Bài tập về sự tương giao liên quan đến hàm phân thức

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC

PHẦN 7:

BÀI TẬP VỀ SỰ TƯƠNG GIAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC

́ VD1: Cho hà m sô cố đô ̀ thị là (C).

̀ ng đườ ng tha ̉ ng (d): y = 2x + m luôn luôn ca ́ t (C) tạ i hai điê ̉ m phân biê ̣ t M

a) Chứ ng minh ra và N.

b) Xá c định m đê ̣ dà i MN nhổ nha ̉ đô ́ t.

Phương trình hoà nh đô ̣ giaô điê ̉ m củ a (d) và (C):

Ta cố :

→ phương trình (*) luôn luôn cố hai nghiê ̣ m phân biê ̣ t khá c – 1.

Va ̣ y (d) luôn ca ́ t (C) tạ i hai điê ̉ m phân biê ̣ t M và N. Gộ i x1, x2 la ̀ n lượ t là hoà nh đô ̣ củ a M và N

thì x1, x2 là nghiê ̣ m củ a phương trình (*). Ta cố : . Ma ̣ t

khá c: . Ta cố :

. Va ̣ y MNmin = , đạ t đượ c khi m = 3.

VD2: Cho hàm số có đồ thị là , với là tham số thực. Tìm m để đường thẳng

cắt tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện

tích là

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

Hôành độ giaô điểm A, B của d và là các nghiệm của phương trình

(1)

Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác .

Ta có

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là

Suy ra thỏa mãn.

VD3: Cho hàm số y = (C) . Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2

điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì pt hay x2 + (m - 4)x -2x = 0 (1) có 2

nghiệm phân biệt khác 2. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi

(2).

Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là 2 giaô điểm khi đó x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (1). Thêô định

lí viet ta có , y1=x1+m, y2=x2+m

Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0. A, B nằm khác phía đối với đt x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x1- 2)(x2 - 2) < 0 hay

x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vàô 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5)

mặt khác ta lại có AB = (6)

vậy AB = nhỏ nhất khi m = 0 (7). Từ (1),

Thay (3) vàô (6) ta được AB = (5), (7) ta có m = 0 thoả mãn .

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

VD4: Cho hàm số . Tìm a và b để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm

phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ): .

Phương trình của được viết lại: .

Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với hay

Khi đó phương trình hôành độ giao điểm giữa (d) và (C):

. (1)

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt

b tuỳ ý.

Gọi I là trung điểm của AB, ta có

Vậy để thoả yêu cầu bài toán

VD5: Cho hàm số ( 1 ) có đồ thị . Chứng minh rằng đường thẳng

luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất.

Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc

hai nhánh khác nhau. Xác định m để đôạn AB có độ dài ngắn nhất .

Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình. có

hai nghiệm phân biệt với mọi m và

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

có hai nghiệm phân biệt

Vậy với mọi giá trị của m thìđường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B thuộc hai nhánh khác nhau.

là hai điểm giao giữa (d) và (C).( là hai nghiệm của Gọi

phương trình (*))

Ta có

Theo Vi ét ta có .

Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 6: Cho hàm . Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân

biệt M, N sao cho đạt giá trị nhỏ nhất, với .

PT hôành độ giaô điểm của (C) và d:

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  .

Gọi I là trung điểm của MN  cố định.

Ta có: . Dô đó nhỏ nhất  MN nhỏ nhất

. Dấu "=" xảy ra  .

khi . Vậy:

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai

VD7: Cho hàm số y = (1). Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1)

tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)

Xét pt:

d cắt đồ thị hs (1) tại M, N

VD 8: Cho hàm số . Tìm các giá trị của m saô chô đường thẳng (d):

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)). Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hôành độ giaô điểm của (d) và (C):

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N có hai nghiệm phân biệt khác 1

(đúng với mọi m). Tọa độ các giaô điểm là .

;

 .