intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập chương 1: Hình học 12 - Khối đa diện

Chia sẻ: Trương Văn Thanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
155
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hình học phẳng, các phương pháp chứng minh hình học, góc và khoảng cách, hình chóp đều, xác định chiều cao của hình chóp,... là những nội dung chính trong bài tập chương 1 "Hình học 12 - Khối đa diện". Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập chương 1: Hình học 12 - Khối đa diện

  1. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 KHÔI ĐA DIÊN ́ ̣ ÔN TÂP ̣ I. HINH HOC PHĂNG ̀ ̣ ̉ 1/  Cac hê th ́ ̣ ức lượng trong tam giac vuông ́ ̣ ̀ ường cao, AM la đ Cho  D A BC  vuông tai A, AH la đ ̀ ường trung tuyên. Ta co: ́ ́ A  BC = A B + A C   ( Pitago ) 2 2 2  A H .BC = A B .A C 2 2  A B = BH .BC ,  A C = CH .CB 1 1 1  2 = 2 + ,  A H 2 = HB .HC AH AB AC 2 B C BC H M  AM = 2 2/  Cac hê th ́ ̣ ức lượng trong tam giac th ́ ương ̀ ̣ a)  Đinh li ham sô cosin ́ ̀ ́ b2 + c 2 - a 2 A *   a 2 = b2 + c 2 - 2bc cosA � cosA = 2bc a + c 2 - b2 2 c b *   b2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB � cosB = 2ac a a + b2 - c 2 2 B C *   c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC � cosC = 2ab ̣ b)  Đinh li ham sô sin ́ ̀ ́ A c b B (R là bán kính đường tròn ngoai tiê ̣ ́p  ABC) R a C c)  Công thưc tinh diên tich cua tam giac ́ ́ ̣ ́ ̉ ́ A c b B a C  – nửa chu vi  – bán kính đường tròn nôi  ̣ tiếp  d)  Công thưc tinh đô dai đ ́ ́ ̣ ̀ ường trung tuyên cua tam giac ́ ̉ ́ A A B 2 + A C 2 BC 2 BA 2 + BC 2 A C 2 *   A M 2 = - . *   BN 2 = - . 2 4 2 4 K N                                                                        Trang 1 B M C
  2. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 CA 2 + CB 2 A B 2 *   CK 2 = - . 2 4 3/  Đinh li Talet ̣ ́ AM AN MN A *   MN / / BC � = = =k AB AC BC 2 S D A MN � AM � ￷ M N *    ￷ = ￷￷ ￷￷ = k 2 S DA BC �A B �￷ B C 4/  Diên tich cua đa giac ̣ ́ ̉ ́ a/  Diên tich tam giac vuông ̣ ́ ́ B 1 ̣ ́ ̣    Diên tich tam giac vuông băng ½ tich 2 canh ́ ̀ ́ � S DA BC = A B .A C C 2 goc vuông. ́ A b/  Diên tich tam giac đêu ￷ 2 ̣ ́ ́ ̀ 2 B ￷￷ S DA BC = a 3 ha ( canh ) . 3 ￷ 4 ̣ ́  Diên tich tam giac đêu:     ́ ̀ S D deu = ￷ ￷￷ 4 ￷￷ a 3 canh. 3 ￷￷ h =  Chiêu cao tam giac đêu:     ̀ ́ ̀ hDdeu = A C ￷ 2 2 c/  Diên tich hinh vuông va hinh ch ̣ ́ ̀ ̀ ̀ ư nhât ̃ ̣ A B ￷￷ S HV = a 2 ̣ ́ ̀ ̀ ̣  Diên tich hinh vuông băng canh binh ph ̀  Đương cheo hinh vuông băng canh nhân  ̣ ương. a O ￷ ￷￷ ￷￷ A C = BD = a 2 ̀ ́ ̀ ̀ 2. D C ￷ ̣ ́  Diên tich hinh ch ̀ ư nhât băng dai nhân rông. ̃ ̣ ̀ ̀ ̣ d/  Diên tich hinh thang ̣ ́ ̀ A D ̣ ́  Diên tich hinh thang:  ̀ ( A D + BC ) .A H 1 �S = = 2 SHinh Thang  ̀ 2 .(đay l ́ ớn + đay be)  ́ ́ x chiêu cao ̀ B H C B e/  Diên tich t ̣ ́ ứ giac co hai đ ́ ́ ương cheo vuông ̀ ́   goć 1 C� S H .T hoi = A C .BD ̣  Diên tich t́ ứ giać  co hai ́   đường cheo vuông ́  A goc nhau băng ½ tich hai đ ́ ̀ ́ ường cheo. ́ 2  Hinh thoi co hai đ ̀ ́ ường cheo vuông goc nhau ́ ́   D ̣ ̉ ̉ ̃ ường. tai trung điêm cua môi đ Lưu ý:  Trong tinh toan diên tich, ta co thê chia đa giac thanh nh ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ ́ ̀ ững hinh đ ̀ ơn gian dê tinh diên ̉ ̃ ́ ̣   ́ ̣ ̣ ́ ược chia nay, ta đ tich, sau đo công cac diên tich đ ́ ́ ̀ ược diên tich đa giac. ̣ ́ ́ II. CAC PH ́ ƯƠNG PHAP CH ́ ƯNG MINH HINH HOC ́ ̀ ̣                                                           Trang 2
  3. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 1/  Chưng minh đ ́ ương thăng  ̀ ́ ( d ￷ ( a )) ̉ d  // mp(a)  vơi   Chưng minh:   ́ d  // d '  va ̀d ' ￷ (a)  Chưng minh:  ́ d ￷ ( b)  va ̀( b)  // (a)  Chưng minh  ́ d  va ̀ (a)  cung vuông goc v ̀ ́ ơi môt đ ́ ̣ ường thăng hoăc cung vuông goc v ̉ ̣ ̀ ́ ơi môt măt ́ ̣ ̣  ̉ phăng. 2/  Chưng minh  ́ mp(a)  // mp ( b)  Chưng minh  ́ mp(a)  chưa hai đ ́ ường thăng căt nhau song song v ̉ ́ ới  mp ( b) .  Chưng minh ́   mp(a)   và  mp ( b)   cung song song v ̀ ơi 1 măt phăng hoăc cung vuông goc v ́ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ơi 1 ́   đương thăng. ̀ ̉ 3/  Chưng minh hai đ ́ ương thăng song song ̀ ̉ ́ ̣ ̣ ́ ̣ :  Ap dung môt trong cac đinh li sau ́  Hai   mp(a), ( b)   có  điêm ̉   chung   S   và  lân ̉   song   song   a, b thì  ̀   lượt   chưá   2   đường   thăng (a) �( b) = Sx  // a  // b . ￷ a  // mp(a) ￷ � (a) �( b) = b  // a .  ￷￷ ￷￷ a ￷ mp ( b) ̣ ̉  Hai măt phăng cung song song v ̀ ơi môt đ ́ ̣ ường thăng thi giao tuyên cua chung song song v ̉ ̀ ́ ̉ ́ ơí  đương thăng đo. ̀ ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̣ ̉  Môt măt phăng căt hai măt phăng song song theo giao tuyên song song. ́  Hai đường thăng cung vuông goc v ̉ ̀ ́ ới môt măt phăng thi song song v ̣ ̣ ̉ ̀ ới nhau.  Sử dung pḥ ương phap hinh hoc phăng: Đ ́ ̀ ̣ ̉ ường trung binh, đinh li Talet đao, … ̀ ̣ ́ ́ ̉ 4/  Chưng minh đ ́ ương thăng  ̀ ̉ d ^ mp ( a )  Chưng minh  ́ d  vuông goc v ́ ới hai đường thăng căt nhau ch ̉ ́ ứa trong  mp(a) . ￷ d  // d ' ￷ ￷ d ^ mp ( a )  Chưng minh:   ́ ￷ ￷￷ d ' ^ mp ( a ) ￷ ￷ d ^ mp ( b) ￷  Chưng minh:   ́ ￷ ￷ d ^ mp ( a ) ￷￷ mp ( b)  // mp ( a ) ￷ ̣ ̉  Hai măt phăng căt nhau cung vuông goc v ́ ̀ ́ ơi măt phăng th ́ ̣ ̉ ứ 3 thi giao tuyên cua chung vuông goc ̀ ́ ̉ ́ ́  ￷( a) ^ ( P ) ￷￷ ￷ b ^ P vơi măt phăng th ́ ̣ ̉ ư 3:    ́ ￷( ) ( ) �d ^ (P) ￷￷ ￷￷ ( a ) �( b) = d ￷ ̣ ̉  Cho hai măt phăng vuông goc, đ ́ ường thăng nao năm trong măt phăng nay va vuông goc v ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ̀ ́ ới giao   tuyên, cung vuông goc v ́ ̃ ́ ới măt phăng kia. ̣ ̉ 5/  Chưng minh đ ́ ương thăng  ̀ ̉ d ^ d'  Chưng minh  ́ d ^ ( a )  va ̀( a ) ￷ d ' .  Sử dung đinh ly ba đ ̣ ̣ ́ ường vuông goc. ́  Chưng to goc gi ́ ̉ ́ ữa  d  va ̀d '  băng ̀ 90 . 0  Sử dung hinh hoc phăng. ̣ ̀ ̣ ̉ 6/  Chưng minh  ́ mp ( a ) ^ mp ( b)                                                                        Trang 3
  4. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 ￷( a) ￷ d ￷  Chưng minh ́ ￷ � mp ( a ) ^ mp ( b)  (chưng minh mp ch ́ ưa 1 đ ́ ường thăng vuông goc v ̉ ́ ơí  ￷￷ d ^ ( b) ￷ mp kia)  Chưng to goc gi ́ ̉ ́ ữa hai măt phăng băng ̣ ̉ ̀ 900 . III. GOC VA KHOANG CACH ́ ̀ ̉ ́ 1/  Goc gi ́ ưa hai đ ̃ ương thăng ̀ ̉ ̀ ́ ̣ ởi hai đường thăng căt nhau lân l  La goc tao b ̉ ́ ̀ ượt ve cung ph ̃ ̀ ương      vơi hai đ ́ ường thăng đo: ̉ ́ a a ' ￷ a  // a ' ￷ ￷ ￷￷b  // b ' � (a?, b) = (a? ', b ') = f b 'b 2/  Goc gi ́ ưa đ ̃ ường thăng ̉ mp ( a ) ̉ d va măt phăng  ̀ ̣ d ̀ ́ ̣ ởi đường thăng đo va hinh chiêu cua no trên măt phăng.  La goc tao b ̉ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ �? � ? �d, ( a ) � = (d , d ') = f � � d' (vơi  ́ ̉ d  lên  mp(a) ). ́ d '  la hinh chiêu vuông goc cua  ̀ ̀ ́ 3/  Goc gi ́ ưa hai  ̃ mp ( a )  va ̀mp ( b) u ̀ ́ ́ ̉ ́ u,  La goc co đinh năm trên giao tuyên  ̀ ̣ ̉ ́ ̀ ượt năm trên 2 canh cua hai goc lân l ̀ ̣ ̉ ̀ ̀ ́ ới giao tuyên. 2 măt phăng va cung vuông goc v ́ a b ( (?a);( b) ) = (a?,b) = f 4/  Khoang cach t ̉ ́ ư môt điêm đên môt đ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ương thăng: ̀ ̉ M D H ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ừ điêm đo đên đ  La đô dai đoan vuông goc ve t ̉ ́ ́ ường thăng ̉ d ( M , D ) = MH 5/  Khoang cach gi ̉ ́ ưa hai đ ̃ ường thăng song song ̉ : d M ̉ ́ ừ môt điêm trên đ  La khoang cach t ̀ ̣ ̉ ường thăng (măt phăng) ̉ ̣ ̉ ̀ ́ ường thăng (măt phăng) kia. nay đên đ ̉ ̣ ̉ d' 6/  Khoang cach gi ̉ ́ ưa môt đ ̃ ̣ ương thăng va môt măt phăng song song ̀ ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ M ̉ ́ ừ môt điêm trên đ  La khoang cach t ̀ ̣ ̉ ường thăng đên măt phăng. ̉ ́ ̣ ̉ 7/  Khoang cach gi ̉ ́ ưa hai đ ̃ ường thăng cheo nhau ̉ ́                                                           Trang 4
  5. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 ̀ ̣ ̀ ̣ ̉  La đô dai đoan vuông goc chung cua 2 đ ́ ường thăng đo. ̉ ́ ̉  La khoang cach MH t ̀ ́ ư môt điêm M trên  ̀ ̣ ̉ ́ mp ( a ) chưa  d  đên  ́ d '  va song song v ̀ ơi  ́d. ̉  La khoang cach gi ̀ ́ ữa hai măt phăng song song  ̣ ̉ ( a ) , ( b) lân l ̀ ượt chưa  ́ d va ̀d ' . IV. HINH CHOP ĐÊU ̀ ́ ̀ ̣ 1/  Đinh nghia ̃. ̣ ̀ ́ ̀ ́ ́ đay la môt đa giac đêu ́ ược goi la hinh chop đêu nêu co  Môt hinh chop đ ̣ ̀ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ̀  va ̀co chân đ ́ ương cao ̀   trung v ̀ ơi tâm cua đa giac đay ́ ̉ ́ ́. ̣ Nhân xet́: ̀ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ững tam giac cân băng nhau. Cac măt bên tao v Hinh chop đêu co cac măt bên la nh ́ ̀ ́ ̣ ̣ ới đay cac goc ́ ́ ́  băng nhau. ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ̣ ới măt đay cac goc băng nhau. Cac canh bên cua hinh chop đêu tao v ̣ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ương găp 2/  Hai hinh chop đêu th ̀ ̀ ̣ S a/  Hinh chop tam giac đêu ̀ ́ ́ ̀ :  Cho hinh chop tam giac đêu ̀ ́ ́ ̀ S .A BC . Khi đo:́ Đay ́ A BC la tam giac đêu. ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣S. Cac măt bên la cac tam giac cân tai Chiêu cao:  ̀ SO . A C ́ ưa canh bên va măt đay:  Goc gi ̃ ̣ ̀ ̣ ́ SA ? O = SBO ? ? = SCO . O H ́ ưa măt bên va măt đay:  Goc gi ̃ ̣ ̀ ̣ ́ SHO? . B 2 1 AB 3 Tinh chât:  ́ ́ AO = A H ,  OH = A H ,  A H = . 3 3 2  Lưu ý  :  Hinh chop tam giac đêu khac v ̀ ́ ́ ̀ ́ ới tứ diên đêu. ̣ ̀ + Tứ diên đêu co cac măt la cac tam giac đêu. ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̀ + Tứ diên đêu la hinh chop tam giac đêu co canh bên băng canh đay. ̣ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ́ S ̀ ́ ứ giac đêu b/  Hinh chop t ́ ̀ :  Cho hinh chop tam giac đêu ̀ ́ ́ ̀ S .A BCD . Đay ́ A BCD la hinh vuông. ̀ ̀ ̣ ̣S. Cac măt bên la cac tam giac cân tai ́ ̀ ́ ́ A D Chiêu cao:  ̀ SO . ́ ưa canh bên va măt đay: Goc gi ̃ ̣ ̀ ̣ ́ SA ? O = SBO ? ? = SCO ? = SDO . O H ́ ưa măt bên va măt đay:  Goc gi ̃ ̣ ̀ ̣ ́ SHO? . B C V. XAC ĐINH CHIÊU CAO CUA HINH CHOP ́ ̣ ̀ ̉ ̀ ́ 1/   Hinh chop co môt canh bên vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ ơí  Ví  dụ:   Hinh ̣   bên  ̀   choṕ   S .A BC   có  canh đaý : SA ^ ( A BC ) thi chiêu cao la  ̀ ̀ ̀SA . Chiêù   cao   cuả   hinh ̀   choṕ   là  độ   daì   canh ̣   bên  vuông goc v́ ơi đay. ́ ́                                                                        Trang 5
  6. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 2/  Hinh chop co môt măt bên vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ ới măṭ   Vi du ́ ̣: Hinh chop ̀ ́ ̣ ́ S .A BCD co măt bên ( SA B )   đaý : ̀ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̉ Chiêu cao cua hinh chop la chiêu cao cua tam   ́ ( A BCD ) thì  vuông   goć   vơí   măṭ   đay ́ ưa trong măt bên vuông goc v giac ch ́ ̣ ́ ới đay. ́ ̀ ̉ chiêu cao cua hinh chop la chiêu cao ̀ ́ ̀ ̀   ̉ D SA B . cua  3/  Hinh chop co hai măt bên vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ́ : Vi du ́ ới đay ́ ̣:  Hinh chop ̀ ́ ̣ ́   S .A BCD co hai măt bên   ̀ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ Chiêu cao cua hinh chop la giao tuyên cua hai   ( SA B )  va ̀( SA D )  cung vuông goc v ̀ ́ ơí  ̣ ́ ới đay. măt bên cung vuông goc v ̀ ́ ̣ ́ ( A BCD )  thi chiêu cao la  măt đay  ̀ ̀ ̀SA . 4/  Hinh chop đêu ̀ ́ ̀: Vi du ́ ̣:  Hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu ́ ̀   S .A BCD   có  ̀ ̉ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̉   Chiêu cao cua hinh chop la đoan thăng nôi đinh ̣ ̉ ́ ̀ ̉ ̉ tâm măt phăng đay la giao điêm cua hai   ̀ ̉ va tâm cua đay.́ đương cheo hinh vuông  ̀ ́ ̀ A BCD  thi co ̀ ́  đương cao la  ̀ ̀SO . VI. THÊ TICH KHÔI ĐA DIÊN ̉ ́ ́ ̣ 1 S 1/  Thê tich khôi chop ̉ ́ ́ ́ :  V = B .h 3 ̣ ́ ̣ ́ B :  Diên tich măt đay. D ̀ ̉   h :  Chiêu cao cua khôi chop. ́ ́ A O B C A C A C 2/  Thê tich khôi lăng tru ̉ ́ ́ ̣:  V = B .h B B ̣ ́ ̣ ́ B :  Diên tich măt đay. ̀ ̉   h :  Chiêu cao cua khôi chop. ́ ́ A’ C’ A’ Lưu ý:  Lăng tru đ ̣ ưng co chiêu cao cung la  ́ ́ ̀ ̃ ̀ C’ ̣ canh bên. B’ B’ c 3/  Thê tich hinh hôp ch ̉ ́ ̀ ̣ ữ nhâṭ :  V = a.b.c a a a ￷ Thê tich khôi lâp ph ̉ ́ ́ ̣ ương:  V = a 3 b a S V S .A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 4/  Ti sô thê tich ̉ ́ ̉ ́ :  = . . V S .A BC SA SB SC A B ́ ̣ 5/  Hinh chop cut A’B’C’.ABC ̀ C A B                                                           Trang 6 C
  7. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 h V = 3 ( B + B '+ BB ' ) ́ B , B ', h la diên tich hai đay va chiêu cao. Vơi  ̀ ̣ ́ ́ ̀ ̀ VII. CAC DANG TOAN TH ́ ̣ ́ ƯƠNG GĂP ̀ ̣ Dang 1.  Tinh thê tich khôi đa diên băng cach s ̣ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ử dung tr ̣ ực tiêp công th ́ ức Xac đinh chiêu cao cua khôi đa diên cân tinh thê tich ́ ̣ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ . Trong nhiêu tr ̀ ương h ̀ ợp, chiêu cao nay đ ̀ ̀ ược xac đinh ngay t ́ ̣ ừ đâu bai, nh ̀ ̀ ưng cung co tr ̃ ́ ường hợp   ̣ ́ ̣ viêc xac đinh nay phai d ̀ ̉ ựa vao cac đinh li vê quan hê vuông goc đa hoc  ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̃ ̣ ở lớp 11 (hay dung nhât la ̀ ́ ̀  ̣ ́ ường vuông goc, cac đinh li vê điêu kiên đê môt đ đinh li 3 đ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ường thăng vuông goc v ̉ ́ ới môt măt ̣ ̣  ̉ ̣ ́ phăng,…). Viêc tinh chiêu cao thông th ̀ ường nhờ vao viêc s ̀ ̣ ử dung đinh li Pitago,… ̣ ̣ ́ Tim diên tich đay băng cac công th ̀ ̣ ́ ́ ̀ ́ ức quen thuộc. Bài 1. Cho hình chóp   S .A BC có đáy là tam  giác  vuông tại   B , BA ? C = 300 , SA = A C = a và   SA   vuông góc với  mp ( A BC ) .Tính thê tich khôi chop  ̉ ́ ́ ́ S .A BC  và khoảng cách từ A  đến mp ( SBC ) . Bài 2. Cho   hình   chóp   S .A BCD có   đáy A BCD   là   hình   chữ   nhật   có A B = a, BC = 2a .  Hai  mp ( SA B )  và  mp ( SA D )  cung  ̀ vuông góc với măt phăng đáy, c ̣ ̉ ạnh  SC  hợp với đáy một góc 600 . Tính  thể tích khối chóp  S .A BCD  theo a . Bài 3. Hình chóp   S .A BC có BC = 2a , đáy A BC   là tam giác vuông tại  C , SA B   là tam giác vuông  cân tại  S  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I  là trung điểm cạnh  A B . 1) Chứng minh rằng, đường thẳng  SI ^ mp ( A BC ) . 2) Biết  mp ( SA C )  hợp với  mp ( A BC )  một góc 600 . Tính thể tích khối chóp  S .A BC . Bài 4. Cho hình chóp đều  S .A BCD  có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  600 . Tính  thể tích của hình chóp  S .A BCD .  Bài 5. Cho hình lăng trụ A BC .A ' B 'C '  có đáy A BC  là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông  góc của  A '  xuống  mp ( A BC )  là trung điểm của A B . Mặt bên  ( A A 'C 'C )  tạo với đáy một góc  bằng  45o . Tính thể tích của khối lăng trụ này. Bài 6. Cho   hình   lăng   trụ   đứng   A BC .A ' B 'C ' có   đáy A BC   là   tam   giác   vuông   tại B , BC = a ,  mp ( A ' BC )  tạo với đáy một góc  300  và  D A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể  tích khối lăng  trụ. Bài 7. Cho  hình   lăng   trụ   đứng   A BC .A ' B 'C '   có   đáy A BC   là   tam   giác   vuông   tại   A , A C = a,   A? CB = 600 .Đường chéo BC ' của mặt bên  ( BC 'C 'C )  tạo với mặt phẳng  mp ( A A 'C 'C )  một góc  300 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo  a . Bài 8. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC co đay ̣ B , A B = a, SA ^ ́ ́ A BC  la tam giac vuông cân tai  ̀ ́ ( A BC ) , goć   ̃ mp ( SBC )  va ̀mp ( A BC )  băng giưa  ̀ 300 . Goị M  la trung điêm cua canh  ̀ ̉ ̉ ̣ SC . Tinh thê tich khôi chop ́ ̉ ́ ́ ́  S .A BM  theo  a . Bài 9. Hinh̀   choṕ   S .A BC có  đay ́     A BC   là  tam   giać   vuông   taị   B , BA = 3a, BC = 4a ,  ( SBC ) ^ ( A BC ) . Biêt́   SB = 2a 3, SBC ? ́ ̉ ́ = 300 . Tinh thê tich khôi chop ́ ̉ ́   S .A BC   va khoang cach ̀ ́   từ  B  đêń mp ( SA C )                                                                        Trang 7
  8. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 Bài 10. Cho hinh chop ̀ ̣ A   vàD,  A B = A D = 2a,  CD = a ,  ́   S .A BCD   co đay la hinh thang vuông tai ́ ́ ̀ ̀ ́ ưa hai goc gi ̃ mp ( SBC )  vàmp ( A BCD )  băng ̀ 600 . Goị I  la trung điêm cua  ̀ ̉ ́ ̀ mp ( SBI )   ̉ A D . Biêt răng  va ̀mp ( SCI )  cung vuông goc v ̀ ́ ới  mp ( A BCD ) . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BCD Bài 11. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  đay la hinh vuông  ́ ̀ ̀ A BCD  canḥ a , măt bên  ̣ SA D  la tam giac đêu va ̀ ́ ̀ ̀  ̀   trong   măṭ   phăng năm ́   A BCD .   Goị   M , N , P   lâǹ   lượt   là  trung   điêm ̉   vuông   goć   vơí   đay ̉   cuả   SB , BC ,CD . Tinh thê tich khôi t ́ ̉ ́ ́ ứ diên ̣ CMNP . Bài 12. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh ch ̀ ̀ ữ nhât v ̣ ới  A B = a, A D = a 2, SA = a  và  SA  vuông goc v́ ơi măt phăng đay. Goi ́ ̣ ̉ ́ ̣ M , N  lân l ̀ ượt la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ A D , SC  va ̀ I  la giao điêm ̀ ̉   ̉ BM  va ̀A C . Tinh thê tich khôi t cua  ́ ̉ ́ ́ ứ diên ̣ A NIB . Bài 13. Cho lăng tru tam giac ̣ ́ ưa đ ́ A BC .A ' B ' C '  co ́ BB ' = a , goc gi ̃ ường thăng ̉ BB '  va ̀ mp ( A BC )   băng  ̀ 600 , tam giac  ̣ C  va goc  ́ A BC  vuông tai  ̀ ́ BA ? C = 600 . Hinh chiêu vuông goc cua điêm ̀ ́ ́ ̉ ̉ B '  lên  mp ( A BC )  trung v ̀ ơi trong tâm cua  ́ ̣ ̉ D A BC . Tinh thê tich cua khôi t ́ ̉ ́ ̉ ̣ A ' A BC theo  a . ́ ứ diên  Dang 2.  Tinh thê tich khôi đa diên băng cach ti sô th ̣ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ ể tích V SA ' SB ' SC ' Cho hinh chop S.ABC. Lây A’, B’, C’ t ̀ ́ ́ ́ ́ S .A ' B 'C ' = ương ưng trên canh SA, SB, SC. Khi đo:  ̣ . . V S .A BC SA SB SC . Bài 1. Cho hinh chop ̀ ́ ́ ̀D A BC vuông cân ở B , A C = a 2, SA ^ mp ( A BC ) , SA = a . ́ S .A BC co đay la  ́ ̉ ́ 1) Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BC . 2) Goi  ̉ D SBC ,  mp ( a )  đi qua  A G  va song song v ̣ G  la trong tâm cua  ̀ ̣ ̀ ơi  ́ SC , SB  lân l ́ BC  căt  ̀ ượt  taị M , N . Tinh thê tich khôi chop ́ ̉ ́ ́ ́ S .A MN . Bài 2. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC co đay la  ̀ ̣ a  vàSA ^ ́ ́ ̀ D A BC đêu canh  ( A BC ) , SA = 2a . Goị H , K  lâǹ   lượt la hinh chiêu vuông goc cua điêm ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̉ A  lân l ̣ SB , SC . Tinh thê tich khôi  ̀ ượt lên canh  ́ ̉ ́ ́ A .BCKH  theo a . Bài 3. Cho khôi chop t ́ ́ ứ giac đêu  ̣ ̣ ́ ̀ S .A BCD . Môt măt phăng  ̉ ( a )  qua  A , B  va trung điêm ̀ ̉ M cua  ̉ SC .  ́ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ́ ̣ Tinh ti sô thê tich cua hai phân khôi chop bi phân chia b ̀ ́ ởi măt phăng đo. ̣ ̉ ́ Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều  S .A BCD , đáy là hình vuông cạnh  a , cạnh bên tạo với đáy góc 600  . Gọi  M  là trung điểm  SC . Mặt phẳng đi qua  A M  và song song với  BD , cắt  SB  tại  E  và cắt  SD   tại  F . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̉ ́ ́ ́ S .A EMF . Bài 5. Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ S .A BCD  co canh đay ̣ ́ A B = a , canh bên  SA = a 2 . Goị M , N , P   ̀ ượt la trung điêm cua  lân l ̀ ̉ ̉ SA , SB , CD . Tinh thê tich t ́ ̉ ́ ứ diên ̣ A MNP . Dang toan 3.  S ̣ ́ ử dung ph ̣ ương phap thê tich đê tim khoang cach ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̉ ́  Cac bai toan tim khoang cach ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̉ ́ ừ môt điêm đên môt măt phăng, khoang cach gi ́ :  Khoang cach t ̣ ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ́ ữa hai   đường thăng, trong nhiêu tr ̉ ̀ ương h ̀ ợp co thê qui vê bai toan thê tich khôi đa diên. Viêc tinh khoang ́ ̉ ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̉   3V ̀ ựa vao công th cach nay d ́ ̀ ưc hiên nhiên:  ́ ̉ h= , ở đây V , B , h  lân l ̀ ượt la thê tich, diên tich đay va ̀ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̀  B V ̉ ̣ ̀ chiêu cao cua môt hinh chop nao đo (hoăc  ̀ ́ ̀ ́ ̣ h =  đôi v ́ ơi hinh lăng tru). ́ ̀ ̣ S                                                           Trang 8
  9. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12  Phương phap nay ap dung đ ́ ̀ ́ ̣ ược trong trương h ̀ ợp sau : Gia s ̉ ử  co thê qui bai toan tim khoang ́ ̉ ̀ ́ ̀ ̉   ́ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ̉ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ cach vê bai toan tim chiêu cao cua môt hinh chop (hoăc môt lăng tru) nao đo. Di nhiên, cac chiêu cao ̀ ́ ̃ ́ ̀   ̀ ương la không tinh đ nay th ̀ ̀ ́ ược trực tiêp băng cach s ́ ̀ ́ ử  dung cac ph ̣ ́ ương phap thông th́ ường như  ̣ đinh li Pitago, công th ́ ức lượng giac,… Tuy nhiên, cac khôi đa diên nay lai dê dang tinh đ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̃ ̀ ́ ược thê tich ̉ ́   ̀ ̣ ́ va diên tich đay. Nh ́ ư vây, chiêu cao cua no se đ ̣ ̀ ̉ ́ ̃ ược xac đinh b ́ ̣ ởi công thức đơn gian trên.̉  Sử dung cac đinh li cua hinh hoc trong không gian sau đây: ̣ ́ ̣ ́ ̉ ̀ ̣ ́ CD  thi ̀d ( A B , CD ) = d � A B, P � � ( )� o Nêu ́ A B  // ( P ) trong đo ́( P )  chưa  . o Nêu ́ ( P )  // ( Q )  trong đo ́( P ) , ( Q )  lân l ̀ ượt chưa  ́ A B  va ̀CD  thi:  ̀ d ( A B ,CD ) = d [ ( P ) , ( Q ) ] . o Từ đo, qui bai toan tim khoang cach theo yêu câu bai toan vê viêc tim chiêu cao cua khôi chop ́ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ́  ̣ ̣ (hoăc môt khôi lăng tru) nao đo. ́ ̣ ̀ ́ Bài 1. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̣ a ,   SA ^ ́ ́ A BCD   la hinh vuông canh ̀ ̀ ( A BCD )   va măt bên ̀ ̣   ( SCD )   hợp vơi măt phăng đay  ́ ̣ ̉ ̣ ́ A BCD  môt goc ̉ ́ ừ điêm  ́ 60 . Tinh khoang cach t ́ 0 ̉ A  đên  ́ mp ( SCD ) . Bài 2. Cho   tứ  diên ̣   A D   vuông   goć   vơí   mp ( A BC ) ,   A C = A D = 4 ( cm ) ,   ̣   A BCD   có  canh A B = 3 ( cm ) ,  BC = 5 ( cm ) . Tinh khoang cach t ́ ̉ ́ ừ  A  đên  ́ mp ( BCD ) . Bài 3. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC  co đay  ́ ́ A BC  la tam giac vuông cân tai  ̀ ́ ̣ A . Hai măt phăng  ̣ ̉ ( SA B )  và  ( SA C )   cung vuông goc v ̀ ́ ơi măt phăng đay ́ ̣ ̉ ́   ( A BC ) , cho   BC = a 2 , măt bên ̣   ( SBC )   tao v ̣ ơi đay ́ ́  ( A BC )  môt goc ̣ ̉ ́ ư điêm  ́ 60 . Tinh khoang cach t ́ 0 ̀ ̉ A  đên măt phăng  ́ ̣ ̉ ( SBC ) . Bài 4. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay la hinh thoi  ́ ́ ̀ ̀ ́ ơi đay v A BCD  co ́ SO  vuông goc v ́ ́ ới O  la giao ̀   ̉ điêm cua ̉   A C  va ̀ BD . Gia s ̉ ử   SO = 2 2, A C = 4, A B = 5  và  M  la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ SC . Tinh ́   ̉ khoang cach gi ́ ưa hai đ ̃ ường thăng  ̉ SA  va ̀BM . Bài 5. Cho hinh lâp ph ̀ ̣ ̀ ̣ M , N  lân l ương  A BCD .A ' B 'C ' D '  co canh băng 1. Goi  ́ ̣ ̀ ượt la trung điêm cua ̀ ̉ ̉   ̉ A B  va ̀CD . Tinh khoang cach gi ́ ́ ữa hai đường thăng  ̉ A 'C  va ̀MN . BÀI TẬP RÈN LUYỆN A. THÊ TICH CUA KHÔI CHOP ̉ ́ ̉ ́ ́ I. Hinh chop co môt canh vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ ới đay ́ Bài 1. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BC co ́ đay ̣ B , SA ^ mp ( A BC ) . Biêt răng: ́   A BC   la tam giac vuông tai ̀ ́ ́ ̀   A B = a,   A C = 2a , goc gi ̃ ̉ ( SBC )  va ̀ ( A BC )  băng  ́ ưa hai măt phăng  ̣ ̉ ́ ̀ 600 . Tinh thê tich khôi chop ́ ́ ́ a3 S .A BC theo a . V = 2 Bài 2. Cho   hinh ́   A BC   là  tam   giać   vuông   cân   taị   B , SA ^ ̀   choṕ   S .A BC có  đay ( A BC ) .   Cho  a3 2 ́ ̉ ́ ̉ A C = a 2 ,  SB = 3a . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ S .A BC . V = . 3                                                                        Trang 9
  10. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 Bài 3. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC  co đay  ̣   B , SA ^ ́ ́ A BC  la tam giac vuông tai ̀ ́ ( A BC ) . Cho  A B = a ,  ̣ SC  tao v BC = a 3 . Canh  ̣ ơí mp ( A BC )  môt goc  ̣ ̉ ́ ̉ ́ 600 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ ́ S .A BC . V = a3 . Bài 4. Cho   hinh ́   A BC   là  tam   giać   cân   taị   A , SA ^ ( A BC ) .   Cho  ̀   choṕ   S .A BC   có  đay ̣ ̉ ( SBC )  tao v BC = 2a, SB = a 3 .  Măt phăng  ̉ ( A BC )  môt goc  ̣ ơi măt phăng  ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̉   ́ 300 . Tinh thê tich cua ́ a3 3 khôi chop  ́ ́ S .A BC . . V = 6 Bài 5. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ̣ a, SA ^ (A BCD ) , goc gi ́ ́ A BCD  la hinh vuông, canh  ̀ ̀ ́ ưa  ̃ SD   va ̀mp ( SA B )  băng  ̉ ́ ̀ 300 .Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ ̉ ́ ư điêm  ́ S .A BCD  va khoang cach t ̀ ́ mp ( SBD ) ̀ ̉ C đên  . Bài 6. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD co đay ̣   a, SA ^ ́ ́ A BCD   la hinh vuông canh ̀ ̀ ( A BCD ) ,   SC   tao v ̣ ơí  mp ( A BCD )   môṭ   goć   600 .  Tinh ́   thể   tich ́  khôí   chop ̉ cach ́   S .A BCD   và  khoang  ́   từ  điêm ̉   D   đêń   a 3 42 mp ( SBC ) . V = . 7 Bài 7. ( T N .T HPT - 2010)   Cho   hinh ̀   choṕ   S .A BCD   có  đay ́   A BCD   là  hinh ̀   vuông   canh ̣   a, SA ^ (A BCD ) ,   goć   giưã   mp(SBD )   và  mp(A BCD )   băng ́   thể   tich ̀   60 .   Tinh 0 ́   cuả   khôí   choṕ  3 a S .A BCD  theo  a . V = . 6 Bài 8. ( T N .T HPT - 2011)  Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh thang vuông tai  ̀ ̀ ̣ A  va ̀D   ́ A D = CD = a, A B = 3a . Canh bên  vơi  ̣ SA ^ mp(A BCD )  va canh bên  ̀ ̣ ̣ ơi măt phăng đay SC  tao v ́ ̣ ̉ ́  3 2a 6 ̣ môt goc  ̉ ́ ̉ ́ S .A BCD theo  a . ́ 450 . Tinh thê tich cua khôi chop   ́ ́ V = . 9 Bài 9. ( T N .T HPT - 2009)   Cho   hinh ̀   choṕ   S .A BC   có  măṭ   bên   SBC   là  tam   giać   đêu ̣   ̀   canh ? C = 120o . Tinh thê tich khôi chop  a3 2 a, SA ^ ( A BC ) . Biêt  ́ BA ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BC theo  a . . V = 36 Bài 10. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BC  co đay ̣ ́ ́   A BC    vuông tai cân tại  B  vơí   A C = a,   SA ^ ( A BC )   và  a3 6 . SB  hợp vơi măt phăng ch ́ ̣ ̉ ưa đay  ̣ ́ ́ A BC  môt goc  ́ ̉ ́ ̉ ́ 600 . Tinh thê tich cua khôi chop. ́ ́ V = 24 Bài 11. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̣ a ,   SA ^ ( A BCD )   va măt bên ́ ́   A BCD   la hinh vuông canh ̀ ̀ ̀ ̣   ( SCD )  hợp vơi măt phăng ch ́ ̣ ̉ ưa đay  ̣ ́ ́ A BCD  môt goc ́ 60 0 . a3 3 ́ ̉ ́ 1) Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BCD . V = 3 a 3 ̉ ́ ư điêm  2) Tinh khoang cach t ́ ̀ ̉ A  đên  ́ mp ( SCD ) . d= 2 Bài 12. Cho   hinh ́   A BC   là  tam   giać   vuông   taị   B   vơí   BA = BC = a,   ̀   choṕ   S .A BC   có  đay SA ^ ( A BC )   va ̀SB  hợp vơí mp ( SA B )  môt goc  ̣ ́ 300 . a3 2 . V = 6                                                           Trang 10
  11. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 ́   S .A BC có  SA ^ Bài 13. Cho hinh chop ̀ ( A BC ) , SA = h . Biêt răng  ̀ ̀ mp ( SBC )   hợp  ́ ̀ D A BC   đêu va  vơi măt phăng ch ́ ̣ ̉ ứa đay  ̣ ́ A BC  môt goc  ̉ ́ ̉ ́ 300 . Tinh thê tich cua khôi chop. ́ ́ ́ h3 3 . V = 3 Bài 14. Cho hinh chop ̀ ́ ́ ̀  D A BC   vuông taị   A   và  SB ^ ( A BC ) . Biêt́ SB = a , SC   ́   S .A BC   co đay la ́ mp ( SA B )  môt goc  hợp vơi  ̣ ́ 300  vàmp ( SA C )  hợp vơi  ́ mp ( A BC )  môt goc  ̣ ́ 600 . Chưng minh răng: ́ ̀   ̉ ́ a3 3 . SC 2 = SB 2 + A B 2 + A C 2 . Tinh thê tich khôi chop ́ ́ ́ S .A BC . V = 27 ̣   A BCD   có   A D ^ ( A BC ) , A C = A D = 4 ( cm ) , A B = 3 ( cm ) , BC = 5 ( cm ) .  Bài 15. Cho   tứ  diên 6 34 ̉ ́ ́ ứ diên  Tinh thê tich khôi t ́ ̣ A BCD  va khoang cach t ̀ ̉ ̉ A  đêń mp ( BCD ) . ́ ừ điêm 8; . 17 ? C = 1200, SA ^ Bài 16. Cho hinh chop ̀ ́ ́ ̀  D A BC   cân taị   A, BC = 2a, BA ́   S .A BC   co đay la ( A BC ) .  ( SBC )  hợp vơi măt phăng ch a3 ́ ̣ ̉ ưa đay môt goc  ́ ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ 450 . Tinh thê tich khôi chop ́ ́ S .A BC . . V = 9 Bài 17. Cho khôi chop  ́ ́ S .A BCD  co đay  ́ ̀ SA ^ ( A BCD ) , SC = a  và  ́ ́ A BCD  la hinh vuông. Biêt răng  ̀ ̀ 3 SC  hợp vơi măt phăng ch ́ ̣ ̉ ưa đay môt goc  ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ́ S .A BCD . V = a ́ 600 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ 3. 48 Bài 18. Cho khôi chop  ́ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh ch ̀ ̀ ́ ̀ SA ^ ( A BCD ) , SC  hợp  ữ nhât. Biêt răng  ̣ vơí   măṭ   phăng ́   A BCD   môṭ   goć 450   và  A B = 3a, BC = 4a .   Tinh ̉   chưá   đay ́   thể   tich ́   khôí   chop ́  S .A BCD . V = 20a . 3 Bài 19. Cho khôi chop  ́ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh thoi canh  ̀ ̀ ̣ a  va goc nhon ̀ ́ ? = 600 . Biêt răng: ̣ A ́ ̀   SA ^ ( A BCD )  va khoang cach t ̀ ̉ ́ ừ điêm  ̉ A  đên canh  ̀ a . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̣ SC  băng ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BCD . a3 2 . V = 4 Bài 20. Cho   khôí   chop ́   S .A BCD   có  đay ̀   thang   vuông   taị   A   và  B .   Biêt́   răng: ́   A BCD   là  hinh ̀   A B = BC = a, A D = 2a, SA ^ ( A BCD )   và  mp ( SCD )   hợp vơí mp ( A BCD )   môt goc ̣ ́   600 . Tinh ́   ̉ ́ ̉ thê tich cua khôi chop  ́ ́ S .A BCD . a3 6 . V = 2 Bài 21. Cho khôi chop ́ ́   S .A BCD   co đay ̀ ửa luc giac đêu nôi tiêp trong n ́ ́   A BCD   la n ̣ ́ ̀ ̣ ́ ửa đường troǹ  đương kinh  ̀ ́ ̀ SA ^ ( A BCD )  và  mp ( SBC )  hợp vơi  ́ A B = 2R . Biêt răng  ́ mp ( A BCD )  môt goc  ̣ ́ 45 .  0 3R 3 ́ ̉ ́ ̉ Tinh thê tich cua khôi chop đa cho. ́ ́ ̃ V = . 4 Bài 22. (CĐ – A – 2008) Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh thang,  ̀ ̀ ? D = A? BC = 90o ,  BA A B = BC = a ,  A D = 2a ,  SA ^ ( A BCD ) , SA = 2a . Goị M , N  lân l ̉ SA , SD .  ̀ ượt la trung điêm cua  ̀ ̉ a3 Chưng minh răng  ́ ̀ BCNM la hinh ch ̀ ̀ ̉ ́ ́ S .BCNM  theo  a .V = ữ nhât va tinh thê tich cua khôi chop  ̣ ̀ ́ ̉ ́ . 3 Bài 23. Cho   hinh ́   D A BC   là  tam   giać   vuông   taị   B   và  SA ^ ( A BC )   vơí  ̀   choṕ   S .A BC   có  đay ? CB = 600 ,  BC = a, SA = a 3 . Goị M la trung điêm cua canh A ̀ ̉ ̉ ̣ SB .                                                                        Trang 11
  12. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 ̀ mp ( SA B ) ^ mp ( SBC ) . 1) Chưng minh răng:  ́ a3 ̉ ́ ́ ứ diên 2) Tinh thê tich khôi t ́ ̣ MA BC . . V = 4 Bài 24. (DB – B – 2006) Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ̣ a  va goc nhon ́ ́ A BCD    la hinh thoi canh  ̀ ̀ ̀ ́ ̣   ? = 600 . Biêt răng:  A ́ ̀ SA ^ ( A BCD ) , SA = a . Goi  ̣ C '  la trung điêm cua canh  ̀ ̉ ̉ ̉ ( P )  đi  ̣ SC . Măt phăng  ̣ qua  A C '  va song song v ̀ ơi  ́ ́ ̣ SB , SD  lân l ́ BD , căt cac canh  ̀ ượt tai  ̣ B '  va ̀D ' . Tinh thê tich khôi chop ́ ̉ ́ ́ ́  a3 3 . S .A B 'C ' D ' . V = 18 Bài 25. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ́ ́   A BCD   la hinh vuông tâm ̀ ̀  O , SA ^ ( A BCD ) ,   A B = a,   SA = a 2 .   Goị   H , K   lâǹ   lượt   là  hinh ́   cuả   cuả   A   lên   SB , SD .   Chưng ̀   chiêu ́   minh   răng: ̀   SC ^ ( A HK )  va tinh thê tich khôi chop  ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ O .A HK . Bài 26. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh ch ̀ ̀ ữ nhât tâm  ̣ O , SA = SB = SC = SD . Biêt́  ? O = 45o . Tinh thê tich khôi chop  A B = 3a ,  BC = 4a ,  SA ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BCD  theo  a . Bài 27. Cho   hinh ́   là  tam   giać   A BC   vuông   taị   B .   Biêt́   SA ^ ̀   choṕ   S .A BC có  đay ( A BC ) .   Cho  ̣ ̣ ̉ A B = a ,  BC = a 3 ,  SA = a . Môt măt phăng qua  A  vuông goc v́ ơi  ̣ H  va căt  ́ SC  tai  ̣ K .  ̀ ́ SB  tai  ́ ̉ ́ Tinh thê tich khôi chop  ́ ̀ ̉ ́ ́ S .A HK  va thê tich khôi đa diên  ́ ̣ A .HKBC  theo  a . a 3 Bài 28. (DB – A – 2006)  Cho hinh hôp đ ̀ ̣ ứng   A BCD .A ' B 'C ' D '   có  A B = A D = a, A A ' = ,  2 ? D = 600 . Goị   M , N   lân l BA ̀ ượt la trung điêm cua cac canh ̀ ̉ ̉ ́ ̣   A ' D '   và  A ' B ' . Chưng minh răng: ́ ̀   A C ' ^ mp ( BDMN )  va tinh thê tich khôi chop  3a 3 ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ A .BDMN . V = . 16 Bài 29. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh vuông canh  ̀ ̀ ̣ a , SA ^ ( A BCD ) ,  SA = a 3 .  ̣ ̣ ̉ Môt măt phăng đi qua  A  va vuông goc v ̀ ́ SB , SC , SD  lân l ́ ới  SC  căt  ̀ ượt tai  ̣ M,N,P . ̣ ́ ứ giac  1) Tinh diên tich t ́ ́ A MNP  theo a . ́ ̣ ̣ ̀ ̣ 2) Xac đinh va tinh đô dai đoan vuông goc chung cua hai đ ̀ ́ ́ ̉ ường thăng  ̉ SC  va ̀BD . Bài 30. (ĐH – D – 2010)  Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD  co đay ́ ́   A BCD  la hinh vuông canh ̀ ̀ ̣   a , canh bên ̣   AC SA = a , hinh chiêu vuông goc cua đinh  ̀ ́ ́ ̉ ̉ S  lên mp ( A BCD )  la điêm  ̀ ̉ H  thuôc đoan  ̣ ̣ AC,AH = .  4 Goi ̣ CM  la đ ̀ ường cao cua tam giac  ̉ ́ SA C . Chưng minh ́ ̉ M la trung điêm cua  ̀ ̉ SA  va tinh thê tich khôi ̀ ́ ̉ ́ ́  3 a 14 ̣ SMBC  theo  a . tứ diên  V = . 48 Bài 31. (ĐH – A – 2010) Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh vuông canh  ̀ ̀ ̣ a .  Goi  ̣ M  và  N   lâǹ   lượt   là  trung   điêm ̉   cuả   cać   canh ̣   A B   và  A D , H   là  giao   điêm̉   cuả  CN   và  DM .   Biêt́  SH ^ mp ( A BCD )  va ̀ SH = a 3 . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̉ ́ ́ ̉ ́ S .CDNM  va khoang cach gi ̀ ́ ưa hai đ ̃ ường  5a 3 3 2a 3 ̉ DM  va ̀SC  theo  a . thăng  ; . 24 19 Bài 32. (ĐH – D – 2007)  Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay la hinh thang co: ́ ́ ̀ ̀ ́  A? BC = BA? D = 900 ,  BA = BC = a, A D = 2a . Canh bên  ̣ ́ ơi đay va  SA  vuông goc v ̣ H  la hinh chiêu vuông ́ ́ ̀SA = a 2 . Goi  ̀ ̀ ́                                                             Trang 12
  13. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 goć   cuả   A   trên   SB .   Chưng ́   minh   răng ́   ( theo  a )   khoang ̀   D SCD   vuông   và  tinh ̉   cach ́   từ  H   đêń   a mp ( SCD ) . ( ) d H , ( SCD ) = . 3 Bài 33. (ĐH   –   D   –   2006)  Cho   hinh ̀   choṕ   tam   giać   S .A BC   có  đay ́   A BC   là  tam   giać   đêu ̣   ̀   canh a, SA = 2a  va ̀ SA ^ mp ( A BC ) . Goi  ̣ M vàN lân l̀ ượt la hinh chiêu vuông goc cua  ̀ ̀ ́ ́ ̉ A  trên cac đ ́ ường  ̉ SB  va ̀SC . Tinh thê tich cua khôi chop  thăng  ́ ̉ ́ ̉ ́ ́ A .BCNM . 3 3a 3 V = 50 Bài 34. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay la hinh ch ́ ́ ̀ ̀ ̣ ới   SA ^ mp ( A BCD ) ,G   la trong tâm ữ nhât v ̀ ̣   D SA C ,   mp ( A BG )  căt́   SC  taị   M , căt́   SD  taị   N . Tinh thê tich cua khôi đa diên ́ ̉ ́ ̉ ́ ̣   MNA BCD   biêt́  SA = A B = a  va goc h ̉ A N  va ̀( A BCD )  băng ̀ ́ ợp bởi đường thăng  ̀ 900 . Bài 35. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̣   a , SA ^ mp ( A BCD ) , goc tao ́ ́   A BCD   la hinh vuông canh ̀ ̀ ́ ̣   bởi  mp ( SCD )  vàmp ( SBC )  băng  ̉ ́ ̉ ̀ 1200 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ ̉ ́ S .A BCD  va khoang cach gi ̀ ́ ữa hai  đương thăng  ̀ ̉ SC  vàA D . Bài 36. Cho   hinh ̀   chữ  nhâṭ   A BCD   cóA D = 6A B = 3 3 .   Lâý   điêm ̉     M trên   canh ̣   A B   sao   cho  MB = 2MA  va ̀ N l a trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ A D . Trên đường thăng vuông goc v ̉ ́ ơí mp ( A BCD )  tai ̣ M  lâý   ̉   S  sao cho  SM = 2 6 . Chưng minh: điêm ́   ( SBN ) ^ ( SMC )  va tinh goc gi ̀ ́ ́ ưa đ ̃ ường thăng ̉   SN  và  mp ( SMC ) . II. Hinh chop co môt măt vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ ới đay ́ Bài 1. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC  co đay  ̣ A , cho A B = a, A C = a 3 , măṭ   ́ ́ A BC  la tam giac vuông tai  ̀ ́ ̣ ̉ bên  SBC  la tam giac đêu va năm trong măt phăng vuông goc v ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ới măt phăng đay. Tinh thê tich cua khôi ̣ ̉ ́ ́ ̉ ́ ̉ ́  chop  ́ S .A BC . Bài 2. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ̀ ̀ ̣ a . Măt bên  ́ ́ A BCD  la hinh vuông canh  ̣ SA B  la tam giac đêu ̀ ́ ̀  ̣ ̉ năm trong măt phăng vuông goc v ̀ ̣ ̉ ́ ( A BCD ) . ́ ới măt phăng đay  1) Chưng minh răng chân đ ́ ̀ ường cao cua khôi chop đa cho trung v ̉ ́ ́ ̃ ̀ ới trung điêm cua canh ̉ ̉ ̣ AB . ́ ̉ ́ 2) Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BCD . a3 3 . V = 6 Bài 3. Cho tứ diên  ̣ A BCD  co ́ D A BC  la tam giac đêu,  ̀ ́ ̀ D BCD  la tam giac vuông cân tai ̀ ́ ̣   D . Măṭ   ̉ ( A BC )  vuông goc v phăng  ́ mp ( BCD )  môt goc  ̉ ( BCD )  va ̀ A D  hợp vơi  ́ ơi măt phăng  ́ ̣ ̣ ́ 60 . Tinh thê 0 ́ ̉  ̉ ́ ứ diên  tich cua khôi t ́ ̣ A BCD  biêt́ A D = a . a3 3 . V = 9 Bài 4. Cho   hinh ́   A BC   là  tam   giać   vuông   cân   taị   B ,   cóB C = a .   Măṭ   bên  ̀   choṕ   S .A BC có  đay ( SA C )  vuông goc v ́ ơi măt phăng đay, cac măt bên con lai đêu tao v ́ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̣ ới măt phăng đay môt goc ̣ ̉ ́ ̣ ́ 450 .  a3 ́ ̉ ́ Tinh thê tich khôi chop đa cho. ́ ́ ̃ . V = 12 Bài 5. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC  co đay  ́ ̀ ̣ a ,  D SBC  cân tai cân  ́ ́ A BC  la tam giac đêu canh  ̀ ̣ S  va năm ̀ ̀   3 ̣ ̉ ́ ơi  trong măt phăng vuông goc v ́ ̉ ́ ̉ ́ ́ S .A BC .V = a ́ mp ( A BC ) . Tinh thê tich cua khôi chop 3. 24                                                                        Trang 13
  14. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 Bài 6. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BC   co đay ̣   A   vơí A B = A C = a . Biêt́  ́ ́   A BC   la tam giac vuông cân tai ̀ ́ răng:  ̣ ̉ S  va năm trong măt phăng vuông goc v ̀ D SA B  cân tai đinh  ̀ ̀ ̣ ̉ ́ mp ( A BC )  va ̀ mp ( SA C )  hợp  ́ ơi  a3 ́ mp ( A BC )  môt goc  vơi  ̣ ́ ̉ ́ ́ 450 . Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BC . V = . 12 Bài 7. Cho   hinh ? C = 900 , A? BC = 300, D SBC   là  tam   giać   đêu ̀   choṕ   S .A BC   có  BA ̣   a   và  ̀   canh mp ( SA B ) ^ mp ( A BC ) . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BC . a2 2 . V = 24 Bài 8. Cho tứ diên  ̣ A BCD  co ́ D A BC  va ̀ D BCD  la nh ̀ ưng tam giac đêu lân l ̃ ́ ̀ ̀ ượt năm trong hai măt ̀ ̣  3 ̉ ́ ơi nhau. Cho phăng vuông goc v ́ ̉ ́ ̉ ̀ V =a ́ ứ diên nay. A D = a . Tinh thê tich cua khôi t ́ ̣ 6. 36 Bài 9. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̀ ̀ ̣ ́ ́   A BCD   la hinh vuông. Măt bên   SA B   la tam giac đêu co ̀ ́ ̀ ́  đương cao  ̀ SH = h .  mp ( SA B )  vuông goc v ́ ới  mp ( A BCD ) . Tinh thê tich khôi chop. ́ ̉ ́ ́ ́ . Bài 10. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD la hinh ch ̀ ̀ ữ nhât. Măt bên  ̣ ̣ ́ ̀ ̣   SA B  la tam giac đêu canh ̀ là  a  va năm trong măt phăng vuông goc v ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ơí   mp ( A BCD ) . Biêt́   mp ( SA C )  hợp vơí   mp ( A BCD )   ̣ môt goc băng  ̉ ́ ́ ̀ 300 . Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ ́ S .A BCD đa cho. ̃ a3 3 . V = 4 Bài 11. Cho   hinh ̀   choṕ     S .A BCD có  đay ́   A BCD   là  hinh̀   chữ  nhâṭ   vơí   A B = 2a, BC = 4a,   ( SA B ) ^ ( A BCD ) . Hai   mp ( SBC )   và  mp ( SA D )   cung h ̀ ợp vơí   mp ( A BCD )   môt goc băng ̣ ́ ̀   300 .  ́ ̉ ́ Tinh thê tich khôi chop. ́ ́ 8a 3 3 . V = 9 Bài 12. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh thoi v ̀ ̀ ơi  ́ A C = 2BD = 2a  va ̀ D SA D  vuông  cân tai  ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ới  mp ( A BCD ) .Tinh thê tich khôi chop ̣ S  va năm trong măt phăng vuông goc v ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BCD . a 3 15 . V = 12 Bài 13. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̣   A   và  D, A D = CD = a,   ́ ́   A BCD   la hinh thang vuông tai ̀ ̀ A B = 2a . Biêt răng  ̣ ̉ ́ ̀ D SA B  đêu va năm trong măt phăng vuông goc v ̀ ̀ ̀ ́ mp ( A BCD ) . Tinh thê tich ́ ơi  ́ ̉ ́   khôi chop ́ ́ S .A BCD . a3 3 . V = 2 Bài 14. (CĐ   –   A   –   2010)  Cho   hinh ̀   choṕ   S .A BCD   có  đay ́   A BCD   là  hinh ̣   a ,  ̀   vuông   canh mp ( SA B ) ^ mp ( A BCD ) ,  SA = SB , goc gi ́ ưa đ ̃ ường thăng  ̉ SC  va măt phăng đay băng  ̀ ̣ ̉ ́ ̀ 450 . Tinh ́   theo a  thê tich cua khôi chop ̉ ́ ̉ ́ ́ S .A BCD . a3 5 . V = 6 Bài 15. (ĐH   –   B   –   2008)  Cho   hinh ̀   choṕ   S .A BCD   có  đay ́   A BCD   là  hinh ̣   ̀   vuông   canh 2a, SA = a, SB = a 3  va ̀mp ( SA B ) ^ mp ( A BCD ) . Goi  ̣ M , N  lân l ̀ ượt la trung điêm cua cac canh ̀ ̉ ̉ ́ ̣   A B , BC . Tinh theo  ́ a  thê tich cua khôi chop  ̉ ́ ̉ ́ ̉ ́ ưa hai đ ́ S .BMDN  va tinh cosin cua goc gi ̀ ́ ̃ ường thăng ̉ 3 a 3 5 SM , DN . ; . 3 5                                                           Trang 14
  15. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 III. Hinh chop co hai măt vuông goc v ̀ ́ ́ ̣ ́ ới đay ́ Bài 1. ́   S .A BC   có  SB = SC = B C = CA = a . Hai   mp(A BC )   và  mp(SA C )   cung Cho hinh chop ̀ ̀   vuông goc v ́ mp(SBC ) . Tinh thê tich cua hinh chop  ́ ơi  ́ ̉ ́ ̉ ̀ ́ S .A BC . a3 3 V = 12 Bài 2. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ̣ a , hai măt bên  ́ ́ A BCD  la hinh vuông canh  ̀ ̀ ̣ ( SA B )  va ̀( SA D )   cung vuông goc v ̀ ́ ( A BCD ) . Cho  SB = 3a . Goi  ́ ơi  ̣ M  la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ CD . Tinh thê tich cua khôi ́ ̉ ́ ̉ ́  chop ́ S .A BCM . Bài 3. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh ch ̀ ̀ ữ nhât, cac măt bên  ̣ ́ ̣ ( SA B )  va ̀( SA D )  cung ̀   vuông goc v ́ ̣ ́ ( A BCD ) , cho A B = a, A D = 2a, SC  tao v ́ ơi măt đay  ́ ̣ ́ ( A BCD )  môt goc  ̣ ơi măt đay  ̣ ́ 450 ̉ ́ ̉ ́ S .A BCD  theo  a . . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ Bài 4. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ́ ́   A BCD   la hinh vuông canh ̀ ̀ ́ ̣   ( SA C )   và  ( SBD )   ̣   a , cac măt cung vuông goc v ̀ ́ ̣ ́ ( A BCD ) , măt bên  ́ ơi măt đay  ̣ ( SCD )  tao v ̣ ơi đay môt goc  ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉   ́ 600 . Tinh thê tich cua ́ khôi chop  ́ ́ S .A BCD . Bài 5. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BC  co đay  ́ ́ A BC  la tam giac vuông cân tai  ̀ ́ ̉ ( SA B )  và  ̣ A . Hai măt phăng  ̣ ( SA C )  cung vuông goc v ̀ ́ ơi măt phăng đay  ́ ̣ ̉ ́ ( A BC ) , cho  BC = a 2 , măt bên  ̣ ( SBC )  tao v ̣ ơi đay ́ ́  ( A BC )  môt goc  ̣ ̉ ́ ̉ ́ 60 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ 0 ́ ̉ ́ ư điêm  ́ S .A BC  va khoang cach t ̀ ̀ ̉ A  đên măt phăng ́ ̣ ̉   ( SBC ) . Bài 6. Cho   hinh ̀   choṕ   S .A BCD   có  đay ̀   thang   vuông   taị   A   và   D ,  ́   A BCD   là  hinh ́ ̀ ̣ ̉ ( SA B )  va ̀ ( SA D )  cung vuông goc v A D = DC = a, A B = 2a . Biêt răng hai măt phăng  ̀ ́ ơi măt đay ́ ̣ ́  ( A BCD ) , SC  tao v ́ ̣ ̉ ́ ( A BCD )  môt goc  ̣ ơi măt phăng đay  ̣ ́ 60 0 ̣ I  la trung điêm cua  . Goi  ̀ ̉ ̉ SB . ̉ ́ ̉ ́ S .A BCD  theo  a . 1) Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ 2) Chưng minh tam giac  ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ CI . ́ SBC  vuông va tinh đô dai đoan thăng  3) Goi ̣ M  la điêm thuôc canh  ̀ ̉ ̣ ̣ SB  sao cho  SB = 3SM . Tinh thê tich khôi chop  ́ ̉ ́ ́ ́ M .A BCD . Bài 7. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh thoi, hai đ ̀ ̀ ường cheo  ́ A C = 2 3a, BD = 2a   căt nhau tai  ́ ̉ ( SA C )  va ̀ ( SBD )  cung vuông goc v ̣ O , hai măt phăng  ̣ ̀ ́ mp ( A BCD ) . Biêt khoang t ́ ơi  ́ ̉ ư ̀ O  đên  ̀ a 3 . Tinh thê tich khôi chop  ́ mp ( SA B )  băng  ́ ̉ ́ ́ ́ S .A BCD  theo  a . 4 Bài 8. (ĐH – A – 2009)  Cho hinh chop ̀ ́   S .A BCD   co đay ̣   A   và  ́ ́   A BCD   la hinh thang vuông tai ̀ ̀ D, A B = A D = 2a,CD = a , goc gi ́ ưa hai ̃   mp ( SBC )   và  mp ( A BCD )   băng ̀   600 . Goị   I   la trung ̀   ̉ ̉ ̣ A D . Biêt hai  điêm cua canh  ́ mp ( SBI )  va ̀ ( SCI )  cung vuông goc v ̀ ́ ( A BCD ) . Tinh thê tich khôi ́ ơi  ́ ̉ ́ ́  ́ S .A BCD  theo  a . chop  3 15a 3 . V = 5 Bài 9. Cho   hinh ́   A BC   là  tam   giać   vuông   cân   taị   ̀   choṕ   S .A BC   có  đay B , A B = BC = 2a ,   hai  mp ( SA B )  va ̀ mp ( SA C )  cung vuông goc v ̀ ́ ơí   mp ( A BC ) . Goi  ̣ M  la trung điêm  ̀ ̉ A B , măt phăng ̣ ̉   qua  SM  va song song v ̀ ơi  ́ BC , căt  ̣ N . Biêt goc gi ́ A C  tai  ́ ́ ưa hai  ̃ mp ( SBC )  va ̀ mp ( A BC )  băng ̀                                                                          Trang 15
  16. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 ̉ ́ ̉ 600 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ ̉ ́ S .BCNM  va khoang cach gi ̀ ́ ưa hai đ ̃ ường thăng  ̉ A B  va ̀ SN  theo  a. 2a 39 . a 3 3, 13 IV. Hinh chop đêu ̀ ́ ̀ Bài 1. ́ ̉ ́ ̉ Tinh thê tich cua khôi chop tam giac đêu  ́ ́ ́ ̀ S .A BC  biêt: ́ ̣ ́ ̀ a , canh bên băng  1) Canh đay băng  ̣ ̀ 2a . a 3 11 . V = 2 3a 3 ̣ ́ ̀ a , canh bên h 2) Canh đay băng  ̣ ợp vơi đay môt goc  ́ ́ ̣ ́ 600 . V = . 16 a3 ̣ ́ ̀ a , canh bên h 3) Canh đay băng  ̣ ợp vơi đay môt goc ́ ́ ̣ ́ 450 . V = . 6 ̣ ́ ̀ a , măt bên h 4) Canh đay băng  ̣ ợp vơi đay môt goc  ́ ́ ̣ ́ 600 . a3 3 . V = 24 Bài 2. ̉ ́ ̉ ́ ứ giac đêu  Tinh thê tich cua khôi chop t ́ ́ ́ ̀ S .A BCD , biêt: ́ ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ̀a . 1) Co tât ca cac canh co đô dai a3 2 . V = 6 ̣ ́ ̀ a , canh bên băng  2) Canh đay băng  ̣ ̀ 2a . ̣ ́ ̀ a , canh bên h 3) Canh đay băng  ̣ ợp vơi đay môt goc  ́ ́ ̣ ́ 600 . a3 3 . V = 12 ̣ 4) Canh đay băng  ̣ ́ ̀ 2a , măt bên h ợp vơi đay môt goc  ́ ́ ̣ ́ 450 . Bài 3. Cho khôi t ́ ứ diên đêu  ̣ ̣ ̀ a . Goi  ̀ A BCD  canh băng  ̣ M  la trung điêm cua canh  ̀ ̉ ̉ ̣ DC . ̉ ́ ́ ứ diên đêu 1) Tinh thê tich khôi t ́ ̣ ̀ A BCD . a3 2 . V A BCD = 12 3 ̉ 2) Tinh khoang cach t ́ ́ mp ( A BC ) . Suy ra thê tich hinh chop  ́ ừM đên  ̉ ́ ̀ ́ M .A BC .V a 2 M .A BC = 24 Bài 4. Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ S .A BCD  co canh bên băng  ̀   a 5 , goc gi ́ ưa măt bên va măt đay ̃ ̣ ̀ ̣ ́  2 băng  ̉ ́ ̉ ́ S .A BCD  theo  a  va khoang cach t ̀ 600 . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ ̀ ̉ ̉ A  đêń mp ( SBC ) . ́ ừ điêm  Bài 5. Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ S .A BCD  co canh đay băng  ? ́ ̀ a  va ̀BSA = 600 . ̉ ̣ ́ ̉ ̣ ̉ ̀ 1) Tinh tông diên tich tông măt bên cua hinh chop đêu nay. ́ ́ ̀ ̀ a2 3 . S = 3 ̉ ́ ̉ 2) Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ́ ́ S .A BCD . a3 2 . V = 6 Bài 6. Cho hinh chop đêu  ̀ ́ ̣ ́ ̀ a ,  BSA ́ ̀ S .A BC  co canh đay băng  ? = 600 ,  I ￷ BC    va ̀ IB = 2IC . Tinh ́   ̉ ́ thê tich khôi chop  ́ ̀ ̉ ́ ́ S .A BC  va thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BI . Bài 7. Cho hinh chop đêu  ̀ ́ ̀ S .A BC  co chiêu cao  ́ ̀ ́ ở đinh cua măt bên băng  h , goc  ̉ ̉ ̣ ̉ ́ ̉   ̀ 600 . Tinh thê tich cua ́ 2h 3 khôi chop. ́ ́ V = . 3 Bài 8. Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu ́ ̣ ́ ̀ a , canh bên băng  ́ ̀ S .A BCD co canh đay băng  ̣ ̀ 3a . ̉ ́ ̉ 1) Tinh thê tich cua khôi chop ́ ́ ̉ ́ ừA đêń mp ( SBC ) . ́ S .A BCD . Tinh khoang cach t ́                                                           Trang 16
  17. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 ̣   la goc tao b 2) Goi   ̀ ́ ̣ ởi canh bên  ̣ SA  va ̀mp ( SBC ) . Tim  ̀ sin a ? Bài 9. (T N .T HPT - 2008)  Cho hinh chop đêu  ̀ ́ ̣ ́ ̀ a , canh bên băng  ́ ̀ S .A BC  co canh đay băng  ̣ ̀ 2a . Goị ̉ ̉ I la trung điêm cua canh ̀ ̣ BC . 1) Chưng minh:  ́ SA ^ BC . ̉ ́ ́ S .A BI  theo  a . 2) Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ Bài 10. Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ S .A BCD , co măt bên h ợp vơi măt đay môt goc  ́ ̣ ́ ̣ ̀ ̉ ́ 450  va khoang cach ́   3 từ chân đường cao cua khôi chop đên măt bên băng  ̉ ́ ́ ́ ̣ ́ ̉ ́ S .A BCD .V = 8a 3 . ̀ a . Tinh thê tich  3 Bài 11. Cho hinh chop  ̀ ́ ́ ̉ ́ ̣ ́ S .A BCD  co tât ca cac canh đêu băng nhau. Ch ̀ ̀ ưng minh răng  ́ ̀ S .A BCD  la hinh ̀ ̀   3 9a 2 ́ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ chop đêu. Tinh đô dai canh cua hinh chop khi biêt  ́ ́V = . A B = 3a . 2 Bài 12. (CĐ – A – 2009) Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̀ S .A BCD  co ́ A B = a, SA = a 2 . Goi  ̣ M,N,P   lân l ̀ ̉ ̉ ́ ̣ SA , SB ,CD . Chưng minh răng đ ̀ ượt la trung điêm cua cac canh  ́ ̀ ường thăng  ̉ MN  vuông goc v ́ ơí  đương thăng  ̀ ̉ SP . Tinh theo  ́ a  thê tich khôi t ̉ ́ ́ ư diên  ́ ̣ A MNP . Bài 13. (ĐH – B – 2007) Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̀ S .A BCD  co đay la hinh vuông canh  ́ ́ ̀ ̀ ̣ a . Goi ̣ E  là  ̉ ́ ưng cua  điêm đôi x ́ ̉ D  qua trung điêm cua  ̉ ̉ SA , M  la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ A E , N  la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ BC .  CM:  MN ^ BD  va tinh theo  ̀ ́ a  khoang cach gi ̉ ́ ữa hai đường thăng ̉ MN  vàA C . d = a 2 . 4 Bài 14. Cho hinh ́ tứ  giać   đêu ̀  chop  ̀   S .A BCD .  Măt  ̉   ( P )   qua   A   và vuông  goc v ̣ phăng ́ ơí   SC   căt́  SB ' 2 SB , SC , SD  lân l ̣ B ',C ', D ' . Biêt  ̀ ượt tai  ́ A B = a, = . SB 3 ́ ̉ ́ ̉ ́ ̉ 1) Tinh ti sô thê tich cua hai khôi chop  ́ ́ S .A B 'C ' D '  va ̀S .A BCD . ́ ̉ ́ 2) Tinh thê tich khôi chop  ́ ́ S .A B 'C ' D ' . Bài 15. (ĐHDB1 – D – 2006) Cho hinh chop t̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ a . Goi  ́ ̀ S .A BCD  co canh đay băng  ̣ SH  là  đường cao cua hinh chop. Khoang cach t ̉ ̀ ́ ̉ ́ ừ trung điêm  ̉ I  cua  ̉ SH  đên măt bên  ́ ̣ ( SBC )  băng  ̀ b . Tinh ́   2a 3b ̉ ́ thê tich khôi chop  ́ ́ S .A BCD . V =. 3 a 2 - 16b2 Bài 16. (ĐH – A – 2004) Cho hinh chop t ̀ ́ ứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ a , goc gi ́ ̀ S .A BCD  co canh đay băng  ́ ưa canh bên ̃ ̣   ̀ ̣ ̉ va măt phăng đay băng  0 ( 0 ́ ̀ j , 0 < j < 90 . Tinh tang goc gi ́ ) ́ ưa hai  ̃ mp ( SA B )  va ̀mp ( A BCD )  theo j ̉ ́ . Tinh thê tich khôi chop theo  ́ ́ ́ a  va ̀j . a 3 2. t an j . V = 6 ̀ ̣ a . Trên đường thăng vuông goc v Bài 17. Cho  D A BC  đêu canh  ̉ ́ ơi măt phăng tam giac tai tâm  ́ ̣ ̉ ́ ̣ O  lâý   ̉ D  sao cho OD = a 6 . Goi  điêm  ̣ M , N  lân l ̀ ượt la trung điêm cua cac canh  ̀ ̉ ̉ ́ ̣ BD  va ̀DC .  3 ́ ưa hai đ 1) Tinh goc gi ́ ̃ ường thăng  ̉ A M  va ̀BC .  ́ ̉ ́ ̉ ́ 2) Tinh ti sô thê tich giữa cac phân cua khôi  ́ ̀ ̉ ́ A BCD  được phân chia bởi thiêt diên  ́ ̣ A MN . ́ ̉ ́ 3) Tinh thê tich khôi ́ A BCMN . V. Khôi chop va ph ́ ́ ̀ ương phap ti sô thê tich ́ ̉ ́ ̉ ́                                                                        Trang 17
  18. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 Bài 1. ̣ A BCD . Goị B ', C '  lân l Cho tứ diên  ̀ ượt la trung điêm cua  ̀ ̉ ̉ A B  va ̀ A C . Tinh ti sô thê tich cua ́ ̉ ́ ̉ ́ ̉   V A B 'C ' D 1 ́ ư diên  khôi t ́ ̣ A B 'C ' D  va khôi t ̀ ́ ứ diên ̣ A BCD . = . V A BCD 4 Bài 2. Cho   khôí   tứ  diên ̣   A BCD   có  thể   tich ( ) 3 ́   9 m ,   trên A B , A C , A D   lâǹ   lượt   lây ̉   ́   cać   điêm B ',C ', D '  sao cho  A B = 2A B ', 2A C = 3A C ', A D = 3A D ' . Tinh thê tich khôi t ́ ̉ ́ ́ ứ diêṇ A B 'C ' D ' .  V =2 Bài 3. Cho   tứ  diêṇ   đêu ̣   a .   Lâý   cać   điêm ̀   A BCD   có  canh ̉   B ',C '   trên   A B   và  A C   sao   cho  a 2a a3 2 . AB ' = ,AC ' = ̉ ́ ́ ứ diên  . Tinh thê tich khôi t ́ ̣ A B 'C ' D . V = 2 3 36 Bài 4. Cho tứ diên ̀   12 m ̣   A BCD   co thê tich băng ́ ̉ ́ 3 ( ) . Goị   M , P   la trung điêm cua ̀ ̉ ̉   A B , CD   va lây ̀ ́  ̉ N  trên  A D  sao cho DA = 3NA . Tinh thê tich khôi t điêm  ́ ̉ ́ ́ ứ diên  ̣ BMNP . V = 1 . Bài 5. Cho hinh chop ̀ ́   S .A BC   co đay ́ ̀ ̣   a 3 , đường cao   SA = a . Măṭ   ́ ́   A BC   la tam giac đêu canh ̀ ̉ phăng qua điêm ̉ A  va vuông goc v ̀ ́ ới  SB  tai  ̣ H  va căt  ̣ K . Tinh thê tich hinh chop  ̀ ́ SC  tai  ́ ̉ ́ ̀ ́ S .A HK . a3 3 . V = 40 Bài 6. Cho hinh chop  ̀ ́ ̉ ́ ́ S .A BCD  co thê tich băng  3 ̀ 27 m . Lây điêm  ́ ( ) ̉ A '  trên  SA  sao cho  SA = 3SA ' .  ̣ ̉ Măt phăng qua điêm ̉   A '   va song song v ̀ ơi  ́ ́   SB , SC , SD   lân l ́ đay hinh chop căt ́ ̀ ̀ ượt tai cac điêm ̣ ́ ̉   B ',C ', D ' . Tinh thê tich cua khôi chop  ́ ̉ ́ ̉ ́ ́ S .A ' B 'C ' D ' . V = 1. Bài 7. Cho hinh chop  ̀ ́ ̉ ́ ́ S .A BCD  co thê tich băng  3 ̀ 9 m  va đay  ( ) ̉   ̀ ́ A BCD  la hinh binh hanh. Lây điêm ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̣ M   trên   SA   sao cho   2SA = 3SM . Măt phăng ̉   ( MBC )   căt́   SD   taị   N . Tinh thê tich khôi đa diên ́ ̉ ́ ́ ̣   A BCDMN V = 4. Bài 8. Cho hinh chop ̀ ̣ ́   S .A BCD   co đay la hinh vuông canh băng ́ ́ ̀ ̀ ̀   a , chiêu cao ̀   SA = h . Goị   N   là  ̉ trung điêm cua  ̉ SC . Măt phăng ch ̣ ̉ ưa  ́ A N  va song song v ̀ ơi  ́ BD  lân l ̀ ượt căt  ́ SB , SD  tai  ̣ M , P . Tinh ́   a 2h ̉ ́ ́ ́ S .A MNP  theo  a, h . thê tich khôi chop  . V = 9 Bài 9. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh binh hanh va  ̀ ̀ ̀ ̀ ̉ ̀ I  la trung điêm cua  ̀ ̉ SC . Măṭ   ̉ phăng qua  A I  va song song v ̀ ơi  ́ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ́ ́ BD  chia khôi chop thanh hai phân. Tinh ti sô thê tich hai phân nay. ̀ ̀ k = 0, 5 . SM Bài 10. Cho hinh chop  ̀ ́ S .A BCD  co đay la hinh binh hanh va lây điêm  ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ M  trên  SA  sao cho  = x .  SA ̀ ́ ̣ ̉ x  đê măt phăng  Tim gia tri cua  ̉ ̣ ̉ ( MBC )  chia hinh chop đa cho thanh hai phân co thê tich băng nhau. ̀ ́ ̃ ̀ ̀ ́ ̉ ́ ̀ 5 - 1. x = 2 B. THÊ TICH CUA KHÔI LĂNG TRU ̉ ́ ̉ ́ ̣ I. Lăng tru đ ̣ ưng khi biêt chiêu cao hoăc canh đay ́ ́ ̀ ̣ ̣ ́ Bài 1. ̣ ứng   A BC .A ' B 'C '   co đay Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣   A   co canh ́ ́   A BC   la tam giac vuông cân tai ̀ ́ ́ ̣   BC = a 2   va biêt  ́ ̉ ́ ̀ ́ A ' B = 3a . Tinh thê tich khôi lăng tru. ́ ̣ V =a 2. 3                                                           Trang 18
  19. Bài tập chương 1                                                                                             Hình học 12 Bài 2. Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng tứ giac đêu  ́ ̣ ́ ̀ A BCD .A ' B 'C ' D '  co canh bên băng  ̀ 4a  va đ ̀ ường cheo ́  băng  ́ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̀ 5a . Tinh thê tich khôi lăng tru nay. V = 9a . 3 Bài 3. Cho lăng tru đ̣ ứng   A BC .A ' B ' C '   co đay ̀ ́ ? CB = 300 , ̣   A , goć   A ́ ́   A BC   la tam giac vuông tai A A ' = 3a ,  A C = 2a . ̉ ́ ̣ A BC .A ' B ' C ' . 1) Tinh thê tich khôi lăng tru  ́ ́ ̣ ̉ ( A ' BC )  chia khôi lăng tru  2) Măt phăng  ́ ̣ A BC .A ' B ' C '  thanh hai khôi đa diên. Tinh thê tich cua môi ̀ ́ ̣ ́ ̉ ́ ̉ ̃  khôi đa diên. ́ ̣ Bài 4. Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng  A BC .A ' B 'C '  co đay  ́ ̀ ̣ ́ ́ A BC  la tam giac đêu canh băng  ̀ ̀ 4 ( cm )  va biêt ̀ ́  ̣ ́ ̉ diên tich cua tam giac  ́ A ' BC  băng 2 ́ ( ̉ ́ ) ̀ 8 cm . Tinh thê tich khôi lăng tru. ́ ̣ ( 8 3 cm 3 . ) Bài 5. Cho hinh hôp đ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ a  va co goc nhon băng  ̣ ứng co đay la hinh thoi canh  ̀ ́ ́ ̣ ̀ 600 . Đường cheo l ́ ơn cua ́ ̉   ́ ̀ ường cheo nho cua lăng tru. Tinh thê tich cua khôi hôp. đay băng đ ́ ̉ ̉ ̣ ́ ̉ ́ ̉ ́ ̣ a3 6 . V = 2 Bài 6. Cho lăng tru đ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ a . Tinh ̣ ưng co đay la tam giac đêu, biêt răng tât ca cac canh cua lăng tru băng  ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́   ̉ ́ ̀ ̉ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ thê tich va tông diên tich cac măt bên cua lăng tru. ́ a3 3 V = ; S = 3a 2 . 4 Bài 7. Cho   hinh ̀   lăng   trụ   đứng   A BCD .A ' B 'C ' D '   có  đay ́   là  tứ  giać   đêu ̣   a   và  biêt́   răng ̀   canh ̀   ̉ ́ ̉ BD ' = a 6 . Tinh thê tich cua lăng tru. ́ ̣ V = 2a 3 . Bài 8. ̣ ứng tứ giac co đay la hinh thoi ma cac đ Cho hinh lăng tru đ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ường cheo lân l ̀ 6 ( cm )  và  ́ ̀ ượt băng  8 ( cm ) . Biêt răng chu vi đay băng hai lân chiêu cao lăng tru. Tinh thê tich va tông diên tich cac măt ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ̉ ̣ ́ ́ ̣  ̉ bên cua lăng tru. ̣ V = 240; S = 200 . Bài 9. Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng  A BC .A ' B 'C '  co đay  ́ ́ A BC  la tam giac vuông cân tai  ̀ ́ ̣ A . Biêt răng ́ ̀   ̉ ̣ ̀ 3a  va măt bên  chiêu cao cua lăng tru la  ̀ ̀ ̣ A A ' B ' B  co đ́ ường cheo la  ̉ ́ ́ ̀ 5a . Tinh thê tich lăng tru. ́ ̣ 3. V = 24a Bài 10. Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng   A BC .A ' B ' C '   co đay ́ ̀ A A ' = a, A ' B ^ BC .  ́ ́   A BC   la tam giac đêu, ̀ ̉ ́ ̉ Tinh thê tich cua khôi lăng tru ́ ́ ̣ A BC .A ' B ' C ' . Bài 11. (ĐH – D – 2008)  Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng   A BC .A ' B 'C '   co đay ́ ́ A BC   la tam giac vuông, ̀ ́   ̣ A B = BC = a , canh bên  A A ' = a 2 . Goị   M  la trung điêm canh  ̀ ̉ ̣ BC . Tinh theo ́   a  thê tich cua ̉ ́ ̉   a3 a 7 ́ ̣ A BC .A ' B 'C '  va khoang cach gi khôi lăng tru  ̀ ̉ ́ ̉ A M , B 'C . V = ữa hai đường thăng  . ,  d = 2 7 Bài 12. Cho hinh lăng tru tam giac đêu  ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ a . Biêt khoang cach gi ́ ̀ A BC .A ' B 'C '  co canh đay băng  ́ ̉ ́ ưa hai ̃   3 3a đương thăng  ̀ ̀ a 15 . Tinh thê tich khôi lăng tru ̉ A B  vàA 'C  băng ́ ̉ ́ ́ ̣ A BC .A ' B 'C ' .V = . 5 4 Bài 13. Cho hinh lâp ph ̀ ̣ ương  A B CD .A1B 1C 1D1  co canh  ́ ̣ a . Goi  ̣ O1  la tâm cua hinh vuông  ̀ ̉ ̀ A1B 1C 1D1 .  ̉ ́ ̉ ́ ̣ Tinh thê tich cua khôi lâp ph ́ ương va thê tich khôi t ̀ ̉ ́ ̣ A1O1BD . Chưng minh:  ́ ứ diên  ́ BD1 ^ ( A CB 1 ) . Bài 14. Cho hinh lăng tru tam giac ̀ ̣ ́ A BC .A ' B 'C ' co đay  ́ ̀ ̣ a . Tinh thê tich ́ ́ A BC  la tam giac đêu canh  ̀ ́ ̉ ́   khôí   lăng   trụ   và  khoang ́   từ  A '   đêń   mp ( A B 'C ')   theo   a ,   biêt́   răng: ̉   cach ̀   A A ' = A ' B = A 'C   2 3 . = a 3                                                                        Trang 19
  20. Hình học 12                                                                                             Bài tập chương 1 Bài 15. Cho hinh lăng tru  ̀ ? C = 1200 , hinh chiêu vuông goc cua ̣ A BC .A ' B 'C '  co ́ A B = A C = 4a, BA ̀ ́ ́ ̉   A '  lên  mp ( A BC )  trung v ̀ ơi tâm đ ́ ường tron ngoai tiêp  ̀ ̣ ́ ưa canh bên v ́ D A BC . Goc gi ̃ ̣ ơi đay la  ́ ́ ̀ 300 .  Tinh theo  ́ a  thê tich khôi lăng tru  ̉ ́ ́ ̣ A BC .A ' B ' C '  va khoang cach gi ̀ ̉ ́ ữa  A A '  va ̀BC . Bài 16. (ĐH – A – 2008) Cho hinh lăng tru  ̀ ̣ A BC .A ' B ' C '  co đô dai canh bên băng  ́ ̣ ̀ ̣ ̀ 2a , đay ́ A BC là  tam giac vuông tai  ́ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̉ A '  trên  mp ( A BC )  là  ̣ A , A B = a , A C = a 3  va hinh chiêu vuông goc cua đinh  ̉ ̉ ̣ BC . Tinh theo  trung điêm cua canh  ́ a  thê tich cua khôi chop  ̉ ́ ̉ ́ ́ A ' A BC  va tinh ̉ ́ ưa hai ̀ ́ cosin cua goc gi ̃   3 a 1 đương thăng  ̀ ̉ A A '  va ̀B 'C ' . V = , cos j = . 2 4 II. Lăng tru đ ̣ ưng khi biêt goc gi ́ ́ ́ ữa đường thăng va măt phăng ̉ ̀ ̣ ̉ Bài 1. ̀ ̣ ứng  A BC .A ' B 'C ' co đay Cho hinh lăng tru đ ̣ B  vơi  ́ ́ A BC  la tam giac vuông tai ̀ ́ ́ BA = BC = a .  ́ ̀ A ' B  hợp vơi đay  Biêt răng  ̣ ́ ́ A BC  môt goc  ̉ ́ ̣ ́ 600 . Tinh thê tich khôi lăng tru. ́ ́ a3 3 . V = 2 Bài 2. Cho   hinh ̀   lăng   trụ   đứng   A BC .A ' B 'C '   có  đay ́   A BC   là  tam   giać   vuông   taị   A   vơí  ? CB = 600 . Biêt́   BC ' hợp vơí   mp ( A A 'C 'C )   môt goc A C = a, A ̣ ́   300 . Tinh ̀ ̉ ́ ́   A C '  va thê tich khôi ́  lăng tru ̣ A BC .A ' B ' C ' . V = a3 6 . Bài 3. Cho hinh lăng tru đ ̀ ̣ ứng  A BCD .A ' B 'C ' D '  co đay  ́ ́ A BCD  la hinh vuông canh ̀ ̀ ̣   a  va đ ̀ ường  cheo  ̉ ́ BD '  cua lăng tru h ̣ ợp vơi đay  ́ ́ A BCD  môt goc ̣ ̉ ́ ̀ ̉ ̣ ́ ̣ ́ 30 . Tinh thê tich va tông diên tich măt bên cua 0 ́ ̉   ̣ hinh lăng tru. ̀ a 3 6 4a 2 6 . ; 3 3 Bài 4. Cho lăng tru đ ̣ ưng  ́ A BC .A ' B 'C '  co đay  ̣ B , A C = 2a,  A ' B   ́ ́ A BC  la tam giac vuông cân tai  ̀ ́ ̣ ơi đay  tao v ̣ ́ ́ A BC  môt goc  ́ 300 . ̉ ́ 1) Tinh thê tich khôi lăng tru  ́ ́ ̣ A BC .A ' B ' C ' . ̃ ường cao  A H  cua  2) Ve đ ̉ D A ' A B . Chưng minh:  ́ A H ^ A 'C . Bài 5. Cho hinh hôp đ ̀ ̣ ứng  A BCD .A ' B 'C ' D '  co đay  ̀ ̀ ? D = 600 . Biêt́  ̣ a ; BA ́ ́ A BCD  la hinh thoi canh  đường   thăng ̉   A B '   hợp   vơí   măṭ   phăng ́   ( A BCD )   môṭ   goć   300 .   Tinh ̉   đay ́   thể   tich ̣   ́   khôí   hôp 3a 3 A BCD .A ' B 'C ' D ' . V = . 2 Bài 6. Cho   lăng   trụ   đứng   A BC .A ' B 'C '   có  đay ́   A BC   là  tam   giać   vuông   cân   taị   B .   Biêt́   răng ̀   A 'C = a   và  A 'C   hợp   vơí   măṭ   bên   ( A A ' B ' B )   môṭ   goć   300 .   Tinh ́   thể   tich ́   khôí   lăng   trụ  a3 2 . A BC .A ' B 'C ' . V = 16 Bài 7. Cho   lăng   trụ   đứng   A BC .A ' B 'C '   có  đay ́   A BC   là  tam   giać   vuông   taị   B .   Biêt́   răng ̀   BB ' = A B = a  va đ ̀ ường thăng ̉ B ' C  hợp vơi  ́ mp ( A BC )  môt goc  ̣ ̉ ́ ́ 300 . Tinh thê tich khôi lăng tru ́ ́ ̣  a3 3 . A BC .A ' B 'C ' . V = 2                                                           Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2