CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM
<VI.1> Tính toång
n
n1
x
¥
=
å
vôùi :
a) n
n
xq(|q|1)
=<
b) n
1
x
n(n1)
=
+
c) n2
1
x(n2)
n1
=³
- d)
( )
n
1
x
=
+++
. Giaûi:
Ñaët
n12n
Sxx...x
=+++
a) 2n
n
n
1q
Sqq...qq
1q
-
=+++=
-
nn
n
n1
q
xlimS
1q
¥
®¥
=
==
-
å
b) Ta coù k
11
x,
kk1
=-
+
töø ñoù
n
111111
S1...1
223nn1n1
æöæöæö
=-+-++-=-
ç÷ç÷ç÷
++
èøèøèø
nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å
c) Ta coù k2
1111
x,k2
k12k1k1
æö
==-³
ç÷
--+
èø
n23n
11111111
Sxx...x1...
232435n1n1
æö
æöæöæöæö
=+++=-+-+-++-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷
-+
èøèøèøèø
èø
1111
1
22nn1
æö
=+--
ç÷
+
èø
nn
n
n1
113
xlimS1
224
¥
®¥
=
æö
==+=
ç÷
èø
å
d) Ta coù
( )
k
1k1k
x
k.k1
k1kk(k1)
+-
==
+
+++
11
kk1
=-
+
neân n
111111
S...
1223nn1
æö
æöæö
=-+-++-
ç÷
ç÷ç÷
+
èøèø
èø
1
1
n1
=-
+
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Vaäy nn
n
n1
xlimS1
¥
®¥
=
==
å
<VI.2> Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau :
a)
2
n1
1
n
¥
=
å
b)
n
n1
1
2
¥
=
å
c)
n
n1
n
2
¥
=
å
d)
n1
1
n
¥
=
å
e)
n2
1
lnn
¥
=
å f)
nn
n
n1
23
6
¥
=
+
å
. Giaûi:
a) 2
11
nn(n1)
£
+
,
n1
"³
vaø
n1
1
n(n1)
¥
=
-
å hoäi tuï neân
2
n1
1
n
¥
=
å
hoäi tuï.
b)
n
n1
1
2
¥
=
å
=
n
q
å
vôùi 1
0q1
2
<=<
neân
n
n1
1
2
¥
=
å
hoäi tuï.
c) do
( )
nn
n
2
nn
0
2
2
®¥
=®
neân
n
2
0
n2,nn
<"³
.
Töø ñoù
n
2
0
nn
n2
,nn
22
£³
hay
( )
0
n
n
n1
,nn
22
£³
maø
( )
n
1
2
å hoäi tuï neân
n
n1
n
2
¥
=
å
hoäi tuï.
d) ñaët n
11
S1...
2n
=+++
vôùi 0
1
2
e=
, vaø moïi soá nguyeân
n
ÎN
laây
nN
³
vaø m =2n
thì mn
1111
SS...()
n1n2nn2
-=+++³=e
+++
do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy,
(
)
n
n
S
khoâng hoäi tuï, neân
1
n
å
phaân kyø.
e) Töø
nlnn,n2
>³
ta coù
11
lnnn
>
maø
1
n
å
phaân kyø neân
n2
1
lnn
¥
=
å phaân kyø.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
f) Vôùi
nn
n
nnn
2311
x
632
+
==+
vaø caùc chuoãi :
n
1
3
å
vaø
n
1
2
å
hoäi tuï.
Vaäy
nn
n
n1
23
6
¥
=
+
å hoäi tuï.
<VI.3> Chöùng minh raèng chuoãi:
2.42.4.6
1...
1.31.3.5
+++
phaân kyø.
. Giaûi:
Soá haïng toång quaùt n
2.4.6...2n
x
1.3.5...(2n1)
=
-
>1
Þ
daõy
(
)
n
n
x
khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân
n
1
x
¥
å
phaân kyø.
<VI.4> Cho
( )
n
n1
a
¥
=
å vaø
( )
n
n1
b
¥
=
å vôùi n
a0n
³"
n
b0n
³"
vaø
( )
n
nn
a
limc0
b
®¥
=³
. CMR
a)
c0
=
, vaø
( )
n
n1
b
¥
=
åhoäi tuï thì
( )
n
n1
a
¥
=
å hoäi tuï.
b)
c
=¥
, vaø
( )
n
n1
b
¥
=
å phaân kyø thì
( )
n
n1
a
¥
=
å phaân kyø.
c) 0c
<<¥
thì
( )
n
n1
a
¥
=
å vaø
( )
n
n1
b
¥
=
å cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng
hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi nn
a~b(n)
®¥
. Giaûi:
a) do n
nn
a
lim0
b
®¥
=
neân
0
n
$
sao cho
nn0
0ab,nn
££"³
Vaäy
( )
n
n1
b
¥
=
å hoäi tuï daãn ñeán
( )
n
n1
a
¥
=
å hoäi tuï.
b) do n
nn
a
lim b
®¥
=¥
neân
0
n
$
sao cho
nn
ba
£
,
0
nn
"³
Vaäy
( )
n
n1
b
¥
=
å phaân kyø daãn ñeán
( )
n
n1
a
¥
=
åphaân kyø.
c) n
nn
a
limc
b
®¥
=
vôùi 0c
<<¥
,
0
n
$
:
nnn
c3c
ba.b
22
££ ,
0
nn
"³
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
neáu
( )
n
n1
b
¥
=
å hoäi tuï thì
n
n1
3c
.b
2
¥
=
å hoäi tuï, do ñoù
( )
n
n1
a
¥
=
åhoäi tuï
neáu
( )
n
n1
b
¥
=
å phaân kyø thì
n
n1
c
.b
2
¥
=
åphaân kyø do ño
( )
n
n1
a
¥
=
åphaân kyø.
<VI.5> Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau:
a) 1
n(n1)
+
å b)
2
1
1n
+
å
c)
( )
n
1
lnn
å d)
2
1
n(nn)
+
å
e)
2
n!
n
å
f)
1
nlnn
å
g)
n
n
x
(x0)
n
³
å h)
n
x
n!
å
i) 2
n4
2n1
n4n3
¥
=
+
-+
å j)
n1
1
sin
nn
¥
=
p
å
. Giaûi:
a) 11
~(n)
n
n(n1)
®¥
+ vaø do
n1
1
n
¥
=
å
phaân kyø neân
n1
1
n(n1)
¥
=
+
å phaân kyø.
b)
22
11
1nn
£
+ neân
2
1
1n
+
å hoäi tuï.
c) Ñaët
( )
n
n
1
x
lnn
= ta coù
nnn
1
x0
lnn
®¥
=®
(< 1)
( )
n
1
lnn
å hoäi tuï
d)
3
2
2
11
~
n(nn)
n
+ (
n
®¥
) neân
2
1
n(nn)
+
å hoäi tuï.
e) n
2
n!
x
n
= töø ñoù
(
)
( )
22
n1
2
n
n1!
xnn
xn!n1
n1
++
=´=®¥
+
+, neân chuoãi
2
n!
n
å
phaân kyø.
f) Xeùt
1
n
nlnn
1lnn
n
=®¥
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
maø
1
n
å
phaân kyø, vaäy
1
nlnn
å phaân kyø.
g)
n
n
x
n
å
hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy.
h)
n
x
n!
å
hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert.
i) do
( )
2
2n11
~n
n4n3n
+
®¥
-+ neân 2
2n1
n4n3
+
-+
å phaân kyø
j) Xeùt n
2
1sin
nn
nsin
1n
n
®¥
p
p
=®p
neân
( )
2
1
nsin~n
nn
p
®¥
. Vaäy 1
sin
nn
p
å hoäi tuï.
< VI.6> Cho chuoãi soá
p
n1
1.3.5...(2n1)
2.4.6...2n
¥
=
-
éù
êú
ëû
å
Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2
. Giaûi:
Ñaët
p
p
n
1.3.5...(2n1)
x2.4.6...2n
-
éù
=
êú
ëû
ta coù 2
n
135(2n1)35(2n1)(2n1)1
x......1.......
2462n24(2n2)2n2n1
--+
=
-+
1111111
11...1.11...1.
242242n2n1
æöæöæöæöæöæö
=---+++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
+
èøèøèøèøèøèø
222
1111
11...1.
24(2n)2n1
æö
æöæö
=---
ç÷
ç÷ç÷
+
èøèø
èø
do
( )
2
222
k1
1111111
...2
244k42
2n
¥
=
+++=£=
å
neân 2
n
11
x.
22n1
³
+
maø vì
11
.
22n1
+
å phaân kyø, ta coù
2
n
x
å
phaân kyø.
Töø ñoù suy ra
p2
£
: ta coù
p2
nn
xx
³
neân
p
n
1
x
¥
å
phaân kyø.
p2
>
:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com