WWW.ToancapBa.Net
Các bài t p d và c b n v KS hàm s Trong Ôn thi Đi H c ậ ễ ơ ả ề ố ạ ọ năm 2012 -2013
Bài 1. Cho hàm s y = ố
2
5
3
2
2
4 x
x
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ thi (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ủ ố
2. Cho đi m M thu c (C) có hoành đ xể ộ ộ M = a. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i M, v i giáế ươ ế ế ủ ạ ớ
tr nào c a a thì ti p tuy n c a (C) t i M c t (C) t i hai đi m phân bi t khác M.ị ủ ế ế ủ ạ ắ ạ ể ệ
Gi i.ả
2/ + Vì
2
5
3
2
;)( 2
4
a
a
aMCM
.
Ta có: y’ = 2x3 – 6x
aaay 62)(' 3
V y ti p tuy n c a (C) t i M có ph ng trìnhậ ế ế ủ ạ ươ :
2
5
3
2
))(63( 2
4
3 a
a
axaay
.
+ Xét pt :
0)632()(
2
5
3
2
))(63(
2
5
3
2
2222
4
32
4 aaxxaxa
a
axaax
x
0632)( 22 aaxxxg
ax
YCBT khi pt g(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t khác a ệ ệ
1
3||
1
03
0)(
0'
2
2
a
a
a
a
ag
Bài 2. Cho hàm s ố
1
x
x
y
(C).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ thi (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ủ ố
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C), bi t r ng kho ng cách t tâm đi x ng c a đ th ế ươ ế ế ớ ồ ị ế ằ ả ừ ố ứ ủ ồ ị
(C) đn ti p tuy n là l n nh t.ế ế ế ớ ấ
Gi i.ả
2/ Gi s ả ử
mà ti p tuy n v i đ th t i đó có kho ng cách t tâm đi x ng đn ế ế ớ ồ ị ạ ả ừ ố ứ ế
ti p tuy n là l n nh t.ế ế ớ ấ
Ph ng trình ti p tuy n t i M có d ngươ ế ế ạ ạ :
0
0
2
0 0
1( )
( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +
− −
2
0
2 2
0 0
10
( 1) ( 1)
x
x y
x x
− − + =�− −
Ta có d(I ;tt) =
4
0
0
)1(
1
1
1
2
x
x
.Đt t = ặ
1
1
0x
> 0
Xét hàm s f(t)ố
4
2( 0)
1
tt
t
>
+
ta có f’(t) =
2
4 4
(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
t t t
t t
− + +
+ +
t 0 1
f’(t) = 0 khi t = 1 f’(t) + 0 -
B ng bi n thiênả ế
1
WWW.ToancapBa.Net
WWW.ToancapBa.Net
Các bài t p d và c b n v KS hàm s Trong Ôn thi Đi H c ậ ễ ơ ả ề ố ạ ọ năm 2012 -2013
t b ng bi n thiên ta có f(t) ừ ả ế
2
d(I ;tt) l n nh t khi và ớ ấ
ch khi t = 1 hay ỉ
0
0
0
2
1 1 0
x
xx
=
− = =
+ V i xớ0 = 0 ta có ti p tuy n là y = -xế ế
+ V i xớ0 = 2 ta có ti p tuy n là y = -x+4ế ế
Bài 3. Cho hàm s ố
2 4
1
x
yx
−
=+
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm trên đ th (C) hai đi m đi x ng nhau qua đng th ng MN bi t M(-3; 0) và N(-1; -1).ồ ị ể ố ứ ườ ẳ ế
Gi i.ả
2. G i 2 đi m c n tìm là A, B có ọ ể ầ
6 6
;2 ; ;2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
� � � �
− − −
� � � �
+ +
� � � �
Trung đi m I c a AB: Iể ủ
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+ − −
� �
+
� �
+ +
� �
Pt đng th ng MN: x + 2y +3= 0 ườ ẳ
Có :
. 0AB MN
I MN
=
uuur uuuur
=>
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
= −
� �
=>
� �
=
� �
Bài 4. Cho hàm s ố
34 24 xxy
.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị
)( C
c a hàm s đã cho.ủ ố
2. Bi n lu n theo tham s ệ ậ ố
k
s nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ
k
xx 334 24
.
Gi i.ả
2. Đ th hàm s ồ ị ố
34 24 xxy
g m ph n n m phía trên ồ ầ ằ Ox và đi x ng c a ph n n m phía d iố ứ ủ ầ ằ ướ
Ox qua Ox c a đ th (ủ ồ ị C);
k
y3
là đng th ng song song v i ườ ẳ ớ Ox. T đó ta có k t qu :ừ ế ả
*
013 k
k
: ph ng trình có 8 nghi m,ươ ệ
*
013 k
k
: ph ng trình có 6 nghi m, ươ ệ
*
10331 k
k
: ph ng trình có 4 nghi m,ươ ệ
*
133 k
k
: ph ng trình có 3 nghi m,ươ ệ
*
133 k
k
: ph ng trình có 2 nghi m.ươ ệ
Bài 5. Cho hµm sè
1
12
x
x
y
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè .
2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm
)2;1(I
tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lµ
lín nhÊt .
Gi i.ả
2. NÕu
)(
1
3
2;
0
0C
x
xM
th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph¬ng tr×nh
)(
)1(
3
1
3
20
2
00
xx
xx
y
hay
0)1(3)2()1()(3 0
2
00 xyxxx
2
WWW.ToancapBa.Net
x
y
O
1
3
1
1
1
WWW.ToancapBa.Net
Các bài t p d và c b n v KS hàm s Trong Ôn thi Đi H c ậ ễ ơ ả ề ố ạ ọ năm 2012 -2013
. Kho¶ng c¸ch tõ
)2;1(I
tíi tiÕp tuyÕn lµ
2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
9
6
)1(9
16
19
)1(3)1(3
x
x
x
x
x
xx
d
. Theo bÊt ®¼ng thøc C«si
692)1(
)1(
92
0
2
0
x
x
, v©y
6d
. Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng
6
khi
3131)1(
)1(
9
0
2
0
2
0
2
0
xxx
x
.
VËy cã hai ®iÓm M :
32;31
M
hoÆc
32;31
M
Bài 6. Cho hµm sè
1x
2x
y
(C)
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C).
2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp
®iÓm t¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox.
Gi i.ả
2. Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn qua A(0;a) cã d¹ng y=kx+a (1)
§iÒu kiÖn cã hai tiÕp tuyÕn qua A:
)3(k
)1x(
3
)2(akx
1x
2x
2
cã nghiÖm
1x
Thay (3) vµo (2) vµ rót gän ta ®îc:
)4(02ax)2a(2x)1a( 2
§Ó (4) cã 2 nghiÖm
1x
lµ:
2a
1a
06a3'
03)1(f
1a
Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm
21 x;x
lµ nghiÖm cña (4)
Tung ®é tiÕp ®iÓm lµ
1x
2x
y
1
1
1
,
1x
2x
y
2
2
2
§Ó hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc ox lµ:
0
)2x)(1x(
)2x)(2x(
0y.y
21
21
21
3
2
a0
3
6a9
0
1)xx(xx
4)xx(2xx
2121
2121
VËy
1a
3
2
tho¶ m·n ®kiÖn bµi to¸n.
Bài 7. Cho hàm s ố
1.
1
x
yx
+
=−
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị
( )
C
c a hàm s .ủ ố
2.Bi n lu n theo ệ ậ m s nghi m c a ph ng trình ố ệ ủ ươ
1.
1
xm
x
+=
−
Gi i.ả
3
WWW.ToancapBa.Net
WWW.ToancapBa.Net
Các bài t p d và c b n v KS hàm s Trong Ôn thi Đi H c ậ ễ ơ ả ề ố ạ ọ năm 2012 -2013
2. H c sinh l p lu n đ suy t đ th (ọ ậ ậ ể ừ ồ ị C) sang đ th ồ ị
( )
1'
1
x
y C
x
+
=−
.H c sinh t v hìnhọ ự ẽ
Suy ra đáp số
1; 1:m m< − >
ph ng trình có 2 nghi mươ ệ
1:m
= −
ph ng trình có 1 nghi mươ ệ
1 1:m
− <
ph ng trình vô nghi mươ ệ
Bài 8. Cho hàm s ố
2x 3
yx 2
−
=−
có đ th (C).ồ ị
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (C) ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2.Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a (C) t i A, Bữ ể ế ế ạ ủ ắ ệ ậ ủ ạ
sao cho AB ng n nh t . ắ ấ
Gi i.ả
V y đi m M c n tìm có t aậ ể ầ ọ
đ là : (2; 2)ộ
Bài 9. Cho hàm s y = xố3 –
3x2+2 (1)
1. Kh o sát s bi n thiênả ự ế
và v đ th c a hàm sẽ ồ ị ủ ố
(1).
2. Tìm đi m M thu cể ộ
đng th ng y=3x-2ườ ẳ
sao t ng kho ng cách tổ ả ừ
M t i hai đi m c c trớ ể ự ị
nh nh t.ỏ ấ
Gi i.ả
2. G i t a đ đi m c c đi là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2)ọ ọ ộ ể ự ạ ể ự ể
Xét bi u th c P=3x-y-2ể ứ
Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a đ đi m B(2;-2)=>P=6>0ọ ộ ể ọ ộ ể
V y 2 đi m c c đi và c c ti u n m v hai phía c a đng th ng y=3x-2, đ MA+MB nh nh tậ ể ự ạ ự ể ằ ề ủ ườ ẳ ể ỏ ấ
=> 3 đi m A, M, B th ng hàngể ẳ
Ph ng trình đng th ng AB: y= - 2x+2ươ ườ ẳ
T a đ đi m M là nghi m c a h :ọ ộ ể ệ ủ ệ
4
3 2 5
2 2 2
5
x
y x
y x y
=
= −
� �
= − +
=
=>
4 2
;
5 5
M� �
� �
� �
Bài 10. Cho hàm s ố
2
x
xm
y
có đ th là ồ ị
)(
m
H
, v i ớ
m
là tham s th c.ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
1
m
.
2. Tìm m đ đng th ng ể ườ ẳ
0122:
yxd
c t ắ
)(
m
H
t i hai đi m cùng v i g c t a đ t oạ ể ớ ố ọ ộ ạ
thành m t tam giác có di n tích là ộ ệ
.
8
3
S
Gi i.ả
4
WWW.ToancapBa.Net
2. L y đi m ấ ể
1
M m;2 m 2
� �
+
� �
−
� �
( )
C
. Ta có :
( ) ( )
2
1
y ' m
m 2
= − −
.
Ti p tuy n (d) t i M có ph ng trình : ế ế ạ ươ
( ) ( )
2
1 1
y x m 2 m 2
m 2
= − − + + −
−
Giao đi m c a (d) v i ti m c n đng là : ể ủ ớ ệ ậ ứ
2
A 2;2 m 2
� �
+
� �
−
� �
Giao đi m c a (d) v i ti m c n ngang là : B(2m – 2 ; 2)ể ủ ớ ệ ậ
Ta có :
( ) ( )
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m 2
� �
= − +
� �
−
� �
� �
. D u “=” x y ra khi m = 2ấ ả
WWW.ToancapBa.Net
Các bài t p d và c b n v KS hàm s Trong Ôn thi Đi H c ậ ễ ơ ả ề ố ạ ọ năm 2012 -2013
2. Hoành đ giao đi m ộ ể A, B c a ủd và
)( m
H
là các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2
1
2
x
x
mx
2,0)1(22 2 xmxx
(1)
Pt (1) có 2 nghi m ệ
21 ,xx
phân bi t khác ệ
2
2
16
17
0)1(22)2.(2
01617
2
m
m
m
m
.
Ta có
.1617.
2
2
4)(.2)(.2)()( 21
2
12
2
12
2
12
2
12 mxxxxxxyyxxAB
Kho ng cách t g c t a đ ả ừ ố ọ ộ O đn ếd là
.
22
1
h
Suy ra
,
2
1
8
3
1617.
2
2
.
22
1
.
2
1
..
2
1
mmABhS OAB
th a mãn.ỏ
Bài 11. Cho hàm s ố
3
5
)23()1(
3
2
23
xmxmxy
có đ th ồ ị
),(
m
C
m là tham s .ố
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
.2
m
2. Tìm m đ trên ể
)(
m
C
có hai đi m phân bi t ể ệ
);(),;(
222111
yxMyxM
th a mãn ỏ
0.
21
xx
và ti pế
tuy n c a ế ủ
)(
m
C
t i m i đi m đó vuông góc v i đng th ng ạ ỗ ể ớ ườ ẳ
.013:
yxd
Gi i.ả
2. Ta có h s góc c a ệ ố ủ
013: yxd
là
3
1
d
k
. Do đó
21,xx
là các nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ
3' y
, hay
323)1(22 2 mxmx
013)1(22 2 mxmx
(1)
Yêu c u bài toán ầ
ph ng trình (1) có hai nghi m ươ ệ
21 ,xx
th a mãn ỏ
0. 21 xx
.
3
1
1
3
0
2
13
0)13(2)1(' 2
m
m
m
mm
V y k t qu c a bài toán là ậ ế ả ủ
3m
và
.
3
1
1 m
Bài 12. Cho hàm s ố
.
2
3
42 24
xxy
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho. ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm m đ ph ng trình sau có đúng 8 nghi m th c phân bi tể ươ ệ ự ệ
.
2
1
|
2
3
42|
224
mmxx
Gi i.ả
2. Ph ng trình ươ
2
1
|
2
3
42| 224 mmxx
có 8 nghi m phân bi t ệ ệ
Đng th ngườ ẳ
2
1
2 mmy
c t đ th hàm s ắ ồ ị ố
|
2
3
42| 24 xxy
t i 8 đi m phân bi t.ạ ể ệ
5
WWW.ToancapBa.Net
O
1
1
y
2
1
2
3
2
1
x