Trường vô hướng
Trường vô hướng
Ta nói trên miền Ω⊂R3xác định một trường vô hướng nếu tại mỗi điểm M(x, y, z)∈Ωcho tương ứng một
giá trị u=f(x, y, z)∈R. Như vậy, trường vô hướng trên Ωlà một hàm số xác định trên Ω.
VD: Sự phân bố nhiệt trong một vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể đó.
Mặt đẳng cự
Cho trường vô hướng u(x, y, z)xác định trên Ω⊂R3và hằng số c∈R. Lúc đó,
S={(x, y, z)∈Ω : u(x, y, z) = c}
được gọi là mặt đẳng cự (mặt mức) của trường vô hướng u.
Nhận xét
+) Miền Ωbị phủ kín bởi các mặt mức;
+) Các mặt mức khác nhau không giao nhau.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 6 2024 3 / 22
Đạo hàm theo hướng
Cho hàm số u(x, y, z), các đạo hàm riêng của umô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ.
Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của utheo các hướng khác. Để khắc phục, ta sử
dụng đạo hàm theo hướng. Cho vectơ đơn vị v = (a, b, c)∈R3.
Định nghĩa
Giới hạn (nếu có)
lim
t→0
u(M+tv)−u(M)
t= lim
t→0
u(x+ta, y +tb, z +tc)−u(x, y, z)
t
được gọi là đạo hàm theo hướng v tại điểm M(x, y, z)của uvà được kí hiệu là ∂u
∂v (M).
+) Nếu
ℓkhông phải vectơ đơn vị thì xét v =
ℓ
|
ℓ|, khi đó ∂u
∂
ℓ=∂u
∂v ;
+) Đạo hàm theo hướng v tại điểm M(x, y, z)của trường vô hướng uthể hiện tốc độ biến thiên của trường
vô hướng utại điểm M(x, y, z)theo hướng v.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 6 2024 4 / 22
Đạo hàm theo hướng
Nhận xét
+) ∂u
∂−→
i(M0) = lim
t→0
u(x0+t, y0, z0)−u(x0, y0, z0)
t=∂u
∂x (M0);
+) ∂u
∂−→
j(M0) = lim
t→0
u(x0, y0+t, z0)−u(x0, y0, z0)
t=∂u
∂y (M0);
+) ∂u
∂−→
k(M0) = lim
t→0
u(x0, y0, z0+t)−u(x0, y0, z0)
t=∂u
∂z (M0).
Định lý 1 (Đạo hàm theo hướng-Đạo hàm riêng)
Nếu ukhả vi tại M0thì ucó đạo hàm theo mọi hướng tại M0và
∂u
∂−→
ℓ(M0) = ∂u
∂x (M0) cos α+∂u
∂y (M0) cos β+∂u
∂z (M0) cos γ,
ở đây (α, β, γ)là góc chỉ phương của −→
ℓ.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 6 2024 5 / 22
![Đề thi kết thúc học phần Nguyên lí Hóa học 2 [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251014/anhinhduyet000/135x160/69761760428591.jpg)
