DẠNG II. MOMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN, HỆ VẬT RẮN
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN
Câu 1. Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = 3kg, gắn vào hai đầu AB của thanh hai chất điểm khối lượng 2
m 3kg
và m3 = 4kg. Momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với thanh và đi qua trung điểm AB có giá trị
A. 1kgm2. B. 2kgm2. C. 1,5kgm2. D. 2,5kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính của hệ: I = I1 + I2 + I3
Với:
2
2
2 2 2 32
1 1 2 2 2 3 3 3
m l
m l1
I m l ;I m R ;I m R
12 4 4
Vậy: I =
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 l
m l m l m l m 3m 3m
12 4 4 12
2kgm2
Câu 2. Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m, khối lượng m = 2kg. Đặt hai vật nhỏ khối lượng m1 = 2kg vào mép đĩa tại A và m2
= 3kg vào tâm đĩa. Momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa là
A. 5,75kgm2. B. 5kgm2. C. 5,25kgm2. D. 5,5kgm2.
Hướng dẫn giải:
Do m2 nằm ở tâm đĩa nên momen quán tính bằng 0. Do đó momen quán tính của hệ là
2
2 2
G 1 2 1 1
1 R
I I I mR m R m 2m 5,75
kgm2.
Câu 3. Một thanh AB đồng chất dài l = 2m, khối lượng m = 4kg. Momen quán tính của thanh đối với trục quay qua trọng tâm G của
thanh có giá trị
A. 1,13kgm2. B. 1,33kgm2. C. 1,53kgm2. D. 1,73kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính của thanh đối với trục quay đi qua atrong tâm G của thanh:
2
G
1
I ml
12
= 1,33kgm2.
Câu 4. Một thanh AB đồng chất dài l = 2m, khối lượng m = 4kg. Momen quán tính của thanh đối với trục quay vuông góc với thanh đi
qua điểm O trên thanh và cách đầu A một khoảng 50cm có giá trị
A. 2,33kgm2. B. 2,53kgm2. C. 2,13kgm2. D. 2,73kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính của thanh đối với trục quay đi qua O là
I = IG + m.OG2 =
2
2 2
1 l 7 7
ml m ml
12 4 48 3
kgm2.
Câu 5. Bốn chất điểm có khối lượng lần lượt là m1 = 1kg, m2 = 2kg, m3 = 3kg, m4 = 4kg. lần lượt được gắn vào bốn đỉnh A, B, C, D của
một hình vuông ABCD cạnh a = 2m. Momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng hình vuông đi qua tâm O
của hình vuông có giá trị
A. 20kgm2. B. 21kgm2. C. 22kgm2. D. 23kgm2.
Hướng dẫn giải:
Ta có: OA = OB = OC = OD =
a 2
2
=
2
m
Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua O
2 2 2 2 2
O 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
I I I I I m r m r m r m r 20kgm
Câu 6. Một ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm và có momen quán tính đối với trục quay đi qua tâm
bằng 0,05kgm2. Ròng rọc bắt đầu chuyển động quay nhanh dần đều khi chịu tác dụng của lực không đổi
F 1N
tiếp
tuyến với vành của ròng rọc như hình vẽ. Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc với trục quay và lực cản không khí. Tốc độ góc của
ròng rọc sau khi đã quay được 10 s có giá trị
A. 48rad/s. B. 45rad/s. C. 40rad/s. D. 47rad/s.
Hướng dẫn giải:
Ta có: F.R 1.0,2
M F.R I 4
I 0,05
rad/s2.
m1
m2 m3
G
A B
A O
m1 m2
O
A G
m1 m2
F
Áp dụng công thức: 0
t 0 4.10 40
rad/s.
Câu 7. Cho cơ hệ như hình vẽ, vật nặng có khối lượng m = 2kg được nối với sợi dây quấn quanh một ròng rọc có bán kính
R 10cm
và momen quán tính I = 0,5kg.m2. Dây không dãn, khối lượng của dây không đáng kể và dây không trượt trên
ròng rọc. Ròng rọc có thể quay quanh trục quay đi qua tâm của nó với ma sát bằng 0. Người ta thả cho vật nặng chuyển động
xuống phía dưới với vận tốc ban đầu bằng 0. Lấy g = 10m/s2. Từ lúc thả đến lúc vật nặng chuyển động xuống một đoạn bằng
1m thì ròng rọc quay được một góc bằng
A. 12rad. B. 10rad. C. 13rad. D. 11rad.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định luật II Niu tơn cho chuyển động tịnh tiến của vật nặng ta được: mg – T = ma(1)
Áp dụng phương trình động lực học: M = TR = I
a
R
(2)
Tính gia tốc a của vật nặng
2 2 2
mg 1 1
a g 10 0,385
I I 0,5
m 1 1
R mR 2.0,1
m/s2
Áp dụng công thức tính đường đi cho vật nặng chuyển động tịnh tiến:
2 2
0
1 1 2
s v t at 1 0 0,385.t t
2 2 0,385
s.
Gia tốc góc của ròng rọc: a 0,385
3,85
R 0,1
rad/s2.
Trong khoảng thời gian 2
t s
0,385
vật nặng chuyển động được đoạn đường s = 1m thì ròng rọc quay được một góc
.
được tính theo công thức tính toạ độ góc của ròng rọc:
2
2 2
0 0
1 1 1 2 3,85.2
t t t .3,85. 10rad
2 2 2 0,385 2.0,385
.
Câu 8. Bốn chất điểm có khối lượng lần lượt là m1 = 1kg, m2 = 2kg, m3 = 3kg, m4 = 4kg. lần lượt được gắn vào bốn đỉnh A, B, C, D của
một hình vuông ABCD cạnh a = 2m. Momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng hình vuông đi qua đỉnh A
của hình vuông có giá trị
A. 42kgm2. B. 46kgm2. C. 44kgm2. D. 48kgm2.
Hướng dẫn giải:
2 2 2 2
A 1 2 3 4 2 2 3 3 4 4
I I I I I 0 m r m r m r 48kgm
Câu 9. Cho cơ hệ như hình vẽ. Hai vật A và B được nối qua sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể vắt qua
ròng rọc. Khối lượng của A và B lần lượt là mA
= 2kg, mB = 4kg. Ròng rọc có bán kính là R= 10cm và momen quán
tính đối với trục quay của ròng rọc là I = 0,5kg.m2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt trên ròng rọc và
lấy g = 10m/s2. Người ta thả cho cơ hệ chuyển động với vận tốc ban đầu của các vật bằng 0. Lực căng dây nối với
vật A có giá trị
A. 20,714N. B. 20,794N. C. 20,114N. D. 20,984N.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định luật II Niutơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
A A A
T P m a
(1)
B B B
P T m a
(2)
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
B A
a
M T T R I I
R
(3)
Gia tốc: B A
A B
2
P P
a
I
m m
R
Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 0,357m/s2.
Lực căng dây:
A A A
T m a P 2.0,357 2.10 20,714N
.
T
T
m2
P
B
P
PA
TA
TB
TA
TB
mB
mA
Câu 10. Một thanh cứng đồng chất AB có chiều dài l = 2m, khối lượng m = 3kg, Gắn chất điểm có khối lượng m1 = 1kg vào đầu A của
thanh thanh. Momen quán tính của hệ đối với trục vuông góc với thanh đi qua trung điểm của thanh có giá trị
A. 1kgm2. B. 2kgm2. C. 2,5kgm2. D. 3,5kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính đối với trục quay qua B:
2
2 2 2 2
G 1 1
1 l
I I md m l ml m m l
12 2
8kgm2.
Câu 11. Cho hai vật A và B có khối lượng của A và B lần lượt là mA = 2kg, mB = 6kg được nối qua sợi dây
không dãn, khối lượng không đáng kể vắt qua hai ròng rọc như hình bên. Ròng rọc 1 có bán kính R1 = 10cm
và momen quán tính đối với trục quay là I1 = 0,5kg.m2. Ròng rọc 2 có bán kính R2 = 20cm và momen quán
tính đối với trục quay là I2 = 1kg.m2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt trên ròng rọc và lấy
2
g 10m / s
. Thả cho cơ hệ chuyển động. Gia tốc góc của ròng rọc 1 có độ lớn
A. 6.12rad/s2. B. 6.82rad/s2. C. 6.92rad/s2. D. 6.42rad/s2.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định luật II Niu tơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
A A A
T P m a
(1);
B B B
P T m a
(2)
Áp dụng phương trình động lực học cho hai ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta
được:
1 A 1 1 1 1
1
a
M T T R I I
R
(3);
2 B 2 2
2
a
M T T R I
R
(4)
Giải hệ phương trình: B A
1 2
A B
2 2
1 2
P P
a
I I
m m
R R
= 0,482m/s2
2
11
a 0,482
4,82rad / s
R 0,1
.
Câu 12. Một đĩa tròn đồng chấtt khối lượng m = 5kg, bán kính R = 8cm. Trên đường kính AB của đĩa ở hai đầu A và B ta gắn hai chất
điểm khối lượng m1 = 2kg và m2 = 4kg. Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua tâm vuông góc với đĩa có giá trị
A. 30,6.10 -3kgm2. B. 30,6.10 -3kgm2. C. 30,6.10 -3kgm2. D. 30,6.10 -3kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua tâm:
2 2 2 3
1 2 3 1 2
1
I I I I mR m R m R 30,6.10
2
kgm2.
Câu 13. Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể và vắt
qua một ròng rọc trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng góc
o
30
như hình vẽ. Khối lượng của hai vật lần
lượt là mA = 2kg, mB = 3kg. Ròng rọc có bán kính R1 = 10cm và momen quán tính đối với trục quay là
I1 = 0,05kg.m2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt trên ròng rọc và lấy g = 10m/s2. Thả cho
hai vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Áp lực của dây nối lên ròng rọc có giá trị
A. 30,55N. B. 36,55N. C. 32,55N. D. 38,55N.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định luật II Niutơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
A A A
P T m a
(1)
B B B
T P sin m a
(2)
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định
ta được:
A B
a
M T T R I I
R
(3)
Giải hệ phương trình: A B
A B
2
P P sin
a
I
m m
R
= 0,5m/s2; A A A
T m a P 2.0,5 2.10 21N
O
A G B
m1
mA
mB
TB
A
T
B
T
B
P
A
T
T
T
mA
mB
α
PA
TA
TA
TB
TB N
PB α
BBB 1
T m a P sin 3.0,5 3.10. 16,5N
2
Áp lực của dây lên ròng rọc là tổng hợp lực của hai lực căng TA
và TB:
2 2
A B A B
T T T 2.T .T cos 90
=
1059,75 32.55N
.
Câu 14. Một quả cầu đồng chất lăn không trượt xuống dọc một mặt phẳng nghiêng tạo với phương ngang một góc α = 300. Giá trị của
hệ số ma sát để quả cầu không bị trượt trong quá trình chuyển động.
A. 2
tan
7
B. 3
tan
7
C. 1
tan
7
D. 4
tan
7
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định luật II Niutơn cho khối tâm:
mgsinα - Fmsn = ma (1)
Áp dụng phương trình động học cho chuyển động quay: Fmsn R= Iγ = I
a
R
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2
mg sin g sin 5
a gsin 3,57
I 7 7
m
R 5
m/s2
Điều kiện để quả cầu lăn không trượt:
Từ (2) msn
2
F mg sin
7
Fmsn
μmgcosα 2
tan
7
Câu 15. Một đĩa tròn đồng chấtt khối lượng m = 5kg, bán kính R = 8cm. Trên đường kính AB của đĩa ở hai đầu A và B ta gắn hai chất
điểm khối lượng m1 = 2kg và m2 = 4kg. Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua A và vuông góc với đĩa là
A. 77,5kgm2. B. 84,6kgm2. C. 79,8kgm2. D. 73,7kgm2.
Hướng dẫn giải:
Momen quán tính đối với trục quay qua A:
2 2
2 2
G 2 G 2
I I mR m 2R I mR m 2R
= 84,6kg.m2
Câu 16. Một ròng rọc dạng đĩa tròn có khối lượng m = 6kg bán kính 10cm người ta treo hai quả nặng có khối lượng
m1 = 4kg và m2 = 1kg vào hai đầu một sợi dây vắt qua ròng rọc có trục quay cố định nămg ngang. Sợi dây không dãn và
không trượt trên ròng rọc. Lấy g = 10m/s2. Lực căng dây nối có giá trị
A. 13,75N. B. 13,75N. C. 13,75N. D. 13,75N.
Hướng dẫn giải
Chọn chiều chuyển động làm chiều dương. Áp dụng định luật II Niutơn cho m1, m2.
P1 – T1 = m1a.(1)
- P2 + T2 = m2a.(2)
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc:
1 2
a
T T R I I.
R
(3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
2
m m g m m g
a 3,75
I m
m m m m
R 2
m/s2.
Lực căn dây nối: T1 = m1g – m1a = 25N; T2 = m2g + m2a = 13,75N
Câu 17. Thanh nhẹ AB dài l = 1m. hai đầu thanh có gắn hai vật nặng m1 = 2kg và m2 = 3kg. C là điểm trên thanh có gắn trục quay
vuông góc với thanh. Vị trí của C để momen quán tính của hệ đối với trục quay này là nhỏ nhất là
A. AC = 0,4m. B. AC = 0,7m. C. AC = 0,8m. D. AC = 0,6m.
Hướng dẫn giải:
Gọi khoảng cách AC = x, khi đó BC = l – x. Momen quấn tính của hệ là
2
2 2
1 2 1 2
I I I m x m l x 5x 6x 3
I có giá trị nhỏ nhất khi b 6
x 0,6m
2a 2.5
Khi đó: Imin = 1,2kgm2
m1
m2
P1
T1
T1
T2
T2
P2
P
N
Fms
α
Câu 18. Thanh nhẹ AB dài l = 1m. hai đầu thanh có gắn hai vật nặng m1 = 2kg và m2 = 3kg. C là điểm trên thanh có gắn trục quay
vuông góc với thanh để momen quán tính của thanh là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của momen quán tính là
A. 1,4kgm2. B. 1,5kgm2. C. 1,2kgm2. D. 1,3kgm2.
Hướng dẫn giải:
Gọi khoảng cách AC = x, khi đó BC = l – x. Momen quấn tính của hệ là
2
2 2
1 2 1 2
I I I m x m l x 5x 6x 3
I có giá trị nhỏ nhất khi b 6
x 0,6m
2a 2.5
Khi đó: Imin = 1,2kgm2
Câu 19. Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m1 = 3kg. Gắn vào hai đầu AB của thanh hai chất điểm khối lượng 2
m 3kg
và m3 = 4kg. Momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với thanh và đi qua A có giá trị
A. 5kgm2. B. 2,5kgm2. C. 7,5kgm2. D. 10kgm2.
Hướng dẫn giải:
Vì thanh đồng chất tiết diện đều nên G là trung điểm của AB. Do đó momen quan tính
của hệ đối với trục quay qua A:
2
2 2
A G 2 3 1 1 3 1
1 l
I I I I m d m l m l m
12 2
5kgm2.
Câu 20. Ba chất điểm có khối lượng m1 = m2 = 2kg và m3 = 4kg gắn lần lượt vào 3 đỉnh của tam giác đều ABC cạnh a = 8cm. Momen
quán tính của hệ đối với trục quay đi qua khối tâm G của hệ có giá trị
A. 0,016kgm2. B. 0,016kgm2. C. 0,016kgm2. D. 0,016kgm2.
Hướng dẫn giải:
Toạ độ khối tấm của 3 chất điểm:
1 1 2 2 3 3
G
1 2 3
m x m x m x
x 0
m m m
; 1 1 2 2 3 3
G
1 2 3
m y m y m y
a 3
y
m m m 4
Ta có
2 2
A G A G
GA x x y y ;
2 2
B G B G
GB x x y y
2 2
C G C G
GC x x y y
Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua G là
2 2 2 2
G 1 2 3 1 2 3
I I I I m GA m GB m GC 2,5a
IG = 0,016kgm2.
Câu 21. Ba chất điểm có khối lượng m1 = m2 = 2kg và m3 = 4kg gắn lần lượt vào 3 đỉnh của tam giác đều ABC cạnh a = 8cm. Gắn vào
hệ một trục vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác và đi qua điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác. Để momen quán tính của hệ là
nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất cỉa momen quán tính là
A. 0,0184kgm2. B. 0,0184kgm2. C. 0,0184kgm2. D. 0,0184kgm2.
Hướng dẫn giải:
Toạ độ khối tấm của 3 chất điểm:
1 1 2 2 3 3
G
1 2 3
m x m x m x
x 0
m m m
; 1 1 2 2 3 3
G
1 2 3
m y m y m y
a 3
y
m m m 4
Ta có
2 2
A G A G
GA x x y y ;
2 2
B G B G
GB x x y y
2 2
C G C G
GC x x y y
Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua G là
2 2 2 2
G 1 2 3 1 2 3
I I I I m GA m GB m GC 2,5a
IG = 0,016kgm2.
Momen quán tính của hệ đối với trục quay qua D.I = IG + (m1 + m2 + m3 ) GD2
Do IG không đổi nên Imin khi GDmin do đó GD
BC nên
DGC OBC
:
GD GC OB.GC a 3
GD
OB BC BC 8
Imin = 0,0184kgm2.
Câu 22. Một vành tròn đồng chất tiết diện đều, có khối lượng M = 5kg, bán kính vành ngoài là R = 50cm, vòng trong là r = 40cm
D
A B
C
O
G
x
y
D
A B
C
O
G
x
y
m1
m2 m3
G
A B