Ôn T pậ
Tìm giao tuy n c a 2 m t ph ngế ủ ặ ẳ
Ph ng phápươ :
*Tìm hai đi m chung c a hai m t ph ng ể ủ ặ ẳ α và β
*Tìm đ ng th ng a ườ ẳ ⊂ α và đ ng th ng b ườ ẳ ⊂ β sao cho a
b =
I
thì I là đi m chung c a ể ủ α và β
1.Cho 4 đi m A,B,C,D không cùng n m trong m t m t ph ng ể ằ ộ ặ ẳ
a)Ch ng minh r ng hai đ ng th ng AB và CD chéo nhau ứ ằ ườ ẳ
b)Trên các đo n AB và AD l n l t l y các đi m M và N sao cho đ ngạ ầ ượ ấ ể ườ
th ng MN c t đ ng th ng BD t i I.Hãy xét xem đi m I thu c nh ngẳ ắ ườ ẳ ạ ể ộ ữ
m t ph ng nào ?Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (CMN) và (BCD)ặ ẳ ế ủ ặ ẳ
2.Trong m t ph ng ặ ẳ α cho hai đ ng th ng a và b c t nhau t i O. G i cườ ẳ ắ ạ ọ
là m t đ ng th ng c t ộ ườ ẳ ắ α t i đi m I khác Oạ ể
a)Xác đ nh giao tuy n c a hai m t ph ng (O,c) và ị ế ủ ặ ẳ α
b)G i M là m t đi m trên c khác I.Tìm giao tuy n c a hai m t ph ngọ ộ ể ế ủ ặ ẳ
(M,a) và (M,b). Ch ng minh r ng giao tuy n này luôn luôn n m trongứ ằ ế ằ
m t m t ph ng c đ nh khi M di đ ng trên cộ ặ ẳ ố ị ộ
3.Cho hai m t ph ng ặ ẳ α và β c t nhau theo giao tuy n d.Ta l y haiắ ế ấ
đi mA ,B thu c m t ph ng ể ộ ặ ẳ α nh ng không thu c d và m t đi m O n mư ộ ộ ể ằ
ngoài α và β
Các đ ng th ng OA, OB l n l t c t ườ ẳ ầ ượ ắ β t i A’ và B’.Gi s đ ngạ ả ử ườ
th ng AB c t d t i Cẳ ắ ạ
a)Ch ng minh r ng ba đi m O,A,B không th ng hàngứ ằ ể ẳ
b)Ch ng minh r ng ba đi m A’,B’,C th ng hàng và t đó suy ra baứ ằ ể ẳ ừ
đ ng th ng AB,A’B’ và d đ ng quiườ ẳ ồ
4.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AB,AC,BD l n l t l y ứ ệ ạ ầ ượ ấ
các đi m M,N,P sao cho MN không //BC, MP không //AD.ể
Tìm các giao tuy n sau: ế
a) (MNP)
(ABC) b) (MNP)
(ABD)
c) (MNP)
(BCD) d) (MNP)
(ACD)
5.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AB,AC l n l t l y các đi m M,Nứ ệ ạ ầ ượ ấ ể
sao cho MN không //BC,trong tam giác BCD l y đi m I. Tìm các giaoấ ể
tuy n sau: a) (MNI)ế
(ABC) b) (MNI)
(BCD)
c) (MNI)
(ABD) d) (MNI)
(ACD)
6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không ph i hình thang.Tìm ả
các giao tuy n sau: a) (SAC)ế
(SBD)
b) (SAB)
(SCD) c) (SAD)
(SBC)
7.Cho t di n ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD l y 2 ứ ệ ấ
đi m M,N.Tìm các giao tuy n sau:ể ế
a) (BMN)
(ACD) b) (CMN)
(ABD) c) (DMN)
(ABC)
8.Cho t di n ABCD.Trên c nh AB l y đi m I ,trong 2 tam giác BCD vàứ ệ ạ ấ ể
ACD
l n l t l y 2 đi m J,K.Tìm các giao tuy n sau: ầ ượ ấ ể ế
a) (ABJ)
(ACD) b) (IJK)
(ACD)
c) (IJK)
(ABD) d) (IJK)
(ABC)
9.Cho t di n ABCD.G i I,J là trung đi m c a AD và BCứ ệ ọ ể ủ
a)Ch ng minh r ng IB và JA là 2 đ ng th ng chéo nhauứ ằ ườ ẳ
b)Tìm giao tuy n c a 2 m t ph ng (IBC) ế ủ ặ ẳ
(JAD)
c)G i M là đi mn m trên đo n AB;N là đi m n m trên đo n ọ ể ằ ạ ể ằ ạ
AC .Tìm giao tuy n c a 2 m t ph ng (IBC) ế ủ ặ ẳ
(DMN)
10.Cho ba đi m A,B,C không th ng hàng và m t đi m O n m ngoài m tể ẳ ộ ể ằ ặ
ph ng (ABC).G i A’,B’,C’ là các đi m l n l t n m trên các đ ngẳ ọ ể ầ ượ ằ ườ
th ng OA,BO,OC. Gi s A’B’ẳ ả ử
AB = D , B’C’
BC = E , C’A’
CA
= F. Ch ng minh r ng 3 đi m D,E,F th ng hàngứ ằ ể ẳ
11.Cho t di n ABCD. G i I là đi m n m trên đ ng th ng BD nh ngứ ệ ọ ể ằ ườ ẳ ư
ngoài đo n BD.Trong m t ph ng (ABD) ta v m t đ ng th ng qua Iạ ặ ẳ ẽ ộ ườ ẳ
c t hai đo n AB và AD l n l t t i K và L.Trong m t ph ng (BCD) taắ ạ ầ ượ ạ ặ ẳ
v m t đ ng th ng qua I c t hai đo n CB và CD l n l t t i M và Nẽ ộ ườ ẳ ắ ạ ầ ượ ạ
a)Ch ng minh r ng 4 đi m K,L,M,N cùng thu c m t m t ph ng ứ ằ ể ộ ộ ặ ẳ
b)G i Oọ1= BN
DM ; O2 = BL
DK và J = LM
KN. Ch ng minh r ngứ ằ
ba đi m A,J,Oể1 th ng hàng và ba đi m C,J,Oẳ ể 2 cũng th ng hàngẳ
c)Gi s hai đ ng th ng KM và LN c t nhau t i H,ch ng minh r ngả ử ườ ẳ ắ ạ ứ ằ
đi m H n m trên đ ng th ng ACể ằ ườ ẳ
12.Cho t di n ABCD. G i A’,B’,C’,D’l n l t là tr ng tâm các tamứ ệ ọ ầ ượ ọ
giác BCD,CDA,DAB và ABC
a)Ch ng minh r ng hai đ ng th ng AA’ và BB’ cùng n m trong m tứ ằ ườ ẳ ằ ộ
m t ph ng ặ ẳ
b)G i I là giao đi m c a AA’ và BB’,ch ng minh r ng : ọ ể ủ ứ ằ
c)Ch ng minh r ng các đ ng th ng AA’,BB’,CC’ đ ng qui ứ ằ ườ ẳ ồ
13.Cho t di n ABCD.Hai đi m M ,N l n l t n m trên hai c nh AB vàứ ệ ể ầ ượ ằ ạ
AC sao cho ≠ .M t m t ph ng (P) thay đ i luôn luôn đi qua MN,c t CDộ ặ ẳ ổ ắ
và BD l n l t t i E và Fầ ượ ạ
a)Ch ng minh r ng đ ng th ng EF luôn luôn đi qua m t đi m c đ nhứ ằ ườ ẳ ộ ể ố ị
b)Tìm quĩ tích giao đi m I c a ME và NFể ủ
c)Tìm quĩ tích giao đi m J c a MF và NEể ủ
14.Cho t di n ABCD.G i G là tr ng tâm c a tam giác ACD.Các đi mứ ệ ọ ọ ủ ể
M ,N ,P l n l t thu c các đo n th ng AB ,AC ,AD sao choầ ượ ộ ạ ẳ
= = = .G i I = MN ∩ BC và J = MP ∩ BDọ
a)Ch ng minh r ng các đ ng th ng MG, PI, NJ đ ng ph ngứ ằ ườ ẳ ồ ẳ
b)G i E và F l n l t là trung đi m c a CD và NI; H = MG ∩ BE ;K =ọ ầ ượ ể ủ
GF ∩ mp(BCD),ch ng minh r ng các đi m H ,K ,I ,J th ng hàngứ ằ ể ẳ
Tìm giao đi m c a đ ng th ng và m t ph ngể ủ ườ ẳ ặ ẳ
Ph ng phápươ : đ tìm giao đi m c a đ ng th ng a và m t ph ng ể ể ủ ườ ẳ ặ ẳ α
B c 1: Ch n m t m t ph ng ướ ọ ộ ặ ẳ β ch a a (ứβ g i là m t ph ng ph )ọ ặ ẳ ụ
B c 2: Tìm giao tuy n c a ướ ế ủ α và β là đ ng th ng dườ ẳ
B c 3: G i M là giao đi m c a a v i d thì M là giao đi m c a aướ ọ ể ủ ớ ể ủ
v i ớα
1.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AC,BC,BD l n l t l y các ứ ệ ạ ầ ượ ấ
đi m M,N,K. Tìm các giao đi m sau:ể ể
a) CD
(MNK) b)AD
(MNK)
2.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AB,AC,BC l n l t l yứ ệ ạ ầ ượ ấ
các đi m M,N,P.Tìm các giao đi m sau:ể ể
a) MN
(ADP) b) BC
(DMN)
3.Cho t di n ABCD.Trên c nh AB l y đi m M,trong tamứ ệ ạ ấ ể
giác BCD l y đi m N.Tìm các giao đi m sau:ấ ể ể
a) BC
(DMN) b) AC
(DMN) c) MN
(ACD)
4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong t giác ABCD l y m t đi m O,tìm giaoứ ấ ộ ể
đi m c a AM v i các m t ph ng (SBC) ,(SCD) ể ủ ớ ặ ẳ
5.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AB,AC l y 2 đi mM,N;ứ ệ ạ ấ ể
trong tam giác BCD l y đi m P.Tìm các giao đi m sau:ấ ể ể
a) MP
(ACD) b) AD
(MNP) c) BD
(MNP)
6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không ph i hình thang.Trên c nh SCả ạ
l y m t đi m E5ấ ộ ể
a)Tìm giao đi m F c a đ ng th ng SD v i m t ph ng (ABE)ể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
b) Ch ng minh r ng 3 đ ng th ng AB ,CD và EF đ ng qui ứ ằ ườ ẳ ồ 5.Cho tứ
di n ABCD.Trên c nh AB l y đi m M ,trong 2 tam giác BCD và ACDệ ạ ấ ể
l n l t l y 2 đi m N,K.Tìm các giao tuy n sau: ầ ượ ấ ể ế
a) CD
(ABK) b) MK
(BCD)
c) CD
(MNK) d) AD
(MNK)
7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là m t hình bình hành tâm O.G i M vàộ ọ
N l n l t là trung đi m c a SA và SC.G i (P) là m t ph ng qua 3 đi mầ ượ ể ủ ọ ặ ẳ ể
M,N và B
a) Tìm các giao tuy n (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)ế
b)Tìm giao đi m I c a đ ng th ng SO v i m t ph ng (P) và giao đi mể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ ể
K c a đ ng th ng SD v i m t ph ng (P)ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
c)Xác đ nh các giao tuy n c a m t ph ng (P) v i m t ph ng (SAD) vàị ế ủ ặ ẳ ớ ặ ẳ
m t ph ng (SDC)ặ ẳ
d)Xác đ nh các giao đi m E, F c a các đ ng th ng DA,DC v i (P).ị ể ủ ườ ẳ ớ
Ch ng minh r ng E ,B ,F th ng hàngứ ằ ẳ
8.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .G i M và N l n l tọ ầ ượ
là trung đi m c a AB và SCể ủ
a)Xác đ nh I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)ị
b)Tính các t s ; và ỉ ố
9.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy l n AB.G i I và J l nớ ọ ầ
l t là trung đi m c a SB và SCượ ể ủ
a)Xác đ nh giao tuy n (SAD) ∩ (SBC)ị ế
b)Tìm giao đi m c a SD v i m t ph ng (AIJ)ể ủ ớ ặ ẳ
c)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (AIJ)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
10.Cho t di n ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD l y 2 đi m I,J.Tìmứ ệ ấ ể
các giao đi m sau: a)IJ ể
(SBC) b)IJ
(SAC)
7.Cho t di n ABCD,g i M và N l n l t là trung đi m c a AC vàứ ệ ọ ầ ượ ể ủ
BC.Trên đo n BD ta l y đi m P sao cho BP = 2PD.Tìm giao đi m c a:ạ ấ ể ể ủ
a)CD v i m t ph ng (MNP) b)AD v i m t ph ng (MNP)ớ ặ ẳ ớ ặ ẳ
11.Cho t di n SABC. G i I và H l n l t là trung đi m c a SA vàứ ệ ọ ầ ượ ể ủ
AB.Trên đo n SC ta l y đi m K sao cho CK = 3KSạ ấ ể
a)Tìm giao đi m c a đ ng th ng BC và m t ph ng (IHK)ể ủ ườ ẳ ặ ẳ
b)G i M là trung đi m IH.Tìm giao đi m c a KM v i m t ph ng (ABC)ọ ể ể ủ ớ ặ ẳ
9.Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không ph i là hình thang.Trênả
c nh SC l y m t đi m Mạ ấ ộ ể
a)Tìm giao đi m N c a đ ng th ng SD v i m t ph ng (AMB)ể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
b)Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AB,CD,MN đ ng quiứ ằ ườ ẳ ồ
12.Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy l n AB và khôngớ
cùng n m trong 1 m t ph ng ằ ặ ẳ
a)Xác đ nh các giao tuy n sau : ị ế
(AEC)
(BFD) ; (BCE)
(AFD)
b)L y 1 đi m M trên đo n DF. Tìm giao đi m AMấ ể ạ ể
(BCE)
13.Cho t di n ABCD. G i I và J l n l t là trung đi m c a AC vàứ ệ ọ ầ ượ ể ủ
BC.Trên c nh BD,ta l y đi m K sao cho BK = 2KDạ ấ ể
a)Tìm giao đi m E c a đ ng th ng CD v i m t ph ng (IJK). Ch ngể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ ứ
minh r ng DE = DCằ
b)Tìm giao đi m F c a đ ng th ng AD v i m t ph ng (IJK). Ch ngể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ ứ
minh r ng FA = 2FDằ
c)Ch ng minh r ng FK song song IJứ ằ
d)G i M và N là hai đi m b t kỳ l n l t n m trên hai c nh AB vàọ ể ấ ầ ượ ằ ạ
CD.Tìm giao đi m c a đ ng th ng MN v i m t ph ng (IJK)ể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
14.Cho t di n SABC.L y các đi m A’,B’,C’l n l t n m trên các c nhứ ệ ấ ể ầ ượ ằ ạ
SA,SB,SC sao cho SA’ = SA ;SB’ = SB ;SC’ = SC
a)Tìm giao đi m E,F c a các đ ng th ng A’B’ và A’C’ l n l t v iể ủ ườ ẳ ầ ượ ớ
m t ph ng (ABC)ặ ẳ
b)G i I và J l n l t là các đi m đ i x ng c a A’ qua B’ và C’. Ch ngọ ầ ượ ể ố ứ ủ ứ
minh r ng IJ = BC và BI = CJằ
c)Ch ng minh r ng BC là đ ng trung bình c a tam giác AEFứ ằ ườ ủ
15*.Trong m t ph ng ặ ẳ α cho tam giác đ u ABC. G i ề ọ β là m t ph ng c tặ ẳ ắ
α theo giao tuy n BC.Trong m t ph ng ế ặ ẳ β ta v hai n a đ ng th ng Bxẽ ử ườ ẳ
và Cy song song v i nhau và n m cùng m t phía v i ớ ằ ộ ớ α. Trên Bx và Cy ta
l y B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’ấ
a)Tìm giao đi m D c a đ ng th ng BC v i m t ph ng (AB’C’) và tìmể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
giao tuy n c a m t ph ng (AB’C’) v i m t ph ng ế ủ ặ ẳ ớ ặ ẳ α
b)Trên đo n AC’ ta l y đi m M sao cho AM = AC’.Tìm giao đi m I c aạ ấ ể ể ủ
đ ng th ng B’M v i m t ph ng ườ ẳ ớ ặ ẳ α và ch ng minh I là trung đi m c aứ ể ủ
AD
c)Ch ng minh r ng n u B’ và C’ theo th t ch y trên Bx và Cy sao choứ ằ ế ứ ự ạ
BB’ = 2CC’ thì m t ph ng (AB’C’) luôn luôn c t ặ ẳ ắ α theo m t giao tuy nộ ế
c đ nhố ị
d)G i E và F l n l t là trung đi m c a AB và BC.C nh AC c t DE t iọ ầ ượ ể ủ ạ ắ ạ
G.
Hãy tính t s và ch ng minh r ng AD = 2AFỉ ố ứ ằ
16.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O.M t m tộ ặ
ph ng (P) l n l t c t các c nh SA,SB,SC t i A’,B’,C’ẳ ầ ượ ắ ạ ạ
a)D ng giao đi m D’ c a m t ph ng (P) v i c nh SDự ể ủ ặ ẳ ớ ạ
b)G i I là giao đi m c a A’C’ v i SO. Ch ng minh r ng :ọ ể ủ ớ ứ ằ
+ = 2
c)Ch ng minh r ng: + = + ứ ằ
D ng thi t di n v i hình chópự ế ệ ớ
Thi t di n c a m t hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ộ ớ ặ ẳ α là ph n chung ầ
c a hình chóp v i m t ph ng ủ ớ ặ ẳ α
Ph ng phápươ : đ d ng thi t di n c a m t hình chóp v i m t ph ngể ự ế ệ ủ ộ ớ ặ ẳ
α t
ta l n l t làm nh sauầ ượ ư
B c 1:D ng giao tuy n c a ướ ự ế ủ α v i m t m t nào đó c a hình chóp ớ ộ ặ ủ
B c 2:Gi i h n đo n giao tuy n là ph n c a giao tuy n n mướ ớ ạ ạ ế ầ ủ ế ằ
trong
m t đang xét c a hình chóp ặ ủ
Ti p t c hai b c trên v i m t khác c a hình chóp cho đ n khi các ế ụ ướ ớ ặ ủ ế
đo n giao tuy n khép kín t o thành m t đa giác,đa giác y là thi t di nạ ế ạ ộ ấ ế ệ
1.Cho t di n ABCD.Trên các c nh BC,CD,AD l y các đi m ứ ệ ạ ấ ể
M,N,P.D ng thi t di n c a ABCD v i m t ph ng(MNP)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
2.Cho hình chóp S.ABCD Trên c nh SD l y đi m M.D ng ạ ấ ể ự
thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (BCM)ế ệ ủ ớ ặ ẳ
3.Cho t di n ABCD.Trên các c nh AB,AC l y 2 đi m ứ ệ ạ ấ ể
M,N;trong tam giác BCD l y đi m I.D ng thi t di n c a hình ấ ể ự ế ệ ủ
chóp v i m t ph ng (MNI)ớ ặ ẳ
4.Cho hình chóp S.ABCD trên các c nh SA,AB,BC l y các đi mạ ấ ể
M,N,P.D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MNP) ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
5.Cho hình chóp S.ABCD trên các c nh SA,SB,SC l y các đi m M,N,P. ạ ấ ể
a)Tìm giao đi m MN ể
(ABCD)
b)Tìm giao đi m NP ể
(ABCD)
c)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng(MNP) ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
6.Cho t di n ABCD.Trong 3 tam giác ABC ,ACD và BCD l n l t ứ ệ ầ ượ
l y 3 đi m M,N,P.ấ ể
a)Tìm giao đi m MN ể
(BCD)
b)D ng thi t di n c a t di n v i m t ph ng(MNP)ự ế ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ
7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy l n AB.G i ớ ọ
M,N là trung đi m c a SB và SC.ể ủ
a)Tìm giao tuy n (SAD) ế
(SBC)
b)Tìm giao đi m SD ể
(AMN)
c)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (AMN)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
9.Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SCD ta l y đi mMấ ể
a)Tìm giao tuy n (SBM) ế
(SAC)
b)Tìm giao đi m c a BM ể ủ
(SAC)
c)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng(ABM)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD v i AB là đáy l nớ ớ
G i M và N l n l t là trung đi m c a các c nh SB và SCọ ầ ượ ể ủ ạ
a)Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (SAD) và (SBC)ế ủ ặ ẳ
b)Tìm giao đi m c a đ ng th ng SD v i m t ph ng (AMN)ể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ
c)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (AMN)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. G i H và Kọ
l n l t là trung đi m các c nh CB và CD, M là đi m b t kỳ trên c nhầ ượ ể ạ ể ấ ạ
SA. D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MHK)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
12*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy l n AD = 2BC. G i N là trung đi mớ ọ ể
c a SB,M n m trên c nh SA sao cho AM = 2MS. G i ủ ằ ạ ọ α là m t ph ngặ ẳ
thay đ i qua MN c t BC và AD t i P và Qổ ắ ạ
a)Ch ng minh r ng 4 đ ng th ng MN,AB,CD và PQ đ ng qui t i m tứ ằ ườ ẳ ồ ạ ộ
đi m Iể
b)G i J và K l n l t là giao đi m c a SC và SD v i ọ ầ ượ ể ủ ớ α,ch ng minh r ngứ ằ
ba đi m I ,J ,K th ng hàngể ẳ
c)Tìm α
(SAC) và α
(SBD)
d)G i R = MQọ
NP , Ch ng minh r ng đi m R ch y trên m t đ ngứ ằ ể ạ ộ ườ
th ng c đ nh khi ẳ ố ị α thay đ iổ
.Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng a.G i I là trung đi m c a AD, J làứ ệ ề ạ ằ ọ ể ủ
đi m đ i x ng v i D qua C, K là đi m đ i x ng v i D qua Bể ố ứ ớ ể ố ứ ớ
a)Xác đ nh thi t di n c a t di n v i m t ph ng (IJK)ị ế ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ
b)Tính di n tích c a thi t di n y ệ ủ ế ệ ấ
Đ ng th ng song song đ ng th ng ườ ẳ ườ ẳ
Đ nh nghĩaị: hai đ ng th ng song song là hai đ ng th ng cùng n mườ ẳ ườ ẳ ằ
trong m t m t ph ng và không có đi m chungộ ặ ẳ ể
Đ nh lý 1ị:Hai đ ng th ng cùng song song v i đ ng th ng th ba thìườ ẳ ớ ườ ẳ ứ
song v i nhau: a //c & b//c ớ⇒ a // b
Chú ý: Khi hai đ ng th ng a và b cùng n m trong m t m t ph ng thì taườ ẳ ằ ộ ặ ẳ
có th s d ng các đ nh lý đã h c đ ch ng minh chúng song song v iể ử ụ ị ọ ể ứ ớ
nhau:
*hai đ ng th ng cùng vuông góc v i m t đ ng th ng thì // v i nhauườ ẳ ớ ộ ườ ẳ ớ
*Dùng đ nh lý Talet: M t đ ng th ng song song v i m t c nh ị ộ ườ ẳ ớ ộ ạ
c a tam giác thì ch n trên hai c nh kia nh ng đo n th ng t ngủ ắ ạ ữ ạ ẳ ươ
ng t lứ ỉ ệ
Đ nh lý 2ị: N u hai m t ph ng c t nhau l n l t có ch a haiế ặ ẳ ắ ầ ượ ứ
đ ng ườ
th ng song song thì giao tuy n c a chúng song song v i haiẳ ế ủ ớ
đ ng th ng yườ ẳ ấ
β⊂α⊂
=β∩α
b//a
b,a
d
⇒ d // a ,b
1.Cho t di n ABCD.G i I,J,K,L l n l t là trung đi m c a AB,BC,ứ ệ ọ ầ ượ ể ủ
CD, DA .Ch ng minh r ng IJKL là hình bình hànhứ ằ
2.Cho t di n ABCD .G i H, K là tr ng tâm c a các tam giác BCD vàứ ệ ọ ọ ủ
ACD .Ch ng minh r ng HK//ABứ ằ
3.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i M, N, P, Q làọ
các đi m trên các c nh BC, SC, SD, DA sao cho MN//BS, NP//CD,ể ạ
MQ//CD . Ch ng minh r ng PQ//SAứ ằ
4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là m t t giác l i.G i M ,N ,E ,F l nộ ứ ồ ọ ầ
l t là trung đi m c a các c nh bên SA ,SB ,SC ,và SDượ ể ủ ạ
a)Ch ng minh r ng ME//AC , NF//BDứ ằ
b)Ch ng minh r ng ba đ ng th ng ME ,NF ,và SO(O là giao đi m c aứ ằ ườ ẳ ể ủ
AC và BD) đ ng qui ồ
c)Ch ng minh r ng 4 đi m M,N,E,F đ ng ph ngứ ằ ể ồ ẳ
4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t .G i M ,Nữ ậ ọ
,E ,F l n l t là tr ng tâm c a các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA.ầ ượ ọ ủ
Ch ng minh r ng :ứ ằ
a) B n đi m M,N,E,F đ ng ph ngố ể ồ ẳ
b)T giác MNEF là hình thoiứ
c)Ba đ ng th ng ME ,NF và SO đ ng qui (O là giao đi m c a AC vàườ ẳ ồ ể ủ
BD)
5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng n m trong m tằ ộ
m t ph ng .Trên các đo n AC và BF l n l t l y các đi m M ,N saoặ ẳ ạ ầ ượ ấ ể
cho:
AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1)
a)Gi s k = 1/3 ;ch ng minh r ng MN // DEả ử ứ ằ
b)Gi s MN // DE hãy tính kả ử
6.Cho t di n ABCD .Trên các c nh AC, BC, AD l y 3 đi mứ ệ ạ ấ ể
M,N,P.D ng giao tuy n (MNP) ự ế
(BCD) trong các tr ng h p sau:ườ ợ
a) PM c t CD b) PM //CDắ
8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy l n AB. G i M, Nớ ọ
là trung đi m c a SA và SCể ủ
a)D ng các giao tuy n (SAB) ự ế
(SCD) , (DMN)
(ABCD)
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (DMN)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
9.Cho t di n ABCD .G i I, J là trung đi m AB, AD .Đi m M thay đ iứ ệ ọ ể ể ổ
trên c nh BC ạ
a)Tìm giao đi m N c a CD và (IJM)ể ủ
b)G i H là giao đi m c a IM và JN ;K là giao đi m c a IN ọ ể ủ ể ủ
và JM. Tìm t p h p các đi m H; K khi M thay đ i trên c nh BCậ ợ ể ổ ạ
10.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy l n AD .ớ Đi mể
M thay đ i trên c nh SAổ ạ
a)D ng giao đi m N c a SD và m t ph ng(BCM)ự ể ủ ặ ẳ
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng(BCM)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
c)G i I =BM ọ
CN.Tìm tâp h p đi m I khi M ch y trên SAợ ể ạ
11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i H,K là trungọ
đi m SA,SB ể
a)Ch ng minh r ng HK//CDứ ằ
b)Trên c nh SC l y đi m M. D ng thi t di n c a hình chópạ ấ ể ự ế ệ ủ
v i m t ph ng(MKH)ớ ặ ẳ
12.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,đi m M thay đ iể ổ
trên c nh SD ạ
a)D ng giao tuy n (SAD) ự ế
(SBC)
b)D ng giao đi m N c a SC và m t ph ng(ABM); ABMN là ự ể ủ ặ ẳ
hình gì ? Có th là hình bình hành không ?ể
c)G i I là giao đi m c a AN và BM.Ch ng minh r ng khi M ọ ể ủ ứ ằ
ch y trên c nh SD thì I ch y trên 1 đ ng th ng c đ nhạ ạ ạ ườ ẳ ố ị
.Cho t di n ABCD .G i I,J K l n l t là tr ng tâm c a các tam giácứ ệ ọ ầ ượ ọ ủ
BCD ,CDA ,ABC. D ng thi t di n c a ABCD v i m t ph ng (IJK)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .G i M là trungọ
đi m c a c nh SC.ể ủ ạ
a)Tìm giao đi m I c a AM v i (SBD).Ch ng minh IA =2IMể ủ ớ ứ
b)Tìm giao đi m F c a SD v i (ABM).Ch ng minh r ng F ể ủ ớ ứ ằ
là trung đi m c a SD và ABMF là m t hình thangể ủ ộ
c)G i N là m t đi m tuỳ ý trên c nh AB.Tìm giao đi m c a ọ ộ ể ạ ể ủ
đ ng th ng MN v i m t ph ng(SBD)ườ ẳ ớ ặ ẳ
14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .M là
trung đi m c a SC và N là trung đi m c a OBể ủ ể ủ
a)Tìm giao đi m I c a SD v i m t ph ng (AMN)ể ủ ớ ặ ẳ
b)Tính t s ỉ ố
15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là m t t giác l i.G i M và N l n l tộ ứ ồ ọ ầ ượ
là tr ng tâm c a các tam giác SAB và SAD. E là trung đi m c a BCọ ủ ể ủ
a)Ch ng minh r ng MN // BDứ ằ
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MNE)ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ
c)G i H và K l n l t là các giao đi m c a m t ph ng (MNE) v i cácọ ầ ượ ể ủ ặ ẳ ớ
c nh SB và SD. Ch ng minh r ng LH // BDạ ứ ằ
Đ ng th ng song song m t ph ngườ ẳ ặ ẳ
1.Cho t di n ABCD .G i I, J là trung đi m c a BC và CDứ ệ ọ ể ủ
a)Ch ng minh r ng BD//(AIJ)ứ ằ
b)G i H, K là tr ng tâm c a các tam giác ABC và ACD ọ ọ ủ
Ch ng minh r ng HK//(ABD)ứ ằ
2.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G là tr ng tâm c aọ ủ
tam giác SAB và E là đi m trên c nh AD sao cho DE = 2EA. Ch ngể ạ ứ
minh r ng GE // (SCD)ằ
3.Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đ ng ph ng.ồ ẳ
a)G i M , N là trung đi m c a AD,BE.Ch ng minh r ng MN//(CDE)ọ ể ủ ứ ằ
b)Trên các đo n AC và BF l n l t l y các đi m P, Q sao cho ạ ầ ượ ấ ể
AM = kAC ; BN = kBF (0 < k < 1). Ch ng minh r ng MN // (CDEF)ứ ằ
5.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i M,ọ
N là trung đi m c a AB và AD.M t ph ng ể ủ ặ ẳ α ch a MN và //SAứ
a)D ng giao đi m c a SC và ự ể ủ α
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i ự ế ệ ủ ớ α
6.Cho t di n ABCD.Trên c nh AB l y đi m M.G i ứ ệ ạ ấ ể ọ α là
m t ph ng qua M và // 2 c nh AC,BD.D ng thi t di n c a tặ ẳ ạ ự ế ệ ủ ứ
di n v i ệ ớ α
7.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,M là
1đi m thay đ i trên c nh AB.M t ph ng ể ổ ạ ặ ẳ α qua M và //SA và AD
a)D ng thi t di n c a ự ế ệ ủ α v i hình chóp .Ch ng minh thi t ớ ứ ế
di n là hình thangệ
b)Ch ng minh r ng đo n giao tuy n c a ứ ằ ạ ế ủ α v i(SCD) thì//SDớ
c)Tìm quĩ tích giao đi m 2 c nh bên c a thi t di n khi Mể ạ ủ ế ệ
thay đ i trên c nh SDổ ạ
8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy l nAB. ớ
Đi m M thay đ i trên c nh BC,m t ph ng ể ổ ạ ặ ẳ α qua M và //AB và SC
a)D ng giao tuy n (SAD) ự ế
(SBC)
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i ự ế ệ ủ ớ α
c)Ch ng minh r ng đo n giao tuy n c a ứ ằ ạ ế ủ α v i (SAD) thì //SDớ
9.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G i M,N là trung ọ
đi m SA,SB.Đi m P thay đ i trên c nh BCể ể ổ ạ
a)Ch ng minh r ng CD//(MNP)ứ ằ
b)D ng thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (MNP) . ự ế ệ ủ ớ ặ ẳ