http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
B
A
S
C
M
a 3
2a
S∆ABC = 2
1o
aa 60sin.3.3 = 4
33
2
3
2
32
2a
a
VSABC =3
1SA.S∆ABC = 2
33
a. Gọi M là trung điểm BC
AM
BC
BC
SA ⇒BC
SM
AM = 2
3
2
3.3 a
a
∆SAM vuông tại A có SM2= SA2+ AM2= 4a2 + 4
9a2= 4
25 a2⇒ SM = 2
5a
S∆SBC = 2
1SM.BC = 2
35 a2
d(A, (SBC)) = 5
3
.
..3
3
2
2
35
3
2
3
a
a
S
V
SBC
SABC a
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b(ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5.
Tính d(A, (BCD)) ?
GIẢI
C
A
B
D
4
5
3
M
5
http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Dễ thấy ∆ABC vuông tại A .S∆ABC = 2
1AB.AC = 6. VDABC = 3
1S∆ABC.DA = 8
∆DAC có DC = 4 2. ∆DAB có DB = 5
∆DBC có BC = BD = 5 ⇒∆DBC cân tại B, gọi M là trung điểm DC ⇒BM
DC
BM = 17825 . S∆DBC = 2
1BM.DC = 2
1.17 .4 2= 2 34
d(A, (DBC)) = 34
12
3
DBC
DABC
S
Va
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c.
Tính d(A, (BCD))
GIẢI
A
N
B
C
D
M
a
∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD
⇒AM = BM, DC
(ABM)
Gọi N là trung điểm AB ⇒MN
AB
MN2= BM2- BN2= c2+ 4
4
44
22222 abcab
S∆AMN = 222
42
4
24. 222 abc
aabca
VABCD = 2 VBCMA = 2. 3
1CM.S(∆ABM) = 222
12
222
423
244.. abcabc abab
V∆BCD = BM.CD = 4
2
2
12
b
c.b = 4
b22
4bc
d(A, (BCD)) = 22
222
22
4
222
4
4
4
4.
4
3
bc
abc
bc
abc
S
Va
b
ab
BCD
ABCB
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x
b)Tính d(A, (BCD))
Tương tự bài 4
Đáp số: VABCD = 6
2
x
http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
d(A, (BCD)) = x 2
24
2
4
4
x
x
x
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1có AB = a, AC = = 2a, AA1= 2a 5và BAC =
120o. Gọi m là trung điểm của cạnh CC1.
Chứng minh rằng MB
MA1và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
GIẢI
B
A
C
2a
y
x
z
M
C1
A1
B1
Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A1. trục A1Z
hướng theo AA1
Trục A1y hướng theo 11CA Trục A1x tạo với trục Oy góc 90ovà nằm trong MP
(A1B1C1).
Toạ độ các điểm:
A1(0 ; 0; 0), B1()0;; 22
3a
a, C1(0; 2a; 0)
A(0 ; 0; 2a 5), B( )52a;; 22
3a
a, C(0; 2a; 2a 5)
M(0; 2a; a 5)
BM
(;; 2
5
2
3a
a
-a 5)
MA1(0; 2a; a 5),
AB
(;; 22
3a
a0)
MABM 1
.= 0+5a2- 5a2= 0 (BM
MA1 )
Thể tích khối chóp AA1BM bằng V = 6
1|
AB
[MABM 1
,]|
MABM 1
.=
5
2
a
-a 5
2
a
-a 5
2
a
5
2
a
2a a 5 ; 0 a 5 ; 0 2a
http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
=
3;; 2
2
15
2
59 22 a
aa
⇒VAA1BM = 3
15
2
15
22
59
2
3
6
1222 0.. aa
a
aa
S∆BMA1= 6
1.
MABM 1
.= 3a23⇒Khoảng cách từ A tới (BMA1) bằng
h = 3
5
3a
S
V
Bài 7: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M //
với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1.
Chứng minh rằng: 1
111 OC
MC
OB
MB
OA
MA
GIẢI
H
B
C
A
O
K
A1
M
Nối M với các đỉnh O,A,B,C. Khi đó
VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA
1= OABC
MOCA
OABC
MOBC
OABC
MOAB
V
V
V
V
V
V
Xét OABC
MOAB
V
V
Kẻ AH b(OBC), MK b(OBC) AH //MK
∆OAH ∾A1MK ⇒MK
AH
MA
OA
1
OA
MA
AH
MK
V
V
OABC
MOBC 1
Tương tự ta có OC
MC
V
V
OABC
MOAB 1
OB
MB
V
V
OABC
MOCA 1
Vậy 1
111 OC
MC
OB
MB
OA
MA
http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S
AB
C
D
C1
D1
A1
B1
M
HKA1
A
B
C
D
Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC,
MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1.
Chứng minh rằng 1
1
1
1
1
1
1
1
1 DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
GIẢI
Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:
V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC
1= V
V
V
V
V
V
V
VMABC
MABD
MACDMBCD
Xét V
VMBCD
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒MK//AH ⇒1
1
AA
MA
AH
MK
1
1
AA
MA
AH
MK
V
VMBCD
Tương tự: 1
1
BB
MB
V
VMACD ; 1
1
CC
MC
V
VMABD ; 1
1
DD
MD
V
VMABC
Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1,
B1, C1sao cho 3
21
SA
SA ; 2
11
SB
SB ; 3
11
SC
SC
Mặt phẳng qua A1, B1, C1cắt SD tại D1. Chứng minh rằng 5
21
SD
SD
GIẢI
Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = 2
V
9
1111111 .. SC
SC
SB
SB
SA
SA
VSABC
VCBSA (1)
SD
SD
SC
SC
SD
SD
SA
SA
VSADC
VCDSA 1111111 ... 9
2
(2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được
SD
SD
V
VDCBSA 1
2
1
1111 .
9
2
9
1
Tương tự: SD
SD
SD
SD
SB
SB
SA
SA
VSABD
VDBSA 1111111 ... 3
1
(4)
SD
SD
SD
SD
SC
SC
SB
SB
VSBCD
VDCSB 1111111 ... 6
1
(5)
Cộng vế với vế (4) và (5) ta được
SD
SD
V
VDCBSA 1
2
1
1111 .
2
1
Từ (3) và (6) ta có SD
SD
SD
SD 11 .. 9
2
9
1
2
1 ⇒5
21
SD
SD