC là SABC  . AB. AC.sin BAC  .a.a.sin120  . 2 2 4  Xét tam giác ABH vuông tại B ta có BH  AB.tan BAH  a.tan 60  a 3 .  Xét tam giác SHB vuông tại H ta có SH  BH .tan SBH  a 3.tan 60  3a . 1 1 a2 3 3 a3 Vậy thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC  .SABC .SH  . .3a  . 3 3 4 4 Câu V. (2 điểm)  2 x 2 sin x 1. Tính tích phân  x sin x  cos x dx . 0 Lời giải   2 2 x sin x x 2 sin x  x cos x  x cos x 2 Ta có  x sin x  cos x dx   x sin x  cos x dx 0 0    2 x  x sin x  cos x  x cos x 2 2 x cos x  dx   x dx   dx . x sin x  cos x x sin x  cos x 0   0  0 I J   2 x2 2 2 Trong đó I   x dx   . 0 2 8 0    2 x cos x 2 d  x sin x  cos x  2 Xét tích phân J   dx    ln x sin x  cos x 0 x sin x  cos x 0 x sin x  cos x 0       ln sin  cos  ln 0sin 0  cos 0  ln  ln1  ln . 2 2 2 2 2  2 x 2 sin x 2  Vậy ta có  x sin x  cos x dx  I  J   ln . 8 2 0 Lưu ý: Ta có  x sin x  cos x  x .sin x  x.sin x   cos x   sin x  x cos x  sin x  x cos x . x x2 y 2. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn log 2  x  y    log 2  x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất y 2 1 1 của biểu thức P  2  2. x y Lời giải x x2 y x Ta có log 2  x  y    log 2  x 2  log 2  x  y    log 2 x 2  log 2 y  log 2 2  x 2 y 2 y Trang 6
x x y x y  log 2  x  y  log 2 y  1  log 2 x 2  x 2  log 2   log 2 x 2  x 2 . 1 y y y 1 Xét hàm số f t   t  log 2 t , ta có f  t   1   0 với mọi t  0 . Do đó hàm số f t  đồng t ln 2 biến trên 0;  .  2 x y x Từ 1 và 2 suy ra  x 2  x  y  x 2 y  y  x 2 1  x  y  2 . y x 1 1  x 1 2 2 1 1 2 2 Lúc đó ta có P  2  2  2  2  x2  2  2  2 x2. 2  2  2 2  2 . x y x x x x 4 2 2 Dấu "  " xảy ra khi x 2   x 4  2  x  4 2 do x  0  y  . 2 1 2 x ----------------------------------------------------- CHÚC CÁC EM ÔN TẬP VÀ THI TỐT ! Trang 7