Tích phân mặt loại một
Định nghĩa
Cho hàm số f(x, y, z)xác định trên một mặt Sđóng và bị chặn trong R3.
•Chia mặt Sthành nmặt con p:S1, S2,...,Sn
với diện tích tương ứng là ∆S1,∆S2,...,∆Sn.
•Trong mỗi mảnh Silấy một điểm tuỳ ý
Mi(xi, yi, zi).
•Lập tổng tích phân
S(f, P ) =
n
P
i=1
f(xi, yi, zi)∆Si.
•Nếu tồn tại giới hạn limdp→0S(f, P ) = I
(dp = max
1≤i≤nd(Si)), không phụ thuộc vào cách
chia miền thành các miền con Si
Hình 1: Mặt cong
và cách lấy các điểm Mi, thì giới hạn này được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x, y, z)trên mặt S.
Tích phân này được ký hiệu là RR
S
f(x, y, z)dS.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 5 2024 3 / 33
Các tính chất của tích phân mặt loại một
Tính chất
1. Diện tích của mặt cong S=RR
S
1dS;
2. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc phía của S;
3. Nếu S=S1∪S2và S1, S2không dẫm lên nhau thì RR
S
f(x, y, z)dS =RR
S1
f(x, y, z)dS +RR
S2
f(x, y, z)dS;
4. Nếu Sgồm 2 phần S1và S2đối xứng qua mp z= 0 (Oxy)thì
•fchẵn theo z:RR
S
f(x, y, z)dS = 2 RR
S1
f(x, y, z)dS,
•flẻ theo z:RR
S
f(x, y, z)dS = 0.
Tích phân mặt loại một có nhiều ứng dụng trong vật lý tương tự như tích phân xác định và tích phân bội ta đã
xét. Ví dụ, trong trường hợp một mặt mỏng (như mảnh giấy nhôm) có hình dạng của mặt cong S, khối lượng
riêng tại mỗi điểm M(x, y, z)là ρ(x, y, z)thì khối lượng của mặt mỏng sẽ được cho bởi RR
S
ρ(x, y, z)dS.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 5 2024 4 / 33
Cách tính tích phân mặt loại một
Cách tính
Giả sử Sđược cho bởi phương trình z=z(x, y)với
(x, y)∈D⊂R2, trong đó z(x, y)là một hàm số khả
vi liên tục, Dlà hình chiếu của mặt Slên mặt phẳng
(Oxy). Khi đó,
•dS =»1 + z′
x2+z′
y2dxdy,
•RR
S
f(x, y, z)dS
=RR
D
fx, y, z(x, y)»1 + z′
x2+z′
y2dxdy.
Hình 2: Cách tính tích phân mặt loại một
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1121 – CHƯƠNG 5 2024 5 / 33
