Bài tập tự luận Động lực học vật rắn Chương 1: Giải chi tiết

ƯƠ Ọ Ậ Ộ Ự Ắ CH NG I : Đ NG L C H C V T R N

Ể Ộ Ố Ủ Ủ Ấ Ậ Ắ V N Đ 1 Ề : CHUY N Đ NG C A KH I TÂM C A V T R N

ị

ứ ậ ắ ố ủ ọ ộ ủ ố ậ ụ ọ ị ố ề ủ ị ệ ố ượ ệ t di n đ u dài 60cm, kh i l ng 100g. Xác đ nh kh i tâm c a h

ầ ầ ậ ể ộ ề ệ ố ượ

1, m2 và m3 đ

1 = 2.m2 = 2m và AB = BC. Đ kh i tâm c a h n m t

1 = 3.m2 = 3.m3. Xác

ố ộ ắ ườ ố ượ ề t di n đ u có chi u dài l, kh i l ủ ệ ể ầ ủ ấ ế ạ ầ ng m. T i đ u B c a ấ ng m/2. Kh i tâm c a h (thanh AB và ch t đi m) cách đ u A ộ ể ề ả ấ i ta g n m t ch t đi m kh i l ằ ể ng ng là m ả t t t m ỏ ươ ộ ả ầ ố ượ ể ệ ứ ứ ố ấ ứ ự ạ ỏ ồ ượ ắ ầ ượ ạ c g n l n l ế ể ng không đáng k . Bi 2 có kh i l i trung đi m BC thì m ượ ắ c g n theo th t i các đi m A, B và C (B 1 = 1kg, m3 = 4kg và BC = ng bao nhiêu? t ể 1, m2 và m3 đ ụ ả ứ ể ủ ệ ằ ủ ế ể ạ ố ượ ể i các đi m A, B ng không đáng k sao cho thanh xuyên qua tâm ố i trung đi m c a AB thì 3 ph i b ng bao nhiêu? (Đ thi TSĐH 2007) ộ ả ầ ủ ng c a m t m ả ằ ả ố ượ ệ ồ ỏ t di n đ u có chi u dài l, kh i l ố ộ ậ ng m. M t v t nh kh i ầ ỏ ề i đ u A. H i kh i tâm c a h cách đ u B m t đo n b ng bao nhiêu? ủ ệ ạ ặ ầ ượ ằ ấ ể ạ t 3 ch t đi m m ị ề ộ ượ ặ ạ ầ ộ ố c đ t t ề ủ ỉ ạ T i ba đ nh c a tam giác đ u ABC, c nh a có đ t l n l ủ ệ ể ồ ố ộ

t di n đ u có bán kính R = 6cm, kh i l ố ượ ư ế ỏ ắ ng m = 80g. G n trên vành t OA vuông góc OB. Xác ố ượ A = mB = 20g. Bi i A, B có kh i l ng m ậ ố ấ ầ ộ ồ ộ ị

D ng 1ạ ố : Xác đ nh kh i tâm c a các v t r n. V n d ng công th c tính t a đ c a kh i tâm. ố ọ ộ ị ợ Ch n g c t a đ thích h p khi xác đ nh v trí kh i tâm. ộ ấ ế ồ Ví d 1:ụ M t thanh AB đ ng ch t ti ợ ườ ng h p: trong hai tr ắ ậ a. G n thêm v t m = 200g vào đ u A. ậ ắ b. G n thêm v t m vào A và m’ = 500g vào đ u B. ấ ư Xem các v t m, m’ nh là ch t đi m. Ví d 2:ụ a. M t thanh m nh AB đ ng ch t ti ồ thanh ng ạ m t đo n b ng bao nhiêu? ( Đ thi TSĐH 2008) ả ầ b. Cho ba qu c u nh t ố ượ ằ n m trong kho ng AC) trên m t thanh c ng kh i l ạ ằ 2AB. Đ h (thanh và 3 qu c u) có kh i tâm n m t Ví d 3: ụ a. Có ba qu c u nh đ ng ch t kh i l ố ượ ả ầ ng m ố ượ và C trên m t thanh AC hình tr m nh, c ng, có kh i l ể ủ c a các qu c u. Bi ề kh i l ấ ế b. M t thanh m nh AB đ ng ch t ti ượ l ng m đ Ví d 4: ụ ấ ị đ nh v trí kh i tâm G c a h 3 ch t đi m đó. ệ ấ ế Ví d 5:ụ M t đĩa tròn đ ng ch t ti ề ạ ể ấ đĩa hai v t nh xem nh hai ch t đi m t ể ị đ nh kh i tâm c a h (đĩa và 2 ch t đi m). Ví d 6: ụ Tìm kh i tâm c a m t hình tròn đ ng tâm O bán kính R, b khoét m t ph n hình tròn tâm O’, bán kính r’ = R/4. Bi ủ ệ ố ủ ế ắ t r ng OO’ = R/2.

ể ộ ủ ậ ắ ủ ố : Chuy n đ ng c a kh i tâm c a v t r n.

ủ ậ ắ ậ ụ ủ ề ể ố ị = (cid:0)r a uur F i

D ng 2ạ ộ V n d ng đ nh lý v chuy n đ ng c a kh i tâm c a v t r n: m. Chú ý: ị ố ề ậ ộ ề ể ề ị ủ ậ ả c áp d ng cho h nhi u v t. ể ả ậ ề ằ ị ượ ụ ng đ u có th gi ệ ể i thích b ng đ nh lu t v chuy n ộ + Đ nh lý v chuy n đ ng c a kh i tâm cũng đ ượ + Các bài t p v đ nh lu t b o toàn đ ng l ủ ề ể ủ ườ ạ ng m. Hãy xác đ nh đo n đ ở ố ị ề ị ề ế ỏ tay lái ề ng d ch chuy n c a thuy n ự ả ủ cu i thuy n đ n mũi thuy n. B qua l c c n c a

b B ế ệ

ấ ụ ặ A ố ượ ng m, m’ ti ẳ ặ ể ộ ị ủ ỏ a ỉ ế ụ ư ẽ ạ

ề ậ ố ộ đ ng c a kh i tâm. ộ Ví d 1: ụ M t chi c thuy n chi u dài a, kh i l ế ố ượ ề ườ ừ ắ ầ ố ượ ộ ng m’ b t đ u đi t i có kh i l khi m t ng ề ứ ườ ầ ế ướ n t lúc đ u ng i và thuy n đ ng yên. c. Bi ĐS: s = m’.a/(m + m’) Ví d 2: ụ Hai lăng tr đ ng ch t A, B có kh i l ụ ồ t di n ngang ặ ụ là các tam giác vuông. Lăng tr A đ t trên m t ph ng ngang, lăng tr B đ t ượ ừ ủ t t trên đ nh c a A. B qua ma sát, tính đ d ch chuy n s c a A khi B tr ỉ đ nh đ n chân lăng tr A. Cho các c nh a, b nh hình v . ĐS: s = m.(a b)/(m + m’).

Ấ Ậ Ắ V N Đ 2 Ề : CHUY N Đ NG QUAY C A V T R N Ụ Ể Ộ Ộ Ủ Ố Ị QUANH M T TR C C Đ NH Ắ A. TÓM T T LÝ THUY T:

Ế 1. Mômen quán tính. (cid:0) (cid:0) ộ ủ ể ấ ộ ạ m t đo n r là: I = m.r2.

(cid:0) ụ ng m cách tr c quay 2.i im r là: I =

ụ ố ứ . ị ụ ấ ố ượ Mômen quán tính c a m t ch t đi m có kh i l ụ (cid:0) ủ ậ ắ Mômen quán tính c a v t r n quay quanh tr c ủ ậ ắ ạ Mômen quán tính c a v t r n đ ng ch t có d ng hình h c xác đ nh (tr c quay là tr c đ i x ng) ặ ồ ụ ỗ

ụ ặ ọ I = m.R2. I = m.R2/2.

+ vành tròn ho c hình tr r ng bán kính R: ặ + đĩa tròn ho c hình tr đ c bán kính R: I = 2m.R2/3. ầ ỗ + hình c u r ng bán kính R: I = 2m.R2/5. ặ ầ + hình c u đ c bán kính R: + thanh dài l quay quanh tr c đ i x ng: I = m.l2/12. ị ơ Đ nh lý Stain – Huyghen: (cid:0) .

ả

ậ ắ ươ ộ ộ ụ ố ị ụ ố ứ ID = IG + m.d2. ố ớ ụ ủ ậ ắ + ID là mômen quán tính c a v t r n đ i v i tr c D// ố ớ ụ (cid:0) ủ ậ ắ . + IG là mômen quán tính c a v t r n đ i v i tr c ụ (cid:0) ụ ữ + d là kho ng cách gi a tr c và tr c D. ộ ụ ố ị 2. V t r n quay quanh m t tr c c đ nh. ự ọ ủ ậ ắ ạ Hai d ng ph ng trình đ ng l c h c c a v t r n quay quanh m t tr c c đ nh.

M = M = I.(cid:0) dL dt ượ ủ ậ ắ ố ớ ụ

ượ ộ khi M = 0 thì L = I.(cid:0) ố ằ = h ng s . ng c a v t r n đ i v i tr c quay. ng: ị ộ

2 i

2 m .r . i i

= w = 2 w I. Wđ = m .v i

�

v i ớ L là mômen đ ng l ộ ậ ả Đ nh lu t b o toàn mômen đ ng l ủ ậ ắ Đ ng năng c a v t r n quay quanh m t tr c c đ nh: 1 2 ộ ụ ố ị 1 � 2 1 2 ể ẳ ộ ộ Đ ng năng c a v t r n chuy n đ ng song ph ng ủ ậ ắ ể ậ ắ ủ ữ ể ể ẳ ẳ ặ ộ ộ + V t r n chuy n đ ng song ph ng thì các đi m c a nó chuy n đ ng trong nh ng m t ph ng song ớ song v i nhau.

đ =

2 G

+ w ủ ậ ắ ộ m.v I. + Đ ng năng c a v t r n: W 1 2 1 2 ủ ệ ố ủ ậ ắ ể ấ : Mômen quán tính c a h th ng ch t đi m c a v t r n. ứ (cid:0) ả ở ị ượ ọ ố ượ ủ ậ ắ ng c a v t r n, kho ng cách xác đ nh b i I = m. c g i là bán kính quán (cid:0) 2 đ

ố ượ ả ầ ộ ng không đáng k , có g n m i đ u m t qu c u nh kh i l ố ượ ng

ề ệ ế ắ ở ỗ ầ ủ ệ ố ớ ụ ố ượ ấ ộ ể t là m = 250g và m’ = 500g. Tính mômen quán tính c a h đ i v i tr c quay là trung tr c c a AB. m i đ u có g n m t qu ồ t di n đ u, đ ng ch t, kh i l ng m = 100g. ả Ở ỗ ầ ự ệ ấ ồ ủ ệ ố ớ ắ ượ ớ ụ ằ a. Thanh AB đ ng ch t, ti ớ c g n v i tr c D vuông góc v i ề t di n đ u, dài ng m, đ ạ ỏ ự ủ ắ ng b ng nhau m’ = 200g. Tính mômen quán tính c a h đ i v i trung tr c AB. l, kh i l ố ớ ụ D ng 1ạ ụ Áp d ng công th c tính mômen quán tính. ọ Chú ý: g i m là kh i l ủ ậ ắ tính c a v t r n. Ví d 1: ụ Thanh AB dài 20cm kh i l ầ ượ l n l Ví d 2: ụ Thanh AB dài 20cm ti ố ượ ỏ ầ c u nh kh i l Ví d 3: ụ thanh t ế ố ượ ủ i A. Tính mômen quán tính c a thanh AB đ i v i tr c D.

ố ượ ế ệ ể ắ ấ ấ b. Thanh AB đ ng ch t, ti ề t di n đ u, dài l, có kh i l ủ ệ ố ớ ụ ồ ể ắ ấ

ủ ấ ộ ồ ể ầ ng không đáng k . Đ u A g n ch t đi m ầ m, đ u B g n ch t đi m 3m. Tính mômen quán tính c a h đ i v i tr c vuông góc AB và đi qua trung đi m.ể Ví d 4: ụ Tính bán kính quán tính c a m t đĩa tròn đ ng ch t có bán kính R.

ộ ụ ạ ể ộ ủ ậ ắ Chuy n đ ng c a v t r n quay quanh m t tr c. ọ ậ ắ ự ộ ụ ế ế ươ ộ ọ ủ ậ ắ ng trình đ ng l c h c c a v t r n quay quanh m t

ị D ng 2: ứ ề ộ ụ Áp d ng các công th c v đ ng h c v t r n. ự N u liên quan đ n mômen l c thì áp d ng hai ph ụ ố ị tr c c đ nh. ợ ườ Tr ệ ậ ừ ự ệ ữ ế ế ể ể ứ ng h p h v t v a có chuy n đ ng quay và chuy n đ ng t nh ti n thì: + Tìm s liên h gi a chuy n đ ng quay và chuy n đ ng t nh ti n thông qua các công th c:

ộ ộ x = s = (cid:0) ị .R. ể ộ ộ ể .R; a = (cid:0) ế ị .R ; v = (cid:0) ộ ể ụ ậ ơ ị ươ ộ + Áp d ng đ nh lu t II Niut n cho chuy n đ ng t nh ti n và ph ể ự ọ ng trình đ ng l c h c cho chuy n

(cid:0) ự ằ ậ ả ụ ộ ị ượ ể ng đ tính t iạ

ủ ậ ụ ể ẳ ộ ộ đ ng quay. ợ ổ ư ườ ng h p t ng các mômen l c b ng 0 thì l u ý áp d ng đ nh lu t b o toàn đ ng l Tr ờ ể các th i đi m. ậ ắ Khi v t r n chuy n đ ng song ph ng thì áp d ng công th c đ ng năng c a v t:

2 G

+ w m.v I. Wđ = ứ ộ 1 2 ổ ộ ạ ự ề ộ ụ ế ị Khi có ngo i l c làm bi n đ i đ ng năng c a v t r n thì áp d ng đ nh lý v đ ng năng:

w

D -

I

A

I

= 2 1

2 2

= W đ

1 w 2

1 2 ủ ậ ắ 1 2 ắ ầ ờ ụ ố ị ậ ớ ạ ể

ậ ố ờ ạ ứ ể ờ ố ộ ậ ắ a. T i th i đi m t = 0, m t v t r n b t đ u quay quanh tr c c đ nh xuyên qua v t v i gia t c ộ i th i đi m 5s trên và góc c m t góc 25rad. Tính v n t c góc t c th i t ậ c trong giây th năm. ề ậ ầ ộ ị Ví d 1: ụ ượ ổ góc không đ i. Sau 5s nó quay đ ượ ứ mà v t quay đ ộ b. M t bánh xe đang quay v i t c đ góc 24rad/s thì b hãm. Bánh xe quay ch m d n đ u v i đ ố ạ ẳ ừ ế ậ ớ ố 2. Tính th i gian t ừ ờ lúc hãm đ n lúc bánh xe d ng l i h n và góc mà v t quay đ ớ ộ ượ c ớ l n gia t c góc là 2rad/s trong 2s cu i.ố (cid:0) ộ ụ ố ị ươ ậ ng trình chuy n đ ng = 10 + t2 (t (cid:0) ố ộ ể ừ ượ ộ ể lúc t = 0. (cid:0) ậ ố ớ ụ ứ ộ

2 đang đ ng yên thì ch u ị ắ khi b t

c sau 5s k t ố ị c đ nh là 6kg.m ọ ự ả ố ớ ụ ụ ộ ể ừ ự ạ ớ ậ ố ộ ớ ộ ậ ắ c. M t v t r n quay quanh m t tr c c đ nh đi qua v t có ph ằ ằ đo b ng s, đo b ng rad). Tính t c đ góc và góc mà v t quay đ Ví d 2: ụ a. M t bánh xe có mômen quán tính đ i v i tr c quay ỏ ủ tác d ng c a m t mômen l c 30N.m đ i v i tr c quay trên. B qua m i l c c n. Sau bao lâu, k t ầ đ u quay, bánh xe đ t t i v n t c góc có đ l n 100rad/s. ộ ấ ế ủ ề ồ ộ ị

ng m = 100g, đ ng ch t ti ớ ể ố ổ ệ vuông góc v i thanh và đi qua trung đi m v i gia t c không đ i. Bi ụ t di n đ u ch u tác d ng c a m t mômen ế t ượ ề ờ ộ ố ượ b. M t thanh dài có kh i l ụ (cid:0) ự l c 3N.m. Thanh quay quanh tr c ằ r ng sau th i gian t = 4s, thanh quay đ ố ượ ủ ể ứ ề ấ ắ ộ c. M t thanh c ng có chi u dài 1,0m, kh i l ể ớ ố ượ ớ c m t góc 16rad. Tính chi u dài c a thanh. ể ầ ng không đáng k . Hai đ u có g n hai ch t đi m ớ ụ ng 2kg và 3kg. Thanh quay đ u xung quanh tr c đi qua trung đi m và vuông góc v i thanh v i ộ ng c a h đ i v i tr c quay. ề có kh i l ượ ố ộ t c đ góc 10rad/s. Tính mômen đ ng l ấ ả ủ ệ ố ớ ụ ề ố ượ ể d. M t thanh m nh đ ng ch t có kh i l ầ ừ ị ậ ố ỏ ị ộ ộ ầ ồ ả ộ ng m, chi u dài l. Thanh có th quay xung quanh m t ằ v trí n m ngang. H i khi qua v trí ụ ẳ ố ượ ọ

Ròng r c là m t đĩa tròn đ ng ch t kh i l ạ ượ ố ộ ọ ấ ồ ể ừ i. Sau 2s k t c hãm l ớ ố ng m = 10kg, bán kính R = 30cm đang quay v i t c lúc hãm ròng r c có t c đ góc 10rad/s. Tính mômen hãm tác ọ ố ượ ộ ọ ng m = 400g phân b đ u trên vành bán kính r = 10cm. tr c đi qua m t đ u thanh. Th cho thanh quay không v n t c đ u t ằ ố ộ ứ th ng đ ng thanh có t c đ góc b ng bao nhiêu? Ví d 3: ụ ộ ộ đ góc 30rad/s thì đ ụ d ng lên ròng r c. Ví d 4: ụ M t ròng r c kh i l ủ ố ề ọ ố ớ ụ ủ ố ượ ộ ầ a. Tính mômen quán tính c a ròng r c đ i v i tr c c a nó. b. Qu n trên rãnh ròng r c m t dây kh i l ắ ố ủ ể ậ ậ ầ ể ộ ng không đáng k , không dãn, m t đ u g n vào ròng ộ ng m’ = 0,6kg. Buông cho v t A chuy n đ ng, tính gia t c c a A và

2. (2 cách: dùng M = I.(cid:0)

ấ ọ ắ ố ượ ọ r c, đ u kia g n vào v t A kh i l ấ ự l c căng dây. L y g = 10m/s và M = dL/dt)

ọ ố ượ ể ng m = ụ ằ ể ắ ộ ọ ồ ả ố ượ ầ 200g, bán kính r = 10cm có th quay quanh ầ ng không đáng k , không dãn, v t qua ròng r c, hai đ u ả ệ ứ ắ ể ấ ộ Ví d 5: ụ Ròng r c là m t đĩa tròn đ ng ch t kh i l ấ ộ ố ượ tr c n m ngang qua tâm. M t dây m nh kh i l ả 1 = 500g, m2 = 400g. Lúc đ u h đ ng yên, buông cho hai qu dây có g n hai qu cân A, B kh i l cân chuy n đ ng lúc t = 0. L y g = 10m/s ng m 2. ố ủ ủ ả ố ọ

ả ọ ể ộ a. Tính gia t c c a các qu cân và gia t c góc c a ròng r c. ự b. Tính l c căng dây. ủ c. Tính góc quay c a ròng r c sau 2s k t ọ ộ ằ ộ

ẹ ắ ầ ể ừ lúc các qu cân b t đ u chuy n đ ng. ộ ụ ể ậ ố ượ ủ ầ ọ ọ ắ ể ượ ộ t trên rãnh ròng r c. Khi hai v t chuy n đ ng, ng ậ ố ậ ụ ợ ng h p: ỏ ườ 2. Tính gia t c các v t trong hai tr c = 0.02N.m. L y g = 10m/s ọ ủ ấ ng c a ròng r c. ố ượ ố ề ọ Ví d 6: ụ M t ròng r c có bán kính r = 2cm có th quay quanh m t tr c n m ngang qua tâm O. M t dây ắ ng là 1,5kg và nh không dãn v t qua rãnh c a ròng r c, hai đ u dây có g n hai v t nh A, B có kh i l ộ ọ i ta tác d ng vào ròng r c m t 1kg. Dây không tr mômen c n Mả ườ ỏ a. B qua kh i l b. Kh i l ố ượ ủ ng c a ròng r c là m = 100g phân b đ u trên vành.