T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Dạng cơ bản
Giải phương trình : 2
4321
x4x2
−=−
2
2
22
2
21 4x
00x4
0
x2
4321 2x
x2
2
43421
x4x2 432110
x
x4xx4
x4x2
−
−≥ <≤
≥

−=−⇔⇔⇔⇔=

−=


−=−+
−=−


Giải phương trình :
x6
x6x9x6x9
23
+
+−−−=+
Đặt 2
=−≥⇒=+≥
Phương trình cho viết lại :
2
2
2
t40
t2
0t3
6t36t3t32t4
t12t320
t8
t3
−=
=
≤<
++−=+⇔⇔=
−+=
=
≥
t2x92x13
t4x94x25
t8x98x73
•=⇔−=⇔=
•=⇔−=⇔=
•=⇔−=⇔=
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm
x13,x25,x73
===
Giải phương trình :
2
2
132xx
x13x
=++−
++−
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 10
13
30
+≥
⇔−≤≤
−≥
xx
x.
Đặt
()()
2
222
t4
tx13x,2t22t42x13x4232xx32xx
2
−
=++−≤≤⇒=++−=++−⇒+−=
()
()
()
2
232
22t4
132xx1t2t40t2t2t20*
t2
x13x
−
=++−⇔=+⇔−−=⇔−++=
++−
Vì 2
t2t20
++>
nên
() ()()
*t2x13x2x13x0x1,x3
⇔=⇔++−=⇔+−=⇔=−=
Chú ý : Cho hai số
a0,b0
≥≥
nếu
tab
=+thì
()
abt2ab
+≤≤+
( Đại số 9)
Dễ thấy
() ()
AMGM
22
tabtab2ababtab2ab2ababt2ab
−
=+⇔=++⇔+≤=++≤+⇔+≤≤+
AMGM
−
viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân.
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
Giải phương trình :
() ()
22
4x1x12x2x11
−+=++
() ()
(
)
2222
4x1x12x2x14x1x12x11
−+=++⇔−+=++
Đặt 2
tx1,t1
=+≥
Phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
14x1t2t2x12t4x1t2x102t1t2x10
⇔−=+−⇔−−+−=⇔−−+=
()
2
22
1
12x10 x
t1
4
x
2
2
3
x12x1
t2x1 3x4x0
−>
>
=< 
⇔⇔⇔⇔=

+=−
=− −=
Giải phương trình :
()
()
4
222
12xx12xx21x2x4x1
+−+−−=−−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2
2002
−≥⇔≤≤
xxx.
()
()
4
222
12xx12xx21x2x4x1
+−+−−=−−+
() ()
()
()
(
)
4
222
11x2x111x2x121x2x2x11
⇔+−−++−−−+=−−+−
() () ()()()
2242
11x111x121x2x1*
⇔+−−+−−−=−−
Đặt
()
[
]
[
]
()
2
tx1,x0;2t0;1a
=−∈⇔∈
Phương trình
() ()()
2
*11t11t2t2t1**
⇔+−+−−=−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
()
1
210
2
−≥⇔≥
ttb
.Từ
()()
1
,;1
2

⇒∈


abt .
Với
1
;1
2

∈


t, bình phương 2 vế phương trình
(
)
**
ta được
() ()
22
4
4
3
11
1t2t2t122t1
t
tt
+=−⇔+=−
()
4
3
2
112
1
;12
22212
=+≥

∈⇒⇒==

=−≤
VT ttt
tVTVP
VPt
xảy ra khi
12
=⇔=
tx
Vậy phương trình có nghiệm
2
=
x.
Giải phương trình : 242
3
x3x1xx1
3
−+=−++
()()()()
2422222
33
x3x1xx12xx1xx1xx1xx1
33
−+=−++⇔−+−++=−−+++
()
22
22
xx13xx1
210*
xx13xx1
−+−+
⇔+−=
++++
Đặt
2
2
xx1
t,0t1
xx1
−+
=<≠
++
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
Phương trình
()
2
22
2
3
t0
3xx13
3
*2tt10x2x10x1
3xx13
3
t3
=−<
−+
⇔+−=⇔⇔=⇔−+=⇔=
++
=
Vậy phương trình có nghiệm
x1
=
.
Giải phương trình :
()
2
x35
x1
12
x1
+=
−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
1
>
x
.
Đặt
()
1
,101=>⇒<<
xxya
y
() ()
22
22
x35113535
x1y1yy1y2
12y1212
x11y
+=⇔+=⇔+−=−
−−
Đặt
()
2
22
1
113
2
−
=+−⇒−=
t
tyyyy với
0112
<<⇒<≤yt
Phương trình
(
)
2
viết lại :
(
22
7
t
35t1 5
t.35t24t350 5
122
t1;2
7
=
−
=⇔−−=⇔
=−∉
()
()
2
2
22242
2
164
49 1
112144144 255
25
110
93
2225625625
255

==±
−
−
−===⇔−=⇔−+=⇔⇔


==±


yy
t
yyyyyyb
yy
Từ
(
)
(
)
à
avb
suy ra
()
5453
;;,;
4535

=


xy
Vậy phương trình cho có nghiệm :
55
,
43
==
xx
Chú ý : Với điều kiện
1
>
xgợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với
1
cos
=x
t
hoặc
1
sin
=x
t
Giải phương trình : 2
x4x3x5
−−=+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
505
+≥⇔≥−
xx
()
2
2
x4x3x5x27x5
−−=+⇔−−=+
Đặt
()
2
y2x5,y2y2x5
−=+≥⇔−=+
Ta có hệ :
()
() ()
()()
()
()
2
22
22
x2y5
x2y5 x2y5 xy0
529
x
y2x5xyxy30 2
x2y5 x1
y2y2 xy30
y2
−=+
−=+
−=+ −=
+
=

−=+⇔−++=⇔⇔
 −=+

=−
≥≥
++=

≥
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
Giải phương trình : 2
2x1532x32x20
+=+−
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
15
2150
2
+≥⇔≥−
xx.
()
2
2
2x1532x32x202x1524x228
+=+−⇔+=+−
Đặt
()
2
1
4y22x15,y4y22x15
2
+=+≥−⇔+=+
Ta có hệ :
()
()
()()
()
()
()
2
2
2
22
4x22y15
xy 1
4y22x15xy8x8y90 x
2
4x22y15
4x22y154x22y15
9221
8x8y90 x
11
yy 16
22 1
y
2
+=+

=
+=+−++=
 =

+=+
+=+⇔+=+⇔⇔

−−

++=
=

≥−≥−

≥−
Dạng tổng hiệu – bình phương
Giải phương trình :
() ()
4
x1x2x1x2x1x1
+−+−−−=
Điều kiện để phương trình có nghĩa : 0
01
10
≥
⇔≤≤
−≥
x
x
x.
() () ()
(
)
()
(
)
44
x1x2x1x2x1x1x2x1x1xx2x1x1x0
+−+−−−=⇔−−+−−−−+−=
(
)
(
)
(
)
(
)
22
444444
x1xx1x0x1xx1xx1xx1x0
⇔−−−−−=⇔−−−+−−−+−−=
()
()
44
44
x1xx1x01
x1xx1x02
−−−+−=
⇔
−−+−−=
Phương trình
()
4444
11
x1xx1x011x1xxx0
44

−−−+−=⇔−−−+−−+=


()()
22
444444
11
1xx01xx1xx10
22

⇔−−−−=⇔−−−+−=


()
()
44
44
1xx0a
1xx10b
−−=
⇔
−+−=
()
4444
1
1xx0a1xx1xxx
2
•−−=⇔−=⇔−=⇔=
()
44
23
44444
1xx10b1x1x1x14x6x4xx
•−+−=⇔−=−⇔−=−+−+
(
)
(
)
(
)
444322
44444
xx2x3x20xx1xx20
⇔−+−=⇔−−+=
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net
4
4
4
4
42 4
x0
x0x0
x10
x1
x1
xx20
=
==
⇔−=⇔⇔
=
=
−+>
Phương trình
()
4444
11
x1xx1x02xx1x1x0
44

−−+−−=⇔++−−+−+=


()()
22
444444
11
x1x0x1xx1x10
22

⇔+−−+=⇔−−+−+=


44
44
44
x1x0
1
x1xx1xx
2
x1x10
−−=
⇔⇔=−⇔=−⇔=
+−+>
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm 1
x0,x,x1.
2
===
Dạng dùng bất đẳng thức
Giải phương trình : 222
xx1xx1xx2
+−+−++=−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
xx10
xx10
+−≥
−++≥
.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
()
()
22
22
22
22
22
1xx1xx
xx11.xx1 22
xx1xx1x1
1xx1xx2
xx11.xx1 22
++−+
+−=+−≤=
⇒+−+−++≤+
+−++−++
−++=−++≤=
Phương trình :
()
2
2222
xx2xx1xx1xx2x1x10x1
−+=+−+−++⇔−+≤+⇔−≤⇔=
Vập phương trình cho có nghiệm
x1
=
Giải phương trình : 222
2xx3x3x1x2x3
−+−++=−+
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
2
2
2xx0
3x3x10
−≥
−++≥
.
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ,
()
()
()
2
22
22
22
2
2
22
12xx
2xx1.2xx 2
13x3x13x3x2
3x3x11.3x3x1 22
x1
x3x2
VT2xx3x3x122
22
+−
−=−≤
+−++−++
−++=−++≤=
−
−++
⇒=−+−++≤=−≤
()
2
2
VPx2x3x122
=−+=−+≥