Dạng 3: Bài toán về khoảng cách
A, lý thuyết và phương pháp giải:
Khoảng cách giữa hai điểm:
22
ABAB yyxxAB
Khoảng cách từ điểm
000 ;yxM đến đường thẳng:
Ox: 0
y là 0
y
byOxd
:// là by
0
Oy: 0
x là 0
x
axOyd
:// là ax
0
d: Ax + By + C = 0 là :
22
00
0,
BA
CByAx
dMd
Chú ý:
Đường cao AH của tam giác ABC là d (A, BC)
Tam giác ABC đều
0
60
ˆCAB
ACAB
ACBCAB
Tam giác ABC vuông tại A 222 BCACAB
Phương trình đường phân giác của gocs tạo bởi đường thẳng a
và b là: d(M, a) = d(M, b) với M(x; y)
Cách tìm phân giác trong AD của tam giác ABC : ngoài cách
tìm chân phân giác D chia đoạn BC theo tỉ số
AC
AB
k , cách
dụng đẳng thức
ACAMAMAB ,cos,cos với M(x; y) thì có thể
lập phương trình 2 đường phân giác rồi chọ phương trình phân
giác mà 2 điểm B và C khác phía của nó.
Hai điểm ở cùng phía , khác phía đối với đường thẳng:
Khoảng cách đại số:
CByAxyxf 0000 ; từ đó tập hợp
M(x; y) thoả Ax + By + C 0
là một nử mặt phẳng giới hạn bởi
đường thẳng Ax + By +C = 0(d)
Hai điểm P, Q ở cùng phía đối với (d):
0; CByAxyxf khi
0;.;
QQPP yxfyxf
Hai điểm P, Q ở cùng phía đối với (d):
0; CByAxyxf khi
0;.;
QQPP yxfyxf
B, Bài tập:
Câu 1: Cho điểm A(-1; 2) và đuờng thẳng
ty
tx
2
21
:. Tính diện tích hình
tròn tâm A tiếp xúc
.
HD:
;,
2AdRRS
Câu 2: Trong mp Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng
d: x – 2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
(Khối B - 2004)
HD: Viết PT AB. Gọi C(2c+1; c) thuộc d : d(C, AB) = 6
ĐS:
11
27
;
11
43
,3;7 CC
Câu 3: Trong mp Oxy cho đường thẳng d: 2x – y - 5 = 0 và hai điểm A(1;
2), B(4; 1). Tìm tâm đường tròn thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A,
B.
ĐS: I(1; -3)
Câu 4: Trong mp Oxy cho 3 đường thẳng : 03:
1 yxd ,04:
2 yxd ,
02:
3 yxd . Tìm 3
dM sao cho khoảng cách từ M đến 1
d bằng 2 lần
khoảng cách từ M đến 2
d. (Khối A - 2006)
HD: Gọi M(2y; y), 3
dM
ĐS: M(2; 1), M(-22; -11)
Câu 5: Trong mp Oxy cho hình chữ nhật ABCD tâm
022:,0;
2
1
yxABI cạnh AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh biết đỉnh A có
hoành độ âm.
(Khối B - 2002)
HD: IA = IB
Toạ độ A,B thoả mãn PT AB và (I, IA)
ĐS: A(-2 ; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(-1; - 2)
Câu 6: Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng 0:
1 yxd 012:
2 yxd . Tìm
các đỉnh hình vuông ABCD biết OxDBdCdA ,;, 21 .
(Khối A - 2005)
HD: Gọi A(a; a) ,
aaCdA ;
1 (vì OxDB
,).
A(1;1); C(1; -1) tâm I(1; 0).IB = ID suy ra B(0; 0), D(2; 0)
Câu 7: Tính khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng a : x = 5 và đường
thảng b : y + 4 = 0
Câu 8: Tính khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng:
a, d: 3x – 4y + 6 = 0
b,
ty
tx
31
23
Câu 9: Tam giác ABC có toạ độ các đỉnh A(1; 1); B(-2; 4); C(-4; -3). Tính
diện tích S và độ dài đường cao AH
ĐS:
53
27
;
2
27 AHS
Câu 10: Cho 3 đường thẳng AB: x + y – 6 = 0, BC: x- 4y + 14 = 0, và CA:
4x – y – 9 = 0 cắt nau tạo thành một tam giác. Chứng minh tam giác cân và
tính tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R.
ĐS:
10
212
R
Câu 11: Tìm M thuộc trục tung và cách đều 2 đường thẳng: 3x – 4y + 6 = 0
và 4x – 3y – 9 = 0.
HD: Gọi M(0; y)
Câu 12: Tìm M thuộc d: x – 2y + 1 = 0 và cách đường thẳng có phương
trình 3x + 4y – 12 = 0 một đoạn có độ dài bằng 1.
ĐS: M(3; 2) hoặc M(1; 1)
Câu 13: Cho tam giác ABC với A(-1; 0); B(2; 3); C(3; -6). Đường thẳng d
có phương trình: x – 2y – 3 = 0 cắt cạnh nào của tam giác.
HD: Xét vị trí cùng phía, khác phía với d.
Câu 14: Tính chu vi và diện tích tam giác ABC với A(-2; 8); B(-6; 1) và
C(0; 4)
HD: ABC là tam giác vuông