TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016
Bài tập Chuỗi Taylor
và Xấp xỉ bằng BĐT Taylor
Vũ Lê Thế Anh
Cập nhật: 15/02/2017
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
Xấp xỉ 𝒇(𝒙) bằng đa thức Taylor bậc n xung quanh a và uớc lượng độ chính xác của xấp xỉ
khi x nằm trong đoạn cho trước:
1/ 𝑓(𝑥)= √𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2]
2/ 𝑓(𝑥)= 𝑒𝑥2, 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2]
3/ 𝑓(𝑥)= 𝑥 sin𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1]
Câu 1:
Có: 𝑓(𝑥)= √𝑥, 𝑎 = 4, 𝑛 = 2, 𝑥 ∈ [4,4.2]
Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 2 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 4:
𝑓(𝑥) ~ 𝑇2(𝑥)= ∑ 𝑓(𝑛)(4)
𝑛! (𝑥 − 4)𝑛
2
𝑛 = 0
Có:
𝑓(0)(𝑥)= 𝑓(𝑥)=√𝑥= 𝑥1/2 ⇒ 𝑓(0)(4)= 2
𝑓(1)(𝑥)=1
2𝑥−1/2 ⇒ 𝑓(1)(4)=1
8
𝑓(2)(𝑥)= −1
4𝑥−3/2 ⇒ 𝑓(2)(4)=−1
32
Vậy:
𝑇2(𝑥)= 2+1
8(𝑥 −4)−1
64(𝑥 − 4)2
Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅2(𝑥)|= |𝑓(𝑥)−𝑇2(𝑥)| trên [4,4.2]:
Có:
|𝑓(3)(𝑥)|=|3
8𝑥−5/2|≤3
8.4−5
2=3
256 = 𝑀,∀𝑥 ∈ [4,4.2]
Theo Bất đẳng thức Taylor:
|𝑅2(𝑥)|≤𝑀
3!|𝑥 − 4|3≤3
256.1
3!|4.2−4|3=1
64000
Câu 2:
Có: 𝑓(𝑥)= 𝑒𝑥2, 𝑎 = 0, 𝑛 = 3, 𝑥 ∈ [0,0.2]
Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 3 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0:
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
𝑓(𝑥) ~ 𝑇3(𝑥)= ∑ 𝑓(𝑛)(0)
𝑛! 𝑥𝑛
3
𝑛 = 0
Có:
𝑓(0)(𝑥)= 𝑓(𝑥)= 𝑒𝑥2⇒ 𝑓(0)(0)= 1
𝑓(1)(𝑥)= 2𝑥𝑒𝑥2⇒ 𝑓(1)(0)= 0
𝑓(2)(𝑥)= 2(𝑒𝑥2+2𝑥2𝑒𝑥2)= 2𝑒𝑥2(1+2𝑥2)⇒ 𝑓(2)(0)= 2
𝑓(3)(𝑥)= 2[2𝑥𝑒𝑥2(1+2𝑥2)+4𝑥𝑒𝑥2]= 4𝑥𝑒𝑥2(3+2𝑥2) ⇒ 𝑓(3)(0)= 0
Vậy:
𝑇3(𝑥)= 1+𝑥2
Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅3(𝑥)|= |𝑓(𝑥)−𝑇3(𝑥)| trên [0,0.2]:
Có:
|𝑓(4)(𝑥)|=|4[𝑒𝑥2(1+2𝑥2)(3+2𝑥2)+4𝑥2𝑒𝑥2]| = 4𝑒𝑥2(4𝑥4+12𝑥2+3)
Xét 𝑔(𝑥)= 𝑒𝑥2(4𝑥4+12𝑥2+3)
𝑔′(𝑥)= 2𝑥𝑒𝑥2(4𝑥4+12𝑥2+3)+𝑒𝑥2(16𝑥3+24𝑥)= 2𝑥𝑒𝑥2(4𝑥4+20𝑥2+15)≥ 0 ∀𝑥 ∈ [0,0.2]
Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,0.2] ⇒ max
[0,0.2]𝑔(𝑥) = 𝑔(0.2)⇒|𝑓(4)(𝑥)|= 4𝑔(𝑥)≤ 4𝑔(0.2)= 𝑀
Theo Bất đẳng thức Taylor:
|𝑅3(𝑥)|≤𝑀
4!|𝑥|4≤𝑔(0.2)
60.24=𝑔(0.2)
3750 ≈ 9.676.10−4
Câu 3:
Có: 𝑓(𝑥)= 𝑥sin𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑛 = 4, 𝑥 ∈ [−1,1]
Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 4 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0:
𝑓(𝑥) ~ 𝑇4(𝑥)= ∑ 𝑓(𝑛)(0)
𝑛! 𝑥𝑛
4
𝑛 = 0
Có:
𝑓(0)(𝑥)= 𝑓(𝑥)= 𝑥sin𝑥 ⇒ 𝑓(0)(0)= 0
𝑓(1)(𝑥)=sin𝑥 + 𝑥cos𝑥 ⇒ 𝑓(1)(0)= 0
𝑓(2)(𝑥)= 2cos𝑥 −𝑥sin𝑥 ⇒ 𝑓(2)(0)= 2
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
𝑓(3)(𝑥)= −3sin𝑥 −𝑥cos𝑥 ⇒ 𝑓(3)(0)= 0
𝑓(4)(𝑥)= −4cos𝑥 + 𝑥sin𝑥 ⇒ 𝑓(4)(0)= −4
Vậy:
𝑇4(𝑥)= 𝑥2−1
6𝑥4
Ước lượng độ chính xác của phép xấp xỉ là đánh giá độ lớn sai số |𝑅4(𝑥)|= |𝑓(𝑥)−𝑇4(𝑥)| trên [−1,1]:
Có: |𝑓(5)(𝑥)|=|5sin𝑥 + 𝑥cos𝑥|
Xét 𝑔(𝑥)=|5sin𝑥 + 𝑥cos𝑥| trên 𝐷 = [−1,1] có 𝐷 là miền đối xứng do ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ −𝑥 ∈ 𝐷.
𝑔(−𝑥)=|5sin(−𝑥)−𝑥𝑐𝑜𝑠(−𝑥)| =|5sin𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥|= 𝑔(𝑥)
Vậy 𝑔(𝑥) là hàm chẵn ⇒ đồ thị 𝑔(𝑥) đối xứng qua trục tung Oy.
∀𝑥 ∈ [0,1], 𝑔(𝑥)= 5sin𝑥 +𝑥cos𝑥,𝑔′(𝑥)= 6cos𝑥 −𝑥sin𝑥 ≥ 0 (𝑑𝑜 ∀𝑥 ∈ [0,1],cos𝑥 > sin𝑥).
Vậy 𝑔(𝑥) đồng biến ∀𝑥 ∈ [0,1] ⇒ max
[−1,1]𝑔(𝑥) = max
[0,1]𝑔(𝑥) = 𝑔(1)⇒|𝑓(5)(𝑥)|= 𝑔(𝑥)≤ 𝑔(1) = 𝑀
Theo Bất đẳng thức Taylor:
|𝑅4(𝑥)|≤𝑀
5!|𝑥|5≤𝑔(1)
120 =5sin1+cos1
120 ≈ 0.03956
Ước lượng chính xác đến 5 chữ số thập phân:
1/ cos85°
2/ 𝑒0.1
Câu 1:
Xét 𝑓(𝑥)= cos𝑥 quanh 𝑎 = 𝜋
2 với 𝑥 ∈ [17𝜋
36 ,𝜋
2].
𝑓(𝑛)(𝑥)= cos(𝑥 +𝑛𝜋
2),∀𝑛 ≥ 0
Có: |𝑓(𝑛+1)(𝑥)|=|cos[𝑥 + (𝑛+1)𝜋
2]| ≤ 1 = 𝑀,∀𝑥 ∈ [17𝜋
36 ,𝜋
2]
Theo Bất đẳng thức Taylor:
|𝑅𝑛(𝑥)| ≤𝑀
(𝑛+1)!|𝑥 −𝜋
2|𝑛+1 ≤1
(𝑛+1)!|17𝜋
36 −𝜋
2|𝑛+1 =1
(𝑛+1)!(𝜋
36)𝑛+1 ,∀𝑥 ∈ [17𝜋
36 ,𝜋
2]
Để đảm bảo luôn thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần chọn n nhỏ nhất thỏa:
Khoa Công nghệ thông tin – ĐH KHTN TP.HCM Ôn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016
1
(𝑛+1)!(𝜋
36)𝑛+1 < 0.00001 ⇒ 𝑛 = 3
Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 3 của 𝑓(𝑥) với 𝑎 = 𝜋
2:
𝑓(𝑥) ~ 𝑇3(𝑥)= −(𝑥 − 𝜋
2)+1
6(𝑥−𝜋
2)3
Vậy:
𝑓(17𝜋
36 ) ~ 𝑇3(17𝜋
36 ) = − 𝜋
36−𝜋3
139968 ≈ 0.08715
Với sai số |𝑅3(𝑥)| ≤𝜋4
40310784 ≈ 2.6∗10−6.
Câu 2:
Xét 𝑓(𝑥)= 𝑒𝑥 quanh 𝑎 = 0 với 𝑥 ∈ [0,0.1].
𝑓(𝑛)(𝑥)= 𝑒𝑥,∀𝑛 ≥ 0
Có: |𝑓(𝑛+1)(𝑥)|= 𝑒𝑥≤ 𝑒0.1 < 𝑒 < 3 = 𝑀,∀𝑥 ∈ [0,0.1]
Theo Bất đẳng thức Taylor:
|𝑅𝑛(𝑥)| ≤𝑀
(𝑛+1)!|𝑥|𝑛+1 ≤3
(𝑛+1)!0.1𝑛+1,∀𝑥 ∈ [0,0.1]
Để đảm bảo luôn thỏa điều kiện đề bài, ta cần tìm n nhỏ nhất thỏa:
3
(𝑛+1)!0.1𝑛+1 < 0.00001 ⇒ 𝑛 ≥ 4
Đa thức Taylor bậc 𝑛 = 4 của 𝑓(𝑥) quanh 𝑎 = 0 là:
𝑓(𝑥) ~ 𝑇4(𝑥)= 1 +𝑥 +1
2𝑥2+1
6𝑥3+1
24𝑥4
Vậy:
𝑓(0.1) ~ 𝑇4(0.1)= 1.10517
Với sai số |𝑅4(𝑥)| ≤ 2.5∗10−7.
Ước lượng miền giá trị của x để các xấp xỉ có độ chính xác tương ứng:
1/ sin𝑥 ≈ 𝑥 − 𝑥3
6,|𝑠𝑎𝑖 𝑠ố|< 0.01
2/ cos𝑥 ≈ 1−𝑥2
2+𝑥4
24,|𝑠𝑎𝑖 𝑠ố|< 0.005