ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)
ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.
Đề 1833
Câu 1. Cho hàm f(x, y, z) = xey+z−xyz. Tính df
A(ey+z−yz)dx −(xey+z−xz)dy + (xey+z−xy)dz
B(ey+z−yz)dx + (xey+z−xz)dy −(xey+z−xy)dz
C(ey+z−yz)dx + (xey+z−xz)dy + (xey+z−xy)dz
D(ey+z+yz)dx + (xey+z+xz)dy + (xey+z+xy)dz
Câu 2. Tìm tất cả điểm dừng của hàm f(x, y)=3x2y+y3−18x−30y
A(1,3),(−1,−3),(3,1),(−3,−1)
B(1,3),(3,1)
C(1,1),(−1,−1),(3,3),(−3,−3)
DCác câu khác sai
Câu 3. Tìm cực trị hàm f(x, y) = x2+y2−32lnxy
Afct =f(−4,−4) = 32(1 −ln16), fcd =f(4,4) = 32 −4ln2
Bfct =f(−4,−4) = 32(1 −ln16) = f(4,4)
Cfct =f(4,4) = 32(1 −ln16)
DCác câu khác sai
Câu 4. Tính tích phân I=RRD
xdxdy
px2+y2với D giới hạn bởi 2y6x2+y264y, 06x
A4
B2
C0
D2π
Câu 5. Tìm cực trị hàm f(x, y) = x−3y−1với điều kiện x2+y2= 10
Afct =f(−2,3) = −12, fcd =f(2,−3) = 10
Bfcd =f(3,−1) = 5, fct =f(−3,−1) = −7
Cfct =f(−1,3) = −11, fcd =f(1,−3) = 9
DHàm không có cực trị
Câu 6. Tính tích phânI=RRDxdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y =√x, x = 1
A−
58
5
B58
5
Cln4 + 14
3
DCác câu khác sai
Câu 7. Hệ số của (x−1)2(y+ 1) trong khai triển Taylor hàm f(x, y) = lnx
ytại lân cận diểm (1,−1) là
A−1
2
B−1
C1
D1
2
Câu 8. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f(x, y) = ln(e+x)e2y
Ax
e+ 2y−
x2
2e2−
2
exy + 2y2+R2
B1 + x
e+ 2y−
x2
2e2−
2
exy + 2y2+R2
C1 + x
e+ 2y−
x2
2e−
2
exy + 2y2+R2
D1 + x
e+ 2y−
x2
2e2−
1
exy + 2y2+R2
Câu 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x, y) = x2+y2−xy +x+ytrong miền D giới hạn bởi x= 0, y = 0, x+y=
−3
Afmin =−2, fmax = 6
Bfmin =−1, fmax = 7
Cfmin =−1, fmax = 6
Dfmin =−2, fmax = 7
Câu 10. Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I=
2
R
0
dx
1+√1−x2−2x
R
x
f(x, y)dy
AI=
π
2
R
π
4
dϕ
2sinϕ
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
BI=
π
2
R
π
4
dϕ
2cosϕ
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
CCác câu khác sai
DI=
π
2
R
π
4
dϕ
2(sinϕ+cosϕ)
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
Trang 1/2- Đề 1833
Câu 11. Tìm cực trị hàm f(x, y)=2x2+y3+xy + 8x+ 3yvới điều kiện y−x= 4
Afct =f(−3,1) = −21, fcd =f(−7,−3) = 11
Bfcd =f(−3,1) = 21, fct =f(−7,−3) = −11
CCác câu khác sai
Dfct =f(−3,1) = −5, fcd =f(−7,−3) = 27
Câu 12. Cho hàm z=ln(ex+ey), x =u+v, y =uv, tính z0
u+z0
vtại u=1, v=0
A3e
1 + e
Be+ 1
1 + e
C2e−1
1 + e
D2e+ 1
1 + e
Câu 13. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y= 1 + √1−x2, y =x, y =−x
Api
2
Bpi
4+ 1
Cpi
2+ 1
D1
Câu 14. Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x, y) = xy2trong hình tròn x2+y261
Afmin =−
1
3√3, fmax =1
3√3
Bfmin =−
2
3√3, fmax =2
3√3
Cfmin =−
2
5√3, fmax =2
5√3
DKhông có GTLN, GTNN
Câu 15. Nhận dạng mặt bậc 2 sau x2−2y= 1 −z2
AMặt nón
BMặt ellipsoid
CMặt paraboloid elliptic
DCác câu khác sai
Câu 16. Viết cận tích phân I=RRDf(x, y)dxdy với miền D giới hạn bởi y=e2, y =e2x, x =−2
AI=
2
R
−2
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
BI=
1
R
−1
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
CI=
1
R
−2
dx
e2x
R
e2
f(x, y)dy
DI=
1
R
−2
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
Câu 17. Cho hàm z=z(x, y)xác định từ phương trình zex+y=xez−1. Tính dz(1,1) biết z(1,1) = 0
Adx
1−e2
B−dx
1−e2
Cdx +dy
1−e2
Ddx −dy
1−e2
Câu 18. Cho hàm f(x, y) = px2+y2. Tính f”xy
A−xy
p(x2+y2)3
Bxy
p(x2+y2)3
C−xy
px2+y2
D−xy
(x2+y2)3
Câu 19. Đổi thứ tự lấy tích phân I=
1
R
0
dx
x
R
x2−2x
f(x, y)dy
AI=
0
R
−1
dy
1
R
1−√y+1
f(x, y)dx +
1
R
0
dy
1
R
y
f(x, y)dx
BI=
1
R
−1
dy
1−√y+1
R
y
f(x, y)dx
CI=
0
R
−1
dy
1
R
1+√y+1
f(x, y)dx +
1
R
0
dy
y
R
1
f(x, y)dx
DI=
0
R
−1
dy
y
R
1+√y+1
f(x, y)dx
Câu 20. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y2+ 2y−3x+ 1 = 0,3y−3x+ 7 = 0
A9
B125
18
C25
2
DCác câu khác sai
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
PGS. TS. Nguyễn Đình Huy
Trang 2/2- Đề 1833
Đề 1833 ĐÁP ÁN
Câu 1.
C
Câu 2.
A
Câu 3.
B
Câu 4.
B
Câu 5.
C
Câu 6.
A
Câu 7.
D
Câu 8.
B
Câu 9.
C
Câu 10.
D
Câu 11.
D
Câu 12.
D
Câu 13.
C
Câu 14.
B
Câu 15.
C
Câu 16.
D
Câu 17.
A
Câu 18.
B
Câu 19.
A
Câu 20.
B
Trang 1/2- Đề 1833
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi 20 câu / 2 trang)
ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Giải tích 2
Ngày thi 18/03/2013. Thời gian làm bài: 45 phút.
Đề 1834
Câu 1. Tìm tất cả điểm dừng của hàm f(x, y)=3x2y+y3−18x−30y
ACác câu khác sai
B(1,3),(−1,−3),(3,1),(−3,−1)
C(1,3),(3,1)
D(1,1),(−1,−1),(3,3),(−3,−3)
Câu 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x, y) = xy2trong hình tròn x2+y261
AKhông có GTLN, GTNN
Bfmin =−
1
3√3, fmax =1
3√3
Cfmin =−
2
3√3, fmax =2
3√3
Dfmin =−
2
5√3, fmax =2
5√3
Câu 3. Tính tích phân I=RRD
xdxdy
px2+y2với D giới hạn bởi 2y6x2+y264y, 06x
A2π
B4
C2
D0
Câu 4. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm f(x, y) = ln(e+x)e2y
A1 + x
e+ 2y−
x2
2e2−
1
exy + 2y2+R2
Bx
e+ 2y−
x2
2e2−
2
exy + 2y2+R2
C1 + x
e+ 2y−
x2
2e2−
2
exy + 2y2+R2
D1 + x
e+ 2y−
x2
2e−
2
exy + 2y2+R2
Câu 5. Cho hàm z=z(x, y)xác định từ phương trình zex+y=xez−1. Tính dz(1,1) biết z(1,1) = 0
Adx −dy
1−e2
Bdx
1−e2
C−dx
1−e2
Ddx +dy
1−e2
Câu 6. Cho hàm f(x, y, z) = xey+z−xyz. Tính df
A(ey+z+yz)dx + (xey+z+xz)dy + (xey+z+xy)dz
B(ey+z−yz)dx −(xey+z−xz)dy + (xey+z−xy)dz
C(ey+z−yz)dx + (xey+z−xz)dy −(xey+z−xy)dz
D(ey+z−yz)dx + (xey+z−xz)dy + (xey+z−xy)dz
Câu 7. Tìm cực trị hàm f(x, y)=2x2+y3+xy + 8x+ 3yvới điều kiện y−x= 4
Afct =f(−3,1) = −5, fcd =f(−7,−3) = 27
Bfct =f(−3,1) = −21, fcd =f(−7,−3) = 11
Cfcd =f(−3,1) = 21, fct =f(−7,−3) = −11
DCác câu khác sai
Câu 8. Tìm cực trị hàm f(x, y) = x−3y−1với điều kiện x2+y2= 10
AHàm không có cực trị
Bfct =f(−2,3) = −12, fcd =f(2,−3) = 10
Cfcd =f(3,−1) = 5, fct =f(−3,−1) = −7
Dfct =f(−1,3) = −11, fcd =f(1,−3) = 9
Câu 9. Viết cận tích phân I=RRDf(x, y)dxdy với miền D giới hạn bởi y=e2, y =e2x, x =−2
AI=
1
R
−2
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
BI=
2
R
−2
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
CI=
1
R
−1
dx
e2
R
e2x
f(x, y)dy
DI=
1
R
−2
dx
e2x
R
e2
f(x, y)dy
Câu 10. Đổi thứ tự lấy tích phân I=
1
R
0
dx
x
R
x2−2x
f(x, y)dy
AI=
0
R
−1
dy
y
R
1+√y+1
f(x, y)dx
BI=
0
R
−1
dy
1
R
1−√y+1
f(x, y)dx +
1
R
0
dy
1
R
y
f(x, y)dx
CI=
1
R
−1
dy
1−√y+1
R
y
f(x, y)dx
DI=
0
R
−1
dy
1
R
1+√y+1
f(x, y)dx +
1
R
0
dy
y
R
1
f(x, y)dx
Trang 1/2- Đề 1834
Câu 11. Hệ số của (x−1)2(y+ 1) trong khai triển Taylor hàm f(x, y) = lnx
ytại lân cận diểm (1,−1) là
A1
2
B−1
2
C−1
D1
Câu 12. Cho hàm f(x, y) = px2+y2. Tính f”xy
A−xy
(x2+y2)3
B−xy
p(x2+y2)3
Cxy
p(x2+y2)3
D−xy
px2+y2
Câu 13. Cho hàm z=ln(ex+ey), x =u+v, y =uv, tính z0
u+z0
vtại u=1, v=0
A2e+ 1
1 + e
B3e
1 + e
Ce+ 1
1 + e
D2e−1
1 + e
Câu 14. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y= 1 + √1−x2, y =x, y =−x
A1
Bpi
2
Cpi
4+ 1
Dpi
2+ 1
Câu 15. Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x, y) = x2+y2−xy +x+ytrong miền D giới hạn bởi x= 0, y = 0, x+y=
−3
Afmin =−2, fmax = 7
Bfmin =−2, fmax = 6
Cfmin =−1, fmax = 7
Dfmin =−1, fmax = 6
Câu 16. Tính diện tích miền D giới hạn bởi y2+ 2y−3x+ 1 = 0,3y−3x+ 7 = 0
ACác câu khác sai
B9
C125
18
D25
2
Câu 17. Tìm cực trị hàm f(x, y) = x2+y2−32lnxy
ACác câu khác sai
Bfct =f(−4,−4) = 32(1 −ln16), fcd =f(4,4) = 32 −4ln2
Cfct =f(−4,−4) = 32(1 −ln16) = f(4,4)
Dfct =f(4,4) = 32(1 −ln16)
Câu 18. Nhận dạng mặt bậc 2 sau x2−2y= 1 −z2
ACác câu khác sai
BMặt nón
CMặt ellipsoid
DMặt paraboloid elliptic
Câu 19. Đổi tích phân sau sang toạ độ cực I=
2
R
0
dx
1+√1−x2−2x
R
x
f(x, y)dy
AI=
π
2
R
π
4
dϕ
2(sinϕ+cosϕ)
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
BI=
π
2
R
π
4
dϕ
2sinϕ
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
CI=
π
2
R
π
4
dϕ
2cosϕ
R
0
rf(rcosϕ, rsinϕ)dr
DCác câu khác sai
Câu 20. Tính tích phânI=RRDxdxdy với D giới hạn bởi xy = 8, y =√x, x = 1
ACác câu khác sai
B−
58
5
C58
5
Dln4 + 14
3
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
PGS. TS. Nguyễn Đình Huy
Trang 2/2- Đề 1834